Проекция Меркатора

Меркаторская проекция мира между 85°ю.ш. и 85°с.ш. Обратите внимание на сравнение размеров Гренландии и Африки.

Проекция Меркатора с Тиссо . индикатрисой деформации

Карта мира Меркатора 1569 года ( «Новое и расширенное описание мира, улучшенное и адаптированное для использования навигаторов» ), показывающая широты от 66 ° южной широты до 80 ° северной широты.

( Проекция Меркатора / m ər ˈ k eɪ t ər / ) — это равноугольная цилиндрическая картографическая проекция, представленная фламандским географом и картографом Герардом Меркатором в 1569 году. Она стала стандартной картографической проекцией для навигации благодаря своей способности представлять север как «вверх». и юг повсюду как «вниз», сохраняя при этом местные направления и формы. Однако в результате проекция Меркатора увеличивает размеры объектов по мере их удаления от экватора. В проекции Меркатора такие массивы суши, как Гренландия и Антарктида, кажутся намного больше, чем они есть на самом деле по сравнению с массивами суши вблизи экватора. Несмотря на эти недостатки, проекция Меркатора хорошо подходит для морской навигации и интернет-карт и продолжает широко использоваться сегодня.

История

Джозеф Нидэм , историк Китая, предположил, что некоторые звездные карты китайской династии Сун, возможно, были основаны на проекции Меркатора; однако это утверждение было представлено без доказательств, и историк астрономии Кадзухико Миядзима с помощью картометрического анализа пришел к выводу, что вместо этого на этих картах использовалась равноугольная проекция .

В XIII веке самые ранние из сохранившихся карт-портоланов Средиземного моря, которые, как обычно полагают, не основаны на какой-либо конкретной картографической проекции, но которые больше соответствуют проекции Меркатора, чем альтернативным вариантам, включали сеть перекрещивающихся корабля роз ветров. линии, которые можно было бы использовать для определения пеленга при движении между точками на карте; область Земли, охваченная такими картами, была достаточно маленькой, чтобы курс постоянного пеленга был на карте примерно прямым. Карты обладают поразительной точностью, которой нет на картах, созданных современными европейскими или арабскими учеными, и их конструкция остается загадочной; На основе картометрического анализа, который, кажется, противоречит мнению ученых, было высказано предположение, что они возникли в какой-то неизвестной досредневековой картографической традиции, что, возможно, является свидетельством некоторого древнего понимания проекции Меркатора.

Немецкий эрудит Эрхард Эцлауб выгравировал миниатюрные «компасные карты» (около 10 × 8 см) Европы и некоторых частей Африки, охватывающие широту 0–67 °, чтобы можно было регулировать свои портативные карманные солнечные часы . Проекция, найденная на этих картах и ​​датированная 1511 годом, была заявлена ​​Джоном Снайдером в 1987 году как та же проекция, что и проекция Меркатора. Однако, учитывая геометрию солнечных часов, эти карты вполне могли быть основаны на аналогичной центральной цилиндрической проекции , предельном случае гномонической проекции , которая является основой солнечных часов. В 1993 году Снайдер изменил свою оценку на «аналогичный прогноз».

Португальский математик и космограф Педро Нуньес первым описал математический принцип прямой линии или локсодромы, пути с постоянным пеленгом, измеренным относительно истинного севера, который можно использовать в морской навигации , чтобы выбрать, по какому компасному пеленгу следовать. В 1537 году он предложил построить морской атлас, состоящий из нескольких крупномасштабных листов в равноугольной проекции, чтобы минимизировать искажение направлений. Если бы эти листы привести к одному масштабу и собрать, они бы приблизились к проекции Меркатора.

Румбальные линии на глобусе Меркатора 1541 года.

В 1541 году фламандский географ и картограф Герард Меркатор включил сеть румбических линий на земной глобус, который он сделал для Николя Перрено .

В 1569 году Меркатор объявил о новой проекции, опубликовав большую карту мира размером 202 на 124 см (80 на 49 дюймов), напечатанную на восемнадцати отдельных листах. Меркатор назвал карту Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata : «Новое и дополненное описание Земли, исправленное для использования моряками». Это название, а также подробное объяснение использования проекции, которая отображается в виде части текста на карте, показывает, что Меркатор точно понимал, чего он достиг, и что он намеревался использовать проекцию для облегчения навигации. Меркатор никогда не объяснял ни метод строительства, ни то, как он к нему пришел. На протяжении многих лет выдвигались различные гипотезы, но в любом случае дружба Меркатора с Педро Нуньесом и его доступ к локсодромным таблицам, созданным Нуньесом, вероятно, способствовали его усилиям.

Английский математик Эдвард Райт опубликовал первые точные таблицы для построения проекции в 1599 году, а более подробно — в 1610 году, назвав свой трактат «Некоторые ошибки в навигации». Первая математическая формулировка была опубликована около 1645 года математиком по имени Генри Бонд ( ок. 1600–1678 ). Однако использованная математика была разработана, но никогда не публиковалась математиком Томасом Харриотом примерно с 1589 года.

Разработка проекции Меркатора стала крупным прорывом в морской картографии 16 века. Однако он значительно опередил свое время, поскольку старые навигационные и геодезические методы были несовместимы с его использованием в мореплавании. Две основные проблемы препятствовали его немедленному применению: невозможность определения долготы на море с достаточной точностью и тот факт, что магнитные направления вместо географических в навигации использовались . Лишь в середине XVIII века, после того как был изобретен морской хронометр и стало известно пространственное распределение магнитного склонения , проекция Меркатора смогла быть полностью принята мореплавателями.

Несмотря на эти ограничения в определении местоположения, проекцию Меркатора можно найти на многих картах мира спустя столетия после первой публикации Меркатора. Однако он начал доминировать на картах мира только в XIX веке, когда проблема определения местоположения была в основном решена. После того, как проекция Меркатора стала обычной проекцией для коммерческих и образовательных карт, она подверглась постоянной критике со стороны картографов за несбалансированное изображение суши и неспособность с пользой показать полярные регионы.

Критика, высказанная в адрес ненадлежащего использования проекции Меркатора, привела к появлению в конце 19 - начале 20 века целого ряда новых изобретений, которые часто прямо рекламировались как альтернативы проекции Меркатора. Из-за этого давления издатели постепенно сокращали использование прогнозов в течение 20 века. Однако появление веб-картографии привело к внезапному возрождению этой проекции в форме проекции Веб-Меркатора .

Сегодня Меркатор можно найти на морских картах, периодических картах мира и веб-картографических сервисах, но коммерческие атласы в значительной степени отказались от него, а настенные карты мира можно найти во многих альтернативных проекциях. Карты Google , которые полагались на него с 2005 года, до сих пор используют его для карт местности, но в 2017 году отказались от проекции с настольных платформ для карт, масштаб которых уменьшен за пределы местности. Многие другие картографические онлайн-сервисы по-прежнему используют исключительно Web Mercator.

Характеристики

Сравнение касательных и секущих форм нормальной, косой и поперечной проекций Меркатора со стандартными параллелями, выделенными красным цветом.

Проекцию Меркатора можно представить как результат плотного обертывания цилиндра вокруг сферы, при этом две поверхности касаются (касаются) друг друга вдоль окружности на полпути между полюсами их общей оси, а затем конформно разворачивают поверхность сферу наружу на цилиндр, а это означает, что в каждой точке проекция равномерно масштабирует изображение небольшой части сферической поверхности, не искажая его иным образом, сохраняя углы между пересекающимися кривыми. После этого этот цилиндр раскатывают на плоскость, чтобы составить карту. В этой интерпретации масштаб поверхности сохраняется ровно вдоль окружности касания цилиндра со сферой, но нелинейно увеличивается для точек, находящихся дальше от окружности контакта. Однако, равномерно сжимая полученную плоскую карту, в качестве последнего шага можно выбрать любую пару кругов, параллельных контактной окружности и на равном расстоянии от нее, чтобы сохранить их масштаб, называемый стандартными параллелями ; тогда область между выбранными кругами будет иметь масштаб меньший, чем на сфере, достигая минимума на контактном круге. Иногда это визуализируют как проекцию на цилиндр, который секущая (разрезает) сферу, хотя эта картина вводит в заблуждение, поскольку стандартные параллели не расположены на карте на том же расстоянии друг от друга, что и кратчайшее расстояние между ними через внутреннюю часть сферы.

Исходным и наиболее распространенным аспектом проекции Меркатора для карт Земли является нормальный аспект, для которого ось цилиндра — это ось вращения Земли. Земли, проходящая через Северный и Южный полюса, а контактный круг — это экватор . Что касается всех цилиндрических проекций в нормальном аспекте, то на карте круги широты и меридианы долготы прямые и перпендикулярны друг другу, образуя сетку прямоугольников. Хотя круги широты на Земле тем меньше, чем ближе они к полюсам, они вытягиваются в направлении восток-запад, чтобы иметь одинаковую длину в любой цилиндрической картографической проекции. Среди цилиндрических проекций проекция Меркатора является уникальной проекцией, которая уравновешивает это растяжение с востока на запад точно соответствующим растяжением с севера на юг, так что в каждом месте масштаб локально однороден и углы сохраняются.

Проекция Меркатора в нормальном аспекте отображает траектории постоянного пеленга (называемые румбическими линиями или локсодромами ) на сфере в прямые линии на карте и, таким образом, уникально подходит для морской навигации : курсы и пеленги измеряются с помощью компасной розы или транспортира, и соответствующие направления легко переносятся из точки в точку на карте, например, с помощью параллельной линейки .

Поскольку линейный масштаб карты Меркатора в обычном аспекте увеличивается с широтой, он искажает размеры географических объектов вдали от экватора и передает искаженное восприятие общей геометрии планеты. На широтах более 70° северной или южной широты проекция Меркатора практически непригодна. потому что линейный масштаб становится бесконечно большим на полюсах. Таким образом, карта Меркатора никогда не может полностью отобразить полярные области (но см. «Использование» ниже, чтобы узнать о применении косой и поперечной проекций Меркатора).

Проекцию Меркатора часто сравнивают и путают с центральной цилиндрической проекцией , которая является результатом проецирования точек сферы на касательный цилиндр по прямым радиальным линиям, как будто от источника света, расположенного в центре Земли. Оба имеют сильное искажение вдали от экватора и не могут показать полюса. Однако это разные проекции и имеют разные свойства.

Искажение размеров

Пропорции искаженного и реального размера. Обратите внимание, что карта многократно прерывается по политическим мотивам.

Цилиндрические проекции на 360°: равнопромежуточные, Миллера, Меркатора и истинно цилиндрические.

Как и во всех картографических проекциях , формы и размеры искажают истинное расположение поверхности Земли. Проекция Меркатора преувеличивает области, расположенные далеко от экватора ; чем ближе к полюсам Земли, тем больше искажения.

Примеры искажения размеров

• Гренландия кажется такого же размера, как Африка , хотя на самом деле площадь Африки в 14 раз больше.
  • Реальная площадь Гренландии сравнима с площадью одной лишь Демократической Республики Конго .
  • Африка кажется примерно такого же размера, как Южная Америка , хотя на самом деле Африка в полтора раза больше.
• Аляска кажется такого же размера, как Австралия , хотя на самом деле Австралия в 4,5 раза больше.
  • Аляска также занимает на карте такую ​​же площадь, как и Бразилия , тогда как площадь Бразилии почти в 5 раз превышает площадь Аляски.

• Мадагаскар и Великобритания выглядят примерно одинакового размера, тогда как Мадагаскар на самом деле более чем в два раза больше Великобритании.

Критика

Из-за значительных искажений площади суши такие критики, как Джордж Келлауэй и Ирвинг Фишер, считают эту проекцию непригодной для общих карт мира. Поскольку он показывает страны вблизи экватора слишком маленькими по сравнению со странами Европы и Северной Америки, предполагалось, что заставить людей считать эти страны менее важными. Сам Меркатор использовал равновеликую синусоидальную проекцию, чтобы показать относительные площади. Однако, несмотря на такую ​​критику, проекция Меркатора была, особенно в конце 19 и начале 20 веков, пожалуй, самой распространенной проекцией, используемой на картах мира.

Атласы в основном перестали использовать проекцию Меркатора для карт мира или для областей, удаленных от экватора, в 1940-х годах, отдав предпочтение другим цилиндрическим проекциям или формам равновеликой проекции . Однако проекция Меркатора по-прежнему широко используется для областей вблизи экватора, где искажения минимальны. Его также часто можно встретить на картах часовых поясов. Из-за своего общего использования предполагалось, что проекция Меркатора влиять на мировоззрение людей.

Арно Петерс вызвал споры, начавшиеся в 1972 году, когда он предложил то, что сейчас обычно называют проекцией Галла-Питерса, для решения проблем Меркатора, заявив, что это его собственная оригинальная работа, не ссылаясь на предыдущие работы картографов, такие как работа Галла 1855 года. Проекция, которую он продвигал, представляет собой специфическую параметризацию цилиндрической равновеликой проекции . В ответ семь североамериканских географических групп в 1989 году приняли резолюцию, осуждающую использование цилиндрических проекций для карт мира общего назначения, которые будут включать как Меркатора, так и Галла-Питерса.

Использование

Прямая линия (синяя) в сравнении с дугой большого круга (красная) между Лиссабоном, Португалия, и Гаваной, Куба. Вверху: ортогональная проекция. Внизу: проекция Меркатора.

Практически каждая печатная морская карта основана на проекции Меркатора из-за ее уникально благоприятных свойств для навигации. Он также широко используется службами карт улиц, размещенными в Интернете, из-за его уникально благоприятных свойств для карт местности, вычисляемых по запросу. Проекции Меркатора также сыграли важную роль в математическом развитии тектоники плит в 1960-х годах.

Морская навигация

Проекция Меркатора была разработана для использования в морской навигации из-за ее уникального свойства представлять любой курс постоянного пеленга в виде прямого сегмента. Такой курс, известный как румб (по-другому называемый румбической линией или локсодромией), предпочтителен в морской навигации, поскольку корабли могут плыть в постоянном направлении компаса. Это уменьшает количество сложных и подверженных ошибкам корректировок курса, которые в противном случае были бы необходимы при движении по другому курсу.

На небольших расстояниях (по сравнению с радиусом Земли) разница между курсом румба и большого круга незначительна. Даже на больших расстояниях простота постоянного подшипника делает его привлекательным. По наблюдениям Меркатора, при таком курсе корабль прибудет не кратчайшим путем, но обязательно прибудет. Плавание по румбу означало, что все, что морякам нужно было делать, — это держать постоянный курс, пока они знали, где они находились, когда стартовали, и где они намеревались быть, когда финишируют, и имели карту в проекции Меркатора, которая правильно показывала эти два направления. координаты.

Веб-Меркатор

Основная статья: Проекция Веб-Меркатора

Многие крупные онлайн-сервисы картографирования улиц ( Bing Maps , Google Maps , Mapbox , MapQuest , OpenStreetMap , Yahoo! Maps и другие) используют вариант проекции Меркатора для изображений своих карт. называется Web Mercator или Google Web Mercator. Несмотря на очевидную вариацию масштаба на мировом уровне (малые масштабы), проекция хорошо подходит в качестве интерактивной карты мира, которую можно плавно масштабировать до локальных (крупномасштабных) карт, где искажения относительно небольшие из-за вариаций проекции. почти конформность .

Системы листов основных онлайн-картографических служб отображают большую часть мира при самом низком уровне масштабирования в виде одного квадратного изображения, исключая полярные регионы путем усечения на широте φ _max = ± 85,05113 °. (См. ниже .) Значения широты за пределами этого диапазона отображаются с использованием другого соотношения, которое не расходится при φ = ±90 °.

Поперечный Меркатор

Основная статья: Поперечная проекция Меркатора

Поперечная проекция Меркатора наклоняет ось цилиндра так, что она становится перпендикулярной оси Земли. Касательная стандартная линия затем совпадает с меридианом и противоположным ему меридианом, что дает постоянный масштабный коэффициент вдоль этих меридианов и делает проекцию полезной для картирования регионов, протяженность которых преимущественно простирается с севера на юг. В своей более сложной эллипсоидной форме большинство национальных систем координат по всему миру используют поперечную систему координат Меркатора, как и Универсальную поперечную систему координат Меркатора .

Косой Меркатор

Основная статья: Косая проекция Меркатора

Косая проекция Меркатора с осью (за кадром справа) в 2,38 м к югу от Триумфальной арки в Париже, Франция. Логарифмическое расхождение таково, что прямоугольный памятник имеет овальную форму, а двенадцать расходящихся проспектов его кольцевой развязки параллельны.

Наклонная проекция Меркатора наклоняет ось цилиндра от оси Земли на выбранный вами угол, так что его касательные или секущие линии соприкосновения представляют собой круги, которые также наклонены относительно параллелей широты Земли. Практическое использование косой проекции, например, национальные системы координат, использует эллипсоидные разработки наклонной проекции Меркатора , чтобы поддерживать низкие изменения масштаба вдоль поверхностной проекции оси цилиндра.

Математика

Цилиндрические проекции

Хотя поверхность Земли лучше всего моделируется сплюснутым эллипсоидом вращения , для карт мелкого масштаба эллипсоид аппроксимируется сферой радиуса a , где a составляет примерно 6371 км. Это сферическое приближение Земли можно смоделировать с помощью меньшей сферы радиуса R , называемой глобусом в этом разделе . Глобус определяет масштаб карты. Различные цилиндрические проекции определяют, как географические детали переносятся с земного шара на цилиндр, касательный к нему на экваторе. Затем цилиндр разворачивают, чтобы получить плоскую карту. Фракция ⁠ R / a ⁠ называется представительной дробью (ПФ) или главным масштабом проекции. Например, карта Меркатора, напечатанная в книге, может иметь экваториальную ширину 13,4 см, что соответствует радиусу земного шара 2,13 см, и RF примерно ⁠ 1 / 300M ⁠ (M используется как сокращение для 1 000 000 при написании RF), тогда как исходная карта Меркатора 1569 года имеет ширину 198 см, что соответствует радиусу земного шара 31,5 см и RF примерно ⁠ 1 / 20M ⁠ .

Цилиндрическая картографическая проекция задается формулами, связывающими географические координаты широты φ и долготы λ с декартовыми координатами на карте с началом координат на экваторе и осью x вдоль экватора. По построению все точки одного меридиана лежат на одной образующей. цилиндра при постоянном значении x , но расстояние y вдоль образующей (измеренное от экватора) является произвольным функция широты, y ( φ ). В общем, эта функция не описывает геометрическую проекцию (например, лучей света на экран) из центра земного шара в цилиндр, что является лишь одним из неограниченного числа способов концептуального проецирования цилиндрической карты.

Поскольку цилиндр расположен по касательной к земному шару на экваторе, масштабный коэффициент между земным шаром и цилиндром равен единице на экваторе, но нигде больше. В частности, поскольку радиус параллели или круга широты равен R cos φ , соответствующая параллель на карте должна была быть растянута в раз. ⁠ 1 / потому что φ ⁠ знак равно сек φ . Этот масштабный коэффициент на параллели условно обозначается буквой k , а соответствующий масштабный коэффициент на меридиане обозначается h .

Масштабный коэффициент

Проекция Меркатора конформна . Одним из следствий этого является «изотропия масштабных коэффициентов», что означает, что масштабный коэффициент точки не зависит от направления, так что небольшие формы сохраняются при проекции. Это означает, что вертикальный масштабный коэффициент h равен горизонтальному масштабному коэффициенту k . Поскольку k = sec φ , то же самое должно быть и с h .

На графике показано изменение этого масштабного коэффициента в зависимости от широты. Некоторые числовые значения перечислены ниже.

на широте 30° масштабный коэффициент равен k = sec 30° = 1,15,

на широте 45° масштабный коэффициент равен k = sec 45° = 1,41,

на широте 60° масштабный коэффициент равен k = sec 60° = 2,

на широте 80° масштабный коэффициент равен k = sec 80° = 5,76,

на широте 85° масштабный коэффициент равен k = sec 85° = 11,5.

Масштабный коэффициент площади представляет собой произведение параллельного и меридианного масштабов hk = sec. ² φ . Для Гренландии, если принять за среднюю широту 73°, hk = 11,7. Для Австралии, принимая 25° в качестве средней широты, hk = 1,2. Для Великобритании, приняв 55° за среднюю широту, hk = 3,04.

Изменение широты иногда обозначается несколькими линейчатыми шкалами , как показано ниже.

Индикаторы Tissot по проекции Меркатора

Классический способ показать искажение, свойственное проекции, — использовать индикатрису Тиссо . Николя Тиссо отметил, что масштабные коэффициенты в точке картографической проекции, заданные числами h и k , определяют эллипс в этой точке. Для цилиндрических проекций оси эллипса совпадают с меридианами и параллелями. Для проекции Меркатора h = k , поэтому эллипсы вырождаются в круги с радиусом, пропорциональным значению масштабного коэффициента для этой широты. Эти круги отображаются на проецируемой карте с резкими вариациями размера, что указывает на различия в масштабе Меркатора.

Преобразования проекции Меркатора

Вывод

Как обсуждалось выше, условие изотропии подразумевает, что h = k = sec φ . Рассмотрим точку на земном шаре радиуса R с долготой λ и широтой φ . Если φ увеличивается на бесконечно малую величину dφ , точка перемещается R dφ вдоль меридиана земного шара радиуса R , поэтому соответствующее изменение y , dy , должно быть hR dφ = R sec φ dφ . Следовательно, y′ ( φ ) знак равно р сек φ . Аналогично, увеличение λ на dλ перемещает точку R cos φ dλ вдоль параллели земного шара, поэтому dx = kR cos φ dλ = R dλ . То есть x′ ( λ ) = R . Интегрирование уравнений

$x'(\lambda )=R,\qquad y'(\varphi )=R\sec \varphi ,$

с x ( λ ₀ ) = 0 и y (0) = 0, дает x(λ) и y(φ) . Значение λ ₀ представляет собой долготу произвольного центрального меридиана, который обычно, но не всегда, является долготой Гринвича (т. е. равен нулю). Углы λ и φ выражаются в радианах. По интегралу от секанса ,

$x=R(\lambda -\lambda _{0}),\qquad y=R\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right].$

функция y ( φ изображена Рядом с φ ) для случая R = 1: она стремится к бесконечности в полюсах. Линейные значения оси Y обычно не отображаются на печатных картах; вместо этого на некоторых картах справа показана нелинейная шкала значений широты. Чаще всего на картах отображается лишь сетка избранных меридианов и параллелей.

Обратные преобразования

$\lambda =\lambda _{0}+{\frac {x}{R}},\qquad \varphi =2\tan ^{-1}\left[\exp \left({\frac {y}{R}}\right)\right]-{\frac {\pi }{2}}\,.$

Выражение справа от второго уравнения определяет функцию Гудермана ; т. е. φ = gd( ⁠ y / R ⁠ ): поэтому прямое уравнение можно записать как y = R ·gd ⁻¹ ( ж ).

Альтернативные выражения

Существует множество альтернативных выражений для y ( φ ), все они получены путем элементарных манипуляций.

${\begin{aligned}y&=&{\frac {R}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right]&=&{R}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{\cos \varphi }}\right]&=R\ln \left(\sec \varphi +\tan \varphi \right)\\[2ex]&=&R\tanh ^{-1}\left(\sin \varphi \right)&=&R\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)&=R\operatorname {sgn} (\varphi )\cosh ^{-1}\left(\sec \varphi \right)=R\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi ).\end{aligned}}$

Соответствующие обратные значения:

$\varphi =\sin ^{-1}\left(\tanh {\frac {y}{R}}\right)=\tan ^{-1}\left(\sinh {\frac {y}{R}}\right)=\operatorname {sgn} (y)\sec ^{-1}\left(\cosh {\frac {y}{R}}\right)=\operatorname {gd} {\frac {y}{R}}.$

Для углов, выраженных в градусах:

$x={\frac {\pi R(\lambda ^{\circ }-\lambda _{0}^{\circ })}{180}},\qquad \quad y=R\ln \left[\tan \left(45+{\frac {\varphi ^{\circ }}{2}}\right)\right].$

формулы записаны через радиус глобуса R. Приведенные выше Часто удобно работать напрямую с шириной карты W = 2 π R . Например, основные уравнения преобразования принимают вид

$x={\frac {W}{2\pi }}\left(\lambda -\lambda _{0}\right),\qquad \quad y={\frac {W}{2\pi }}\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right].$

Усечение и соотношение сторон

Ордината y проекции Меркатора становится бесконечной на полюсах, и на какой-то широте меньше девяноста градусов карту приходится усекать. Это не обязательно делать симметрично. Исходная карта Меркатора усечена по координатам 80° с.ш. и 66° ю.ш., в результате чего европейские страны были перемещены к центру карты. Соотношение сторон его карты ⁠ 198/120 1,65 ⁠ = . Были использованы еще более радикальные сокращения: финский школьный атлас был усечен примерно до 76° с.ш. и 56° ю.ш., соотношение сторон 1,97.

Во многих веб-картографиях используется масштабируемая версия проекции Меркатора с соотношением сторон, равным единице. В этом случае максимальная достигнутая широта должна соответствовать y = ± ⁠ Вт / 2 ⁠ или эквивалентно ⁠ y / р ⁠ знак равно π . Для расчета соответствующих широт можно использовать любую из формул обратного преобразования:

$\varphi =\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y}{R}}\right)\right]=\tan ^{-1}\left[\sinh \pi \right]=\tan ^{-1}\left[11.5487\right]=85.05113^{\circ }.$

Малая геометрия элемента

Связь между y ( φ ) и свойствами проекции, такими как трансформация углов и изменение масштаба, вытекает из геометрии соответствующих малых элементов на глобусе и карте. На рисунке ниже показана точка P на широте φ и долготе λ на земном шаре, а также близлежащая точка Q на широте φ + δφ и долготе λ + δλ . Вертикальные линии PK и MQ представляют собой дуги меридианов длины Rδφ . Горизонтальные прямые PM и KQ представляют собой дуги параллелей длины R (cos φ ) δλ . Соответствующие точки проекции определяют прямоугольник шириной δx и высотой δy .

Для небольших элементов угол PKQ примерно прямой и поэтому

$\tan \alpha \approx {\frac {R\cos \varphi \,\delta \lambda }{R\,\delta \varphi }},\qquad \qquad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}},$

Ранее упомянутые коэффициенты масштабирования от шара к цилиндру определяются выражением

параллельный масштабный коэффициент      $\quad k(\varphi )\;=\;{\frac {P'M'}{PM}}\;=\;{\frac {\delta x}{R\cos \varphi \,\delta \lambda }},$

масштабный коэффициент меридиана    $\quad h(\varphi )\;=\;{\frac {P'K'}{PK}}\;=\;{\frac {\delta y}{R\delta \varphi \,}}.$

Поскольку меридианы отображаются на линии постоянного x , мы должны иметь x = R ( λ − λ ₀ ) и δx = Rδλ , ( λ в радианах). Поэтому в пределе бесконечно малых элементов

$\tan \beta ={\frac {R\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha \,,\qquad k=\sec \varphi \,,\qquad h={\frac {y'(\varphi )}{R}}.$

В случае проекции Меркатора y' ( φ ) = R sec φ , что дает нам h = k и α = β . Тот факт, что h = k, является изотропией масштабных факторов, о которой говорилось выше. Тот факт, что α = β, отражает еще одно следствие конформности отображения, а именно тот факт, что курс плавания с постоянным азимутом на земном шаре отображается в ту же самую постоянную сетку, опирающуюся на карту.

Формулы расстояния

Преобразовать расстояние по линейке на карте Меркатора в истинное ( большое круговое ) расстояние на сфере можно просто вдоль экватора, но больше нигде. Одна проблема заключается в изменении масштаба в зависимости от широты, а другая заключается в том, что прямые линии на карте ( румбовидные линии ), кроме меридианов или экватора, не соответствуют большим кругам.

Различие между прямым (парусным) расстоянием и расстоянием по большому кругу (истинным) было ясно понято Меркатором. (См. легенду 12 на карте 1569 года.) Он подчеркнул, что расстояние по прямой линии является приемлемым приближением для истинного расстояния по большому кругу для курсов на короткие или умеренные расстояния, особенно на более низких широтах. Он даже дает количественную оценку своему утверждению: «Когда расстояния по большому кругу, которые необходимо измерить вблизи экватора, не превышают 20 градусов большого круга, или 15 градусов вблизи Испании и Франции, или 8 и даже 10 градусов в северных частях удобно пользоваться расстояниями по прямой линии».

Для измерения линейки короткой линии со средней точкой на широте φ , где масштабный коэффициент равен k = sec φ = ⁠ 1 / потому что φ ⁠ :

Истинное расстояние = расстояние по румбу ≅ расстояние по линейке × cos φ /RF. (короткие строки)

При радиусе и окружности большого круга, равных 6371 км и 40030 км соответственно, RF ⁠ 1 / 300M ⁠ , для которого R = 2,12 см и W = 13,34 см, подразумевает размер линейки 3 мм. в любую сторону от точки на экваторе соответствует примерно 900 км. Соответствующие расстояния для широт 20°, 40°, 60° и 80° составляют 846 км, 689 км, 450 км и 156 км соответственно.

Большие расстояния требуют различных подходов.

На экваторе

Масштаб равен единице на экваторе (для несекущей проекции). Поэтому интерпретировать измерения линейки на экваторе просто:

Истинное расстояние = расстояние по линейке / RF (экватор).

Для приведенной выше модели при RF = ⁠ 1 / 300M ⁠ , 1 см соответствует 3000 км.

О других параллелях

При любой другой параллели масштабный коэффициент равен sec φ, так что

Расстояние параллельности = расстояние линейки × cos φ / RF (параллельно).

Для приведенной выше модели 1 см соответствует 1500 км на широте 60°.

Это не самое короткое расстояние между выбранными конечными точками параллели, поскольку параллель не является большим кругом. Разница невелика на коротких расстояниях, но увеличивается по мере увеличения λ , продольного расстояния. Для двух точек A и B, разделенных 10° долготы на параллели под углом 60°, расстояние вдоль параллели примерно на 0,5 км больше, чем расстояние по большому кругу. (Расстояние AB вдоль параллели равно ( a cos φ ) λ . Длина хорды AB равна 2( a cos φ ) sin ⁠ λ / 2 ⁠ . Эта хорда образует угол в центре, равный 2arcsin(cos φ sin ⁠ λ / 2 ⁠ ), а расстояние по большому кругу между A и B равно 2 a arcsin(cos φ sin ⁠ λ / 2 ⁠ ).) В крайнем случае, когда продольное расстояние составляет 180 °, расстояние вдоль параллели составляет половину окружности этой параллели; т.е. 10 007,5 км. С другой стороны, геодезическая между этими точками представляет собой дугу большого круга, проходящего через полюс, образующую угол 60 ° в центре: длина этой дуги составляет одну шестую длины окружности большого круга, около 6672 км. Разница составляет 3338 км, поэтому расстояние по линейке, измеренное по карте, вводит в заблуждение даже после поправки на изменение масштабного коэффициента по широте.

На меридиане

Меридиан карты представляет собой большой круг на земном шаре, но непрерывное изменение масштаба означает, что одно только измерение линейкой не может дать истинное расстояние между удаленными точками на меридиане. Однако если на карте нанесена точная и мелко разнесенная широтная шкала, по которой широту можно непосредственно прочитать, как в случае с картой мира Меркатора 1569 года (листы 3, 9, 15) и всеми последующими морскими картами, то меридиан Расстояние между двумя широтами φ ₁ и φ ₂ просто

$m_{12}=a|\varphi _{1}-\varphi _{2}|.$

Если широту конечных точек невозможно определить с уверенностью, ее можно найти путем расчета на расстоянии по линейке. Называя линейку расстояний от конечных точек на меридиане карты, измеренных от экватора y ₁ и y ₂ , истинное расстояние между этими точками на сфере определяется с помощью любой из обратных формул Меркатора:

$m_{12}=a\left|\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{1}}{R}}\right)\right]-\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{2}}{R}}\right)\right]\right|,$

где R можно вычислить по ширине W карты по формуле R = ⁠ Вт / 2 π ⁠ . Например, на карте с R = 1 значения y = 0, 1, 2, 3 соответствуют широтам φ = 0°, 50°, 75°, 84° и, следовательно, последовательным интервалам в 1 см на карте. соответствуют интервалам широт на земном шаре 50°, 25°, 9° и расстояниям 5560 км, 2780 км и 1000 км на Земле.

На румбе

Прямая линия на карте Меркатора под углом α к меридианам является прямой линией . Когда α = ⁠ π / 2 ⁠ или ⁠ 3 π / 2 ⁠ румб соответствует одной из параллелей; только один, экватор, представляет собой большой круг. Когда α = 0 или π, это соответствует большому меридиану (если продолжаться вокруг Земли). Для всех остальных значений это спираль от полюса к полюсу земного шара, пересекающая все меридианы под одним и тем же углом, и, следовательно, не являющаяся большим кругом. В этом разделе обсуждается только последний из этих случаев.

Если α не равно ни 0, ни π, то приведенный выше рисунок бесконечно малых элементов показывает, что длина бесконечно малой прямой линии на сфере между широтами φ ; и φ + δφ представляет сек собой α   δφ . Поскольку α постоянно на румбе, это выражение можно проинтегрировать, чтобы получить для конечных румбов на Земле:

$r_{12}=a\sec \alpha \,|\varphi _{1}-\varphi _{2}|=a\,\sec \alpha \;\Delta \varphi .$

Еще раз, если Δ φ можно прочитать непосредственно по точной шкале широты на карте, то расстояние по прямой между точками карты с широтами φ ₁ и φ ₂ определяется вышеизложенным. Если такого масштаба нет, то расстояния линейки между конечными точками и экватором, y ₁ и y ₂ , дают результат по обратной формуле:

$r_{12}=a\sec \alpha \left|\tan ^{-1}\sinh \left({\frac {y_{1}}{R}}\right)-\tan ^{-1}\sinh \left({\frac {y_{2}}{R}}\right)\right|.$

Эти формулы дают прямые расстояния на сфере, которые могут сильно отличаться от истинных расстояний, определение которых требует более сложных вычислений.

Обобщение на эллипсоид

Когда Земля моделируется сфероидом ( эллипсоидом вращения ), проекцию Меркатора необходимо изменить, чтобы она оставалась конформной . Уравнения преобразования и масштабный коэффициент для несекущей версии: $${\begin{aligned}x&=R\left(\lambda -\lambda _{0}\right),\\y&=R\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\left({\frac {1-e\sin \varphi }{1+e\sin \varphi }}\right)^{\frac {e}{2}}\right]=R\left(\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\right),\\k&=\sec \varphi {\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}.\end{aligned}}$$

Масштабный коэффициент на экваторе равен единице, как и должно быть, поскольку цилиндр касается эллипсоида на экваторе. Эллипсоидальная поправка масштабного коэффициента увеличивается с широтой, но никогда не превышает e. ² , коррекция менее 1%. (Значение e ² составляет около 0,006 для всех опорных эллипсоидов.) Это намного меньше, чем погрешность масштаба, за исключением очень близкого к экватору положения. Только точные проекции Меркатора для регионов вблизи экватора потребуют эллипсоидных поправок.

Обратное решается итеративно, поскольку изометрическая широта используется .

См. также

• Картография
• Центральная цилиндрическая проекция – более искажена; иногда ошибочно называют методом построения проекции Меркатора.
• Конформная картографическая проекция
• Равноугольная проекция - менее искаженная, но не равновеликая.
• Проекция Галла – Петерса - цилиндрическая проекция равной площади.
• Джордан Поперечный Меркатор
• Список картографических проекций
• Карта мира Меркатора 1569 года.
• Морская карта
• Отсутствие Новой Зеландии на картах - часто считается, что это вызвано проекцией Меркатора.
• Румлайновая сеть
• Индикатриса Тиссо
• Поперечная проекция Меркатора
• Универсальная поперечная система координат Меркатора

Библиография

• Малинг, Дерек Хилтон (1992), Системы координат и картографические проекции (второе изд.), Pergamon Press, ISBN  0-08-037233-3 .
• Монмонье, Марк (2004), Румбы и картографические войны: социальная история проекции Меркатора (изд. в твердом переплете), Чикаго: The University of Chicago Press, ISBN  0-226-53431-6
• Олвер, ФВЮ; Лозье, Д.В.; Буасверт, РФ; и др., ред. (2010), Справочник NIST по математическим функциям , Издательство Кембриджского университета
• Осборн, Питер (14 ноября 2013 г.), The Mercator Projections , doi : 10.5281/zenodo.35392 (Дополнения: файлы Maxima , код и цифры Latex )
• Снайдер, Джон П. (1993), Сглаживание Земли: две тысячи лет картографических проекций , University of Chicago Press, ISBN  0-226-76747-7
• Снайдер, Джон П. (1987), Картографические проекции – Рабочее руководство. Профессиональная газета Геологической службы США 1395 , Типография правительства США, Вашингтон, округ Колумбия . Эту статью можно загрузить со страниц Геологической службы США. Он дает полную информацию о большинстве прогнозов вместе с интересными вводными разделами, но не выводит ни один из прогнозов из основных принципов.

Дальнейшее чтение

• Рэпп, Ричард Х (1991), Геометрическая геодезия, Часть I , Департамент геодезических наук и геодезии Университета штата Огайо, hdl : 1811/24333

Внешние ссылки

• К вящей славе Герарда Меркатора – содержит изображения карты мира Меркатора 1569 года в высоком разрешении.
• Таблица примеров и свойств всех распространенных проекций с сайта радикалакартографии.нет.
• Интерактивный Java-апплет для изучения метрических деформаций проекции Меркатора .
• Проекция Меркатора в Университете Британской Колумбии
• Координаты Google Карт
• Меркатор Экстрим