Палочки для еды (ручная игра)

«Палочки для еды (игра)» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о логической задаче, см. Hashiwokakero .

Счет в игре отслеживается на пальцах обеих рук.

Палочки для еды (иногда называемые Калькулятором или просто Палочками ) это игра на руки для двух или более игроков, в которой игроки вытягивают несколько пальцев из каждой руки и передают полученные результаты, по очереди постукивая одной рукой по другой. «Палочки для еды» — это пример комбинаторной игры , решение которой осуществляется в том смысле, что при идеальной игре известна оптимальная стратегия с любой точки.

Описание

Геймплей

В игре «Палочки для еды» игроки подсчитывают очки пальцами рук.

Каждый игрок начинает с двумя очками (по одному пальцу на каждой руке). По очереди игроки постукивают по руке противника, что добавляет ему очков, равных стоимости постукивающей руки. Руки игрока не меняются при постукивании руки противника. Например, если игрок противника имеет максимальное количество очков на руке, он не может вычитать из него очки, если решит выбить руку другого игрока, например, если у игрока пять очков, а у другого — два, игрок с пятью очками не может передать другому игроку часть своих очков, чтобы избежать нокаута. Когда рука получает только пять очков, она «выбивается» и называется мертвой рукой . Мертвая рука не может атаковать или быть атакованной. Игрок побеждает, выбивая обе руки противника.

Вместо атаки в свой ход игрок может «разделить» очки между своими руками. Разделение может быть как передачей, так и разделением. Передача предполагает перемещение определенного количества очков из одной живой руки в другую; передача всех очков с одной руки выбивает ее («самоубийство») и допускается в некоторых вариантах. Дивизия может воскресить мертвую руку, переместив очки из живой руки и вернув ее в игру. Новый дистрибутив должен отличаться от исходного дистрибутива; игрок не может просто обменивать очки между раздачами.

Из-за простой базовой структуры игры существует множество вариаций с дополнительными правилами. В некоторых вариантах сумма больше 5 «перекатывается» к меньшему значению путем вычитания 5 из суммы ( модулярная арифметика ); рука выбывает только тогда, когда она набирает ровно пять очков. В других вариантах допускаются более сложные приемы передачи и деления.

Аббревиатура

Каждая позиция в игре «Палочки для еды» для двух игроков может быть закодирована как четырехзначное число, где каждая цифра находится в диапазоне от 0 до 4, обозначая количество активных пальцев на каждой руке. Это можно обозначить как [ABCD], где A и B — руки игрока, который собирается сделать свой ход, а C и D — руки игрока, который еще не собирается делать свой ход. Каждая пара рук обозначена в порядке возрастания, поэтому каждая отдельная позиция представлена ​​одним и только одним четырехзначным числом. Например, код 1023 не допускается, его следует обозначать как 0123.

Начальная позиция – 1111. Следующая позиция должна быть 1211. Следующая позиция должна быть либо 1212, либо 1312. Во время игры наименьшая позиция – 0000, а наибольшая позиция – 4444.

Эту аббревиатуру можно распространить на игры с большим количеством игроков. Игра для трех игроков может быть представлена ​​шестью цифрами (например, [111211]), где каждая пара соседних цифр представляет одного игрока, а каждая пара упорядочивается в зависимости от того, когда игроки будут делать свой ход. Самая левая пара представляет руки игрока, который собирается сделать свой ход; средняя пара представляет игрока, который пойдет следующим, и так далее. Самая правая пара представляет игрока, который должен ждать своей очереди дольше всех (обычно потому, что он только что пошел).

Ходы

По обычным правилам существует максимум 14 возможных ходов:

• Четыре атаки (A→C, A→D, B→C, B→D)
• Четыре деления (02→11, 03→12, 04→13, 04→22)
• Шесть передач (13→22, 22→13, 14→23, 23→14, 24→33, 33→24)

Однако в данный ход доступны только 5 или меньше из них. Например, ранняя позиция 1312 может стать 2213, 1313, 2413, 0113 или 1222.

Продолжительность игры

Самая короткая игра – пять ходов. Есть один экземпляр:

• 1111 1211 1312 0113 1401 0014

Без ревизии (повторения позиции) самая длинная игра — девять ходов. Есть два случая:

• 1111 1211 1212 2212 2322 0223 0202 0402 0104 0001
• 1111 1211 1212 2312 2323 0323 0303 0103 0401 0004

При повторном посещении самая длинная возможная игра становится неопределенной.

Позиции

Поскольку сумма броска равна 5, Chopsticks — это игра с основанием 5 . В игре для двух игроков каждая позиция имеет длину четыре цифры. Подсчет от 0000 до 4444 (по основанию 5) дает 625 позиций. Однако это включает в себя избыточность — большинство этих позиций представляют собой неправильные обозначения (например, 0132, 1023 и 1032 — неправильные обозначения 0123), которые кажутся разными, но функционально одинаковы в игровом процессе.

Чтобы найти количество функционально различных позиций, обратите внимание, что каждый игрок может быть одной из 15 различных пар (00, 01, 02, 03, 04, 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34 и 44). При двух игроках имеется 15*15 = 225 функционально различных позиций. В общем, для $n$ игроки, есть $15^{n}$ функционально разные позиции.

Однако есть 21 недостижимая позиция: 0000, 0100, 0200, 0300, 0400, 1100, 1101, 1200, 1300, 1400, 2200, 2202, 2300, 2400, 3300, 3303, 3400, 3444, 44. 00, 4404 и 4444 .

• 15 из этих позиций — это просто один игрок, имеющий каждую из 15 различных пар, а другой игрок мертв. Проблема в том, что мертвым игроком является игрок, который только что сделал свой ход (отсюда цифра «00» справа). Поскольку игрок не может проиграть в свой ход, эти позиции недостижимы.
• 4 из этих позиций — это игрок, который должен двигаться, имея [kk], и другой игрок, имеющий [0k], где $0<k<5$. Это недостижимо, потому что игрок, который только что пошел [0k], не сможет разделиться, поэтому этот игрок должен атаковать, используя свой [0k]. Но невозможно использовать [0k], чтобы атаковать врага, чтобы он переместился в [kk]. Для этого потребуется атаковать мертвую руку, что является незаконным.
• Оставшиеся две позиции — 3444 и 4444. 4444 недостижима, поскольку игрок не может достичь [44] из разделения и, следовательно, должен уже иметь [44]. Единственная возможная пара, которая переходит в [44] после атаки со стороны [44], — это [04], что снова требует атаки на мертвую руку. 3444 на самом деле достижим, но только из 4444. Поскольку 4444 недостижим из 4444, то и 3444 тоже.

Это дает в общей сложности 204 уникальных доступных позиции.

Существует 14 достижимых эндшпилей: 0001, 0002, 0003, 0004, 0011, 0012, 0013, 0014, 0022, 0023, 0024, 0033, 0034, 0044. Достаточно удовлетворительно, что это все 14 возможных эндшпилей; другими словами, кто-то может выиграть, используя любую из 14 различных живых пар. Из этих 14 эндшпилей в 8 выигрывает первый игрок, предполагая, что партии закончились за минимальное количество ходов.

Обобщения

Палочки для еды можно обобщить на $(p,r)$-тип игры, где $p$ количество игроков и $r$ это сумма ролловера.

Менее двух игроков

В игре с одним игроком игрок тривиально выигрывает, поскольку является последним игроком в игре. Игра с нулевым количеством игроков также тривиальна, поскольку в ней не может быть победителей.

Два игрока

Данный $p=2$ и опрокидывание $r$,

• Есть $r^{2p}=r^{4}$ должностей, включая сокращения.
• Есть ${r+1 \choose 2}$ отдельные пары пальцев ( $r$-е треугольное число ), и, таким образом, ${r+1 \choose 2}^{p}$ функционально разные позиции.
• Для $r>2$, есть ${r+1 \choose 2}+(r-1)+2$ недосягаемые позиции.
  • ${r+1 \choose 2}$ недостижимые позиции возникают, когда у текущего игрока есть какая-либо отличная пара, а другой игрок мертв. Однако мертвым игроком считается игрок, который только что сделал свой ход. Поскольку игрок не может проиграть в свой ход, эти позиции недостижимы.
  • $(r-1)$ недостижимые позиции возникают, когда у текущего игрока есть $A=B=k$ и у другого игрока есть $C=0$ и $D=k$, для $0<k<r$. Эти позиции недоступны, поскольку другой игрок [CD] не разделился на предыдущем ходу, поэтому должен был атаковать своей живой рукой. Однако не существует способа атаковать как такового, в результате которого у цели будут ценные обе руки. $k$, так как для этого потребуется атаковать мертвую руку, что является незаконным.
  • Недостижимая позиция возникает, когда у обоих игроков две велью-руки. $r-1$. Таким образом, предыдущий игрок не мог разделиться, поэтому должен был атаковать. Но чтобы обе руки противника имели ценность $r-1$ потребовалось бы атаковать мертвую руку, что является незаконным.
  • Недостижимая позиция возникает, когда у текущего игрока есть $A=r-2$ и $B=r-1$, а у другого игрока есть $C=D=r-1$. Эта позиция имеет только одну предыдущую позицию, которая недоступна из исходной позиции.

Таким образом, для $r>2$, есть ${r+1 \choose 2}^{p}-\left({r+1 \choose 2}+(r-1)+2\right)$ достижимые позиции.

Перекатывать	Позиции	Функционально разные позиции	Доступные позиции
3	81	36	26
4	256	100	85
5	625	225	204
6	1296	441	413
7	2401	784	748
8	4096	1296	1251
9	6561	2025	1970
10	10000	3025	2959
11	14641	4356	4278
12	20736	6084	5993

Более двух игроков

Учитывая ролловер 5,

• При двух игроках получается 204 позиции.
• При трех игроках получается 3337 позиций.
• При четырех игроках имеется более 25 000 позиций.

Вырожденные случаи

Игра с суммой ролловера, равной 1, является тривиальной игрой , поскольку все руки начинаются мертвыми.

Игра с количеством ролловеров, равным 2, является вырожденной , поскольку разделение невозможно, а варианты ролловера и отсечки приводят к одной и той же игре. Руки либо живы, либо мертвы, без среднего состояния, и нападение на руку убивает руку. Фактически, можно просто вести подсчет количества «рук» у игрока (используя пальцы или какой-либо другой метод подсчета), и когда игрок атакует противника, количество рук, которые есть у противника, уменьшается на одну. Всего существует $2^{p}-1$ достижимые позиции в игре и продолжительность игры $2p-1$. Игра для двух игроков решается как победа от первого лица.

Когда у двух игроков только одна рука, игра становится вырождающейся, поскольку разделение не может произойти, и у каждого игрока есть только один ход. Учитывая перенос $r$, каждая позиция после $k$ ходы в игре могут быть представлены кортежем $\left(F_{k+2}{\bmod {r}},F_{k+1}{\bmod {r}}\right)$, где $F_{k}$ это $k$-е число Фибоначчи с $F_{0}=0$ и $F_{1}=1$. Количество позиций определяется наименьшим положительным числом $k$ такой, что $r$ делит $F_{k+2}$. Этот вариант однозначно решается как победа любой стороны в зависимости от $r$ и свойства делимости чисел Фибоначчи . Продолжительность игры составляет $k+1$.

Вариации

• Мизер : побеждает первый игрок, у которого убиты обе руки.
• Самоубийство : игрокам разрешено убить одну из своих рук с помощью раскола. Например, в позиции 1201 игрок может выполнить 12 → 03, тем самым доведя игру до 0103. Противник вынужден сыграть B → D, доведя игру до 0401, после чего быстрый выигрыш для первого игрока. возможный.
• Обмен / Черри : если у игроков две неравные живые руки, они могут поменять их местами (но при этом теряют свой ход). Этот вариант обычно приводит к ничьей из-за повторения или бесконечного цикла по очевидным причинам. Чтобы избежать этого, можно установить ограничения на количество последовательных свопов, которые игрок может сделать, не подвергнувшись нападению, прежде чем он будет вынужден атаковать.
• Внезапная смерть : игроки проигрывают, когда у них остается только один палец (на обеих руках). Альтернативно, каждый игрок может начать с трех жизней, и каждый раз, когда он доходит до [01], он теряет жизнь.
• Мета : если сумма рук игрока превышает пять, он может объединить их, вычесть пять из суммы, а затем разделить остаток. Например, [44] в сумме дает 8, которые после вычитания пяти становятся 3; затем их можно разделить на [12]. Следовательно, можно перейти от [44] к [12] за один ход. Мета открывает 2 новых возможных хода (34 → 11, 44 → 12). Если вы играете одновременно в «Мета» и «Суицид», разблокируются четыре дополнительных хода (24 → 01, 33 → 01, 34 → 02, 44 → 03), всего максимум 20 возможных ходов.
• Пункт Логана : игрокам разрешено совершать самоубийство и обмениваться картами, но только если они делают и то, и другое одновременно (т. е. меняют мертвую руку на живую).
• Смертельная атака: игрокам разрешено атаковать мертвые руки. При атаке мертвой руки мертвая рука будет считаться нулевой перед атакой.
• Отсечение или игра пяти : если рука набирает больше пяти пальцев, она мертва (в отличие от опрокидывания , описанного в официальных правилах).
• Зомби : если у трех и более игроков игрок нокаутирован, то его размер навсегда уменьшается до одного пальца на одной руке. В свой ход они могут атаковать, но не могут разделиться или подвергнуться нападению (изобрето Крисом Бэнди).
• Только трансферы : Дивизионы не допускаются. Разрешены только сплиты.
• Только дивизионы : переводы не разрешены. Разрешены только разделения.
• Разделение : разделение разрешено только при делении четного числа на две равные половины или, при необходимости, нечетное число делится настолько равномерно, насколько это возможно (с использованием целых чисел). В этом варианте второй игрок имеет выигрышную стратегию (всегда может добиться победы).
• Пни / Выступы : если игрок находится на [01], он может разделиться на [0,5 0,5], что представлено сгибанием пальца вниз наполовину.
• Больше рук : у каждого игрока «более двух рук», что обычно происходит при игре в командах из нескольких человек. При большем количестве рук на игрока возможны различные правила передачи, деления, обмена и самоубийства, в том числе:
  • Одиночная передача : каждый игрок может передавать пальцы только между двумя руками.
  • Множественная передача : каждый игрок может переносить пальцы между более чем двумя руками, если полученное состояние отличается от исходного.
  • Одиночный дивизион : игрок может переносить пальцы только с одной руки только на одну мертвую руку.
  • Разделение : игрок может переносить пальцы только с одной руки на несколько мертвых рук.
  • Перенос и разделение : игрок может переносить пальцы с нескольких рук, чтобы оживить мертвые руки.
• Разные числа : рука умирает, когда достигает положительного числа. $r$ (в стандартных палочках для еды, $r=5$). Для чисел больше 5 можно использовать различные системы ручного счета, такие как китайские ручные цифры , девятеричный счет на пальцах и двоичный номер пальца . Этот вариант часто включает в себя ролловеры.
• Солнца : Оба игрока начинают с 4 на каждой руке (4444). Это позиция, которая недоступна в обычном игровом процессе (т.е. из начальной позиции 1111).
• Целые числа : разрешено менять одну руку, перевернув ее и изменив знак +/- руки. Это позволяет иметь руки с отрицательным и нулевым значением, хотя рука все равно умирает при 5 или -5. При ролловере это действие становится идентичным замене значения руки на 5 минус значение.
• Без имени : Разрешается атаковать своими руками, добавляя два дополнительных приема (A→B, B→A). Обычно играется вместе с вариантами Swap и Cutoff.
• Cherry Bomb : переход ровно на 5 приведет к тому, что рука атакующего станет [11], а рука цели станет [01]. В игре для двух игроков позиция становится 1101, что становится легкой принудительной победой, поэтому лучше всего играть с участием более двух человек.
• Самодобавление : в свой ход игроки могут добавить 1 палец к любой живой руке или перенести несколько пальцев в мертвую руку. Это обеспечивает самоуничтожение (путем добавления 1 к живой руке с 4 пальцами) и воскрешение. Этот вариант игры имеет более сложную стратегию.

Оптимальная стратегия

Используя приведенные выше правила, два идеальных игрока будут играть бесконечно; игра продолжится в цикле. На самом деле, даже очень неопытные игроки могут избежать проигрыша, просто посмотрев на один ход вперед.

В варианте с отсечкой первый игрок может добиться победы. Одна из выигрышных стратегий — всегда после каждого хода достигать одной из следующих конфигураций (предпочтительно выбирать первую):

• 1211 (начиная здесь)
• AB12, где A и B могут быть любым количеством пальцев (по возможности выигрыш сразу)

И наоборот, в вариантах «Дивизион» и «Суицид» только второй игрок имеет выигрышную стратегию.

См. также

• Морра (игра) – другая ручная игра, основанная на случайности, а не на логике.

Внешние ссылки

• Непревзойденный AI-бот «Палочки для еды» . Этот бот играет в игру с ролловерами и трансферами.