Гиперкуб

В следующих перспективных проекциях куб — 3-куб, а тессеракт — 4-куб.

В геометрии гиперкуб — это n -мерный аналог квадрата ( n = 2 ) и куба ( n = 3 ). Это замкнутая , компактная , выпуклая которой фигура, 1- скелет состоит из групп противоположных параллельных отрезков, пространства выровненных в каждом из измерений , перпендикулярных друг другу и одинаковой длины. Самая длинная диагональ единичного гиперкуба в n измерениях равна ${\sqrt {n}}$ .

n - мерный гиперкуб чаще называют n -кубом или иногда n -мерным кубом . ^[1]^[2] Термин «многогранник меры» (родом из Эльте, 1912 г.). ^[3] также используется, особенно в работе HSM Coxeter , который также называет гиперкубы многогранниками γ n . ^[4]

Гиперкуб — это частный случай гиперпрямоугольника ( также называемого n-ортотопом ).

Единичный гиперкуб — это гиперкуб, длина стороны которого равна одной единице . Часто гиперкуб, углы (или вершины ) которого равны 2 ^н точки в R ^н каждая координата которого равна 0 или 1, называется единичным гиперкубом.

Строительство

По количеству измерений

Гиперкуб можно определить, увеличивая количество измерений фигуры:

0 – Точка – это гиперкуб нулевой размерности.

1 – Если переместить эту точку на одну единицу длины, она выметет отрезок линии, который представляет собой единичный гиперкуб размерности один.

2 – Если переместить этот отрезок, его длину перпендикулярно самому себе; он выметает двумерный квадрат.

3. Если переместить квадрат на одну единицу длины в направлении, перпендикулярном плоскости, на которой он лежит, получится трехмерный куб.

4. Если переместить куб на одну единицу длины в четвертое измерение, образуется четырехмерный единичный гиперкуб (единичный тессеракт ).

Это можно обобщить на любое количество измерений. Этот процесс выметания объемов можно формализовать математически как сумму Минковского : d -мерный гиперкуб представляет собой сумму Минковского d взаимно перпендикулярных отрезков единичной длины и, следовательно, является примером зонотопа .

1- скелет гиперкуба представляет собой граф гиперкуба .

Координаты вершины

Единичный гиперкуб размерности $n$ является выпуклой оболочкой всего $2^{n}$ точки, чьи $n$ декартова координата равна либо Каждая $0$ или $1$ . Эти точки являются его вершинами . Гиперкуб с этими координатами также является декартовым произведением $[0,1]^{n}$ из $n$ копии единичного интервала $[0,1]$ . можно получить еще один единичный гиперкуб с центром в начале окружающего пространства Из этого путем перевода . Это выпуклая оболочка $2^{n}$ точки, векторы декартовых координат которых равны

\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\cdots ,\pm {\frac {1}{2}}\right)\!\!.

Здесь символ $\pm$ означает, что каждая координата либо равна $1/2$ или чтобы $-1/2$ . Этот единичный гиперкуб также является декартовым произведением. $[-1/2,1/2]^{n}$ . Любой единичный гиперкуб имеет длину ребра $1$ и $n$ -мерный объем $1$ .

The $n$ -мерный гиперкуб, полученный как выпуклая оболочка точек с координатами $(\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)$ или, что то же самое, как декартово произведение $[-1,1]^{n}$ также часто рассматривается из-за более простой формы координат его вершин. Длина его ребра равна $2$ и его $n$ -мерный объем $2^{n}$ .

Лица

Каждый гиперкуб допускает в качестве своих граней гиперкубы более низкой размерности, содержащиеся в его границе. Гиперкуб измерения $n$ признает $2n$ грани или грани измерения $n-1$ : а ( $1$ -мерный) отрезок имеет $2$ конечные точки; а ( $2$ -мерный) квадрат имеет $4$ стороны или края; а $3$ -мерный куб имеет $6$ квадратные лица; а ( $4$ -мерный) тессеракт имеет $8$ трехмерные кубы в качестве его граней. Число вершин гиперкуба размерностью $n$ является $2^{n}$ (обычный, $3$ -мерный куб имеет $2^{3}=8$ вершины, например). ^[5]

Количество $m$ -мерные гиперкубы (называемые просто $m$ -кубы (здесь и далее), содержащиеся на границе $n$ -куб это

E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}

, ^[6] где

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}

и

n!

обозначает факториал

n

.

Например, граница г. $4$ -куб ( $n=4$ ) содержит $8$ кубики ( $3$ -кубики), $24$ квадраты ( $2$ -кубики), $32$ отрезки линии ( $1$ -кубики) и $16$ вершины ( $0$ -кубики). Это тождество можно доказать простым комбинаторным рассуждением: для каждого из $2^{n}$ вершины гиперкуба существуют ${\tbinom {n}{m}}$ способы выбора коллекции $m$ ребра, инцидентные этой вершине. Каждая из этих коллекций определяет один из $m$ -мерные грани, инцидентные рассматриваемой вершине. Проделав это для всех вершин гиперкуба, каждая из $m$ -мерные грани гиперкуба подсчитываются $2^{m}$ раз, так как в нем столько вершин, и нам нужно разделить $2^{n}{\tbinom {n}{m}}$ по этому номеру.

По количеству граней гиперкуба можно вычислить $(n-1)$ -мерный объем его границы: этот объем $2n$ раз больше объёма $(n-1)$ -мерный гиперкуб; то есть, $2ns^{n-1}$ где $s$ — длина ребер гиперкуба.

Эти числа также могут быть сгенерированы с помощью линейного рекуррентного соотношения .

E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!

, с

E_{0,0}=1

, и

E_{m,n}=0

когда

n<m

,

n<0

, или

m<0

.

Например, расширение квадрата через его 4 вершины добавляет один дополнительный сегмент линии (ребро) на каждую вершину. Добавление противоположного квадрата в куб дает $E_{1,3}=12$ отрезки линии.

Расширенный f-вектор для n -куба также можно вычислить, разложив $(2x+1)^{n}$ (кратко, (2,1) ^н) и считывания коэффициентов полученного полинома . Например, элементы тессеракта — это (2,1) ⁴ = (4,4,1) ² = (16,32,24,8,1).

Число $E_{m,n}$ из $m$ -мерные грани $n$ -мерный гиперкуб (последовательность A038207 в OEIS )
			м	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
н	n- куб	Имена	Шлефли Коксетер	Вертекс 0-грань	Край 1-сторонний	Лицо 2-сторонний	Клетка 3-сторонний	4-сторонний	5-гранный	6-гранный	7-гранный	8-гранный	9-гранный	10-гранный
0	0-куб	Точка деньги	( )	1
1	1-куб	Отрезок линии Дион ^[7]	{}	2	1
2	2-куб.	Квадрат Четырехугольник	{4}	4	4	1
3	3-куб	Куб Шестигранник	{4,3}	8	12	6	1
4	4-кубовый	Тессеракт Октахорон	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	5-куб	Пентеракт Дека-5-топ	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	6-куб.	Гексеракт Додека-6-топ	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	7-куб	Гептеракт Тетрадека-7-топ	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8-кубовый	Октеракт Гексадека-8-топ	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	9-куб	Эннеракт Октадека-9-топ	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	10-кубовый	Декеракт Икоса-10 топов	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Графики

n - куб можно спроектировать внутри правильного 2 - угольного многоугольника с помощью косой ортогональной проекции , показанной здесь, от отрезка прямой к 16-кубу.

Многоугольник Петри Ортографические проекции
Отрезок линии	Квадрат	Куб	Тессеракт
5-куб	6-куб.	7-куб	8-кубовый
9-куб	10-кубовый	11-куб	12-кубовый
13-кубовый	14-кубовый	15-куб.	16-кубовый

Родственные семейства многогранников

Гиперкубы — одно из немногих семейств правильных многогранников , которые представлены в любом количестве измерений. ^[8]

Семейство гиперкубов (смещений) — одно из трех семейств правильных многогранников , обозначенных Коксетером как γ _n . Два других — это двойственное семейство гиперкуба, кросс-многогранники , помеченные как β _n, и симплексы , помеченные как α _n . Четвертое семейство, бесконечные мозаики гиперкубов , обозначается как δ _n .

Другое родственное семейство полуправильных и однородных многогранников — это полугиперкубы , которые состоят из гиперкубов с удаленными альтернативными вершинами и симплексными добавленными в промежутках гранями, обозначенными как hγ _n .

n -кубы можно комбинировать с их двойниками ( перекрестными многогранниками ) для образования составных многогранников:

В двух измерениях мы получаем октаграммную фигуру звезды {8/2},
В трёх измерениях получаем соединение куба и октаэдра ,
В четырех измерениях мы получаем соединение тессеракта и 16-клеточного .

Связь с ( n −1)-симплексами

Граф ребер n -гиперкуба изоморфен диаграмме Хассе n − 1) -симплекса ( решетки граней . В этом можно убедиться, ориентируя n -гиперкуб так, чтобы две противоположные вершины лежали вертикально, что соответствует самому ( n -1)-симплексу и нулевому многограннику соответственно. Каждая вершина, соединенная с верхней вершиной, затем однозначно отображается в одну из граней ( n -1)-симплекса ( n -3 граней симплекса -2 граней), а каждая вершина, соединенная с этими вершинами, отображается в одну из n и т. д. , а вершины, соединенные с нижней вершиной, сопоставляются с вершинами симплекса.

Это соотношение можно использовать для эффективного создания решетки граней ( n -1)-симплекса, поскольку алгоритмы перечисления решетки граней, применимые к общим многогранникам, являются более дорогостоящими в вычислительном отношении.

Обобщенные гиперкубы

Регулярные комплексные многогранники могут быть определены в комплексном гильбертовом пространстве, называемом обобщенными гиперкубами , γ ^п
_n = _p {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ , или .. . Действительные решения существуют при p = 2, т.е. γ ²
_n = γ _n = ₂ {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ = {4,3,..,3}. При p > 2 они существуют в $\mathbb {C} ^{n}$ . Фасеты представляют собой обобщенный ( n −1)-куб, а вершинная фигура — регулярные симплексы .

Периметр правильного многоугольника , видимый в этих ортогональных проекциях, называется многоугольником Петри . Обобщенные квадраты ( n = 2) показаны с краями, обведенными p -ребрами чередующегося красного и синего цвета, тогда как более высокие n -кубы нарисованы с p -ребрами, обведенными черным.

Количество элементов m -грани в p -обобщенном n -кубе равно: $p^{n-m}{n \choose m}$ . это п ^н вершины и pn грани. ^[9]

Обобщенные гиперкубы
	р =2		р =3	р =4	р =5	р =6	р =7	р =8
$\mathbb {R} ^{2}$	с ² ₂ = {4} = 4 вершины	$\mathbb {C} ^{2}$	с ³ ₂ = 9 вершин	с ⁴ ₂ = 16 вершин	с ⁵ ₂ = 25 вершин	с ⁶ ₂ = 36 вершин	с ⁷ ₂ = 49 вершин	с ⁸ ₂ = 64 вершины
$\mathbb {R} ^{3}$	с ² ₃ = {4,3} = 8 вершин	$\mathbb {C} ^{3}$	с ³ ₃ = 27 вершин	с ⁴ ₃ = 64 вершины	с ⁵ ₃ = 125 вершин	с ⁶ ₃ = 216 вершин	с ⁷ ₃ = 343 вершины	с ⁸ ₃ = 512 вершин
$\mathbb {R} ^{4}$	с ² ₄ = {4,3,3} = 16 вершин	$\mathbb {C} ^{4}$	с ³ ₄ = 81 вершина	с ⁴ ₄ = 256 вершин	с ⁵ ₄ = 625 вершин	с ⁶ ₄ = 1296 вершин	с ⁷ ₄ = 2401 вершина	с ⁸ ₄ = 4096 вершин
$\mathbb {R} ^{5}$	с ² ₅ = {4,3,3,3} = 32 вершины	$\mathbb {C} ^{5}$	с ³ ₅ = 243 вершины	с ⁴ ₅ = 1024 вершины	с ⁵ ₅ = 3125 вершин	с ⁶ ₅ = 7776 вершин	с ⁷ ₅ = 16 807 вершин	с ⁸ ₅ = 32 768 вершин
$\mathbb {R} ^{6}$	с ² ₆ = {4,3,3,3,3} = 64 вершины	$\mathbb {C} ^{6}$	с ³ ₆ = 729 вершин	с ⁴ ₆ = 4096 вершин	с ⁵ ₆ = 15 625 вершин	с ⁶ ₆ = 46 656 вершин	с ⁷ ₆ = 117 649 вершин	с ⁸ ₆ = 262 144 вершины
$\mathbb {R} ^{7}$	с ² ₇ = {4,3,3,3,3,3} = 128 вершин	$\mathbb {C} ^{7}$	с ³ ₇ = 2187 вершин	с ⁴ ₇ = 16 384 вершины	с ⁵ ₇ = 78 125 вершин	с ⁶ ₇ = 279 936 вершин	с ⁷ ₇ = 823 543 вершины	с ⁸ ₇ = 2 097 152 вершины
$\mathbb {R} ^{8}$	с ² ₈ = {4,3,3,3,3,3,3} = 256 вершин	$\mathbb {C} ^{8}$	с ³ ₈ = 6561 вершина	с ⁴ ₈ = 65 536 вершин	с ⁵ ₈ = 390 625 вершин	с ⁶ ₈ = 1 679 616 вершин	с ⁷ ₈ = 5 764 801 вершина	с ⁸ ₈ = 16 777 216 вершин

Отношение к возведению в степень

Любое положительное целое число, возведенное в другую положительную целую степень, даст третье целое число, причем это третье целое число представляет собой определенный тип фигурного числа, соответствующий n -кубу с числом измерений, соответствующим экспоненте. Например, показатель степени 2 даст квадратное число или «идеальный квадрат», который можно расположить в форме квадрата с длиной стороны, соответствующей длине стороны. Точно так же показатель степени 3 даст идеальный куб — целое число, которое можно расположить в форме куба с длиной стороны, равной основанию. В результате действие возведения числа до 2 или 3 чаще называют « возведением в квадрат » и «возведением в куб» соответственно. Однако названия гиперкубов более высокого порядка, похоже, не широко используются высшими силами.

См. также

Сеть взаимосвязей гиперкуба компьютерной архитектуры
Гипероктаэдрическая группа , группа симметрии гиперкуба.
Гиперсфера
Симплекс
Параллелотоп
Распятие (Corpus Hypercubus) (известное произведение искусства)

Примечания

^ Пол Доорен; Люк Риддер. «Адаптивный алгоритм численного интегрирования по n-мерному кубу» .
^ Сяофань Ян; Юань Тан. «Алгоритм диагностики (4n - 9)/3 в n-мерной сети кубов» .
^ Эльте, ЭЛ (1912). «IV, Пятимерный полуправильный многогранник». Полуправильные многогранники гиперпространств . Нидерланды: Университет Гронингена . ISBN 141817968X .
^ Coxeter 1973 иллюстрацию Рис. 7.2 C. , стр. 122–123, §7.2, см .
^ Мирослав Вореховский; Ян Машек; Ян Элиаш (ноябрь 2019 г.). «Оптимальная выборка на основе расстояния в гиперкубе: аналогии с системами N тел». Достижения в области инженерного программного обеспечения . 137 . 102709. дои : 10.1016/j.advengsoft.2019.102709 . ISSN 0965-9978 .
^ Коксетер 1973 , с. 122, §7·25.
^ Джонсон, Норман В.; Геометрии и преобразования , Издательство Кембриджского университета, 2018, стр.224.
^ Нога Алон. «Передача в n-мерном кубе» .
^ Коксетер, HSM (1974), Регулярные комплексные многогранники , Лондон и Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета , стр. 180, МР 0370328 .

Ссылки

Боуэн, JP (апрель 1982 г.). «Гиперкуб» . Практические вычисления . 5 (4): 97–99. Архивировано из оригинала 30 июня 2008 г. Проверено 30 июня 2008 г.
Коксетер, HSM (1973). «§7.2. см. рисунок Рис. 7-2c». Правильные многогранники (3-е изд.). Дувр . стр. 122-123 . ISBN 0-486-61480-8 . п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n измерениях ( n ≥ 5).
Хилл, Фредерик Дж.; Джеральд Р. Петерсон (1974). Введение в теорию коммутации и логическое проектирование: второе издание . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-39882-9 . См. главу 7.1 «Кубическое представление булевых функций», где понятие «гиперкуб» вводится как средство демонстрации кода расстояния 1 ( кода Грея ) в качестве вершин гиперкуба, а затем гиперкуб с его вершинами, помеченными таким образом, является сжимается в два измерения, образуя либо диаграмму Вейча , либо карту Карно .

Внешние ссылки

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Пол Доорен; Люк Риддер. «Адаптивный алгоритм численного интегрирования по n-мерному кубу» .

[2] Сяофань Ян; Юань Тан. «Алгоритм диагностики (4n - 9)/3 в n-мерной сети кубов» .

[3] Эльте, ЭЛ (1912). «IV, Пятимерный полуправильный многогранник». Полуправильные многогранники гиперпространств . Нидерланды: Университет Гронингена . ISBN 141817968X .

[FOOTNOTECoxeter1973122–123§7.2_see_illustration_Fig_7.2<small>C</small>-4] Coxeter 1973 иллюстрацию Рис. 7.2 C. , стр. 122–123, §7.2, см .

[5] Мирослав Вореховский; Ян Машек; Ян Элиаш (ноябрь 2019 г.). «Оптимальная выборка на основе расстояния в гиперкубе: аналогии с системами N тел». Достижения в области инженерного программного обеспечения . 137 . 102709. дои : 10.1016/j.advengsoft.2019.102709 . ISSN 0965-9978 .

[FOOTNOTECoxeter1973122§7·25-6] Коксетер 1973 , с. 122, §7·25.

[7] Джонсон, Норман В.; Геометрии и преобразования , Издательство Кембриджского университета, 2018, стр.224.

[8] Нога Алон. «Передача в n-мерном кубе» .

[9] Коксетер, HSM (1974), Регулярные комплексные многогранники , Лондон и Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета , стр. 180, МР 0370328 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

v т и Измерение
Габаритные пространства	Векторное пространство Евклидово пространство Аффинное пространство Проективное пространство Бесплатный модуль Коллектор Алгебраическое разнообразие Пространство-время
Другие размеры	Крулл Лебеговое покрытие Индуктивный Хаусдорф Минковский фрактал Степени свободы
Многогранники и фигуры	Гиперплоскость Гиперповерхность Гиперкуб Гиперпрямоугольник Демигиперкуб Гиперсфера Кросс-многогранник Симплекс Гиперпирамида
Размеры по номеру	Ноль Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь Восемь n -размеры
См. также	Гиперпространство Коразмерность
Категория