Необоснованная эффективность математики в естественных науках

« Необоснованная эффективность математики в естественных науках » — статья 1960 года, написанная физиком Юджином Вигнером и опубликованная в журнале Communication in Pure and Applied Mathematics . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} В ней Вигнер отмечает, что структура теоретической физики математическая часто указывает путь к дальнейшему развитию этой теории и эмпирическим предсказаниям. Математические теории часто обладают предсказательной силой при описании природы.

Наблюдения и аргументы

Вигнер утверждает, что математические концепции применимы далеко за пределами контекста, в котором они были первоначально разработаны. Он пишет: «Важно отметить, что математическая формулировка часто грубого опыта физика приводит в сверхъестественном количестве случаев к поразительно точному описанию большого класса явлений». ^{[ 3 ]} Он добавляет, что наблюдение «законы природы написаны на языке математики », сделанное Галилеем триста лет назад, «теперь более верно, чем когда-либо прежде».

Первый пример Вигнера — закон тяготения , сформулированный Исааком Ньютоном . Первоначально использовавшийся для моделирования свободно падающих тел на поверхности Земли, этот закон был расширен на основе того, что Вигнер называет «очень скудными наблюдениями». ^{[ 3 ]} для описания движения планет, где оно «оказалось точным, превзойдя все разумные ожидания». ^{[ 4 ]} Вигнер говорит, что «Ньютон ... заметил, что парабола пути брошенного камня на Земле и круг пути Луны по небу являются частными случаями одного и того же математического объекта эллипса, и постулировал универсальный закон тяготения на на основе единственного и в то время весьма приблизительного числового совпадения».

Второй пример Вигнера взят из квантовой механики : Макс Борн «заметил, что некоторые правила вычислений, данные Гейзенбергом , формально идентичны правилам вычислений с матрицами, установленными задолго до этого математиками. Тогда Борн, Джордан и Гейзенберг предложили заменили матрицами переменные положения и импульса в уравнениях классической механики. Они применили правила матричной механики к нескольким сильно идеализированным задачам, и результаты были вполне удовлетворительными. Однако в то время не было рациональных доказательств того, что их матрица. механика окажется верной в более реалистичных условиях». Но Вольфганг Паули обнаружил, что их работа точно описывает атом водорода : «Это приложение дало результаты, согласующиеся с опытом». Атом гелия с двумя электронами более сложен, но «тем не менее, расчет самого низкого энергетического уровня гелия, выполненный несколько месяцев назад Киношитой в Корнелле и Базли в Бюро стандартов, согласуется с экспериментальными данными. данные в пределах точности наблюдений, которая составляет одну десятимиллионную долю. Конечно, в этом случае мы «получили что-то» из уравнений, чего не вводили». То же самое относится и к атомные спектры более тяжелых элементов.

Последний пример Вигнера взят из квантовой электродинамики : «В то время как теория гравитации Ньютона все еще имела очевидную связь с опытом, опыт вошел в формулировку матричной механики только в уточненной или сублимированной форме предписаний Гейзенберга. Квантовая теория лэмбовского сдвига , как ее понимал Бете и установленная Швингером , является чисто математической теорией, и единственный прямой вклад эксперимента заключался в том, чтобы показать существование измеримого эффекта. Согласие с расчетом лучше, чем одна тысячная».

Существуют и другие примеры, помимо упомянутых Вигнером. Другой часто цитируемый пример — уравнения Максвелла , выведенные для моделирования элементарных электрических и магнитных явлений, известных в середине 19 века. Уравнения также описывают радиоволны, открытые Дэвидом Эдвардом Хьюзом в 1879 году, примерно во время Джеймса Клерка Максвелла смерти .

Ответы

Среди полученных ответов на диссертацию можно отметить:

Ричард Хэмминг по информатике, «Необоснованная эффективность математики». ^{[ 5 ]}
Артур Леск по молекулярной биологии, «Необоснованная эффективность математики в молекулярной биологии». ^{[ 6 ]}
Питер Норвиг , искусственный интеллект, «Необоснованная эффективность данных». ^{[ 7 ]}
Макс Тегмарк по физике, «Математическая Вселенная». ^{[ 8 ]}
Айвор Граттан-Гиннесс по математике, «Разгадка тайны Вигнера: разумная (хотя, возможно, ограниченная) эффективность математики в естественных науках». ^{[ 9 ]}
Вела Велупилай по экономике, «Необоснованная неэффективность математики в экономике». ^{[ 10 ]}

Ричард Хэмминг

Математик и премии Тьюринга лауреат Ричард Хэмминг размышлял и расширил книгу Вигнера «Необоснованная эффективность » в 1980 году, обсудив четыре «частичных объяснения» этой теории: ^{[ 5 ]} и пришел к выводу, что они неудовлетворительны. Они были:

1. Люди видят то, что ищут . Убеждение в том, что наука экспериментально обоснована, верно лишь частично. Хэмминг приводит четыре примера нетривиальных физических явлений, которые, по его мнению, возникли благодаря используемым математическим инструментам, а не внутренним свойствам физической реальности.

Хэмминг предполагает, что Галилей открыл закон падения тел не путем экспериментов, а путем простого, хотя и осторожного размышления. ^{[ 11 ]} Хэмминг представляет себе, что Галилей проводил следующий мысленный эксперимент (эксперимент, который Хэмминг называет «схоластическим рассуждением», описан в книге Галилея « О движении »).

Предположим, что падающее тело разбилось на две части. Конечно, обе части немедленно замедлятся до соответствующей скорости. Но предположим далее, что один кусок случайно коснулся другого. Будут ли они теперь одним целым и оба ускорятся? Предположим, я связываю две части вместе. Насколько плотно мне нужно это сделать, чтобы они стали одним целым? Легкая струна? Веревка? Клей? Когда две части становятся одним? ^{[ 12 ]}

Падающее тело просто не может «ответить» на такие гипотетические «вопросы». Следовательно, Галилей пришел бы к выводу, что «падающим телам не нужно ничего знать, если все они падают с одинаковой скоростью, если только им не мешает другая сила». Придумав этот аргумент, Хэмминг нашел соответствующее обсуждение у Полиа (1963: 83-85). ^{[ 13 ]} Отчет Хэмминга не демонстрирует осведомленности о научных дебатах 20-го века по поводу того, что сделал Галилей. ^{[ нужны разъяснения ]}

Закон обратных квадратов всемирного тяготения с необходимостью следует из закона сохранения энергии пространства и трехмерного . Измерение показателя степени в законе всемирного тяготения — это скорее проверка того, является ли пространство евклидовым , чем проверка свойств гравитационного поля .
Неравенство, лежащее в основе принципа неопределенности квантовой механики, следует из свойств интегралов Фурье и предположения о временной инвариантности . ^{[ 14 ]}
Хэмминг утверждает, что Альберта Эйнштейна новаторская работа по специальной теории относительности была в значительной степени «схоластической» по своему подходу. Он с самого начала знал, как должна выглядеть теория (хотя он знал это только благодаря эксперименту Майкельсона-Морли ), и исследовал возможные теории с помощью математических инструментов, а не реальных экспериментов. Хэмминг утверждает, что Эйнштейн был настолько уверен в правильности своих теорий относительности, что результаты наблюдений, направленных на их проверку, его не особо интересовали. Если бы наблюдения не согласовывались с его теориями, то виноваты были бы наблюдения.

2. Люди создают и выбирают математику, соответствующую ситуации . Имеющаяся под рукой математика не всегда работает. Например, когда простые скаляры оказались неудобными для понимания сил, были изобретены сначала векторы , а затем тензоры .

3. Математика рассматривает лишь часть человеческого опыта . Большая часть человеческого опыта подпадает не под науку или математику, а под философию ценности , включая этику , эстетику и политическую философию . Утверждение, что мир можно объяснить с помощью математики, равнозначно акту веры.

4. Эволюция научила людей мыслить математически . Самые ранние формы жизни, должно быть, содержали в себе семена человеческой способности создавать и следовать длинным цепочкам тесных рассуждений.

Макс Тегмарк

Физик Макс Тегмарк утверждал, что эффективность математики в описании внешней физической реальности объясняется тем, что физический мир представляет собой абстрактную математическую структуру. ^{[ 8 ]}^{[ 15 ]} Эта теория, называемая гипотезой математической вселенной , отражает идеи, ранее выдвинутые Питером Аткинсом . ^{[ 16 ]} Однако Тегмарк прямо заявляет, что «истинная математическая структура, изоморфная нашему миру, если она существует, еще не найдена». Скорее, математические теории в физике успешны, потому что они аппроксимируют более сложную и предсказательную математику. По словам Тегмарка, «наши успешные теории — это не математика, приближающая физику, а простая математика, приближающая более сложную математику».

Айвор Граттан-Гиннесс

Айвор Грэттан-Гиннесс нашел рассматриваемую эффективность в высшей степени разумной и объяснимой с точки зрения таких понятий, как аналогия, обобщение и метафора. ^{[ 9 ]}^{[ нужны разъяснения ]}

Майкл Атья

Ситуация изменилась благодаря Майклу Атье с его эссе «Необоснованная эффективность физики в математике». Он утверждал, что набор инструментов физики позволяет такому практикующему специалисту, как Эдвард Виттен, выйти за рамки стандартной математики, в частности геометрии четырехмерных многообразий . Инструментами физика называют квантовую теорию поля , специальную теорию относительности , неабелеву калибровочную теорию , спин , киральность , суперсимметрию и электромагнитную дуальность . ^{[ 17 ]}

См. также

Ссылки

^ Вигнер, EP (1960). «Необоснованная эффективность математики в естественных науках. Лекция Рихарда Куранта по математическим наукам, прочитанная в Нью-Йоркском университете, 11 мая 1959 года» . Сообщения по чистой и прикладной математике . 13 (1): 1–14. Бибкод : 1960CPAM...13....1W . дои : 10.1002/cpa.3160130102 . S2CID 6112252 . Архивировано из оригинала 12 февраля 2021 г.
↑ Примечание: упоминание Вигнером Келлнера и Хиллерааса «... Джордан чувствовал, что мы были бы, по крайней мере временно, беспомощны, если бы произошло неожиданное разногласие в теории атома гелия. В то время она была разработана Келлнером и Хиллераасом. Хиллераасом...» относится к Георгу В. Келлнеру ( Келлнер, Георг В. (1927). «Напряжение ионизации гелия по теории Шрёдингера». Журнал физики . 44 (1–2): 91–109. Бибкод : 1927ZPhy...44...91K . дои : 10.1007/BF01391720 . S2CID 122213875 . ) и Эгилю Хиллераасу .
^ Jump up to: ^а ^б Вигнер 1960 , § Действительно ли успех физических теорий удивителен? п. 8
^ Вигнер 1960 , с. 9
^ Jump up to: ^а ^б Хэмминг, RW (1980). «Необоснованная эффективность математики» . Американский математический ежемесячник . 87 (2): 81–90. дои : 10.2307/2321982 . hdl : 10945/55827 . JSTOR 2321982 . Архивировано из оригинала 22 июня 2022 г. Проверено 30 июля 2021 г.
^ Леск, AM (2000). «Необоснованная эффективность математики в молекулярной биологии». Математический интеллект . 22 (2): 28–37. дои : 10.1007/BF03025372 . S2CID 120102813 .
^ Халеви, А .; Норвиг, П .; Перейра, Ф. (2009). «Необоснованная эффективность данных» (PDF) . Интеллектуальные системы IEEE . 24 (2): 8–12. дои : 10.1109/MIS.2009.36 . S2CID 14300215 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 августа 2022 г. Проверено 4 сентября 2015 г.
^ Jump up to: ^а ^б Тегмарк, Макс (2008). «Математическая Вселенная». Основы физики . 38 (2): 101–150. arXiv : 0704.0646 . Бибкод : 2008FoPh...38..101T . дои : 10.1007/s10701-007-9186-9 . S2CID 9890455 .
^ Jump up to: ^а ^б Граттан-Гиннесс, И. (2008). «Разгадка тайны Вигнера: разумная (хотя, возможно, ограниченная) эффективность математики в естественных науках». Математический интеллект . 30 (3): 7–17. дои : 10.1007/BF02985373 . S2CID 123174309 .
^ Велупилай, КВ (2005). «Необоснованная неэффективность математики в экономике». Кембриджский экономический журнал . 29 (6): 849–872. CiteSeerX 10.1.1.194.6586 . дои : 10.1093/cje/bei084 .
^ «Необоснованная эффективность математики - Р. У. Хэмминг - Некоторые частичные объяснения» . ned.ipac.caltech.edu . Проверено 6 января 2024 г.
^ Ван Хелден, Альберт (1995). «В движении» . Проект Галилео . Архивировано из оригинала 21 декабря 2017 года . Проверено 16 октября 2013 г.
^ Полиа, Джордж ; Боуден, Леон ; Школьная группа по изучению математики (1963). Математические методы в науке; курс лекций . Исследования по математике. Том. 11. Стэнфорд: Школьная группа по изучению математики. OCLC 227871299 .
^ Фолланд, Джеральд Б.; Ситарам, Аллади (1997). «Принцип неопределенности: математический обзор». Журнал анализа и приложений Фурье . 3 (3): 207–238. дои : 10.1007/BF02649110 . S2CID 121355943 .
^ Тегмарк, Макс (2014). Наша математическая Вселенная . Кнопф. ISBN 978-0-307-59980-3 .
^ Аткинс, Питер (1992). Возвращение к творению . У.Х.Фриман. ISBN 978-0-7167-4500-6 .
^ Атья, Майкл (2002). «Необоснованная эффективность физики в математике». В Фокасе А.С. (ред.). Основные моменты математической физики . Американское математическое общество . стр. 25–38. ISBN 0-8218-3223-9 . OCLC 50164838 .

Дальнейшее чтение

Сундар Саруккай (10 февраля 2005 г.). «Возвращение к« необоснованной эффективности »математики». Современная наука . 88 (3): 415–423. JSTOR 24110208 .
Касман, Алекс (апрель 2003 г.). «Необоснованная эффективность» . Журнал Math Horizons . 10 (4): 29–31. дои : 10.1080/10724117.2003.12023669 . S2CID 218542870 . Архивировано из оригинала 26 июня 2010 г. Проверено 30 сентября 2010 г. , кусок «математической фантастики».
Коливан, Марк (весна 2015 г.). «Аргументы незаменимости в философии математики» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 24 мая 2011 г. Проверено 17 февраля 2011 г.
Бангу, Сорин (2012). Применимость математики в науке: незаменимость и онтология . Новые направления в философии науки. Лондон: Плагрейв Макмиллан. ISBN 978-0230285200 .
Волчовер, Натали (9 декабря 2019 г.). «Почему законы физики неизбежны» . Журнал Кванта . Архивировано из оригинала 12 декабря 2019 года . Проверено 12 декабря 2019 г.
Математическая драма от Стэнфордского университета

[1] Вигнер, EP (1960). «Необоснованная эффективность математики в естественных науках. Лекция Рихарда Куранта по математическим наукам, прочитанная в Нью-Йоркском университете, 11 мая 1959 года» . Сообщения по чистой и прикладной математике . 13 (1): 1–14. Бибкод : 1960CPAM...13....1W . дои : 10.1002/cpa.3160130102 . S2CID 6112252 . Архивировано из оригинала 12 февраля 2021 г.

[2] Примечание: упоминание Вигнером Келлнера и Хиллерааса «... Джордан чувствовал, что мы были бы, по крайней мере временно, беспомощны, если бы произошло неожиданное разногласие в теории атома гелия. В то время она была разработана Келлнером и Хиллераасом. Хиллераасом...» относится к Георгу В. Келлнеру ( Келлнер, Георг В. (1927). «Напряжение ионизации гелия по теории Шрёдингера». Журнал физики . 44 (1–2): 91–109. Бибкод : 1927ZPhy...44...91K . дои : 10.1007/BF01391720 . S2CID 122213875 . ) и Эгилю Хиллераасу .

[Wigner60p8-3] Jump up to: ^а ^б Вигнер 1960 , § Действительно ли успех физических теорий удивителен? п. 8

[4] Вигнер 1960 , с. 9

[hamming-5] Jump up to: ^а ^б Хэмминг, RW (1980). «Необоснованная эффективность математики» . Американский математический ежемесячник . 87 (2): 81–90. дои : 10.2307/2321982 . hdl : 10945/55827 . JSTOR 2321982 . Архивировано из оригинала 22 июня 2022 г. Проверено 30 июля 2021 г.

[lesk-6] Леск, AM (2000). «Необоснованная эффективность математики в молекулярной биологии». Математический интеллект . 22 (2): 28–37. дои : 10.1007/BF03025372 . S2CID 120102813 .

[norvig-7] Халеви, А .; Норвиг, П .; Перейра, Ф. (2009). «Необоснованная эффективность данных» (PDF) . Интеллектуальные системы IEEE . 24 (2): 8–12. дои : 10.1109/MIS.2009.36 . S2CID 14300215 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 августа 2022 г. Проверено 4 сентября 2015 г.

[tegmark-8] Jump up to: ^а ^б Тегмарк, Макс (2008). «Математическая Вселенная». Основы физики . 38 (2): 101–150. arXiv : 0704.0646 . Бибкод : 2008FoPh...38..101T . дои : 10.1007/s10701-007-9186-9 . S2CID 9890455 .

[ivor-9] Jump up to: ^а ^б Граттан-Гиннесс, И. (2008). «Разгадка тайны Вигнера: разумная (хотя, возможно, ограниченная) эффективность математики в естественных науках». Математический интеллект . 30 (3): 7–17. дои : 10.1007/BF02985373 . S2CID 123174309 .

[velupillai-10] Велупилай, КВ (2005). «Необоснованная неэффективность математики в экономике». Кембриджский экономический журнал . 29 (6): 849–872. CiteSeerX 10.1.1.194.6586 . дои : 10.1093/cje/bei084 .

[11] «Необоснованная эффективность математики - Р. У. Хэмминг - Некоторые частичные объяснения» . ned.ipac.caltech.edu . Проверено 6 января 2024 г.

[12] Ван Хелден, Альберт (1995). «В движении» . Проект Галилео . Архивировано из оригинала 21 декабря 2017 года . Проверено 16 октября 2013 г.

[13] Полиа, Джордж ; Боуден, Леон ; Школьная группа по изучению математики (1963). Математические методы в науке; курс лекций . Исследования по математике. Том. 11. Стэнфорд: Школьная группа по изучению математики. OCLC 227871299 .

[14] Фолланд, Джеральд Б.; Ситарам, Аллади (1997). «Принцип неопределенности: математический обзор». Журнал анализа и приложений Фурье . 3 (3): 207–238. дои : 10.1007/BF02649110 . S2CID 121355943 .

[15] Тегмарк, Макс (2014). Наша математическая Вселенная . Кнопф. ISBN 978-0-307-59980-3 .

[16] Аткинс, Питер (1992). Возвращение к творению . У.Х.Фриман. ISBN 978-0-7167-4500-6 .

[17] Атья, Майкл (2002). «Необоснованная эффективность физики в математике». В Фокасе А.С. (ред.). Основные моменты математической физики . Американское математическое общество . стр. 25–38. ISBN 0-8218-3223-9 . OCLC 50164838 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]