полином Александера

В математике полином Александера — это инвариант узла , который присваивает полином каждому типу узла с целыми коэффициентами. Джеймс Уодделл Александр II открыл это, первый полином узла , в 1923 году. В 1969 году Джон Конвей показал версию этого многочлена, теперь называемую полиномом Александера-Конвея , который можно вычислить с использованием отношения мотка , хотя его значение не было осознано до тех пор, пока открытие полинома Джонса в 1984 году. Вскоре после переработки Конвеем полинома Александера стало понятно, что аналогичное соотношение клубков было показано в статье Александера о его полиноме.

Определение

Пусть K — узел в 3-сфере . Пусть X — бесконечное циклическое накрытие узла - дополнения K . Это накрытие можно получить, разрезав дополнение к узлу вдоль поверхности Зейферта поля K и циклически склеив бесконечное число копий полученного многообразия с краем. Существует накрывающее преобразование t, на X. действующее Рассмотрим первые гомологии (с целыми коэффициентами) X , обозначаемые $H_{1}(X)$. Преобразование t действует на гомологии, поэтому мы можем рассмотреть $H_{1}(X)$ модуль Лорана над кольцом многочленов $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]$. Это называется инвариантом Александера или модулем Александера .

Модуль конечно представим; матрица представления этого модуля называется матрицей Александера . Если количество генераторов, $r$, меньше или равно количеству отношений, $s$ , то мы рассматриваем идеал, порожденный всеми $r\times r$ миноры матрицы; это нулевой идеал Фиттинга или идеал Александера и не зависит от выбора матрицы представления. Если $r>s$, приравняем идеалу 0. Если идеал Александера главный , возьмем генератор; это называется полиномом Александера узла. Поскольку оно уникально только с точностью до умножения на моном Лорана $\pm t^{n}$, часто фиксируют определенную уникальную форму. Выбор нормализации, выбранный Александером, заключается в том, чтобы полином имел положительный постоянный член .

Александер доказал, что идеал Александера ненулевой и всегда главный. Таким образом, полином Александера всегда существует и, очевидно, является инвариантом узла, обозначаемым $\Delta _{K}(t)$. Оказывается, полином Александера узла — это тот же полином для узла зеркального отображения. Другими словами, он не может отличить узел от его зеркального отображения.

Вычисление полинома

Следующая процедура вычисления полинома Александера была предложена Дж. У. Александером в его статье.

Возьмем ориентированную схему узла с $n$ переправы; есть $n+2$ области диаграммы узла. Чтобы вычислить полином Александера, сначала необходимо создать матрицу инцидентности размера $(n,n+2)$. $n$ строки соответствуют $n$ переходы, и $n+2$ столбцы в регионы. Значения для записей матрицы либо $0,1,-1,t,-t$.

Рассмотрим запись, соответствующую конкретному региону и пересечению. Если регион не примыкает к перекрестку, запись равна 0. Если регион примыкает к перекрестку, запись зависит от его местоположения. В следующей таблице приведены записи, определяемые расположением региона на пересечении с точки зрения входящей линии подземного пересечения.

слева перед переездом: $-t$

справа перед переездом: $1$

слева после подземного перехода: $t$

справа после подземного перехода: $-1$

Удалите из матрицы два столбца, соответствующие соседним областям, и найдите определитель нового $n\times n$ матрица. В зависимости от удаленных столбцов ответ будет отличаться при умножении на $\pm t^{n}$, где мощность $n$ не обязательно количество пересечений в узле. Чтобы разрешить эту двусмысленность, разделите наибольшую возможную степень $t$ и умножить на $-1$ при необходимости, чтобы постоянный член был положительным. Это дает полином Александера.

Полином Александера также можно вычислить из матрицы Зейферта .

После работы Дж. У. Александра Ральф Фокс рассмотрел возможность совместного представления группы узлов. $\pi _{1}(S^{3}\backslash K)$и ввел некоммутативное дифференциальное исчисление, которое также позволяет вычислить $\Delta _{K}(t)$.

Основные свойства многочлена

Полином Александера симметричен: $\Delta _{K}(t^{-1})=\Delta _{K}(t)$ для всех узлов К.

С точки зрения определения это выражение изоморфизма двойственности Пуанкаре. ${\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)$ где $G$ – частное поля дробей $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]$ к $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]$, рассматриваемый как $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]$-модуль, и где ${\overline {H_{1}X}}$ является сопряженным $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]$-модуль для $H_{1}X$ то есть: как абелева группа она идентична $H_{1}X$ но покрывающее преобразование $t$ действует путем $t^{-1}$.

Кроме того, полином Александера оценивается как единица, равная 1: $\Delta _{K}(1)=\pm 1$.

С точки зрения определения это является выражением того факта, что дополнение к узлу представляет собой окружность гомологии, порожденную накрывающим преобразованием $t$. В более общем плане, если $M$ является 3-многообразием таким, что $rank(H_{1}M)=1$ у него есть полином Александера $\Delta _{M}(t)$ определяется как идеал порядка его бесконечно-циклического накрытия. В этом случае $\Delta _{M}(1)$ с точностью до знака равна порядку периодической подгруппы группы $H_{1}M$.

Каждый целочисленный полином Лорана, который одновременно симметричен и имеет единицу в точке 1, является полиномом Александера узла.

Геометрическое значение многочлена

Поскольку идеал Александра является главным, $\Delta _{K}(t)=1$ тогда и только тогда, когда коммутант группы узлов совершенен ( т. е. равен своему собственному коммутанту ).

Для топологически срезного узла полином Александера удовлетворяет условию Фокса – Милнора. $\Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{-1})$ где $f(t)$ – некоторый другой целочисленный полином Лорана.

Дважды род узлов ограничен снизу степенью полинома Александера.

Майкл Фридман доказал, что узел в 3-сфере топологически является срезом ; т. е. ограничивает «локально-плоский» топологический диск в 4-шаре, если полином Александера узла тривиален.

Кауфман описывает первую конструкцию полинома Александера с помощью сумм состояний, полученных на основе физических моделей. Обзор этой темы и других связей с физикой дан в .

Существуют и другие отношения с поверхностями и гладкой 4-мерной топологией. Например, при определенных предположениях существует способ модификации гладкого 4-многообразия , выполнив операцию , состоящую в удалении окрестности двумерного тора и замене ее узлом, пересекающимся с S. ¹ . Результатом является гладкое 4-многообразие, гомеоморфное исходному, хотя теперь инвариант Зайберга – Виттена был изменен путем умножения на полином Александера узла.

Известно, что узлы симметрии ограничивают полиномы Александера. Тем не менее, полином Александера может не обнаружить некоторые симметрии, такие как сильная обратимость.

Если узел дополняет слои по окружности, то многочлен Александера узла, как известно, является моническим (коэффициенты при членах высшего и низшего порядка равны $\pm 1$). Фактически, если $S\to C_{K}\to S^{1}$ представляет собой пучок волокон, в котором $C_{K}$ является дополнением узла, пусть $g:S\to S$ представляют монодромию , тогда $\Delta _{K}(t)={\rm {Det}}(tI-g_{*})$ где $g_{*}\colon H_{1}S\to H_{1}S$ — индуцированное отображение гомологии.

Отношения со спутниковыми операциями

Если узел $K$ это узел-спутник с узорчатым узлом $K'$ (существует вложение $f:S^{1}\times D^{2}\to S^{3}$ такой, что $K=f(K')$, где $S^{1}\times D^{2}\subset S^{3}$ представляет собой незавязанный полноторий, содержащий $K'$), затем $\Delta _{K}(t)=\Delta _{f(S^{1}\times \{0\})}(t^{a})\Delta _{K'}(t)$, где $a\in \mathbb {Z}$ это целое число, которое представляет $K'\subset S^{1}\times D^{2}$ в $H_{1}(S^{1}\times D^{2})=\mathbb {Z}$.

Примеры: Для соединительной суммы $\Delta _{K_{1}\#K_{2}}(t)=\Delta _{K_{1}}(t)\Delta _{K_{2}}(t)$. Если $K$ является раскрученным дублем Уайтхеда , тогда $\Delta _{K}(t)=\pm 1$.

Полином Александера – Конвея

Александер доказал, что полином Александера удовлетворяет скин-соотношению. Джон Конвей позже заново открыл это в другой форме и показал, что отношения мотка вместе с выбором значения на узле было достаточно, чтобы определить полином. Версия Конвея представляет собой многочлен от z с целыми коэффициентами, обозначаемый $\nabla (z)$ и называется полиномом Александера-Конвея (также известным как полином Конвея или полином Конвея-Александра ).

Предположим, нам дана ориентированная диаграмма связей, где $L_{+},L_{-},L_{0}$ представляют собой диаграммы связей, возникающие в результате пересечения и сглаживания изменений в локальной области указанного пересечения диаграммы, как показано на рисунке.

Вот отношения мотков Конвея:

• $\nabla (O)=1$ (где O — любая диаграмма узла)
• $\nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})$

Связь со стандартным полиномом Александера определяется выражением $\Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(t-t^{-1})$. Здесь $\Delta _{L}$ должны быть надлежащим образом нормализованы (путем умножения $\pm t^{n/2}$), чтобы удовлетворить моточное соотношение $\Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{1/2}-t^{-1/2})\Delta (L_{0})$. Заметим, что это соотношение дает полином Лорана по t ^1/2 .

См. теорию узлов , где приведен пример вычисления полинома Конвея для трилистника.

Связь с гомологией Флоера

Используя псевдоголоморфные кривые, Ожсват-Сабо и Расмуссен связал биградуированную абелеву группу, называемую узлами гомологий Флоера, с каждым изотопическим классом узлов. Градуированной эйлеровой характеристикой гомологий узла Флоера является полином Александера. Хотя полином Александера дает нижнюю оценку рода узла, показали, что узел гомологии Флоера определяет род. Аналогичным образом, хотя полином Александера создает препятствие для расслоения узла на окружность, показал, что гомология узла Флоера полностью определяет, когда узел дополняет слои по кругу. Группы гомологий узла Флоера являются частью семейства инвариантов гомологий Хигорада Флоера; см. гомологию Флоера для дальнейшего обсуждения.

Источники

• Адамс, Колин К. (2004) [1994]. Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов . Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3678-1 . (доступное введение с использованием подхода, основанного на связях мотков)
• Александр, JW (1928). «Топологические инварианты узлов и связей» (PDF) . Труды Американского математического общества . 30 (2): 275–306. дои : 10.1090/S0002-9947-1928-1501429-1 . JSTOR   1989123 .
• Бирман, Джоан (1993). «Новые точки зрения в теории узлов». Бык. амер. Математика. Соц . НС 28 (2): 253–287.
• Кроуэлл, Ричард; Фокс, Ральф (1963). Введение в теорию узлов . Джинн и Ко после 1977 года Springer Verlag.
• Финтушель, Рональд ; Стерн, Рональд Дж. (октябрь 1998 г.). «Узлы, связи и 4-многообразия». Математические изобретения . 134 (2): 363–400. arXiv : dg-ga/9612014 . Бибкод : 1998InMat.134..363F . дои : 10.1007/s002220050268 . ISSN   0020-9910 . МР   1650308 . S2CID   3752148 .
• Фокс, Ральф (1961). «Краткое путешествие по теории узлов». В Форте, МК (ред.). Труды Института топологии Университета Джорджии . Энглвудские скалы. Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр. 120–167. OCLC   73203715 .
• Фридман, Майкл Х .; Куинн, Фрэнк (1990). Топология 4-многообразий . Принстонская математическая серия. Том. 39. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-08577-7 .
• Кауфман, Луи (2006) [1983]. Формальная теория узлов . Курьер. ISBN  978-0-486-45052-0 .
• Кауфман, Луи (2012). Узлы и физика (4-е изд.). Мировое научное издательство. ISBN  978-981-4383-00-4 .
• Каваучи, Акио (2012) [1996]. Обзор теории узлов . Биркхойзер. ISBN  978-3-0348-9227-8 . (охватывает несколько различных подходов, объясняет взаимосвязь между различными версиями полинома Александера)
• Ни, Йи (2007). «Гомология узла Флоера обнаруживает волокнистые узлы». Математические изобретения . Изобретать. Математика. 170 (3): 577–608. arXiv : math/0607156 . Бибкод : 2007InMat.170..577N . дои : 10.1007/s00222-007-0075-9 . S2CID   119159648 .
• Озсват, Питер ; Сабо, Золтан (2004). «Голоморфные диски и инварианты узлов» . Достижения в математике . 186 (1): 58–116. arXiv : math/0209056 . Бибкод : 2002math......9056O . дои : 10.1016/j.aim.2003.05.001 . S2CID   11246611 .
• Озсват, Питер ; Сабо, Золтан (2004b). «Голоморфные диски и границы рода». Геометрия и топология . 8 (2004): 311–334. arXiv : math/0311496 . дои : 10.2140/gt.2004.8.311 . S2CID   11374897 .
• Расмуссен, Джейкоб (2003). Гомологии Флоера и дополнения к узлам (Диссертация). Гарвардский университет. п. 6378. arXiv : math/0306378 . Бибкод : 2003math......6378R .
• Рольфсен, Дейл (1990). Узлы и звенья (2-е изд.). Опубликуй или погибни. ISBN  978-0-914098-16-4 . (объясняет классический подход с использованием инварианта Александера; таблица узлов и связей с полиномами Александера)

Внешние ссылки

• «Александровские инварианты» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• « Главная страница » и « Полином Александра-Конвея », Атлас узлов . – таблицы узлов и связей с вычисленными полиномами Александера и Конвея