Четверть запятой означает

Четверть запятой означала , или ⁠ 1/4 ⁠ -запятая в шестнадцатом означала , была наиболее распространенным означающим темпераментом и семнадцатом веках и иногда использовалась позже. В этой системе чистая квинта сглаживается на одну четверть синтонической запятой (81:80) относительно ее точной интонации, используемой в пифагорейской настройке ( соотношение частот 3:2); результат ⁠  3  / 2 ⁠ × [ ⁠  80  / 81 ⁠ ] ^{1 / 4} = ⁴ √ 5 ≈ 1,49535 , или пятая часть 696,578 центов . (12-я степень этого значения равна 125, тогда как 7 октав равна 128, что составляет 41,059 цента.) Затем эта пятая часть повторяется для создания диатонической гаммы и других нот темперамента. Цель состоит в том, чтобы получить правильно интонированные мажорные терции (с соотношением частот, равным 5:4 ). Это было описано Пьетро Ароном в его «Тосканелло де ла Музыка» 1523 года, когда он сказал, что мажорные трети должны быть настроены так, чтобы быть «звучными и справедливыми, как можно более едиными». Более поздние теоретики Джозеффо Зарлино и Франсиско де Салинас описали настройку с математической точностью.

Строительство

При средней настройке мы имеем разные хроматические и диатонические полутона ; хроматический полутон — это разница между C и C ♯ , а диатонический полутон — разница между C и D ♭ . В пифагорейской настройке диатонический полутон часто называют пифагорейской лиммой , а хроматический полутон - пифагорейским апотомом , но в пифагорейской настройке апотом больше, тогда как в пифагорейской настройке апотом больше. ⁠ 1/4 означала , ⁠ что запятая лимма больше. Другими словами, при пифагорейской настройке C ♯ выше, чем D ♭ , тогда как в ⁠ 1/4 ниже , ⁠ означает , запятая что у нас C ♯ чем D ♭ .

В любом митононе или пифагорейском строе, где целый тон состоит из одного полутона каждого вида, мажорная терция представляет собой два целых тона и, следовательно, состоит из двух полутонов каждого вида, идеальная квинта митонона содержит четыре диатонических и три хроматических полутона. и октавы семь диатонических и пять хроматических полутонов, отсюда следует, что:

• Пять пятых вниз и три октавы вверх составляют диатонический полутон, так что пифагорейская лимма смягчается до диатонического полутона.
• Две квинты вверх и октава вниз составляют целый тон, состоящий из одного диатонического и одного хроматического полутона.
• Четыре квинты вверх и две октавы вниз составляют мажорную треть, состоящую из двух диатонических и двух хроматических полутонов, или, другими словами, двух целых тонов.

Таким образом, в пифагорейской настройке, где для создания остальных интервалов используются последовательности всего лишь квинты ( соотношение частот 3:2) и октав, целый тон

${\frac {~\left({\frac {3}{\ 2\ }}\right)^{2}}{2}}={\frac {\ \left({\frac {9}{\ 4\ }}\right)\ }{2}}={\frac {9}{\ 8\ }}\ ,$

и главная треть

${\frac {~\left({\frac {3}{\ 2\ }}\right)^{4}}{2^{2}}}={\frac {\ \left({\frac {81}{\ 16\ }}\right)\ }{4}}={\frac {81}{\ 64\ }}\approx {\frac {80}{\ 64\ }}={\frac {5}{\ 4\ }}\ ;$

разница - синтонная запятая , ⁠  81  /  80  ⁠ .

Интервал семнадцатой части, состоящий из шестнадцати диатонических и двенадцати хроматических полутонов, например, интервал от D ₄ до F ♯ ₆ , можно эквивалентно получить, используя либо

• стопка из четырех пятых (например, D ₄ A ₄ E ₅ B ₅ F ♯ ₆ ), или
• стек из двух октав и одной мажорной терции (например, D ₄ D ₅ D ₆ F ♯ ₆ ).

Этот большой интервал семнадцатой содержит 5 + (5 - 1) + (5 - 1) + (5 - 1) = 20 - 3 = 17 штатных должностей . В пифагорейской настройке размер семнадцатой определяется с помощью набора из четырех правильно настроенных квинт (отношение частот 3:2):

$\left({\frac {3}{\ 2\ }}\right)^{4}={\frac {81}{\ 16\ }}={\frac {80}{\ 16\ }}\cdot {\frac {81}{\ 80\ }}=5\cdot {\frac {81}{\ 80\ }}~.$

В темпераменте с четвертью запятой, означающем тон, где требуется только большая треть (5:4) , немного более узкая семнадцатая получается путем сложения двух октав и мажорной трети:

$2^{2}\cdot {\frac {5}{\ 4\ }}=5~.$

Однако по определению семнадцатая часть того же размера (5:1) должна быть получена, даже в четверти запятой, то есть одной, путем сложения четырех пятых. Поскольку правильно настроенные квинты, такие как те, которые используются в пифагорейской настройке, дают немного более широкую семнадцатую, в четверти запятой это означает, что квинты должны быть слегка сглажены, чтобы соответствовать этому требованию. Полагая x отношением частот уплощенной квинты, желательно, чтобы соотношение четырех квинт составляло 5:1.

$x^{4}=5\ ,$

что означает, что пятая часть

$x={\sqrt[{4}]{5\ }}=5^{1/4}\ ,$

целый тон, построенный путем перемещения на две пятых вверх и на одну октаву вниз, представляет собой

${\frac {~x^{2}}{2}}={\frac {\ {\sqrt {5\ }}\ }{2}}\ ,$

а диатонический полутон, построенный перемещением на три октавы вверх и на пять пятых вниз,

${\frac {\;2^{3}\ }{\ x^{5}}}={\frac {8}{~5^{5/4}}}~.$

Обратите внимание, что в четверти запятой имеется в виду семнадцатая цифра. ⁠ ⁠ 81/80 , раз уже ⁠ чем в пифагорейской настройке. Эта разница в размерах, равная примерно 21,506 цента , называется синтонной запятой . Это означает, что квинта на четверть синтонной запятой уже, чем правильно настроенная пифагорейская квинта. А именно, эта система настраивает квинты в соотношении

$5^{1/4}\approx 1.495349\approx {\frac {643}{430}}\$

что выражается в логарифмической шкале центов как

$1200\log _{2}{5^{1/4}}{\text{ cents}}\approx 696.578{\text{ cents}}\ ,$

что немного меньше (или более плоское), чем соотношение правильно настроенной квинты:

${\frac {3}{2}}=1.5$

что выражается в логарифмической шкале центов как

$1200\log _{2}{\left({\frac {3}{2}}\right)}{\text{ cents}}\approx 701.955{\text{ cents}}~.$

Разница между этими двумя размерами составляет четверть синтонной запятой:

$\approx 701.955-696.578\approx 5.377\approx {\frac {21.506}{4}}{\text{ cents}}~.$

В целом, эта система настраивает основные терции на справедливое соотношение 5:4 (так, например, если A ₄ настроена на 440 Гц , C ♯ ₅ настроена на 550 Гц), большая часть целых тонов (а именно основные секунды ) в соотношении √ 5 :2, а большинство полутонов (а именно диатонические полутона или второстепенные секунды ) в соотношении (8:5) ^{5 ⁄ 4} . Это достигается за счет настройки семнадцатой синтонической запятой более плоской, чем пифагорейская семнадцатая, что подразумевает настройку пятой четверти синтонической запятой более плоской, чем справедливое соотношение 3: 2. Именно это дает системе название четверти запятой. имелось в виду .

12-тоновая шкала

Вся хроматическая гамма (подмножеством которой является диатоническая гамма) может быть построена, начиная с заданной базовой ноты и увеличивая или уменьшая ее частоту на одну или несколько квинт. Этот метод идентичен пифагорейской настройке, за исключением размера квинты, которая темперируется, как описано выше. Однако средние темпераменты (за исключением 12 TET ) не могут вписаться в 12-нотную клавиатуру; и, как и четверть запятой, для большинства из них требуется бесконечное количество нот (хотя существует очень близкое приближение к четверти запятой, которое может поместиться на клавиатуре с 31 клавишей). При настройке на 12-нотную клавиатуру многие ноты приходится опускать, и если настройка не «смягчена», чтобы замаскировать недостающие ноты, клавишники, которые заменяют имеющуюся ближайшую по высоте ноту (которая всегда является неправильной высотой) фактической соответствующая четвертная запятая (которая звучала бы согласно, если бы она была доступна) создает диссонансные ноты вместо согласной четвертной запятой.

В приведенной ниже таблице построения показано, как получаются высоты нот относительно ноты D ( базовая нота ) в гамме, основанной на D ( Настройка Пифагора» более подробное объяснение см. в разделе « ). Для каждой ноты основной октавы в таблице указано условное название интервала от D (базовая нота), формула для расчета его частотного соотношения, а также приблизительные значения его частотного соотношения и размера в центах.

Примечание	Интервал от D	Формула	Частота. соотношение	Размер (центов)	Размер ( 31-ET )
A ♭	уменьшенная пятая часть	$x^{-6}\cdot 2^{4}={\frac {16{\sqrt {5}}}{25}}$	1.4311	620.5	16.03
E ♭	второстепенная секунда	$x^{-5}\cdot 2^{3}={\frac {8{\sqrt {5}}x}{25}}$	1.0700	117.1	3.03
B ♭	малая шестая	$x^{-4}\cdot 2^{3}={\frac {8}{5}}$	1.6000	813.7	21.02
Ф	малая треть	$x^{-3}\cdot 2^{2}={\frac {4x}{5}}$	1.1963	310.3	8.02
С	малая седьмая	$x^{-2}\cdot 2^{2}={\frac {4{\sqrt {5}}}{5}}$	1.7889	1006.8	26.01
Г	идеальная четвертая	$x^{-1}\cdot 2^{1}={\frac {2{\sqrt {5}}x}{5}}$	1.3375	503.4	13.00
Д	унисон	$x^{0}\cdot 2^{0}=1$	1.0000	0.0	0.00
А	идеальная пятая часть	$x^{1}\cdot 2^{0}=x$	1.4953	696.6	18.00
И	главная секунда	$x^{2}\cdot 2^{-1}={\frac {\sqrt {5}}{2}}$	1.1180	193.2	4.99
Б	мажорная шестая	$x^{3}\cdot 2^{-1}={\frac {{\sqrt {5}}x}{2}}$	1.6719	889.7	22.98
F ♯	главная треть	$x^{4}\cdot 2^{-2}={\frac {5}{4}}$	1.2500	386.3	9.98
C ♯	мажорная седьмая	$x^{5}\cdot 2^{-2}={\frac {5x}{4}}$	1.8692	1082.9	27.97
G ♯	дополненная четвертая	$x^{6}\cdot 2^{-3}={\frac {5{\sqrt {5}}}{8}}$	1.3975	579.5	14.97

В формулах x = ⁴ √ 5 = 5 ^{1 ⁄ 4} - это размер темперированной чистой квинты, а соотношения x : 1 или 1 : x представляют собой восходящую или нисходящую темперированную чистую квинту (т. е. увеличение или уменьшение частоты на x ), тогда как 2 : 1 или 1 : 2 представляют восходящую или нисходящая октава.

Как и в пифагорейской настройке, этот метод генерирует 13 тонов с разницей между A ♭ и G ♯ почти на четверть тона. Для построения 12-тоновой шкалы A ♭ обычно отбрасывают.

Конструктивные таблицы на основе C

В таблице выше показан стек квинт на основе D (т.е. стек, в котором все отношения выражены относительно D, а D имеет соотношение 1/1). Поскольку в центре находится нота D, базовая нота, эту стопку можно назвать симметричной на основе D :

А ♭ –Е ♭ –Б ♭ –F–C–G– D –A–E–B–F ♯ –C ♯ –G ♯

С идеальной пятой, принятой как ⁴ √ 5 , концы этой шкалы находятся на расстоянии 125 по отношению частот друг от друга, что приводит к зазору в ⁠ 125/128 . октаву ⁠ (около двух пятых полутона) между его концами, если они нормированы на одну и ту же Если последний шаг (здесь G ♯ ) заменить копией A ♭, но в той же октаве, что и G ♯ , это увеличит интервал C ♯ –G ♯ до диссонанса, называемого волчьей квинтой .

За исключением размера квинты, он идентичен стеку, традиционно используемому в настройке Пифагора . Некоторые авторы предпочитают показывать стопку квинт на основе C в диапазоне от A ♭ до G ♯ . Поскольку C не находится в его центре, этот стек называется асимметричным на основе C :

А ♭ –Е ♭ –Б ♭ –F– C –G–D–A–E–B–F ♯ –C ♯ –G ♯

Поскольку границы этого стека (A ♭ и G ♯ ) идентичны границам симметричного стека на основе D, названия нот 12-тоновой шкалы, создаваемой этим стеком, также идентичны. Единственное отличие состоит в том, что в таблице построения показаны интервалы от C, а не от D. Обратите внимание, что из 12-тоновой гаммы (см. таблицу ниже) можно составить 144 интервала, в которые входят интервалы от C, D и любой другой ноты. Однако в таблице построения их показано только 12, в данном случае начиная с C. Это одновременно главное преимущество и главный недостаток асимметричного стека на основе C, так как обычно используются интервалы от C, но поскольку C не находится в центре этой стопки, они, к сожалению, включают увеличенную квинту (т. е. интервал от C до G ♯ ) вместо второстепенной шестой части (от C до A ♭ ). Эта увеличенная квинта представляет собой чрезвычайно диссонансный волчий интервал , так как отклоняется на 41,1 цента ( диезис соотношения 128:125, почти вдвое синтонная запятая ) от соответствующего чистого интервала 8:5 или 813,7 цента.

Напротив, интервалы от D, показанные в таблице выше, поскольку D находится в центре стека, не включают интервалы Вольфа и включают чистую минорную шестую часть (от D до B ♭ ), а не нечистую увеличенную квинту. Заметим, что в упомянутом наборе из 144 интервалов чистые минорные квинты наблюдаются чаще, чем нечистые увеличенные квинты (см. таблицу ниже), и это одна из причин, почему нежелательно показывать в таблице построения нечистую увеличенную квинту. . на основе C Чтобы избежать вышеупомянутого недостатка, можно также использовать симметричный стек :

G ♭ –D ♭ –A ♭ –E ♭ –B ♭ –F– C –G–D–A–E–B–F ♯

В этом стеке G ♭ и F ♯ имеют одинаковую частоту, а G ♭ обычно отбрасывается. Кроме того, нота между C и D называется D ♭, а не C ♯ , а нота между G и A называется A ♭, а не G ♯ . Симметричный стек на основе C используется редко, возможно, потому, что он дает волчью пятую часть в необычной позиции F ♯ –D ♭ вместо G ♯ –E ♭ , где этого ожидали музыканты, использующие пифагорейскую настройку).

Справедливо произнесенная четверть запятой означала

Справедливая интонационная версия четверти запятой, означающей темперамент, может быть построена таким же образом, как Иоганна Кирнбергера рациональная версия 12 -TET . Значение 5 ^{1 ⁄ 8}  · 35 ^{1 ⁄ 3} очень близок к 4, поэтому 7-предельный интервал 6144:6125 (который представляет собой разницу между 5-предельным диезисом 128:125 и септимальным диезисом 49:48), равный 5,362 цента, оказывается очень близким к четверть запятой ( ⁠ 81 / 80 ⁠ ) ^{1 ⁄ 4} 5,377 центов. Таким образом, идеальная квинта имеет соотношение 6125:4096, что представляет собой разницу между тремя основными терциями и двумя семимальными большими секундами ; четыре таких квинты превышают соотношение 5:1 на крошечный интервал в 0,058 цента. Волчья квинта там, по-видимому, равна 49 : 32, разница между семеричной малой септимой и семеричной мажорной секундой .

Большие и меньшие полутона

Как говорилось выше, в четверти запятой означался темперамент,

• соотношение полутонов S = 8:5. ^{5 ⁄ 4} ,
• соотношение тонов Т = √ 5 : 2.

Тоны диатонической гаммы можно разделить на пары полутонов. Однако, поскольку С. ² не равен T , каждый тон должен состоять из пары неравных полутонов S и X :

$S\cdot X=T.$

Следовательно,

$X={\frac {T}{S}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}{\Bigg /}{\frac {8}{5^{5/4}}}={\frac {5^{1/2}\cdot 5^{5/4}}{8\cdot 2}}={\frac {5^{7/4}}{16}}.$

Обратите внимание, что S составляет 117,1 цента, а X — 76,0 цента. Таким образом, S — больший полутон, а X — меньший. S обычно называют диатоническим полутоном (или второстепенной секундой ), а X называют хроматическим полутоном (или увеличенным унисоном ).

Размеры S и X можно сравнить с только что произнесенным соотношением 18:17, которое составляет 99,0 центов. S отклоняется от него на +18,2 цента, а X на -22,9 цента. Эти два отклонения сравнимы с синтонной запятой (21,5 цента), которую эта система призвана отстраивать от пифагорейской мажорной терции. Однако, поскольку даже только что проинтонированное соотношение 18:17 звучит заметно диссонансно, эти отклонения в полутоне считаются допустимыми.

В четверти запятой минорная секунда считается приемлемой, в то время как расширенный унисон звучит диссонансно, и его следует избегать.

Размер интервалов

В таблице выше показаны только интервалы от D. Однако интервалы можно формировать, начиная с каждой из перечисленных выше 12 нот. можно определить двенадцать интервалов Таким образом, для каждого типа интервалов (двенадцать унисонов, двенадцать полутонов , двенадцать интервалов, состоящих из 2 полутонов, двенадцать интервалов, состоящих из 3 полутонов и т. д.).

Как объяснялось выше, одна из двенадцати номинальных «пятых» ( волчья пятая ) имеет другой размер по сравнению с остальными одиннадцатью. По той же причине каждый из других типов интервалов (за исключением унисонов и октав) имеет два разных размера в четверти запятой, что означает усечение, чтобы вписаться в октаву, которая допускает только 12 нот (тогда как фактическая четверть запятой требует примерно 31 ноты). за октаву ). Это цена, которую приходится платить за попытку уместить на клавиатуре многонотный темперамент без достаточно четкой высоты звука на октаву: следствием являются «фальшивые» ноты, например, одна из так называемых «квинт» оказывается не квинтой, а на самом деле четверть запятой уменьшает шестую ступень , высота звука которой является плохой заменой необходимой пятой.

В таблице указан примерный размер нот в центах: настоящие ноты — на светло-сером фоне, расстроенные заменители — на красном или оранжевом фоне; название реальных интервалов находится вверху или внизу столбца на простом сером фоне; Названия интервалов плохих замен находятся на противоположном конце и напечатаны на цветном фоне. Имена интервалов даются в стандартной сокращенной форме. Например, размер интервала от D до A, который представляет собой чистую квинту (P5), можно найти в седьмом столбце строки с D. надписью строго простые (или чистые ) интервалы выделены жирным шрифтом. Интервалы Вольфа выделены красным.

Приблизительный размер в центах 144 интервалов в четверти запятой на основе D означает настройку тона. Имена интервалов даются в стандартной краткой форме. Чисто интервалы (которые представляют собой только унисоны, октавы, а также некоторые основные трети и второстепенные шестые части) выделены жирным шрифтом. Интервалы Вольфа выделены красным. Интервалы красного и золотого цвета являются расстроенными заменителями отсутствующих правильных средних тонов, опущенных из-за ограничения клавиатуры в 12 нот на октаву.

Удивительно, но, хотя эта система настройки была разработана для получения чисто согласных мажорных терций, только восемь из интервалов, которые являются терциями в 12 TET, составляют чисто (5:4 или около 386,3 цента) в усеченной четвертной запятой, показанной в таблице: Фактическое Ноты с четвертной запятой, необходимые для начала или окончания интервала трети, отсутствуют среди 12 доступных тонов, а замена соседних доступных, но неправильных нот приводит к диссонирующим терциям.

Причина, по которой размеры интервалов различаются по всей гамме, заключается в том, что использование замещающих нот, высота которых правильно настроена для другого использования в гамме, вместо настоящих четвертных запятых для желаемого интервала создает расстроенные интервалы. Фактические ноты в полностью реализованной гамме с четвертью запятой (требующей около 31 тональности на октаву вместо 12) будут созвучными, как и все неокрашенные интервалы: диссонанс является следствием замены правильных нот с четвертной запятой неправильными нотами. которые назначены на одну и ту же клавишу на 12-тональной клавиатуре. Как упоминалось выше, частоты, определенные конструкцией двенадцати нот, определяют два разных типа полутонов (т.е. интервалы между соседними нотами):

• Малая секунда (m2), также называемая диатоническим полутоном, размером

$S\ ({\mathsf {\ or\ }}S_{1})={\frac {\ 8\ }{~5^{5/4}}}\approx \$ 117,1 цента.

(например, между D и E ♭ )

• Расширенный унисон (А1), также называемый хроматическим полутоном , размером

$X\ ({\mathsf {\ or\ }}S_{2})={\frac {~5^{7/4}}{\ 16\ }}\approx \$ 76,0 центов.

(например, между C и C ♯ )

И наоборот, в одинаково темперированной хроматической гамме двенадцать тонов по определению расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, а все полутона имеют размер ровно

$S_{\mathsf {ET}}={\sqrt[{12}]{2\ }}=100{\mathsf {\ cents.}}$

Как следствие, все интервалы любого данного типа имеют одинаковый размер (например, все основные терции имеют одинаковый размер, все квинты имеют одинаковый размер и т. д.). Цена, заплаченная в этом случае, состоит в том, что ни один из них не настроен правильно и совершенно согласно, за исключением, конечно, унисона и октавы.

Сравнение с другими системами настройки смотрите также в этой таблице .

По определению, в четверти запятой имеется в виду 1 так называемая «совершенная» квинта (Р5 в таблице) имеет размер примерно 696,6 цента ( 700 − ε центов, где ε ≈ 3,422 цента); так как средний размер 12 квинт должен равняться ровно 700 центов (как при равнотемпераментном), то другой должен иметь размер 700 + 11 ε центов, что составляет около 737,6 центов (одна из волчьих квинт ). Обратите внимание, что, как показано в таблице, последний интервал, хотя и используется в качестве замены квинты, фактический интервал на самом деле представляет собой уменьшенную шестую ( d6 ), которая, конечно, не гармонирует с соседней, но другой квинтой, которую он заменяет. Сходным образом,

• 10 больших секунд ( M2 ) составляют ≈ 193,2 цента ( 200 − 2 ε ), 2 уменьшенные трети ( d3 ) составляют ≈ 234,2 цента ( 200 + 10 ε ), а их среднее значение составляет 200 центов;
• 9 малых терций ( m3 ) составляют ≈ 310,3 цента ( 300 + 3 ε ), 3 увеличенные секунды ( A2 ) составляют ≈ 269,2 цента ( 300 − 9 ε ), а их среднее значение составляет 300 центов;
• 8 больших терций ( M3 ) составляют ≈ 386,3 цента ( 400 − 4 ε ), 4 уменьшенные четверти ( d4 ) составляют ≈ 427,4 цента ( 400 + 8 ε ), а их среднее значение составляет 400 центов;
• 7 диатонических полутонов ( м2 ) составляют ≈ 117,1 цента ( 100 + 5 ε ), 5 хроматических полутонов ( А1 ) составляют ≈ 76,0 центов ( 100 − 7 ε ), а их среднее значение составляет 100 центов.

Короче говоря, аналогичные различия в ширине наблюдаются для всех типов интервалов, кроме унисонов и октав, а превышения и дефициты ширины кратны ε , разница между четвертью запятой означала одну квинту и среднюю квинту, требуемую, если таковая имеется. замкнуть спираль квинт в круг.

Обратите внимание, что, как очевидное следствие, каждый увеличенный или уменьшенный интервал ровно на 12 ε центов (≈ 41,1 цента) шире или уже, чем его энгармонический эквивалент. Например, уменьшенная шестая (или волчья квинта) на 12 ε центов шире, чем каждая идеальная квинта, а каждая увеличенная секунда на 12 ε центов уже, чем каждая малая треть. Этот интервал размером 12 ε центов известен как диезис , или уменьшенная секунда . Это означает, что ε также можно определить как одну двенадцатую диезиса.

Триады в хроматической гамме

Мажорное трезвучие можно определить парой интервалов основной ноты: мажорной терцией (интервал, охватывающий 4 полутона) и чистой квинтой (7 полутонов). Минорное трезвучие также может определяться минорной терцией (3 полутона) и чистой квинтой (7 полутонов).

Как показано выше, хроматическая гамма имеет двенадцать интервалов, охватывающих семь полутонов. Одиннадцать из них представляют собой идеальную квинту, а двенадцатая — уменьшенную шестую. Поскольку они охватывают одинаковое количество полутонов, идеальные квинты и уменьшенные шестые считаются энгармонически эквивалентными . В одинаково настроенной хроматической гамме идеальные квинты и уменьшенные сексты имеют совершенно одинаковый размер. То же самое верно для всех энгармонически эквивалентных интервалов, охватывающих 4 полутона (большие трети и уменьшенные четверти) или 3 полутона (малые трети и увеличенные секунды). Однако для среднего темперамента это не так. В этой системе настройки энгармонически эквивалентные интервалы могут иметь разные размеры, а некоторые интервалы могут заметно отклоняться от своих справедливо настроенных идеальных соотношений. Как объяснялось в предыдущем разделе, если отклонение слишком велико, данный интервал непригоден для использования ни сам по себе, ни в аккорде.

В следующей таблице основное внимание уделяется только трем вышеупомянутым типам интервалов, используемым для формирования мажорных и минорных трезвучий. В каждой строке показаны три интервала разных типов, но имеющие одну и ту же основную ноту. Каждый интервал определяется парой нот. Справа от каждого интервала указана формула отношения интервалов . Интервалы уменьшенной четверти, уменьшенной шестой и увеличенной секунды можно рассматривать как волчьи интервалы и отмечены красным . S и X обозначают соотношение двух вышеупомянутых видов полутонов (малой секунды и увеличенного унисона).

3 полутона (м3 или А2)		4 полутона (М3 или d4)		7 полутонов (P5 или d6)
Интервал	Соотношение	Интервал	Соотношение	Интервал	Соотношение
К – Э ♭	С 2 · Х	ЕСТЬ	С 2 · Х 2	C – G	С 4 · Х 3
С ♯ Е –	С 2 · Х	С ♯ –Ф	С 3 · Х	C ♯ –G ♯	С 4 · Х 3
Д – Ф	С 2 · Х	Д – Ж ♯	С 2 · Х 2	Д – А	С 4 · Х 3
E ♭ –F ♯	С · Икс 2	Е ♭ –G	С 2 · Х 2	E ♭ –B ♭	С 4 · Х 3
НАПРИМЕР	С 2 · Х	Э – Г ♯	С 2 · Х 2	Э – Б	С 4 · Х 3
Ф – С ♯	С · Икс 2	Ф – А	С 2 · Х 2	Ф – Ц	С 4 · Х 3
Ф ♯ –А	С 2 · Х	F ♯ –B ♭	С 3 · Х	F ♯ –C ♯	С 4 · Х 3
Г – Б ♭	С 2 · Х	Г – Б	С 2 · Х 2	Б-Г	С 4 · Х 3
Г ♯ –Б	С 2 · Х	Г ♯ –С	С 3 · Х	G ♯ –E ♭	С 5 · Х 2
А – С	С 2 · Х	А – С ♯	С 2 · Х 2	А – Е	С 4 · Х 3
B ♭ –C ♯	С · Икс 2	Б ♭ –Д	С 2 · Х 2	Б ♭ –Ф	С 4 · Х 3
Б – Д	С 2 · Х	Б–Е ♭	С 3 · Х	Б – Ж ♯	С 4 · Х 3

Сначала посмотрите на последние два столбца справа. Все семиполутоновые интервалы, кроме одного, имеют соотношение

$S^{4}\cdot X^{3}\approx 1.4953\approx 696.6{\text{ cents}}$

что отклоняется на -5,4 цента от всего 3:2 в 702,0 цента. Пять центов — это мало и приемлемо. С другой стороны, уменьшенная шестая ступень от G ♯ до E ♭ имеет соотношение

$S^{5}\cdot X^{2}\approx 1.5312\approx 737.6{\text{ cents}}$

что отклоняется на +35,7 цента от идеальной пятой части. Тридцать пять центов — это за пределами приемлемого диапазона.

Теперь посмотрите на две колонки посередине. Восемь из двенадцати четырехполутоновых интервалов имеют соотношение

$S^{2}\cdot X^{2}=1.25\approx 386.3{\text{ cents}}$

а это ровно 5:4. С другой стороны, четыре уменьшенные четверти с корнями в C ♯ , F ♯ , G ♯ и B имеют соотношение

$S^{3}\cdot X=1.28\approx 427.4{\text{ cents}}$

что отклоняется на +41,1 цента от основной трети. Опять же, это звучит сильно фальшиво.

Мажорные трезвучия состоят как из мажорных третей, так и из чистых квинт. Если любой из двух интервалов заменен интервалом Вольфа (d6 вместо P5 или d4 вместо M3), то триада недопустима. Поэтому мажорные трезвучия с корневыми нотами C ♯ , F ♯ , G ♯ и B не используются в гаммах средних тонов, основная нота которых — C.

Теперь посмотрите на первые два столбца слева. Девять из двенадцати трехполутоновых интервалов имеют соотношение

$S^{2}\cdot X\approx 1.1963\approx 310.3{\text{ cents}}$

что отклоняется на -5,4 цента от всего лишь 6:5 в 315,6 цента. Пять центов вполне приемлемо. С другой стороны, три увеличенные секунды, корнями которых являются E ♭ , F и B ♭, имеют соотношение

$S\cdot X^{2}\approx 1.1682\approx 269.2{\text{ cents}}$

что отклоняется на -46,4 цента от незначительной трети. Однако это близкое совпадение с семнадцатичной малой третью 7:6, равной 266,9 цента, с отклонением на +2,3 цента. Эти увеличенные секунды, хотя сами по себе достаточно созвучны, будут звучать «экзотично» или нетипично, если играть их вместе с идеальной квинтой.

Минорные трезвучия образуются как из малых терций, так и из квинт. Если любой из двух интервалов заменить энгармонически эквивалентным интервалом (d6 вместо P5 или A2 вместо m3), то триада не будет звучать хорошо. Следовательно, минорные трезвучия с основными нотами E ♭ , F, G ♯ и B ♭ не используются в гамме средних тонов, определенной выше.

• Можно использовать следующие основные триады: C, D, E ♭ , E, F, G, A, B ♭ .
• Можно использовать следующие минорные трезвучия: C, C ♯ , D, E, F ♯ , G, A, B.
• Следующие основные ноты полезны как для мажорных, так и для минорных трезвучий: C, D, E, G и A. Обратите внимание, что эти пять тонов образуют мажорную пентатонику .
• Следующие основные ноты полезны только для мажорных трезвучий: E ♭ , F, B ♭ .
• Следующие основные ноты полезны только для минорных трезвучий: C ♯ , F ♯ , B.
• Следующая основная нота не подходит ни для мажорного, ни для минорного трезвучия: G ♯ .

Альтернативное строительство

Как говорилось выше, в четверти запятой означалась одна темперация, усеченная всего до 12 нот,

• соотношение большего (диатонического) полутона S = 8 : 5. ^{5 ⁄ 4} ,
• отношение меньшего (хроматического) полутона равно X = 5 ^{7 ⁄ 4}  : 16,
• соотношение большинства целых тонов Т = √ 5 : 2,
• соотношение большинства квинт равно P = ⁴ √ 5 .

Путем вычислений можно убедиться, что большинство целых тонов (а именно, основные секунды) состоят из одного большего и одного меньшего полутона:

$T=S\cdot X={\frac {8}{5^{5/4}}}\cdot {\frac {5^{7/4}}{16}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}.$

Точно так же квинта обычно состоит из трех тонов и одного полутона:

$P=T^{3}\cdot S={\frac {5^{3/2}}{2^{3}}}\cdot {\frac {8}{5^{5/4}}}={\sqrt[{4}]{5}},$

что соответствует четырем большим и трем меньшим полутонам:

$P=T^{3}\cdot S=S^{4}\cdot X^{3}.$

Диатоническая гамма

Диатоническую гамму можно построить, начав с основной ноты и умножив ее либо на средний тон T , чтобы подняться на один большой шаг, либо на полутон S , чтобы подняться на маленький шаг.

C    D    E    F    G    A    B    C′   D′
‖----|----|----|----‖----|----|----‖----|
  T    T    S    T    T    T    S    T

Итоговые размеры интервалов по отношению к базовой ноте C показаны в следующей таблице. Чтобы подчеркнуть повторяющийся узор, в формулах используется символ P ≡ T. ³ S обозначает идеальную квинту ( пенту ):

Примечание имя	Формула	Соотношение	Четверть запятая ( центы )	Пифагорейский (центов)	12 ТЕТ (центов)
С	1	1.0000	0.0	0.0	0
Д	Т	1.1180	193.2	203.9	200
И	Т  2	1.2500	386.3	407.8	400
Ф	Т  2 С	1.3375	503.4	498.0	500
Г	P П1	1.4953	696.6	702.0	700
А	П Т	1.6719	889.7	905.9	900
Б	П Т  2	1.8692	1082.9	1109.8	1100
С'	П Т  2 С	2.0000	1200.0	1200.0	1200

Хроматическая шкала

, означающей четверть запятой, Построение хроматической гаммы может осуществляться путем суммирования последовательности из 12 полутонов, каждый из которых может быть либо более длинным диатоническим ( S ) , либо более коротким хроматическим ( Χ ).

C    C♯   D    E♭   E    F    F♯   G    G♯   A    B♭   B    C′   C′♯
‖----|----|----|----|----|----|----‖----|----|----|----|----‖----|
  Χ    S    S    Χ    S    Χ    S    Χ    S    S    Χ    S    Χ

Обратите внимание, что эта гамма является расширением диатонической гаммы, показанной в предыдущей таблице. Добавлено всего пять нот: C ♯ , E ♭ , F ♯ , G ♯ и B ♭ ( пентатоника ).

Как объяснялось выше, идентичная гамма изначально была определена и создана с использованием последовательности темперированных квинт в диапазоне от E ♭ (пять квинт ниже D) до G ♯ (шесть квинт выше D), а не последовательности полутонов. Этот более традиционный подход, аналогичный на основе D пифагорейской системе настройки , объясняет причину, по которой полутона Χ и S расположены в определенной и, по-видимому, произвольной последовательности, показанной выше.

Размеры интервалов по отношению к базовой ноте C представлены в следующей таблице. Отношения частот рассчитываются, как показано по формулам. Дельта — это разница в центах между Meonetone и 12 TET ; столбец под названием " ⁠ 1 / 4 ⁠ -c" — это разница в четверть запятых между средней настройкой и настройкой Пифагора. Обратите внимание, что Χ ≡ ⁠ T / S ⁠ , так что Χ S = T ; большинство шагов Χ , представленных в таблице выше, исчезают в таблице ниже, поскольку они объединяются с предшествующим S и становятся T .

Примечание имя	Формула	Частота соотношение	Четверть запятая ( центы )	12 ТЕТ (центов)	Дельта (центов)	⁠ 1/4 ​ ⁠ ​ -с
С	1	1.0000	0.0	0	0.0	0
C ♯	Х	1.0449	76.0	100	−24.0	−7
Д	Т	1.1180	193.2	200	−6.8	−2
E ♭	Т С	1.1963	310.3	300	+10.3	+3
И	Т  2	1.2500	386.3	400	−13.7	−4
Ф	Т  2 С	1.3375	503.4	500	+3.4	+1
F ♯	Т  3	1.3975	579.5	600	−20.5	−6
Г	P П1	1.4953	696.6	700	−3.4	−1
G ♯	П Х	1.5625	772.6	800	−27.4	−8
А	П Т	1.6719	889.7	900	−10.3	−3
B ♭	П Т С	1.7889	1006.8	1000	+6.8	2
Б	П Т  2	1.8692	1082.9	1100	−17.1	−5
С'	П Т  2 С	2.0000	1200.0	1200	0.0	0
С' ♯	П Т  3	2.0898	1276.0	1300	−24.0	−7

Сравнение с 31-тональной равнотемперированной

Идеальная квинта четверти запятой, выраженная в долях октавы, равна ⁠ 1/4 е . , цепочка средних квинт никогда не замыкается (т . ⁠ log ₂ 5. Поскольку log ₂ 5 — иррациональное число никогда не равняется цепочке октав). Однако аппроксимация этого иррационального числа дроби непрерывными дробями позволяет нам находить равные деления октавы, которые действительно близки; их знаменатели - 1, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 174, 205, 789, ... Отсюда мы находим, что 31 четверть запятой означает, что одна пятая приближается к закрытию, и наоборот, 31 равный темперамент представляет хорошее приближение к четверти запятой.

Внешние ссылки

• « Четверть запятой означает один », на Xenharmonic Wiki .