Доказательство без слов

В математике доказательство без слов (или визуальное доказательство ) — это иллюстрация тождества или математического утверждения, которое можно продемонстрировать как самоочевидное с помощью диаграммы без какого-либо сопровождающего пояснительного текста. Такие доказательства можно считать более элегантными, чем формальные или математически строгие доказательства, из-за их самоочевидности. ^{[ 1 ]} Когда диаграмма демонстрирует частный случай общего утверждения, чтобы быть доказательством, оно должно быть обобщаемым. ^{[ 2 ]}

Доказательство без слов — это не то же самое, что математическое доказательство , поскольку оно опускает детали логического аргумента, который иллюстрирует. Однако он может дать зрителю ценную интуицию, которая поможет ему сформулировать или лучше понять истинное доказательство.

Примеры

Сумма нечетных чисел

Доказательство без слов теоремы о сумме нечетных чисел

Утверждение о том, что сумма всех положительных нечетных чисел до 2 n − 1 является полным квадратом , точнее, полным квадратом n ²— может быть продемонстрировано доказательством без слов. ^{[ 3 ]}

В одном углу сетки один блок представляет 1, первый квадрат. Его можно обернуть с двух сторон полосой из трех блоков (следующее нечетное число), чтобы получился блок 2 × 2: 4, второй квадрат. Если добавить еще пять блоков, получится блок 3 × 3: 9, третий квадрат. Этот процесс можно продолжать бесконечно.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора о том, что $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ можно доказать без слов. ^{[ 4 ]}

Один из способов сделать это — визуализировать больший квадрат со сторонами. $a+b$ , с четырьмя прямоугольными треугольниками сторон $a$ , $b$ и $c$ по углам так, что пространство посередине представляет собой диагональный квадрат площадью $c^{2}$ . Четыре треугольника можно переставить внутри большего квадрата, чтобы разделить неиспользуемое пространство на два квадрата. $a^{2}$ и $b^{2}$ . ^{[ 5 ]}

Неравенство Дженсена

Неравенство Йенсена можно доказать и графически. Пунктирная кривая по оси X — это гипотетическое распределение X , а пунктирная линия по оси Y — соответствующее распределение Y. значений Выпуклое отображение Y ( X распределение для увеличения значений X. ) все больше «растягивает » ^{[ 6 ]}

Использование

Журнал Mathematics Magazine и College Mathematics Journal регулярно публикуют статью под названием «Доказательство без слов», содержащую, как следует из названия, доказательства без слов. ^{[ 3 ]} На веб-сайтах «Искусство решения проблем» и USAMTS используются Java-апплеты, иллюстрирующие доказательства без слов. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

По сравнению с формальными доказательствами

Чтобы доказательство было принято математическим сообществом, оно должно логически показать, как утверждение, которое оно призвано доказать, полностью и неизбежно следует из набора предположений . ^{[ 9 ]} Доказательство без слов могло бы подразумевать такой аргумент, но оно не приводит его непосредственно, поэтому оно не может заменить формальное доказательство там, где оно требуется. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} Скорее, математики используют доказательства без слов в качестве иллюстраций и учебных пособий для идей, которые уже были формально доказаны. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

См. также

Теорема о пицце - Равенство площадей разрезанного диска
Философия математики
Теория доказательств - Раздел математической логики.
Визуальное исчисление - Визуальные математические доказательства

Примечания

^ Данэм 1994 , с. 120
^ Вайсштейн, Эрик В. «Доказательство без слов» . Математический мир . Проверено 20 июня 2008 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Данэм 1994 , с. 121
^ Нельсен 1997 , с. 3
^ Бенсон, Дональд. Момент доказательства: математические прозрения , стр. 172–173 (Oxford University Press, 1999).
^ МакШейн, Э.Дж. (1937), «Неравенство Дженсена», Бюллетень Американского математического общества , том. 43, нет. 8, Американское математическое общество, с. 527, номер номера : 10.1090/S0002-9904-1937-06588-8
^ Галерея доказательств , Искусство решения проблем , получено 28 мая 2015 г.
^ Галерея доказательств , USA Mathematical Talent Search , получено 28 мая 2015 г.
^ Ланг, Серж (1971). Базовая математика . Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. п. 94. Мы всегда стараемся четко помнить о том, что предполагаем и что доказываем. Под «доказательством» мы подразумеваем последовательность утверждений, каждое из которых либо предполагается, либо следует из предыдущих утверждений по правилу дедукции, которое само предполагается.
^ Бенсон, Стив; Аддингтон, Сьюзен; Аршавский, Нина; Куоко; Ал; Гольденберг, Э. Пол; Карновски, Эрик (6 октября 2004 г.). Руководство для фасилитатора, как думать о математике (Иллюстрированное издание). Корвин Пресс. п. 78. ИСБН 9781412905206 . Доказательства без слов, строго говоря, не являются доказательствами , поскольку обычно отсутствуют детали.
^ Спивак, Михаил (2008). Исчисление (4-е изд.). Хьюстон, Техас: Publish or Perish, Inc., с. 138. ИСБН 978-0-914098-91-1 . Однако основание аргумента на геометрической картине не является доказательством...
^ Бенсон, Стив; Аддингтон, Сьюзен; Аршавский, Нина; Куоко; Ал; Гольденберг, Э. Пол; Карновски, Эрик (6 октября 2004 г.). Руководство для фасилитатора, как думать о математике (Иллюстрированное издание). Корвин Пресс. п. 78. ИСБН 9781412905206 . Однако, поскольку большинство доказательств без слов носят визуальный характер, они часто служат напоминанием или намеком на то, чего не хватает.
^ Шульте, Том (12 января 2011 г.). «Доказательства без слов: Упражнения по наглядному мышлению (обзор)» . Обзоры МАА . Математическая ассоциация Америки . Проверено 26 октября 2022 г. Эта небольшая коллекция разнообразных визуальных «доказательств» (можно утверждать, что этот термин здесь широко применяется) интересна и поучительна. Лично я нахожу такие представления привлекательными и стимулирующими, помогающими этому «ага!» момент, когда символический аргумент, кажется, не вносит ясности.

Ссылки

Данэм, Уильям (1994), Математическая Вселенная , Джон Уайли и сыновья, ISBN 0-471-53656-3
Нельсен, Роджер Б. (1997), Доказательства без слов: упражнения по визуальному мышлению , Математическая ассоциация Америки, стр. 160, ISBN 978-0-88385-700-7
Нельсен, Роджер Б. (2000), Доказательства без слов II: Дополнительные упражнения по визуальному мышлению , Математическая ассоциация Америки, стр. 142 , ISBN 0-88385-721-9
Галли, Нед (4 марта 2010 г.), Шур, Лорен (ред.), Теорема Никомаха , Matlab Central .

[dunham120-1] Данэм 1994 , с. 120

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Доказательство без слов» . Математический мир . Проверено 20 июня 2008 г.

[dunham121-3] Перейти обратно: ^а ^б Данэм 1994 , с. 121

[4] Нельсен 1997 , с. 3

[5] Бенсон, Дональд. Момент доказательства: математические прозрения , стр. 172–173 (Oxford University Press, 1999).

[6] МакШейн, Э.Дж. (1937), «Неравенство Дженсена», Бюллетень Американского математического общества , том. 43, нет. 8, Американское математическое общество, с. 527, номер номера : 10.1090/S0002-9904-1937-06588-8

[7] Галерея доказательств , Искусство решения проблем , получено 28 мая 2015 г.

[8] Галерея доказательств , USA Mathematical Talent Search , получено 28 мая 2015 г.

[9] Ланг, Серж (1971). Базовая математика . Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. п. 94. Мы всегда стараемся четко помнить о том, что предполагаем и что доказываем. Под «доказательством» мы подразумеваем последовательность утверждений, каждое из которых либо предполагается, либо следует из предыдущих утверждений по правилу дедукции, которое само предполагается.

[10] Бенсон, Стив; Аддингтон, Сьюзен; Аршавский, Нина; Куоко; Ал; Гольденберг, Э. Пол; Карновски, Эрик (6 октября 2004 г.). Руководство для фасилитатора, как думать о математике (Иллюстрированное издание). Корвин Пресс. п. 78. ИСБН 9781412905206 . Доказательства без слов, строго говоря, не являются доказательствами , поскольку обычно отсутствуют детали.

[11] Спивак, Михаил (2008). Исчисление (4-е изд.). Хьюстон, Техас: Publish or Perish, Inc., с. 138. ИСБН 978-0-914098-91-1 . Однако основание аргумента на геометрической картине не является доказательством...

[12] Бенсон, Стив; Аддингтон, Сьюзен; Аршавский, Нина; Куоко; Ал; Гольденберг, Э. Пол; Карновски, Эрик (6 октября 2004 г.). Руководство для фасилитатора, как думать о математике (Иллюстрированное издание). Корвин Пресс. п. 78. ИСБН 9781412905206 . Однако, поскольку большинство доказательств без слов носят визуальный характер, они часто служат напоминанием или намеком на то, чего не хватает.

[13] Шульте, Том (12 января 2011 г.). «Доказательства без слов: Упражнения по наглядному мышлению (обзор)» . Обзоры МАА . Математическая ассоциация Америки . Проверено 26 октября 2022 г. Эта небольшая коллекция разнообразных визуальных «доказательств» (можно утверждать, что этот термин здесь широко применяется) интересна и поучительна. Лично я нахожу такие представления привлекательными и стимулирующими, помогающими этому «ага!» момент, когда символический аргумент, кажется, не вносит ясности.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]