е (математическая константа)
число Эйлера | |
---|---|
и 2.71828... [ 1 ] | |
Общая информация | |
Тип | трансцендентный |
История | |
Обнаруженный | 1685 |
К | Джейкоб Бернулли |
Первое упоминание | Некоторые вопросы о процентах, а также решение проблемы об игре в азартные игры, предложенной в Еф. Галл. А. 1685 г. |
Назван в честь |
Часть серии статей о |
математическая константа е |
---|
Характеристики |
Приложения |
Определение е |
Люди |
Связанные темы |
Число е — это математическая константа, примерно равная 2,71828, которую можно охарактеризовать разными способами. Это основа функции натурального логарифма . Это предел поскольку n стремится к бесконечности, это выражение возникает при вычислении сложных процентов . Это значение в единице (естественной) экспоненциальной функции , обычно обозначаемой Это также сумма бесконечного ряда Есть и другие характеристики; см. § Определения и § Представления .
Число e иногда называют числом Эйлера , в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера , хотя это может вызвать путаницу с числами Эйлера или с константой Эйлера , другой константой, обычно обозначаемой . В качестве альтернативы e можно назвать константой Непера в честь Джона Непера . [ 2 ] [ 3 ] Швейцарский математик Якоб Бернулли открыл константу, изучая сложные проценты. [ 4 ] [ 5 ]
Число е имеет большое значение в математике. [ 6 ] рядом с 0, 1, π и i . Все пять фигурируют в одной формулировке тождества Эйлера. и играют важную и повторяющуюся роль в математике. [ 7 ] [ 8 ] Как и константа π , e иррациональна трансцендентна , то есть ее нельзя представить в виде отношения целых чисел, и, более того, она , то есть не является корнем какого-либо ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами. [ 3 ] До 30 десятичных знаков значение e равно: [ 1 ]
Определения
[ редактировать ]Число e является пределом выражение, которое возникает при вычислении сложных процентов .
Это сумма бесконечного ряда
Это единственное положительное число a такое, что график функции y = a х имеет наклон 1 в точке x = 0 .
У одного есть где (естественная) экспоненциальная функция , уникальная функция, равная собственной производной и удовлетворяющая уравнению Поскольку показательную функцию обычно обозначают как у одного также есть
Логарифм по основанию b можно определить как обратную функцию функции С у одного есть Уравнение следовательно, следует, что e является основанием натурального логарифма.
Число e можно также охарактеризовать через интеграл : [ 9 ]
Другие характеристики см. в § Представления .
История
[ редактировать ]Первые упоминания о константе были опубликованы в 1618 году в таблице приложения к работе по логарифмам Джона Непера . Однако там содержалась не сама константа, а просто список логарифмов по основанию. . Предполагается, что таблицу написал Уильям Отред . В 1661 году Христиан Гюйгенс изучал, как вычислять логарифмы геометрическими методами, и вычислил величину, которая, в ретроспективе, является логарифмом е по основанию 10 , но он не признавал само е как интересующую величину. [ 5 ] [ 10 ]
Сама константа была введена Якобом Бернулли в 1683 году для решения проблемы непрерывного начисления процентов. [ 11 ] [ 12 ] В его решении константа e встречается как предел где n представляет собой количество интервалов в году, за которые рассчитывается сложный процент (например, при ежемесячном начислении процентов).
Первым символом, использованным для этой константы, была буква b Готфрида Лейбница в письмах Христиану Гюйгенсу в 1690 и 1691 годах. [ 13 ]
Леонард Эйлер начал использовать букву е для обозначения константы в 1727 или 1728 году в неопубликованной статье о взрывных силах в пушках. [ 14 ] и в письме Кристиану Гольдбаху от 25 ноября 1731 г. [ 15 ] [ 16 ] Первое появление е Эйлера в печатном издании было в «Механике» (1736 г.). [ 17 ] Неизвестно, почему Эйлер выбрал букву е . [ 18 ] Хотя некоторые исследователи в последующие годы использовали букву «с» , буква « е» была более распространенной и со временем стала стандартной. [ 2 ]
Эйлер доказал, что e есть сумма бесконечного ряда где н ! является факториалом n . [ 5 ] Эквивалентность двух характеристик с использованием предела и бесконечного ряда может быть доказана с помощью биномиальной теоремы . [ 19 ]
Приложения
[ редактировать ]Сложные проценты
[ редактировать ]Якоб Бернулли открыл эту константу в 1683 году, изучая вопрос о сложных процентах : [ 5 ]
Счет начинается с 1 доллара США и выплачивает 100 процентов в год. Если проценты зачисляются один раз, в конце года, стоимость счета на конец года составит 2,00 доллара США. Что произойдет, если проценты будут начисляться и начисляться чаще в течение года?
Если проценты начисляются дважды в году, процентная ставка за каждые 6 месяцев составит 50%, поэтому первоначальный 1 доллар умножается на 1,5 дважды, что дает 1,00 доллара США × 1,5. 2 = 2,25 доллара США в конце года. Начисление квартальной доходности $1,00 × 1,25 4 = $2,44140625 , а ежемесячная доходность составляет $1,00 × (1 + 1/12) 12 = $2,613035... . Если существует n интервалов начисления сложных процентов, проценты для каждого интервала будут составлять 100%/ n , а стоимость на конец года будет равна 1,00 доллара США × (1 + 1/ n ). н . [ 20 ] [ 21 ]
Бернулли заметил, что эта последовательность приближается к пределу ( интересующей силе ) с большим n и, следовательно, с меньшими интервалами начисления процентов. [ 5 ] Еженедельное начисление сложных процентов ( n = 52 ) приносит 2,692596 долларов США..., а дневное начисление процентов ( n = 365 ) дает 2,714567 долларов США... (примерно на два цента больше). Пределом увеличения n является число, которое стало известно как e . То есть при непрерывном начислении процентов стоимость счета достигнет 2,718281828 долларов США... В более общем смысле, счет, который начинается с 1 доллара США и предлагает годовую процентную ставку R , через t лет принесет доход e рт долларов с непрерывным начислением процентов. Здесь R — десятичный эквивалент процентной ставки, выраженной в процентах , поэтому для 5% годовых R = 5/100 = 0,05 . [ 20 ] [ 21 ]
испытания Бернулли
[ редактировать ]Само число e также имеет приложения в теории вероятностей , причем это не связано явно с экспоненциальным ростом. Предположим, что игрок играет в игровой автомат, выплата которого осуществляется с вероятностью один из n , и играет в него n раз. По мере увеличения n вероятность того, что игрок проиграет все n ставок, приближается к 1/ e . Для n = 20 это уже примерно 1/2,789509....
Это пример судебного процесса по делу Бернулли . Каждый раз, когда игрок играет в игровые автоматы, его составляет один из n шанс на выигрыш . Игра n раз моделируется биномиальным распределением , которое тесно связано с биномиальной теоремой и треугольником Паскаля . Вероятность выиграть k раз из n испытаний равна: [ 22 ]
В частности, вероятность выигрыша ноль раз ( k = 0 ) равна
Предел приведенного выше выражения, поскольку n стремится к бесконечности, равен точно 1/ e .
Экспоненциальный рост и упадок
[ редактировать ]Экспоненциальный рост — это процесс, который увеличивает количество с течением времени с постоянно возрастающей скоростью. Это происходит, когда мгновенная скорость изменения (то есть производная ) величины по времени пропорциональна самой величине. [ 21 ] Описанная как функция, величина, претерпевающая экспоненциальный рост, является экспоненциальной функцией времени, то есть переменная, представляющая время, является экспонентой (в отличие от других типов роста, таких как квадратичный рост ). Если константа пропорциональности отрицательна, то величина уменьшается с течением времени и вместо этого говорят, что она претерпевает экспоненциальное затухание . Закон экспоненциального роста можно записать в разных, но математически эквивалентных формах, используя другое основание , для которого число e является обычным и удобным выбором: Здесь, обозначает начальное значение величины x , k — константа роста, а раз — это время, за которое величина увеличится в е .
Стандартное нормальное распределение
[ редактировать ]Нормальное распределение с нулевым средним значением и единичным стандартным отклонением известно как стандартное нормальное распределение . [ 23 ] заданная функцией плотности вероятности
Ограничение единичного стандартного отклонения (и, следовательно, также единичной дисперсии) приводит к 1/2 в показателе степени и ограничение на единицу общей площади под кривой приводит к фактору . Эта функция симметрична относительно x = 0 , где она достигает максимального значения. , и имеет точки перегиба в точке x = ±1 .
Расстройства
[ редактировать ]Другое применение е , также частично открытое Якобом Бернулли вместе с Пьером Ремоном де Монмором , находится в задаче о расстройствах , также известной как проблема проверки шляпы : [ 24 ] n На вечеринку приглашаются гостей, и у дверей все гости проверяют свои шляпы у дворецкого, который, в свою очередь, складывает шляпы в n коробок, на каждой из которых написано имя одного гостя. Но дворецкий не спросил личности гостей и сложил шляпы в коробки, выбранные наугад. Задача де Монмора состоит в том, чтобы найти вероятность того, что ни одна шляпа не окажется в нужной коробке. Эта вероятность, обозначаемая , является:
Когда n стремится к бесконечности, p n приближается к 1/ e . Более того, количество способов разместить шляпы в коробках так, чтобы ни одна из шляп не оказалась в нужной коробке, равно n !/ e , округленному до ближайшего целого числа, для каждого положительного n . [ 25 ]
Задачи оптимального планирования
[ редактировать ]Максимальное значение происходит в . Эквивалентно, для любого значения базы b > 1 это тот случай, когда максимальное значение происходит в ( Проблема Штейнера , обсуждаемая ниже ).
Это полезно в задаче о палке длиной L , разбитой на n равных частей. Тогда значение n , которое максимизирует произведение длин, равно либо [ 26 ]
- или
Количество также является мерой информации , полученной из события, происходящего с вероятностью (примерно когда ), так что, по сути, то же самое оптимальное деление появляется в задачах оптимального планирования, таких как задача о секретаре .
Асимптотика
[ редактировать ]Число е естественным образом возникает в связи со многими задачами, связанными с асимптотикой . Примером может служить Стирлинга для асимптотики факториала формула , в которой фигурируют оба числа e и π : [ 27 ]
Как следствие, [ 27 ]
Характеристики
[ редактировать ]Исчисление
[ редактировать ]Основной мотивацией введения числа е , особенно в исчислении , является выполнение дифференциальных и интегральных исчислений с показательными функциями и логарифмами . [ 28 ] Общая показательная функция y = a х имеет производную, заданную пределом :
Предел в скобках справа не зависит от переменной x . Его значение оказывается логарифмом a по основанию e . Таким образом, когда значение a установлено равным e , этот предел равен 1 , и таким образом можно прийти к следующему простому тождеству:
Следовательно, показательная функция с основанием e особенно подходит для вычислений. Выбор e (в отличие от какого-либо другого числа) в качестве основы показательной функции значительно упрощает вычисления с производными.
Другая мотивация исходит от рассмотрения производной по основанию - логарифма (т. е. log a x ), [ 28 ] для х > 0 :
где была сделана замена u = h / x . основанию Логарифм а по равен 1, если а равно е . Так символично,
Логарифм с этим специальным основанием называется натуральным логарифмом и обозначается как ln ; он хорошо ведет себя при дифференцировании, поскольку не существует неопределенного предела для проведения вычислений.
Таким образом, существует два способа выбора таких специальных чисел a . Один из способов — установить производную показательной функции a х равный х и решить для . , Другой способ — установить производную логарифма по основанию равной 1 / x и найти a . В каждом случае приходим к удобному выбору базы для проведения вычислений. Оказывается, что эти два решения для a на самом деле одно и то же : число e .
Ряд Тейлора для показательной функции можно вывести из того факта, что показательная функция является собственной производной и равна 1 при оценке в 0: [ 29 ] Параметр восстанавливает определение e как суммы бесконечного ряда.
Функцию натурального логарифма можно определить как интеграл от 1 до из , и тогда показательную функцию можно определить как обратную функцию натурального логарифма. Число e — это значение показательной функции, оцениваемой при или, что то же самое, число, натуральный логарифм которого равен 1. Отсюда следует, что e — единственное положительное действительное число такое, что
Потому что е х — единственная функция ( с точностью до умножения на константу K ), равная своей производной ,
следовательно, это его собственная первообразная : также и [ 30 ]
Эквивалентно, семейство функций
где K — любое действительное или комплексное число, является полным решением дифференциального уравнения.
Неравенства
[ редактировать ]Число e — это уникальное действительное число такое, что для всех положительных x . [ 31 ]
Также имеем неравенство для всех вещественных x с равенством тогда и только тогда, когда x = 0 . Более того, e — единственное основание экспоненты, для которого выполняется неравенство a х ≥ x + 1 справедливо для всех x . [ 32 ] Это предельный случай неравенства Бернулли .
Экспоненциальные функции
[ редактировать ]Задача Штейнера требует найти глобальный максимум функции.
Этот максимум возникает именно в точке x = e . (Можно проверить, что производная ln f ( x ) равна нулю только для этого значения x .)
Аналогично, x = 1/ e — это место, где происходит глобальный минимум функции
Бесконечная тетрация
- или
сходится тогда и только тогда, когда x ∈ [(1/ e ) и , и 1/ и ] ≈ [0.06599, 1.4447] , [ 33 ] [ 34 ] показано теоремой Леонарда Эйлера . [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]
Теория чисел
[ редактировать ]Действительное e иррационально . число Эйлер доказал это, показав, что его простое разложение в цепную дробь не заканчивается. [ 38 ] (См. также Фурье доказательство иррациональности e . )
Кроме того, по теореме Линдеманна-Вейерштрасса e является трансцендентным , что означает, что оно не является решением какого-либо ненулевого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами. Это было первое число, трансцендентность которого была доказана, хотя оно не было специально построено для этой цели (сравните с числом Лиувилля ); доказательство было дано Чарльзом Эрмитом в 1873 году. [ 39 ]
Предполагается, что e является нормальным , что означает, что когда e выражается в любой базе, возможные цифры в этой базе распределены равномерно (встречаются с равной вероятностью в любой последовательности заданной длины). [ 40 ]
В алгебраической геометрии период — это число, которое можно выразить как интеграл от алгебраической функции в алгебраической области . Константа π является периодом, но предполагается, что e таковым не является. [ 41 ]
Комплексные числа
[ редактировать ]Показательная функция e х можно записать в виде ряда Тейлора
Поскольку этот ряд сходится для каждого комплексного значения x , он обычно используется для расширения определения e. х к комплексным числам. [ 42 ] Это вместе с рядом Тейлора для sin и cos x позволяет вывести формулу Эйлера :
которое справедливо для любого комплексного x . [ 42 ] Особый случай с x = π — это тождество Эйлера :
который считается образцом математической красоты , поскольку показывает глубокую связь между самыми фундаментальными числами в математике. оно напрямую используется в доказательстве числа π трансцендентности Кроме того , , что подразумевает невозможность квадратуры круга . [ 43 ] [ 44 ] Более того, из тождества следует, что в главной ветви логарифма [ 42 ]
Кроме того, используя законы возведения в степень,
для любого целого числа n , что соответствует формуле Муавра . [ 45 ]
Выражения cos x и sin x через показательную функцию можно вывести из ряда Тейлора: [ 42 ]
Выражение иногда сокращается как cis( x ) . [ 45 ]
Представительства
[ редактировать ]Число e можно представить по-разному: в виде бесконечного ряда , бесконечного произведения , непрерывной дроби или предела последовательности . Кроме предела и ряда, приведенных выше, существует еще цепная дробь
что записано, выглядит так
Следующее бесконечное произведение имеет значение e : [ 26 ]
в виде рядов, последовательностей, непрерывных дробей и бесконечных произведений множество других представлений e Было доказано .
Стохастические представления
[ редактировать ]Помимо точных аналитических выражений для представления e , существуют стохастические методы оценки e . Один из таких подходов начинается с бесконечной последовательности независимых случайных величин X 1 , X 2 ..., взятых из равномерного распределения на [0, 1]. Пусть V — наименьшее число n такое, что сумма первых n наблюдений превышает 1:
Тогда ожидаемое значение V V равно e : E( ) = e . [ 48 ] [ 49 ]
Известные цифры
[ редактировать ]Количество известных цифр е существенно увеличилось за последние десятилетия. Это связано как с возросшей производительностью компьютеров, так и с усовершенствованием алгоритмов. [ 50 ] [ 51 ]
Дата | Десятичные цифры | Расчет выполнен |
---|---|---|
1690 | 1 | Джейкоб Бернулли [ 11 ] |
1714 | 13 | Роджер Коутс [ 52 ] |
1748 | 23 | Леонард Эйлер [ 53 ] |
1853 | 137 | Уильям Шэнкс [ 54 ] |
1871 | 205 | Уильям Шэнкс [ 55 ] |
1884 | 346 | Дж. Маркус Бурман [ 56 ] |
1949 | 2,010 | Джон фон Нейман (на ENIAC ) |
1961 | 100,265 | Дэниел Шэнкс и Джон Ренч [ 57 ] |
1978 | 116,000 | Стив Возняк об Apple II [ 58 ] |
Примерно с 2010 года распространение современных высокоскоростных настольных компьютеров позволило любителям вычислять триллионы цифр е за приемлемые промежутки времени. 5 декабря 2020 года был произведен рекордный расчет: e составило 31 415 926 535 897 (приблизительно π × 10 13 ) цифры. [ 59 ]
Вычисление цифр
[ редактировать ]Один из способов вычислить цифры е — использовать ряд [ 60 ]
Более быстрый метод включает две рекурсивные функции и . Функции определяются как
Выражение дает n- ю частичную сумму приведенного выше ряда. Этот метод использует двоичное разбиение для вычисления e с меньшим количеством однозначных арифметических операций и, таким образом, снижает сложность битов . Сочетание этого с методами умножения целых чисел на основе быстрого преобразования Фурье делает вычисление цифр очень быстрым. [ 60 ]
В компьютерной культуре
[ редактировать ]Во время зарождения интернет-культуры отдельные лица и организации иногда отдавали дань уважения числу е .
В одном из первых примеров учёный-компьютерщик Дональд Кнут позволил номерам версий своей программы Metafont приближаться к e . Версии: 2, 2.7, 2.71, 2.718 и т. д. [ 61 ]
В другом случае, IPO подав заявку на Google в 2004 году, вместо типичной круглой суммы денег компания объявила о своем намерении привлечь 2 718 281 828 долларов США , что составляет е миллиардов долларов , округленных до ближайшего доллара. [ 62 ]
Google также отвечал за рекламный щит [ 63 ] который появился в самом сердце Силиконовой долины , а затем в Кембридже, штат Массачусетс ; Сиэтл, Вашингтон ; и Остин, Техас . Там было написано: «{первое 10-значное простое число, найденное в последовательных цифрах e }.com». Первое десятизначное простое число в e — это 7427466391, которое начинается с 99-й цифры. [ 64 ] Решение этой задачи и посещение рекламируемого (ныне несуществующего) сайта привело к еще более сложной задаче, которая заключалась в нахождении пятого члена в последовательности 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Оказалось, что последовательность состояла из 10- Числа цифр, найденные в последовательных цифрах числа e, сумма цифр которых равна 49. Пятый член последовательности — 5966290435, который начинается со 127-й цифры. [ 65 ] Решение этой второй проблемы в конечном итоге привело к появлению веб-страницы Google Labs , на которой посетителю предлагалось отправить резюме. [ 66 ]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001113 (десятичное расширение e )» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Jump up to: а б Миллер, Джефф. «Самое раннее использование символов констант» . МакТьютор . Университет Сент-Эндрюс, Шотландия . Проверено 31 октября 2023 г.
- ^ Jump up to: а б Вайсштейн, Эрик В. «е» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2020 г.
- ^ Пиковер, Клиффорд А. (2009). Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики (иллюстрированное издание). Стерлинг Издательская компания. п. 166. ИСБН 978-1-4027-5796-9 . Выдержка со страницы 166
- ^ Jump up to: а б с д и О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (сентябрь 2001 г.). «Число е » . MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .
- ^ Сойер, WW (1961). Радость математика . Пингвин. п. 155.
- ^ Уилсон, Робинн (2018). Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема математики (иллюстрированное издание). Издательство Оксфордского университета. п. (предисловие). ISBN 978-0-19-251405-9 .
- ^ Посаментье, Альфред С.; Леманн, Ингмар (2004). Пи: Биография самого загадочного числа в мире (иллюстрированное издание). Книги Прометея. п. 68. ИСБН 978-1-59102-200-8 .
- ^ Олвер, Фрэнк WJ ; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В., ред. (2010), «E (математическая константа)» , Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5 , МР 2723248 .
- ^ Брюинз, Э.М. (1983). «Вычисление логарифмов Гюйгенсом» (PDF) . Конструктивная теория функций : 254–257.
- ^ Jump up to: а б Якоб Бернулли рассмотрел проблему непрерывного начисления процентов, что привело к выражению в виде ряда для e . См.: Якоб Бернулли (1690) «Некоторые вопросы о проценте с решением задачи об азартных играх, предложенные в Эфеме. Галл. А. 1685» Journal des Savants ( Ephemerides Eruditorum Gallicanae ), в году (anno) 1685.**), Acta eruditorum , стр. 219–23. На стр. 222 Бернулли ставит вопрос: «Эта проблема имеет иную природу: ищется, если кредитор откладывает денежную сумму под проценты, того закона, чтобы в каждый момент пропорциональная часть годовых процентов лот пересчитан на год; сколько он должен ему в конце года?» (Это проблема другого рода: вопрос в том, что если бы некий кредитор вложил [некую] сумму денег [под] проценты, позволил бы ей накапливаться, так что [в] каждый момент [он] получал бы [а] пропорциональная часть [его] годовых процентов; сколько будет задолженность [в] конце [года]?) Бернулли строит степенной ряд для вычисления ответа, а затем пишет: «...наш ряд [математическое выражение для геометрический ряд] и т. д. больше a = b , debebitur plu quam 2½ a & минус quam 3 a . " (… который наш ряд [геометрический ряд] больше [чем]. … если a = b , [кредитор] будет должен больше, чем 2½ a и меньше 3 a .) Если a = b , геометрическая серия сводится к ряду для a × e , поэтому 2,5 < e < 3 (** Речь идет о задаче, которую поставил Якоб Бернулли и которая опубликована в Journal des. Скаваны 1685 года внизу страницы 314. )
- ^ Карл Бойер; Ута Мерцбах (1991). История математики (2-е изд.). Уайли. п. 419 . ISBN 978-0-471-54397-8 .
- ^ Лейбниц, Готфрид Вильгельм (2003). «Все сочинения и письма» (PDF) (на немецком языке).
посмотрите, например, букву №. 6
- ^ Эйлер, Размышление об экспериментах по взрыву недавно установленных пушек . Написано для числа, единица которого логарифм имеет единицу е, то есть 2,7182817... (Английский язык: Написано для числа, единица которого логарифм имеет единицу е, то есть 2,7182817...")
- ^ Письма XV. Эйлер а Гольдбах, от 25 ноября 1731 г. в: PH Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Математическое и физическое соответствие некоторых известных геометров 18 века), vol. 1, (Санкт-Петербург, Россия: 1843), с. 56–60, см. особенно с. 58. Со с. 58: «… (e обозначает то число, гиперболический [т. е. натуральный] логарифм которого равен 1)… )
- ^ Реммерт, Рейнхольд (1991). Теория комплексных функций . Спрингер Верлаг . стр. 136. ИСБН 978-0-387-97195-7 .
- ^ Леонард Эйлер, Механика, sive Motus scientia аналитически экспозита (Санкт-Петербург (Петрополи), Россия: Академия наук, 1736), вып. 1, глава 2, следствие 11, п. 171, с. 68. Со страницы 68: Ибо будет твой где e обозначает число, гиперболический логарифм которого равен 1. (Так что оно [т. е. c , скорость] будет или , где e обозначает число, гиперболический (т. е. натуральный) логарифм которого равен 1.)
- ^ Калинджер, Рональд (2016). Леонард Эйлер: математический гений эпохи Просвещения . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-11927-4 . п. 124.
- ^ Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). МакГроу-Хилл. стр. 63–65. ISBN 0-07-054235-Х .
- ^ Jump up to: а б Гоник, Ларри (2012). Мультяшное руководство по исчислению . Уильям Морроу. стр. 29–32. ISBN 978-0-06-168909-3 .
- ^ Jump up to: а б с Абрамсон, Джей; и др. (2023). «6.1 Экспоненциальные функции» . Колледж Алгебра 2e . ОпенСтакс. ISBN 978-1-951693-41-1 .
- ^ Кардар, Мехран (2007). Статистическая физика частиц . Издательство Кембриджского университета . п. 41. ИСБН 978-0-521-87342-0 . ОСЛК 860391091 .
- ^ Илловски, Барбара; Дин, Сьюзен; и др. (2023). «6.1 Стандартное нормальное распределение» . Статистика . ОпенСтакс. ISBN 978-1-951693-22-0 .
- ^ Гринстед, Чарльз М.; Снелл, Джеймс Лори (1997). Введение в вероятность (опубликовано в Интернете под GFDL ). Американское математическое общество. п. 85. ИСБН 978-0-8218-9414-9 . Архивировано из оригинала 27 июля 2011 г.
- ^ Кнут, Дональд (1997). Искусство компьютерного программирования . Том. И. Аддисон-Уэсли. п. 183. ИСБН 0-201-03801-3 .
- ^ Jump up to: а б Стивен Финч (2003). Математические константы . Издательство Кембриджского университета. п. 14 . ISBN 978-0-521-81805-6 .
- ^ Jump up to: а б Гбур, Грег (2011). Математические методы оптической физики и техники . Издательство Кембриджского университета. п. 779. ИСБН 978-0-521516-10-5 .
- ^ Jump up to: а б Кляйн, М. (1998). Исчисление: интуитивный и физический подход . Дуврские публикации. п. 337 и далее . ISBN 0-486-40453-6 .
- ^ Стрэнг, Гилберт; Герман, Эдвин; и др. (2023). «6.3 Серия Тейлора и Маклорена» . Расчет, том 2 . ОпенСтакс. ISBN 978-1-947172-14-2 .
- ^ Стрэнг, Гилберт; Герман, Эдвин; и др. (2023). «4.10 Первообразные» . Расчет, том 2 . ОпенСтакс. ISBN 978-1-947172-14-2 .
- ^ Дорри, Генрих (1965). 100 великих задач элементарной математики . Дувр. стр. 44–48.
- ^ Стандартное упражнение по исчислению с использованием теоремы о среднем значении ; см., например, Апостол (1967) Исчисление , § 6.17.41.
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A073230 (десятичное расширение (1/e)^e)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A073229 (десятичное расширение e^(1/e))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Эйлер, Л. «Ряд Ламберта и его наиболее замечательные свойства». Акта Акад. Они узнают. Петрополис 2 , 29–51, 1783. Перепечатано в Euler, L. Opera Omnia, First Series, Vol. 6: Алгебраические комментарии . Лейпциг, Германия: Тойбнер, стр. 350–369, 1921. ( факсимиле )
- ^ Кнобель, Р. Артур (1981). «Экспонента повторяется» . Американский математический ежемесячник . 88 (4): 235–252. дои : 10.2307/2320546 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2320546 .
- ^ Андерсон, Джоэл (2004). «Итерированные экспоненты» . Американский математический ежемесячник . 111 (8): 668–679. дои : 10.2307/4145040 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 4145040 .
- ^ Сандифер, Эд (февраль 2006 г.). «Как это сделал Эйлер: кто доказал, что e иррационально?» (PDF) . МАА Онлайн. Архивировано из оригинала (PDF) 23 февраля 2014 г. Проверено 18 июня 2010 г.
- ^ Гельфонд А.О. (2015) [1960]. Трансцендентные и алгебраические числа . Дуврские книги по математике. Перевод Борона, Лео Ф. Нью-Йорк: Dover Publications . п. 41. ИСБН 978-0-486-49526-2 . МР 0057921 .
- ^ Хошневисан, Давар (2006). «Нормальные цифры — это нормально» (PDF) . Годовой отчет Математического института Клэя за 2006 год . Математический институт Клея . стр. 15, 27–31.
- ^ Концевич Максим ; Загер, Дон (2001). «Периоды» (PDF) .
- ^ Jump up to: а б с д Деннери, П.; Кшивицкий, А. (1995) [1967]. Математика для физиков . Дувр. стр. 23–25. ISBN 0-486-69193-4 .
- ^ Милла, Лоренц (2020). «Трансцендентность π и квадратура круга». arXiv : 2003.14035 [ math.HO ].
- ^ Хайнс, Роберт. «е трансцендентально» (PDF) . Университет Колорадо . Архивировано (PDF) из оригинала 23 июня 2021 г.
- ^ Jump up to: а б Султан, Алан; Артцт, Алиса Ф. (2010). Математика, которую должен знать каждый учитель математики средней школы . Рутледж. стр. 326–328. ISBN 978-0-203-85753-3 .
- ^ Хофштадтер, Д.Р. (1995). Гибкие концепции и творческие аналогии: компьютерные модели фундаментальных механизмов мышления . Основные книги. ISBN 0-7139-9155-0 .
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003417 (Продолжительная дробь для e)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Рассел, КГ (февраль 1991 г.). «Оценка значения e путем моделирования». Американский статистик . 45 (1): 66–68. дои : 10.1080/00031305.1991.10475769 . JSTOR 2685243 .
- ^ Динов, И.Д. (2007) Оценка e с использованием моделирования SOCR , Практические занятия по SOCR (получено 26 декабря 2007 г.).
- ^ Себах, П. и Гурдон, X.; Константа e и ее вычисление
- ^ Гурдон, X .; Сообщено о больших вычислениях с помощью PiFast
- ^ Роджер Коутс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5–45; особенно см. нижнюю часть страницы 10. Со страницы 10: «Соотношение Porro eadem est inter 2,718281828459 и т. д. и 1,…» (Кроме того, тем же способом соотношение находится между 2,718281828459… и 1,…)
- ^ Леонард Эйлер, Введение в анализ бесконечностей (Лозанна, Швейцария: Марк Мишель Буске и компания, 1748), том 1, страница 90.
- ^ Уильям Шэнкс, Вклад в математику , ... (Лондон, Англия: Г. Белл, 1853), стр. 89.
- ^ Уильям Шэнкс (1871) «О числовых значениях e , log e 2 , log e 3 , log e 5 и log e 10 , а также о числовом значении M модуля общей системы логарифмов, все до 205 десятичные дроби», Труды Лондонского королевского общества , 20 : 27–29.
- ^ Дж. Маркус Бурман (октябрь 1884 г.) «Вычисление базы Напериана», Mathematical Magazine , 1 (12): 204–205.
- ^ Дэниел Шэнкс ; Джон В. Ренч (1962). «Вычисление числа Пи до 100 000 десятичных знаков» (PDF) . Математика вычислений . 16 (77): 76–99. дои : 10.2307/2003813 . JSTOR 2003813 . п. 78:
Мы вычислили e от 7090 до 100 265D с помощью очевидной программы.
- ^ Возняк, Стив (июнь 1981 г.). «Неосуществимая мечта: вычисление e в 116 000 местах с помощью персонального компьютера» . БАЙТ . Том. 6, нет. 6. МакГроу-Хилл. п. 392 . Проверено 18 октября 2013 г.
- ^ Александр Йи, изд. (5 декабря 2020 г.). «е» . Числовой мир .
- ^ Jump up to: а б Финч, Стивен Р. (2005). Математические константы . Кембриджский университет. Нажимать. ISBN 978-0-521-81805-6 . OCLC 180072364 .
- ^ Кнут, Дональд (3 октября 1990 г.). «Будущее TeX и Metafont» (PDF) . Текс Маг . 5 (1): 145 . Проверено 17 февраля 2017 г.
- ^ Роберж, Джонатан; Мелансон, Луи (июнь 2017 г.). «В конце концов, быть Кинг-Конгом алгоритмической культуры — тяжелая работа: режимы оправдания Google и значения Glass» . Конвергенция: Международный журнал исследований новых медиа-технологий . 23 (3): 306–324. дои : 10.1177/1354856515592506 . ISSN 1354-8565 .
- ^ «Первое десятизначное простое число найдено в последовательных цифрах числа e » . Мозговые метки . Архивировано из оригинала 3 декабря 2013 г. Проверено 24 февраля 2012 г.
- ^ Казмерчак, Маркус (29 июля 2004 г.). «Билборд Google» . mkaz.com. Архивировано из оригинала 23 сентября 2010 г. Проверено 9 июня 2007 г.
- ^ Первое 10-значное простое число в e. Архивировано 11 апреля 2021 г. в Wayback Machine . Исследуйте сообщество Портленда. Проверено 9 декабря 2020 г.
- ^ Ши, Андреа. «Google соблазняет ищущих работу математическими головоломками» . ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ЯДЕРНЫЙ РЕАКТОР . Проверено 9 июня 2007 г.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Маор, Эли; е : История числа , ISBN 0-691-05854-7
- Комментарий к примечанию 10 книги Prime Obsession для другого стохастического представления.
- Маккартин, Брайан Дж. (2006). «Э: Мастер всего» (PDF) . Математический интеллект . 28 (2): 10–21. дои : 10.1007/bf02987150 . S2CID 123033482 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Число e для 1 миллиона мест и NASA.gov для 2 и 5 миллионов мест.
- Электронные приближения – Wolfram MathWorld
- Самое раннее использование символов для констант 13 января 2008 г.
- «История е » , Робин Уилсон из Грешам-колледжа , 28 февраля 2007 г. (доступно для скачивания аудио и видео)
- Электронная поисковая система 2 миллиарда доступных для поиска цифр e , π и √ 2