Действие Намбу – Гото

Действие Намбу–Гото — простейшее инвариантное действие в теории бозонных струн , а также используется в других теориях, исследующих струноподобные объекты (например, космические струны ). Это отправная точка анализа поведения струны нулевой толщины (бесконечно тонкой) с использованием принципов лагранжевой механики . Точно так же, как действие свободной точечной частицы пропорционально ее собственному времени — т. е . «длине» ее мировой линии , — действие релятивистской струны пропорционально площади листа, который проходит струна, путешествуя в пространстве-времени.

Он назван в честь японских физиков Ёитиро Намбу и Тэцуо Гото .

Фон

Релятивистская лагранжева механика

Основной принцип лагранжевой механики, принцип стационарного действия , заключается в том, что объект, подверженный внешним воздействиям, «выберет» путь, который делает определенную величину, действие , экстремумом. Действие представляет собой функциональную математическую зависимость, которая проходит весь путь и дает одно число. Физический путь , по которому на самом деле следует объект, — это путь, по которому действие является «стационарным» (или экстремальным): любое небольшое отклонение пути от физического существенно не меняет действие. (Часто это эквивалентно утверждению, что физический путь — это путь, для которого действие минимально.) Действия обычно записываются с использованием лагранжианов, формул, которые зависят от состояния объекта в определенной точке пространства и/или времени. Например, в нерелятивистской механике лагранжиан точечной частицы представляет собой разницу между кинетической и потенциальной энергией: $L=K-U$. Действие, часто записываемое $S$, тогда является интегралом этой величины от момента начала до момента окончания:

$S=\int _{t_{i}}^{t_{f}}L\,dt.$

(Обычно, используя лагранжианы, мы предполагаем, что знаем начальное и конечное положения частицы, и нас интересует путь , который частица проходит между этими положениями.)

Преимущество такого подхода к механике состоит в том, что он легко расширяется и обобщается. Например, мы можем написать лагранжиан для релятивистской частицы, который будет справедлив, даже если частица движется со скоростью, близкой к скорости света. Чтобы сохранить лоренц-инвариантность , действие должно зависеть только от величин, одинаковых для всех (лоренц) наблюдателей, т. е. действие должно быть скаляром Лоренца . Простейшей такой величиной является собственное время , время, измеряемое часами, которые несет частица. Согласно специальной теории относительности, все наблюдатели Лоренца, наблюдающие за движением частицы, вычислят одно и то же значение величины

$-ds^{2}=-(c\,dt)^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\$

и $ds/c$ тогда является бесконечно малым собственным временем. Для точечной частицы, не подверженной действию внешних сил ( т. е . движущейся по инерции), релятивистское действие равно

$S=-mc\int ds.$

Мировые листы

Точно так же, как нульмерная точка проводит мировую линию на диаграмме пространства-времени, одномерная строка представлена ​​мировым листом . Все мировые листы представляют собой двумерные поверхности, поэтому нам нужны два параметра, чтобы указать точку на мировом листе. Сторонники теории струн используют символы $\tau$ и $\sigma$ по этим параметрам. Как оказывается, теории струн включают в себя пространства более высокой размерности, чем привычный нам трехмерный мир; Теория бозонных струн требует 25 пространственных измерений и одной оси времени. Если $d$ — количество пространственных измерений, мы можем представить точку вектором

$x=(x^{0},x^{1},x^{2},\ldots ,x^{d}).$

Мы описываем строку с помощью функций, которые отображают позицию в пространстве параметров ( $\tau$, $\sigma$) в точку пространства-времени. Для каждого значения $\tau$ и $\sigma$, эти функции задают уникальный вектор пространства-времени:

$X(\tau ,\sigma )=(X^{0}(\tau ,\sigma ),X^{1}(\tau ,\sigma ),X^{2}(\tau ,\sigma ),\ldots ,X^{d}(\tau ,\sigma )).$

Функции $X^{\mu }(\tau ,\sigma )$ определить форму, которую принимает мировой лист. Различные наблюдатели Лоренца будут расходиться во мнениях по поводу координат, которые они присваивают конкретным точкам мирового листа, но все они должны прийти к согласию относительно общей площади , которую занимает мировой лист. Действие Намбу-Гото выбрано пропорциональным этой общей собственной площади.

Позволять $\eta _{\mu \nu }$ быть метрикой $(d+1)$-мерное пространство-время. Затем,

$g_{ab}=\eta _{\mu \nu }{\frac {\partial X^{\mu }}{\partial y^{a}}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial y^{b}}}\$

— индуцированная метрика на мировом листе, где $a,b=0,1$ и $y^{0}=\tau ,y^{1}=\sigma$.

Для района ${\mathcal {A}}$ мирового листа справедливо следующее:

$\mathrm {d} {\mathcal {A}}=\mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}$

где $\mathrm {d} ^{2}\Sigma =\mathrm {d} \sigma \,\mathrm {d} \tau$ и $g=\mathrm {det} \left(g_{ab}\right)\$

Используя обозначения, которые:

${\dot {X}}={\frac {\partial X}{\partial \tau }}$

и

$X'={\frac {\partial X}{\partial \sigma }},$

можно переписать метрику $g_{ab}$:

$g_{ab}=\left({\begin{array}{cc}{\dot {X}}^{2}&{\dot {X}}\cdot X'\\X'\cdot {\dot {X}}&X'^{2}\end{array}}\right)\$

$g={\dot {X}}^{2}X'^{2}-({\dot {X}}\cdot X')^{2}$

действие Намбу-Гото определяется как

${\mathcal {S}}\$

$=-{\frac {T_{0}}{c}}\int d{\mathcal {A}}$

$=-{\frac {T_{0}}{c}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}$

$=-{\frac {T_{0}}{c}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}},\$

где $X\cdot Y:=\eta _{\mu \nu }X^{\mu }Y^{\nu }$. Коэффициенты перед интегралом дают действию правильные единицы: энергию, умноженную на время. $T_{0}$ - натяжение струны, а $c$ это скорость света. Обычно теоретики струн работают в «естественных единицах», где $c$ устанавливается равным 1 (вместе с постоянной Планка $\hbar$ и постоянная Ньютона $G$). Также, отчасти по историческим причинам, используют «параметр наклона». $\alpha '$ вместо $T_{0}$. С этими изменениями действие Намбу-Гото становится

${\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.$

Эти две формы, конечно, полностью эквивалентны: выбор одной над другой является вопросом соглашения и удобства.

Еще две эквивалентные формы ( в оболочке , но не вне оболочки):

${\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {{\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}}},$

и

${\mathcal {S}}=-{\frac {1}{4\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma ({\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}).$

Поле сопряженных импульсов $P=-{\frac {T}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-{\dot {X}}^{2}{X'}^{2}}}}\left[X'({\dot {X}}\cdot X')-{\dot {X}}{X'}^{2}\right]$. Затем, $P^{2}={\frac {T^{2}}{({\dot {X}}\cdot X')^{2}-{\dot {X}}^{2}{X'}^{2}}}\left[{X'}^{2}({\dot {X}}\cdot X')^{2}-2({\dot {X}}\cdot X')^{2}X'^{2}+{\dot {X}}^{2}{X'}^{4}\right]=-T^{2}{X'}^{2}$является основным ограничением . Вторичным ограничением является $P\cdot X'=0$. Эти ограничения порождают времениподобные диффеоморфизмы и пространственноподобные диффеоморфизмы на мировом листе. Гамильтониан ​ $H=P\cdot {\dot {X}}-{\mathcal {L}}=0$. Расширенный гамильтониан имеет вид $H=\int d\sigma \left[\lambda (P^{2}+T^{2}{X'}^{2})+\rho P\cdot X'\right]$где $\lambda$ и $\rho$ являются множителями Лагранжа .

Уравнения движения удовлетворяют ограничениям Вирасоро ${\dot {X}}^{2}+X'^{2}=0$ и ${\dot {X}}\cdot X'=0$.

Обычно действие Намбу–Гото пока не имеет формы, подходящей для изучения квантовой физики струн. Для этого его необходимо изменить аналогично действию точечной частицы. Это классически равно минус массе, умноженной на инвариантную длину в пространстве-времени, но его необходимо заменить квадратичным выражением с тем же классическим значением. Для струн аналоговую коррекцию обеспечивает действие Полякова , которое классически эквивалентно действию Намбу–Гото, но дает «правильный» квантовая теория. можно развить квантовую теорию Однако на основе действия Намбу–Гото в калибровке светового конуса .

См. также

• Мембрана Дирака

Дальнейшее чтение

• Ортин, Томас, Гравитация и струны , Кембриджские монографии, издательство Кембриджского университета (2004). ISBN   978-0-521-03546-0 .