Стратификация (математика)

Стратификация имеет несколько применений в математике.

В математической логике

В математической логике стратификация — это любое последовательное присвоение чисел символам предикатов , гарантирующее существование уникальной формальной интерпретации логической теории. В частности, мы говорим, что набор предложений вида $Q_{1}\wedge \dots \wedge Q_{n}\wedge \neg Q_{n+1}\wedge \dots \wedge \neg Q_{n+m}\rightarrow P$ стратифицирован тогда и только тогда, когдасуществует стратификационное задание S, удовлетворяющее следующим условиям:

1. Если предикат P положительно получен из предиката Q (т. е. P является главой правила, а Q положительно встречается в теле того же правила), то число стратификации P должно быть больше или равно числу стратификации. число Q, короче $S(P)\geq S(Q)$.
2. Если предикат P получен из отрицательного предиката Q (т. е. P является главой правила, а Q встречается отрицательно в теле того же правила), то число стратификации P должно быть больше, чем число стратификации Q. , суммируя $S(P)>S(Q)$.

Понятие стратифицированного отрицания приводит к очень эффективной операционной семантике для стратифицированных программ с точки зрения стратифицированной наименьшей фиксированной точки, которая получается путем итеративного применения оператора фиксированной точки к каждому уровню программы, начиная с самого нижнего.Стратификация полезна не только для того, чтобы гарантировать уникальную интерпретацию оговорки Хорна. теории.

В конкретной теории множеств

В «Новых основаниях» (НФ) и связанных с ними теориях множеств формула $\phi$ на языке логики первого порядка с равенством и членством называется стратифицировано тогда и только тогда, когда существует функция $\sigma$ который отправляет каждую переменную, появляющуюся в $\phi$ (рассматривается как элемент синтаксиса) длянатуральное число (это работает одинаково хорошо, если используются все целые числа) таким образом, чтолюбая атомная формула $x\in y$ появляясь в $\phi$ удовлетворяет $\sigma (x)+1=\sigma (y)$ и любая атомная формула $x=y$ появляясь в $\phi$ удовлетворяет $\sigma (x)=\sigma (y)$.

Оказывается, достаточно требовать выполнения этих условий только тогда, когдаобе переменные в атомарной формуле связаны в абстрактном множестве $\{x\mid \phi \}$на рассмотрении. Абстрактное множество, удовлетворяющее этому более слабому условию, называется слабо стратифицирована .

Расслоение новых основ легко обобщается на языки с болеепредикатами и терминальными конструкциями. Каждый примитивный предикат должен быть определентребуемые смещения между значениями $\sigma$ по его (связанным) аргументамв (слабо) стратифицированной формуле. В языке с терминоконструкциями сами терминынеобходимо присвоить значения под $\sigma$, с фиксированными смещениями отзначения каждого из их (связанных) аргументов в (слабо) стратифицированной формуле. Определенный срокконструкции аккуратно обрабатываются (возможно, просто неявно) с использованием теорииописаний: термин $(\iota x.\phi )$ (x такой, что $\phi$) долженбыть присвоено то же значение под $\sigma$ как переменная х.

Формула является стратифицированной тогда и только тогда, когда можно присвоить типы всем появляющимся переменным.в формулу таким образом, чтобы она имела смысл в версии ТСТ теориитипы, описанные в статье « Новые основы» , и это, вероятно, лучший способпонять на практике расслоение Новых Фондов .

Понятие стратификации можно распространить на лямбда-исчисление ; это найденов бумагах Рэндалла Холмса.

Мотивом использования стратификации является рассмотрение парадокса Рассела , антиномии, которая, как считается, подорвала Фреге центральную работу «Основы арифметики» (1902). Куайн, Уиллард Ван Орман (1963) [1961]. С логической точки зрения (2-е изд.). Нью-Йорк: Харпер и Роу . п. 90. LCCN   61-15277 .

В топологии

Основная статья: Расслоенное пространство

В теории особенностей существует другой смысл разложения топологического пространства X на непересекающиеся подмножества, каждое из которых является топологическим многообразием (так что, в частности, стратификация определяет разбиение топологического пространства). Это бесполезное понятие, если оно не ограничено; но когда различные слои определяются некоторым узнаваемым набором условий (например, локальная замкнутость ) и управляемо сочетаются друг с другом, эта идея часто применяется в геометрии. Хасслер Уитни и Рене Том впервые определили формальные условия стратификации. См. стратификацию Уитни и топологически стратифицированное пространство .

В статистике

См. стратифицированную выборку .