Экстенсиональность

В логике экстенсиональность они или экстенсиональное равенство относится к принципам, которые считают объекты равными, если имеют одинаковые внешние свойства. Оно контрастирует с концепцией интенсиональности , которая касается того, одинаковы ли внутренние определения объектов.

По математике

Экстенсиональное определение равенства функций, обсуждавшееся выше, обычно используется в математике.Аналогичное экстенсиональное определение обычно используется для отношений : два отношения называются равными, если они имеют одинаковые расширения .

В теории множеств аксиома экстенсиональности гласит, что два множества равны тогда и только тогда, когда они содержат одни и те же элементы. В математике, формализованной в теории множеств, обычно отношения (и, что наиболее важно, функции ) отождествляются с их расширением, как указано выше, так что невозможно различить два отношения или функции с одинаковым расширением.

Другие математические объекты также построены таким образом, что интуитивное понятие «равенства» согласуется с экстенсиональным равенством на уровне множества; таким образом, равные упорядоченные пары имеют равные элементы, а элементы множества, связанные отношением эквивалентности, принадлежат одному и тому же классу эквивалентности .

Теоретико-типовые основы математики, как правило, не являются экстенсиональными в этом смысле, и сетоиды обычно используются для поддержания разницы между интенсиональным равенством и более общим отношением эквивалентности (которое обычно имеет плохие свойства конструктивности или разрешимости ).

Принципы экстенсиональности

В математике существуют различные принципы экстенсиональности.

Пропозициональная экстенсиональность : если $P\iff Q$ затем $P=Q$
Функциональная (функциональная) экстенсиональность : если $\forall x,fx=gx$ затем $f=g$
Однозначность : ^[1]^: 2.10 если $A\simeq B$ затем $A=B$ .

В зависимости от выбранного фундамента одни принципы экстенсиональности могут подразумевать другие. Например, хорошо известно, что в унивалентных основаниях аксиома однолистности подразумевает как пропозициональную, так и функциональную экстенсиональность. Принципы экстенсиональности обычно принимаются как аксиомы, особенно в теориях типов, где вычислительный контент должен быть сохранен. Однако в теории множеств и других экстенсиональных основах можно доказать, что функциональная экстенсиональность сохраняется по умолчанию.

Пример

Рассмотрим две функции f и g , отображающие натуральные числа и соответствующие им , определяемые следующим образом:

Чтобы найти f ( n ), сначала прибавьте 5 к n , а затем умножьте на 2.
Чтобы найти g ( n ), сначала умножьте n на 2, затем прибавьте 10.

Эти функции экстенсионально равны; при одних и тех же входных данных обе функции всегда выдают одно и то же значение. Но определения функций не равны, и в этом интенсиональном смысле функции не одинаковы.

Аналогично, в естественном языке существует множество предикатов (отношений), которые интенционально различны, но экстенсионально идентичны. Например, предположим, что в городе есть один человек по имени Джо, который также является самым старым жителем города. Тогда два предиката «быть Джо» и «быть самым старым человеком в этом городе» интенционально различны, но экстенсионально равны для (текущего) населения этого города.

См. также

Ссылки

^ Программа Uniвалентных фондов (2013). Гомотопическая теория типов: одновалентные основы математики . Принстон, Нью-Джерси: Институт перспективных исследований . МР 3204653 .

[HoTTBook-1] Программа Uniвалентных фондов (2013). Гомотопическая теория типов: одновалентные основы математики . Принстон, Нью-Джерси: Институт перспективных исследований . МР 3204653 .

[1]