Широта

В географии , широта — это координата определяющая или другого небесного тела с севера на юг положение точки на поверхности Земли . Широта задается как угол, который колеблется от −90 ° на южном полюсе до 90 ° на северном полюсе и 0 ° на экваторе . Линии постоянной широты , или параллели , проходят с востока на запад в виде кругов, параллельных экватору. Широта и долгота используются вместе как пара координат для указания местоположения на поверхности Земли.

Сам по себе термин «широта» обычно относится к геодезической широте , определенной ниже. Вкратце, геодезическая широта точки — это угол, образованный между вектором, перпендикулярным (или нормалью ) к эллипсоидальной поверхности от точки, и плоскостью экватора .

Фон

В определениях широты и долготы используются два уровня абстракции. На первом этапе физическая поверхность моделируется геоидом , поверхностью, которая приблизительно соответствует среднему уровню моря над океанами и его продолжением под сушей. Второй шаг — аппроксимировать геоид математически более простой опорной поверхностью. Простейшим выбором в качестве базовой поверхности является сфера , но геоид более точно моделируется эллипсоидом вращения . Определения широты и долготы на таких опорных поверхностях подробно описаны в следующих разделах. Линии постоянной широты и долготы вместе образуют сетку на базовой поверхности. Широта точки на фактической поверхности равна широте соответствующей точки на эталонной поверхности, причем соответствие осуществляется по нормали к эталонной поверхности, которая проходит через точку на физической поверхности. Широта и долгота вместе с некоторыми указанием высоты составляют географическую систему координат. как определено в спецификации стандарта ISO 19111. ^{[ 1 ]}

Поскольку существует множество различных опорных эллипсоидов , точная широта объекта на поверхности не уникальна: это подчеркивается в стандарте ISO, который гласит, что «без полной спецификации опорной системы координат координаты (то есть широта и долгота) в лучшем случае двусмысленны, а в худшем бессмысленны». Это имеет большое значение в точных приложениях, таких как глобальная система позиционирования (GPS), но в обычном использовании, где не требуется высокая точность, опорный эллипсоид обычно не указывается.

В английских текстах угол широты, определенный ниже, обычно обозначается греческой строчной буквой фи ( $φ$ или $φ$ ). Он измеряется в градусах , минутах и секундах или десятичных градусах к северу или югу от экватора. Для целей навигации координаты указываются в градусах и десятичных минутах. Например, маяк Нидлс находится на координатах 50°39,734’ северной широты и 001°35,500’ западной долготы. ^{[ 2 ]}

Эта статья относится к системам координат Земли: она может быть адаптирована для покрытия Луны, планет и других небесных объектов ( планеографическая широта ).

Краткую историю см. в разделе « История широты» .

Определение

В астронавигации широта определяется методом высоты меридиана . Более точное измерение широты требует понимания гравитационного поля Земли либо для установки теодолитов , либо для определения орбит спутников GPS. Изучение фигуры Земли вместе с ее гравитационным полем является наукой геодезией .

Широта на сфере

Сетка на сфере

Сетка образована линиями постоянной широты и постоянной долготы, построенными относительно оси вращения Земли. Основными ориентирами являются полюса , где ось вращения Земли пересекает опорную поверхность. Плоскости, содержащие ось вращения, пересекают поверхность по меридианам ; и угол между любой плоскостью меридиана и плоскостью, проходящей через Гринвич ( главный меридиан ), определяет долготу: меридианы — это линии постоянной долготы. Плоскость, проходящая через центр Земли и перпендикулярно оси вращения, пересекает поверхность по большому кругу, называемому экватором . Плоскости, параллельные экваториальной плоскости, пересекают поверхность по кругам постоянной широты; это параллели. Экватор имеет широту 0 °, Северный полюс имеет широту 90 ° северной широты (пишется 90 ° северной широты или +90 °), а Южный полюс имеет широту 90 ° южной широты (пишется 90 ° южной широты или -90 °). ). Широта произвольной точки — это угол между плоскостью экватора и нормалью к поверхности в этой точке: нормаль к поверхности сферы проходит вдоль радиального вектора.

Широта, определенная таким образом для сферы, часто называется сферической широтой, чтобы избежать двусмысленности с геодезической широтой и вспомогательными широтами, определенными в последующих разделах этой статьи.

Названные широты на Земле

Помимо экватора, важны еще четыре параллели:

Полярный круг	66 ° 34 '(66,57 °) с.ш.
Тропик Рака	23 ° 26 '(23,43 °) с.ш.
Тропик Козерога	23 ° 26 '(23,43 °) южной широты
Южный полярный круг	66 ° 34 '(66,57 °) южной широты

Плоскость орбиты Земли вокруг Солнца называется эклиптикой , а плоскость, перпендикулярная оси вращения Земли, — экваториальной плоскостью. Угол между эклиптикой и плоскостью экватора называется по-разному наклоном оси, наклоном или наклоном эклиптики и условно обозначается $i$ . Широта тропических кругов равна $i$ , а широта полярных кругов является ее дополнением (90° - i ). Ось вращения медленно меняется со временем, и приведенные здесь значения относятся к текущей эпохе . Изменение во времени более подробно обсуждается в статье об осевом наклоне . ^{[ а ]}

На рисунке показана геометрия поперечного сечения плоскости, перпендикулярной эклиптике и проходящей через центры Земли и Солнца в день декабрьского солнцестояния , когда Солнце находится над головой в некоторой точке тропика Козерога . В южных полярных широтах ниже Полярного круга дневное освещение, а в северных полярных широтах над Полярным кругом — ночь. Ситуация меняется на обратную во время июньского солнцестояния, когда Солнце находится над тропиком Рака. Только на широтах между двумя тропиками Солнце может находиться прямо над головой (в зените ).

В картографических проекциях не существует универсального правила относительно того, как должны выглядеть меридианы и параллели. В примерах ниже показаны названные параллели (в виде красных линий) в широко используемой проекции Меркатора и поперечной проекции Меркатора . У первого параллели горизонтальны, а меридианы вертикальны, тогда как у второго нет точного соотношения параллелей и меридианов с горизонталью и вертикалью: и то и другое представляет собой сложные кривые.

	Нормальный Меркатор		Поперечный Меркатор
		\

Широта на эллипсоиде

Эллипсоиды

В 1687 году Исаак Ньютон опубликовал «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica» , в котором доказал, что вращающееся самогравитирующее жидкое тело в равновесии принимает форму сплюснутого эллипсоида . ^{[ 3 ]} (В этой статье используется термин «эллипсоид», а не более старый термин «сфероид» .) Результат Ньютона был подтвержден геодезическими измерениями в 18 веке. (См. Дугу меридиана .) Сплющенный эллипсоид — это трехмерная поверхность, образованная вращением эллипса вокруг его более короткой оси (малой оси). «Сплюснутый эллипсоид вращения» далее в этой статье сокращенно обозначается как «эллипсоид». (Эллипсоиды, не имеющие оси симметрии, называются трехосными .)

множество различных опорных эллипсоидов использовалось В истории геодезии . В доспутниковые времена они были разработаны, чтобы обеспечить хорошее соответствие геоида на ограниченной площади съемки, но с появлением GPS стало естественным использовать опорные эллипсоиды (такие как WGS84 ) с центром в центре масса Земли и малая ось совпадают с осью вращения Земли. Эти геоцентрические эллипсоиды обычно находятся в пределах 100 м (330 футов) от геоида. Поскольку широта определяется относительно эллипсоида, положение данной точки на каждом эллипсоиде различно: невозможно точно указать широту и долготу географического объекта, не указав используемый эллипсоид. Многие карты, поддерживаемые национальными агентствами, основаны на старых эллипсоидах, поэтому необходимо знать, как значения широты и долготы преобразуются от одного эллипсоида к другому. В комплект GPS-телефонов входит программное обеспечение для преобразования датумов , которое связывает WGS84 с локальным опорным эллипсоидом и связанной с ним сеткой.

Геометрия эллипсоида

Форма эллипсоида вращения определяется формой эллипса , повернутого вокруг своей малой (более короткой) оси. Требуется два параметра. Одним из них всегда является экваториальный радиус, который является полуосью большой $a$ . полярный радиус или малая полуось b $;$ Другим параметром обычно является (1 ) или (2) (первое) сглаживание , $f$ ; или (3) эксцентриситет , $e$ . Эти параметры не являются независимыми: они связаны соотношением

f={\frac {a-b}{a}},\qquad e^{2}=2f-f^{2},\qquad b=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,.

Многие другие параметры (см. эллипс , эллипсоид ) появляются при изучении геодезии, геофизики и картографических проекций, но все они могут быть выражены через один или два члена набора $a$ , $b$ , $f$ и $e$ . И $f$ , и $e$ малы и часто появляются в расчетах в виде рядов; они одного порядка ⁠ 1/298 соответственно и 0,0818 ⁠ . Значения ряда эллипсоидов приведены на рисунке Земли . Базовые эллипсоиды обычно определяются большой полуосью и обратным уплощением, $⁠ 1 / ж ⁠$ . Например, определяющими значениями для эллипсоида WGS84 , используемого всеми устройствами GPS, являются: ^{[ 4 ]}

$а$ (экваториальный радиус): 6 378 137,0 м ровно
$⁠ 1 / f ⁠$ (обратное сплющивание): 298,257 223 563 ровно

из которых получены

$б$ (полярный радиус): 6 356 752 , 314 25 м
$и 2$ (эксцентриситет в квадрате): 0,006 694 379 990 14

Разница между большой полуосью и малой полуосью составляет около 21 км (13 миль) и как часть большой полуоси равна уплощению; на мониторе компьютера эллипсоид может иметь размеры 300 на 299 пикселей. Его едва можно отличить от сферы размером 300 на 300 пикселей, поэтому иллюстрации обычно преувеличивают сплющивание.

Геодезические и геоцентрические широты

Сетка на эллипсоиде строится точно так же, как и на сфере. Нормаль в точке на поверхности эллипсоида не проходит через центр, за исключением точек на экваторе или на полюсах, но определение широты остается неизменным как угол между нормалью и плоскостью экватора. Терминологию широты необходимо уточнить, различая:

Геодезическая широта : угол между нормалью и экваториальной плоскостью. Стандартное обозначение в английских публикациях — $φ$ . Это определение предполагается, когда слово «широта» используется без уточнений. Определение должно сопровождаться указанием эллипсоида.
Геоцентрическая широта (также известная как сферическая широта , по названию трехмерного полярного угла ): угол между радиусом (от центра до точки на поверхности) и плоскостью экватора. (Рисунок ниже ). существует: примеры из различных текстов включают $θ$ , $ψ$ , $q$ , $'$ , $φc Стандартных обозначений не$ , $φg φ$ . В этой статье используется $θ$ .

Географическую широту следует использовать с осторожностью, поскольку некоторые авторы используют ее как синоним геодезической широты, тогда как другие используют ее как альтернативу астрономической широте . «Широта» (без уточнения) обычно должна относиться к геодезической широте.

Важность указания исходных данных можно проиллюстрировать простым примером. На эталонном эллипсоиде WGS84 центр Эйфелевой башни имеет геодезическую широту 48° 51′ 29″ северной широты, или 48,8583° северной широты, и долготу 2° 17′ 40″ восточной долготы, или 2,2944° восточной долготы. Те же координаты на базе ED50 определяют точку на земле, которая находится на расстоянии 140 метров (460 футов) от башни. ^{[ нужна ссылка ]} Поиск в Интернете может дать несколько разных значений широты башни; опорный эллипсоид указывается редко.

Меридианное расстояние

Длина градуса широты зависит от предполагаемой формы Земли .

Меридианное расстояние на сфере

На сфере нормаль проходит через центр, а широта ( $φ$ ) равна следовательно, равен углу, образуемому в центре дугой меридиана от экватора до рассматриваемой точки. Если расстояние по меридиану обозначить $m (φ),$ то

m(\phi )={\frac {\pi }{180^{\circ }}}R\phi _{\mathrm {degrees} }=R\phi _{\mathrm {radians} }

где $R$ обозначает средний радиус Земли. $R$ равен 6371 км или 3959 милям. не подходит более высокая точность $Для R$ , поскольку результаты более высокой точности требуют модели эллипсоида. При таком значении $R$ длина меридиана 1 градуса широты на сфере составляет 111,2 км (69,1 статутной мили) (60,0 морских миль). Длина 1 минуты широты равна 1,853 км (1,151 статутной мили) (1,00 морской мили), а длина 1 секунды широты — 30,8 м или 101 фут (см. морская миля ).

Меридианное расстояние на эллипсоиде

В дуге Меридиана и стандартных текстах ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} показано, что расстояние по меридиану от широты $φ$ до экватора определяется выражением ( $φ$ в радианах)

m(\phi )=\int _{0}^{\phi }M(\phi ')\,d\phi '=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi '

где $M (φ)$ — меридиональный радиус кривизны .

Расстояние в четверть меридиана от экватора до полюса равно

m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,

Для WGS84 это расстояние 10 001,965 составляет 729 км .

Оценка интеграла меридионального расстояния занимает центральное место во многих исследованиях в области геодезии и картографической проекции. Его можно оценить, разложив интеграл в биномиальный ряд и почленно интегрируя: см. в разделе «Дуга меридиана» подробности . Длина дуги меридиана между двумя заданными широтами определяется путем замены пределов интеграла на соответствующие широты. Длина малой дуги меридиана определяется выражением ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

\delta m(\phi )=M(\phi )\,\delta \phi =a\left(1-e^{2}\right)\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,\delta \phi

$\phi$	$Д 1 годы$	$Д 1 длинный$
0°	110,574 км	111,320 км
15°	110,649 км	107,550 км
30°	110,852 км	96,486 км
45°	111,132 км	78,847 км
60°	111,412 км	55.800 км
75°	111,618 км	28,902 км
90°	111,694 км	0.000 км

Когда разница широт составляет 1 градус, что соответствует ⁠ $π$ / 180 ⁠ радиан, расстояние по дуге около

\Delta _{\text{lat}}^{1}={\frac {\pi a\left(1-e^{2}\right)}{180^{\circ }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}

Расстояние в метрах (с точностью до 0,01 метра) между широтами. $\phi$ − 0,5 градуса и $\phi$ +0,5 градуса на сфероиде WGS84 составляет

\Delta _{\text{lat}}^{1}=111\,132.954-559.822\cos 2\phi +1.175\cos 4\phi

Изменение этого расстояния в зависимости от широты (на WGS84 ) показано в таблице вместе с длиной градуса долготы (расстояние восток-запад):

\Delta _{\text{long}}^{1}={\frac {\pi a\cos \phi }{180^{\circ }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}}\,

Калькулятор для любой широты предоставлен Национальным агентством геопространственной разведки (NGA) правительства США. ^{[ 8 ]}

Следующий график иллюстрирует изменение как градуса широты, так и градуса долготы в зависимости от широты.

Вспомогательные широты

Выделяют шесть вспомогательных широт , которые имеют применение к специальным задачам геодезии, геофизики и теории картографических проекций:

Геоцентрическая широта
Параметрическая (или приведенная) широта
Исправление широты
Аутентичная широта
Равноугольная широта
Изометрическая широта

Все определения, данные в этом разделе, относятся к местоположениям на эталонном эллипсоиде, но первые две вспомогательные широты, такие как геодезическая широта, могут быть расширены для определения трехмерной географической системы координат, как описано ниже . Остальные широты таким образом не используются; они используются только как промежуточные конструкции в картографических проекциях опорного эллипсоида на плоскость или при расчетах геодезических на эллипсоид. Их численные значения не представляют интереса. Например, никому не понадобится вычислять подлинную широту Эйфелевой башни.

Выражения ниже дают вспомогательные широты через геодезическую широту, большую полуось $a$ и эксцентриситет $e$ . (Об обратных формах см. ниже .) Приведенные формы, помимо вариантов обозначений, соответствуют стандартному справочнику по картографическим проекциям, а именно «Картографические проекции: рабочее руководство» Дж. П. Снайдера. ^{[ 9 ]} Вывод этих выражений можно найти у Адамса. ^{[ 10 ]} и онлайн-публикации Осборна ^{[ 6 ]} и Рэпп. ^{[ 7 ]}

Геоцентрическая широта

Геоцентрическая широта — это угол между плоскостью экватора и радиусом от центра до интересующей точки.

Когда точка находится на поверхности эллипсоида, соотношение между геоцентрической широтой ( $θ$ ) и геодезической широтой ( $φ$ ):

\theta (\phi )=\tan ^{-1}\left(\left(1-e^{2}\right)\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)^{2}\tan \phi \right)\,.

Для точек, не находящихся на поверхности эллипсоида, соотношение дополнительно включает эллипсоидную высоту h :

\theta (\phi ,h)=\tan ^{-1}\left({\frac {N(1-f)^{2}+h}{N+h}}\tan \phi \right)

где $N$ — основной вертикальный радиус кривизны. Геодезическая и геоцентрическая широты равны на экваторе и на полюсах, но на других широтах они различаются на несколько угловых минут. Приняв значение квадрата эксцентриситета за 0,0067 (зависит от выбора эллипсоида), получим максимальную разницу $\phi {-}\theta$ можно показать, что она составляет около 11,5 угловых минут на геодезической широте примерно 45 ° 6 '. ^{[ б ]}

Параметрическая широта (или уменьшенная широта)

Параметрическая широта или приведенная широта β $Q$ определяется радиусом, проведенным от центра эллипсоида до этой точки $на$ окружающей сфере (радиуса $a$ ), которая является проекцией, параллельной оси Земли, точки $P$ на эллипсоиде. на широте $φ$ . Его представил Лежандр. ^{[ 11 ]} и Бессель ^{[ 12 ]} который решил задачи геодезической на эллипсоиде, преобразовав их в эквивалентную задачу для сферической геодезической, используя эту меньшую широту. Обозначение Бесселя $u (φ)$ также используется в современной литературе. Параметрическая широта связана с геодезической широтой соотношением: ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

\beta (\phi )=\tan ^{-1}\left({\sqrt {1-e^{2}}}\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)\tan \phi \right)

Альтернативное название возникает из-за параметризации уравнения эллипса, описывающего меридиональное сечение. В декартовых координатах $p$ , расстояние от малой оси, и $z$ , расстояние над экваториальной плоскостью, уравнение эллипса имеет вид:

{\frac {p^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\,.

Декартовы координаты точки параметризуются

p=a\cos \beta \,,\qquad z=b\sin \beta \,;

Кэли предложил термин «параметрическая широта» из-за формы этих уравнений. ^{[ 13 ]}

Параметрическая широта не используется в теории картографических проекций. Его наиболее важное применение находится в теории эллипсоидной геодезической ( Винсенти , Карни ^{[ 14 ]}).

Исправление широты

Спрямляющая широта , $μ$ , представляет собой расстояние по меридиану, масштабированное так, что его значение на полюсах равно 90 градусам или ⁠ $π$ / 2 ⁠ радиан:

\mu (\phi )={\frac {\pi }{2}}{\frac {m(\phi )}{m_{\mathrm {p} }}}

где расстояние по меридиану от экватора до широты $φ$ равно (см. дугу меридиана )

m(\phi )=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi '\,,

а длина квадранта меридиана от экватора до полюса ( полярное расстояние ) равна

m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.

Использование выпрямляющей широты для определения широты на сфере радиуса.

R={\frac {2m_{\mathrm {p} }}{\pi }}

определяет проекцию эллипсоида на сферу, при которой все меридианы имеют истинную длину и одинаковый масштаб. Затем сферу можно спроецировать на плоскость с помощью равнопрямоугольной проекции, чтобы получить двойную проекцию эллипсоида на плоскость, так что все меридианы будут иметь истинную длину и одинаковый масштаб меридиана. Примером использования спрямляющей широты является равноотстоящая коническая проекция . (Снайдер, раздел 16). ^{[ 9 ]} Спрямляющая широта имеет также большое значение при построении поперечной проекции Меркатора .

Аутентичная широта

Аутентичная широта (от греческого слова « та же площадь »), $ξ$ , дает равной площади проекцию сферы .

\xi (\phi )=\sin ^{-1}\left({\frac {q(\phi )}{q_{\mathrm {p} }}}\right)

где

{\begin{aligned}q(\phi )&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)\\[2pt]&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\end{aligned}}

и

{\begin{aligned}q_{\mathrm {p} }=q\left({\frac {\pi }{2}}\right)&=1-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e}{1+e}}\right)\\&=1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}e\end{aligned}}

а радиус сферы принимается как

R_{q}=a{\sqrt {\frac {q_{\mathrm {p} }}{2}}}\,.

Примером использования подлинной широты является равновеликая коническая проекция Альберса . ^{[ 9 ]}^: §14

Равноугольная широта

Конформная широта χ $)$ дает сохраняющее угол ( конформное преобразование сферы. ^{[ 15 ]}

{\begin{aligned}\chi (\phi )&=2\tan ^{-1}\left[\left({\frac {1+\sin \phi }{1-\sin \phi }}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{e}\right]^{\frac {1}{2}}-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=2\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {\phi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{\frac {e}{2}}\right]-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=\tan ^{-1}\left[\sinh \left(\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right)\right]\\&=\operatorname {gd} \left[\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right]\end{aligned}}

где $gd(x)$ — функция Гудермана . (См. также проекцию Меркатора .)

Конформная широта определяет преобразование эллипсоида в сферу произвольного радиуса, при котором угол пересечения любых двух линий на эллипсоиде равен соответствующему углу на сфере (так что форма малых элементов хорошо сохраняется). . Дальнейшее конформное преобразование сферы в плоскость дает конформную двойную проекцию эллипсоида на плоскость. Это не единственный способ создания такой конформной проекции. Например, «точная» версия поперечной проекции Меркатора на эллипсоиде не является двойной проекцией. (Однако это предполагает обобщение конформной широты на комплексную плоскость).

Изометрическая широта

Изометрическая широта ψ $и$ используется при разработке эллипсоидных версий нормальной проекции Меркатора поперечной проекции Меркатора . Название «изометрический» происходит от того факта, что в любой точке эллипсоида равные приращения $ψ$ и долготы $λ$ приводят к смещениям на равные расстояния вдоль меридианов и параллелей соответственно. Сетка , определяемая линиями постоянной $ψ$ и постоянной $λ$ , делит поверхность эллипсоида на сетку квадратов (разного размера). Изометрическая широта равна нулю на экваторе, но быстро отклоняется от геодезической широты, стремясь к бесконечности на полюсах. Условные обозначения даны у Снайдера (стр. 15): ^{[ 9 ]}

{\begin{aligned}\psi (\phi )&=\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\right]+{\frac {e}{2}}\ln \left[{\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right]\\&=\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\\&=\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi ).\end{aligned}}

Для нормальной проекции Меркатора (на эллипсоид) эта функция определяет расстояние между параллелями: если длина экватора в проекции равна $E$ (единицы длины или пиксели), то расстояние $y$ от параллели широты $φ$ от экватор

y(\phi )={\frac {E}{2\pi }}\psi (\phi )\,.

Изометрическая широта $ψ$ тесно связана с конформной широтой $χ$ :

\psi (\phi )=\operatorname {gd} ^{-1}\chi (\phi )\,.

Обратные формулы и ряды

Формулы в предыдущих разделах дают вспомогательную широту через геодезическую широту. Выражения для геоцентрических и параметрических широт можно инвертировать напрямую, но это невозможно в оставшихся четырех случаях: спрямляющих, аутентичных, конформных и изометрических широтах. Есть два способа действовать.

Первый представляет собой численное обращение определяющего уравнения для каждого конкретного значения вспомогательной широты. Доступные методы: итерация с фиксированной точкой и поиск корня Ньютона – Рафсона .
- При преобразовании изометрического или конформного в геодезический две итерации Ньютона-Рафсона дают точность двойной точности . ^{[ 16 ]}
Другой, более полезный подход — выразить вспомогательную широту как ряд через геодезическую широту, а затем инвертировать этот ряд методом обращения Лагранжа . Такие ряды представлены Адамсом, который использует разложение в ряд Тейлора и дает коэффициенты через эксцентриситет. ^{[ 10 ]} Ориуэла ^{[ 17 ]} дает ряды для преобразований между всеми парами вспомогательных широт в терминах третьего уплощения, $n = (a - b)/(a + b)$ . Карни ^{[ 18 ]} устанавливает, что ошибки усечения для таких рядов последовательно меньше, чем у эквивалентного ряда с точки зрения эксцентриситета. Метод рядов неприменим к изометрической широте, и конформную широту необходимо найти на промежуточном этапе. ^{[ 6 ]}

Численное сравнение вспомогательных широт

График справа показывает разницу между геодезической широтой и вспомогательными широтами, отличными от изометрической широты (которая расходится до бесконечности на полюсах) для случая эллипсоида WGS84. Различия, показанные на графике, указаны в угловых минутах. В северном полушарии (положительные широты) θ ≤ χ ≤ μ ≤ ξ ≤ β ≤ φ ; в южном полушарии (отрицательные широты) неравенство меняется на противоположное: равенство наблюдается на экваторе и полюсах. Хотя график кажется симметричным около 45°, минимумы кривых на самом деле лежат между 45°2’ и 45°6’. Некоторые репрезентативные данные приведены в таблице ниже. Конформные и геоцентрические широты почти неразличимы, и этот факт использовался во времена ручных калькуляторов для ускорения построения картографических проекций. ^{[ 9 ]}^: 108

В первом порядке по уплощению f вспомогательные широты можно выразить как ζ = φ − Cf sin 2 φ где константа C принимает значения [ 1 ⁄ 2 , 2 ⁄ 3 , 3 ⁄ 4 , 1, 1] для ζ знак равно [ β , ξ , μ , χ , θ ].

Примерное отличие от геодезической широты ( $φ$ )
$φ$	Параметрический $б - φ$	Аутентичный $ξ - φ$	Исправление $м - φ$	конформный $х - φ$	Геоцентрический $θ - φ$
0°	0.00′	0.00′	0.00′	0.00′	0.00′
15°	−2.88′	−3.84′	−4.32′	−5.76′	−5.76′
30°	−5.00′	−6.66′	−7.49′	−9.98′	−9.98′
45°	−5.77′	−7.70′	−8.66′	−11.54′	−11.55′
60°	−5.00′	−6.67′	−7.51′	−10.01′	−10.02′
75°	−2.89′	−3.86′	−4.34′	−5.78′	−5.79′
90°	0.00′	0.00′	0.00′	0.00′	0.00′

Широта и системы координат

Геодезическая широта или любая из вспомогательных широт, определенных на эталонном эллипсоиде, вместе с долготой составляют двумерную систему координат на этом эллипсоиде. Чтобы определить положение произвольной точки, необходимо расширить такую систему координат на три измерения. Таким образом используются три широты: геодезические, геоцентрические и параметрические широты используются в геодезических координатах, сферических полярных координатах и эллипсоидных координатах соответственно.

Геодезические координаты

В произвольной точке $P$ рассмотрим линию $PN$ , нормальную к опорному эллипсоиду. Геодезические координаты $P(ɸ, λ, h)$ — это широта и долгота точки $N$ на эллипсоиде и расстояние $PN$ . Эта высота отличается от высоты над геоидом или от эталонной высоты, например, от высоты над средним уровнем моря в указанном месте. Направление $ПН$ также будет отличаться от направления вертикального отвеса. Соотношение этих разных высот требует знания формы геоида, а также гравитационного поля Земли.

Сферические полярные координаты

Геоцентрическая широта $θ$ — это дополнение к полярному углу или широте $θ’$ в обычных сферических полярных координатах , в которых координаты точки равны $P(r, θ ’, λ),$ где $r$ — расстояние $P$ от центра $O$ , $θ. '$ — угол между радиусом-вектором и полярной осью, а $λ$ — долгота. Поскольку нормаль в общей точке эллипсоида не проходит через центр, ясно, что точки $P'$ на нормали, имеющие одну и ту же геодезическую широту, будут иметь разные геоцентрические широты. При анализе гравитационного поля используются сферические полярные системы координат.

Эллипсоидно-гармонические координаты

Параметрическую широту также можно расширить до трехмерной системы координат. Для точки $P,$ не находящейся на опорном эллипсоиде (полуоси $OA$ и $OB$ ), постройте вспомогательный эллипсоид, софокусный (те же фокусы $F$ , $F'$ ) с опорным эллипсоидом: необходимым условием является то, что произведение $ae$ большой полуоси и эксцентриситет одинаков для обоих эллипсоидов. Пусть $u$ — малая полуось ( $OD$ ) вспомогательного эллипсоида. Далее, пусть $β$ — параметрическая широта точки $P$ на вспомогательном эллипсоиде. Набор $(u, β, λ)$ определяет эллипсоидально-гармонические координаты ^{[ 19 ]} или просто эллипсоидные координаты ^{[ 5 ]}^: §4.2.2 (хотя этот термин также используется для обозначения геодезических координат). Эти координаты являются естественным выбором в моделях гравитационного поля вращающегося эллипсоидного тела. Сказанное выше относится к двуосному эллипсоиду (сфероиду, как в сплюснутых сфероидальных координатах ); для обобщения см. трехосные эллипсоидные координаты .

Координатные преобразования

Здесь не представлены связи между указанными выше системами координат, а также декартовыми координатами. Преобразование между геодезическими и декартовыми координатами можно найти в преобразовании географических координат . Связь декартовых и сферических поляр задается в сферической системе координат . Связь декартовых и эллипсоидных координат обсуждается у Торге. ^{[ 5 ]}

Астрономическая широта

Океан
Эллипсоид
Местный водопровод
Континент
геоид

Астрономическая широта ( $Φ$ ) — это угол между плоскостью экватора и истинным вертикальным направлением в точке на поверхности. Истинная вертикаль, направление отвеса , также является направлением силы тяжести (результат гравитационного ускорения (основанного на массе) и центробежного ускорения ) на этой широте. ^{[ 5 ]} Астрономическая широта рассчитывается на основе углов, измеренных между зенитом и звездами, склонение которых точно известно.

В общем случае истинная вертикаль в точке поверхности не совсем совпадает ни с нормалью к опорному эллипсоиду, ни с нормалью к геоиду. Геоид — это идеализированная теоретическая форма «на среднем уровне моря». Точки на суше не лежат точно на геоиде, и на вертикаль в точке в определенное время влияют приливные силы, которые усредняет теоретический геоид. Угол между астрономическими и геодезическими нормалями называется вертикальным отклонением и обычно составляет несколько угловых секунд, но он важен в геодезии. ^{[ 5 ]}^{[ 20 ]}

Астрономическую широту не следует путать ни со склонением , координатами, которые астрономы используют аналогичным образом для определения углового положения звезд к северу-югу от небесного экватора (см. экваториальные координаты ), ни с эклиптической широтой , координатой, которую астрономы используют для определения угловое положение звезд к северу–югу от эклиптики (см. координаты эклиптики ).

См. также

Ссылки

Сноски

^ Значение этого угла сегодня составляет 23°26′09,9″ (или 23,43609°). Этот рисунок предоставлен Шаблон:Круг широты .
^ Элементарный расчет включает дифференцирование, чтобы найти максимальную разницу геодезических и геоцентрических широт.

Цитаты

^ «ISO 19111 Географическая информация. Привязка по координатам» . ИСО . 01.06.2021 . Проверено 16 января 2022 г.
^ Корпорация Trinity House (10 января 2020 г.). «1/2020 Маяк Иглы» . Уведомления морякам . Проверено 24 мая 2020 г.
^ Ньютон, Исаак. «Книга III. Предложение XIX. Проблема III». Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica . Перевод Мотта, Эндрю. п. 407 .
^ Национальное агентство изображений и картографии (23 июня 2004 г.). «Мировая геодезическая система Министерства обороны 1984 года» (PDF) . Национальное агентство изображений и картографии. п. 3-1. ТР8350.2 . Проверено 25 апреля 2020 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Торге, В. (2001). Геодезия (3-е изд.). Де Грюйтер. ISBN 3-11-017072-8 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Осборн, Питер (2013). «Главы 5,6». Прогнозы Меркатора . дои : 10.5281/zenodo.35392 . для кода LaTeX и цифр.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Рэпп, Ричард Х. (1991). «Глава 3». Геометрическая геодезия, часть I. Колумбус, Огайо: Кафедра геодезических наук и геодезии, Университет штата Огайо. hdl : 1811/24333 .
^ «Калькулятор длины градуса» . Национальное агентство геопространственной разведки. Архивировано из оригинала 11 декабря 2012 г. Проверено 8 февраля 2011 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции: Рабочее руководство . Профессиональный документ Геологической службы США 1395. Вашингтон, округ Колумбия: Типография правительства США. Архивировано из оригинала 16 мая 2008 г. Проверено 2 сентября 2017 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Адамс, Оскар С. (1921). Развитие широты, связанное с геодезией и картографией (с таблицами, включая таблицу для равновеликой меридиональной проекции Ламберта (PDF) . Специальная публикация № 67. Береговая и геодезическая служба США. ( Примечание : Адамс использует номенклатурную изометрическую широту для конформной широты эту статью (и всю современную литературу).)
^ Лежандр, AM (1806 г.). «Анализ треугольников, нарисованных на поверхности сфероида». Память Инст. Нат. о. 1 семестр: 130–161.
^ Бессель, Ф.В. (1825 г.). «О расчете географических долгот и широт по геодезическим съемкам». Астрон. Сообщение . 4 (86): 241–254. arXiv : 0908.1824 . Бибкод : 2010AN....331..852K . дои : 10.1002/asna.201011352 . S2CID 118760590 .
Перевод: Карни, CFF; Дикин, RE (2010). «Расчет долготы и широты по геодезическим измерениям». Астрон. Нахр . 331 (8): 852–861. arXiv : 0908.1824 . Бибкод : 1825AN......4..241B . дои : 10.1002/asna.18260041601 . S2CID 118630614 .
^ Кэли, А. (1870). «О геодезических линиях на сплюснутом сфероиде». Фил. Маг . 40 (4-я серия): 329–340. дои : 10.1080/14786447008640411 .
^ Карни, CFF (2013). «Алгоритмы геодезических». Журнал геодезии . 87 (1): 43–55. arXiv : 1109.4448 . Бибкод : 2013JGeod..87...43K . дои : 10.1007/s00190-012-0578-z . S2CID 119310141 .
^ Лагранж, Жозеф-Луи (1779). «О построении географических карт» . Работы (на французском языке). Полет. IV. п. 667.
^ Карни, Чарльз Ф.Ф. (август 2011 г.). «Поперечный Меркатор с точностью до нескольких нанометров». Журнал геодезии . 85 (8): 475–485. arXiv : 1002.1417 . Бибкод : 2011JGeod..85..475K . дои : 10.1007/s00190-011-0445-3 . S2CID 118619524 .
^ Ориуэла, Себастьян (2013). «Функции широты» .
^ Карни, Чарльз ФФ (2023). «На вспомогательных широтах». Обзор опроса . 56 (395): 165–180. arXiv : 2212.05818 . дои : 10.1080/00396265.2023.2217604 .
^ Хольфманн-Велленфор и Мориц (2006) Физическая геодезия , стр.240, ур. от (6-6) до (6-10).
^ Хофманн-Велленхоф, Б.; Мориц, Х. (2006). Физическая геодезия (2-е изд.). ISBN 3-211-33544-7 .

Внешние ссылки

Сервер имен GEONets . Архивировано 9 марта 2008 г. в Wayback Machine . доступ к базе данных Национального агентства геопространственной разведки (NGA) с названиями зарубежных географических объектов.
Ресурсы для определения широты и долготы. Архивировано 19 мая 2008 г. на Wayback Machine.
Преобразуйте десятичные градусы в градусы, минуты, секунды . Архивировано 7 ноября 2012 г. на Wayback Machine - информация о преобразовании десятичных чисел в шестидесятеричные .
Преобразование десятичных градусов в градусы, минуты, секунды
Расчет расстояния на основе широты и долготы – версия JavaScript
Исследование широты XVI века
Определение широты Фрэнсисом Дрейком на побережье Калифорнии в 1579 году.

[3] Значение этого угла сегодня составляет 23°26′09,9″ (или 23,43609°). Этот рисунок предоставлен Шаблон:Круг широты .

[12] Элементарный расчет включает дифференцирование, чтобы найти максимальную разницу геодезических и геоцентрических широт.

[1] «ISO 19111 Географическая информация. Привязка по координатам» . ИСО . 01.06.2021 . Проверено 16 января 2022 г.

[2] Корпорация Trinity House (10 января 2020 г.). «1/2020 Маяк Иглы» . Уведомления морякам . Проверено 24 мая 2020 г.

[newton-4] Ньютон, Исаак. «Книга III. Предложение XIX. Проблема III». Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica . Перевод Мотта, Эндрю. п. 407 .

[5] Национальное агентство изображений и картографии (23 июня 2004 г.). «Мировая геодезическая система Министерства обороны 1984 года» (PDF) . Национальное агентство изображений и картографии. п. 3-1. ТР8350.2 . Проверено 25 апреля 2020 г.

[torge-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Торге, В. (2001). Геодезия (3-е изд.). Де Грюйтер. ISBN 3-11-017072-8 .

[osborne-7] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Осборн, Питер (2013). «Главы 5,6». Прогнозы Меркатора . дои : 10.5281/zenodo.35392 . для кода LaTeX и цифр.

[rapp-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Рэпп, Ричард Х. (1991). «Глава 3». Геометрическая геодезия, часть I. Колумбус, Огайо: Кафедра геодезических наук и геодезии, Университет штата Огайо. hdl : 1811/24333 .

[9] «Калькулятор длины градуса» . Национальное агентство геопространственной разведки. Архивировано из оригинала 11 декабря 2012 г. Проверено 8 февраля 2011 г.

[snyder-10] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции: Рабочее руководство . Профессиональный документ Геологической службы США 1395. Вашингтон, округ Колумбия: Типография правительства США. Архивировано из оригинала 16 мая 2008 г. Проверено 2 сентября 2017 г.

[adams1921-11] Перейти обратно: ^а ^б Адамс, Оскар С. (1921). Развитие широты, связанное с геодезией и картографией (с таблицами, включая таблицу для равновеликой меридиональной проекции Ламберта (PDF) . Специальная публикация № 67. Береговая и геодезическая служба США. ( Примечание : Адамс использует номенклатурную изометрическую широту для конформной широты эту статью (и всю современную литературу).)

[legendre-13] Лежандр, AM (1806 г.). «Анализ треугольников, нарисованных на поверхности сфероида». Память Инст. Нат. о. 1 семестр: 130–161.

[bessel-14] Бессель, Ф.В. (1825 г.). «О расчете географических долгот и широт по геодезическим съемкам». Астрон. Сообщение . 4 (86): 241–254. arXiv : 0908.1824 . Бибкод : 2010AN....331..852K . дои : 10.1002/asna.201011352 . S2CID 118760590 .
Перевод: Карни, CFF; Дикин, RE (2010). «Расчет долготы и широты по геодезическим измерениям». Астрон. Нахр . 331 (8): 852–861. arXiv : 0908.1824 . Бибкод : 1825AN......4..241B . дои : 10.1002/asna.18260041601 . S2CID 118630614 .

[cayley-15] Кэли, А. (1870). «О геодезических линиях на сплюснутом сфероиде». Фил. Маг . 40 (4-я серия): 329–340. дои : 10.1080/14786447008640411 .

[Karney-16] Карни, CFF (2013). «Алгоритмы геодезических». Журнал геодезии . 87 (1): 43–55. arXiv : 1109.4448 . Бибкод : 2013JGeod..87...43K . дои : 10.1007/s00190-012-0578-z . S2CID 119310141 .

[17] Лагранж, Жозеф-Луи (1779). «О построении географических карт» . Работы (на французском языке). Полет. IV. п. 667.

[18] Карни, Чарльз Ф.Ф. (август 2011 г.). «Поперечный Меркатор с точностью до нескольких нанометров». Журнал геодезии . 85 (8): 475–485. arXiv : 1002.1417 . Бибкод : 2011JGeod..85..475K . дои : 10.1007/s00190-011-0445-3 . S2CID 118619524 .

[19] Ориуэла, Себастьян (2013). «Функции широты» .

[20] Карни, Чарльз ФФ (2023). «На вспомогательных широтах». Обзор опроса . 56 (395): 165–180. arXiv : 2212.05818 . дои : 10.1080/00396265.2023.2217604 .

[21] Хольфманн-Велленфор и Мориц (2006) Физическая геодезия , стр.240, ур. от (6-6) до (6-10).

[wellenhofmoritz-22] Хофманн-Велленхоф, Б.; Мориц, Х. (2006). Физическая геодезия (2-е изд.). ISBN 3-211-33544-7 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ а ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ б ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]