Самосопряженный

В математике элемент если называется *-алгебры самосопряженным , он совпадает со своим сопряженным (т. е. $a=a^{*}$).

Определение

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть *-алгеброй. Элемент $a\in {\mathcal {A}}$ называется самосопряженным, если $a=a^{*}$.

Совокупность самосопряженных элементов называется ${\mathcal {A}}_{sa}$.

Подмножество ​ ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}$ замкнутый относительно инволюции * , т.е. ${\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{*}$, называется самосопряженным.

Особым случаем, имеющим особое значение, является случай, когда ${\mathcal {A}}$ — полная нормированная *-алгебра , удовлетворяющая C*-тождеству ( $\left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}$), которая называется C*-алгеброй .

Такие элементы часто называют эрмитовыми, особенно в старой литературе по *-алгебрам и C*-алгебрам. В связи с этим обозначения ${\mathcal {A}}_{h}$, ${\mathcal {A}}_{H}$ или $H({\mathcal {A}})$ ибо набор самосопряженных элементов также иногда используется, даже в новейшей литературе.

Примеры

• Каждый положительный элемент С*-алгебры самосопряжён.
• Для каждого элемента $a$ *-алгебры элементы $aa^{*}$ и $a^{*}a$ самосопряжены, так как * — инволютивный антиавтоморфизм .
• Для каждого элемента $a$ *-алгебры: действительная и мнимая части ${\textstyle \operatorname {Re} (a)={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$ и ${\textstyle \operatorname {Im} (a)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})}$ являются самосопряженными, где $\mathrm {i}$ обозначает мнимую единицу .
• Если $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ является нормальным элементом C*-алгебры ${\mathcal {A}}$, то для каждой вещественнозначной функции $f$ который непрерывен в спектре , $a$, непрерывное функциональное исчисление определяет самосопряженный элемент $f(a)$.

Критерии

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть *-алгеброй. Затем:

• Позволять $a\in {\mathcal {A}}$, затем $a^{*}a$ является самосопряженным, поскольку $(a^{*}a)^{*}=a^{*}(a^{*})^{*}=a^{*}a$. Аналогичный расчет дает, что $aa^{*}$ также является самосопряженным.
• Позволять $a=a_{1}a_{2}$ быть произведением двух самосопряженных элементов $a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}$. Затем $a$ является самосопряженным, если $a_{1}$ и $a_{2}$ коммутировать , поскольку $(a_{1}a_{2})^{*}=a_{2}^{*}a_{1}^{*}=a_{2}a_{1}$ всегда держит.
• Если ${\mathcal {A}}$ является C*-алгеброй, то нормальный элемент $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ является самосопряженным тогда и только тогда, когда его спектр веществен, т.е. $\sigma (a)\subseteq \mathbb {R}$.

Характеристики

В *-алгебрах

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть *-алгеброй. Затем:

• Каждый элемент $a\in {\mathcal {A}}$ однозначно разлагается на действительную и мнимую части, т.е. существуют однозначно определенные элементы $a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}$, так что $a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}$ держит. Где ${\textstyle a_{1}={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$ и ${\textstyle a_{2}={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})}$.
• Набор самосопряженных элементов ${\mathcal {A}}_{sa}$ является действительным линейным подпространством ${\mathcal {A}}$. Из предыдущего свойства следует, что ${\mathcal {A}}$ является прямой суммой двух вещественных линейных подпространств, т.е. ${\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{sa}\oplus \mathrm {i} {\mathcal {A}}_{sa}$.
• Если $a\in {\mathcal {A}}_{sa}$ является самосопряженным, то $a$ это нормально.
• *-алгебра ${\mathcal {A}}$ называется эрмитовой *-алгеброй, если каждый самосопряженный элемент $a\in {\mathcal {A}}_{sa}$ имеет реальный спектр $\sigma (a)\subseteq \mathbb {R}$.

В C*-алгебрах

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть C*-алгеброй и $a\in {\mathcal {A}}_{sa}$. Затем:

• Для спектра $\left\|a\right\|\in \sigma (a)$ или $-\left\|a\right\|\in \sigma (a)$ имеет место, поскольку $\sigma (a)$ реально и $r(a)=\left\|a\right\|$ справедливо для спектрального радиуса , поскольку $a$ это нормально.
• Согласно непрерывному функциональному исчислению существуют однозначно определенные положительные элементы $a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}$, такой, что $a=a_{+}-a_{-}$ с $a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0$. Для нормы, $\left\|a\right\|=\max(\left\|a_{+}\right\|,\left\|a_{-}\right\|)$ держит. Элементы $a_{+}$ и $a_{-}$ также называются положительной и отрицательной частями . Кроме того, $|a|=a_{+}+a_{-}$ справедливо для абсолютного значения, определенного для каждого элемента ${\textstyle |a|=(a^{*}a)^{\frac {1}{2}}}$.
• Для каждого $a\in {\mathcal {A}}_{+}$ и странный $n\in \mathbb {N}$, существует однозначно определенное $b\in {\mathcal {A}}_{+}$ это удовлетворяет $b^{n}=a$, то есть уникальный $n$Корень -й степени , как можно показать с помощью непрерывного функционального исчисления.

См. также

• Самосопряженная матрица
• Самосопряженный оператор

Ссылки

• Блэкадар, Брюс (2006). Операторные алгебры. Теория С*-алгебр и алгебры фон Неймана . Берлин/Гейдельберг: Springer. п. 63. ИСБН  3-540-28486-9 .
• Диксмье, Жак (1977). С*-алгебры . Перевод Джеллетта, Фрэнсиса. Амстердам/Нью-Йорк/Оксфорд: Северная Голландия. ISBN  0-7204-0762-1 . английский перевод C*-алгебры и их представления (на французском языке). Готье-Виллар. 1969.
• Кэдисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1983). Основы теории операторных алгебр. Том 1. Элементарная теория . Нью-Йорк/Лондон: Академическая пресса. ISBN  0-12-393301-3 .
• Палмер, Теодор В. (2001). Банаховы алгебры и общая теория*-алгебр: Том 2, *-алгебры . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-36638-0 .