шестидесятеричный

Шестидесятеричная система счисления , также известная как основание 60 , — это система счисления, лежит шестьдесят которой в основе . Он возник у древних шумеров в 3-м тысячелетии до нашей эры, был передан древним вавилонянам и до сих пор используется — в измененной форме — для измерения времени , углов и географических координат .

Число 60, высшее составное число , имеет двенадцать делителей , а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, из которых 2, 3 и 5 являются простыми. цифры . При таком большом количестве множителей многие дроби, включающие шестидесятеричные числа, упрощаются. Например, один час можно разделить поровну на отрезки по 30 минут, 20 минут, 15 минут, 12 минут, 10 минут, 6 минут, 5 минут, 4 минуты, 3 минуты, 2 минуты и 1 минута. 60 — наименьшее число, которое делится на все числа от 1 до 6; то есть это наименьшее общее кратное 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

В этой статье все шестидесятеричные цифры представлены в виде десятичных чисел, если не указано иное. Например, самая большая шестидесятеричная цифра — «59».

Источник

По мнению Отто Нойгебауэра , происхождение шестидесятеричной системы не так просто, последовательно и единственно во времени, как это часто изображают. На протяжении многих веков использования шестидесятеричных обозначений, которое продолжается и сегодня для таких специализированных тем, как время, углы и астрономические системы координат, всегда содержалось сильное скрытое течение десятичных обозначений, например, в том, как пишутся шестидесятеричные цифры. Их использование также всегда включало (и продолжает включать) несоответствия в том, где и как различные базы должны представлять числа даже в одном тексте.

Ранняя протоклинопись (4 тысячелетие до н. э.) и клинописные знаки шестидесятеричной системы (60, 600, 3600 и т. д.)

Самым мощным стимулом для строгого и полностью последовательного использования шестидесятеричной системы всегда были ее математические преимущества при написании и вычислении дробей. В древних текстах это проявляется в том, что шестидесятеричная система наиболее единообразно и последовательно используется в математических таблицах данных. Еще одним практическим фактором, который помог расширить использование шестидесятеричной системы в прошлом, хотя и менее последовательно, чем в математических таблицах, были ее явные преимущества для торговцев и покупателей, поскольку они облегчали повседневные финансовые операции, когда они включали торг и раздел больших количеств товаров. В конце 3-го тысячелетия до нашей эры шумерско-аккадские единицы веса включали каккару ( талант , примерно 30 кг), разделенный на 60 ману ( мина ), который в дальнейшем подразделялся на 60 шиклу ( шекель ); потомки этих единиц сохранялись на протяжении тысячелетий, хотя позже греки привели это соотношение к более совместимому с десятичной системой соотношению, когда шекель составлял одну пятую мины .

Помимо математических таблиц, несоответствия в представлении чисел в большинстве текстов распространялись вплоть до самых основных клинописных символов, используемых для обозначения числовых величин. Например, клинописный символ цифры 1 представлял собой эллипс, полученный путем приложения закругленного конца стилуса под углом к ​​глине, а шестидесятеричный символ цифры 60 представлял собой больший овал или «большую единицу». Но в тех же текстах, в которых использовались эти символы, число 10 было представлено в виде круга, образованного путем нанесения круглого конца стержня перпендикулярно глине, а больший круг или «большая 10» использовался для обозначения 100. Такие Многоосновные числовые символы величин можно было смешивать друг с другом и с сокращениями даже в пределах одного числа. Детали и даже подразумеваемые величины (поскольку ноль не использовался последовательно ) были идиоматичны для конкретных периодов времени, культур, а также представленных количеств или концепций. Хотя такие контекстно-зависимые представления числовых величин легко критиковать в ретроспективе, в наше время у нас все еще есть десятки регулярно используемых примеров тематически-зависимого смешивания баз, включая недавнюю инновацию добавления десятичных дробей к шестидесятеричным астрономическим координатам.

Использование

Вавилонская математика

Основная статья: вавилонские клинописные цифры

Шестидесятеричная система, использовавшаяся в древней Месопотамии , не была чистой системой счисления с основанием 60, в том смысле, что она не использовала 60 различных символов для своих цифр . Вместо этого в клинописных цифрах использовалось число десять в качестве подосновы в виде знаково-значительной записи : шестидесятеричная цифра состояла из группы узких клиновидных знаков, обозначающих единицы до девяти ( , , , , ..., ) и группа широких клиновидных знаков, обозначающих до пяти десятков ( , , , , ). Значение цифры представляло собой сумму значений ее составных частей:

Числа больше 59 обозначались несколькими блоками символов этой формы в записи значений места . Поскольку не было символа нуля, не всегда сразу было очевидно, как следует интерпретировать число, и его истинное значение иногда должно было определяться его контекстом. Например, символы 1 и 60 идентичны. В более поздних вавилонских текстах использовался заполнитель ( ) для обозначения нуля, но только в средней позиции, а не в правой части числа, как в числах типа 13 200 .

Другие исторические обычаи

Комбинации 5 элементов и 12 животных китайского зодиака образуют 60-летний шестидесятилетний цикл.

В китайском календаре обычно используется система, в которой дни или годы называются по позициям в последовательности из десяти стеблей и в другой последовательности из 12 ветвей. Один и тот же стебель и ветвь повторяются каждые 60 шагов в этом цикле.

Книга VIII « включает » Платона Государства в себя аллегорию брака, сосредоточенную на числе 60. ⁴ = 12 960 000 и его делители. Это число имеет особенно простое шестидесятеричное представление: 1,0,0,0,0. Более поздние ученые использовали как вавилонскую математику, так и теорию музыки, пытаясь объяснить этот отрывок.

, » Птолемея В « Альмагесте трактате по математической астрономии, написанном во втором веке нашей эры, используется система счисления по основанию 60 для выражения дробных частей чисел. В частности, его таблица аккордов , которая была по сути единственной обширной тригонометрической таблицей на протяжении более чем тысячелетия, имела дробные части степени по основанию 60 и была практически эквивалентна современной таблице значений функции синуса .

Средневековые астрономы также использовали шестидесятеричные числа для обозначения времени. Аль-Бируни впервые разделил час шестидесятерично на минуты , секунды , трети и четверти в 1000 году, обсуждая еврейские месяцы. Около 1235 года Иоанн Сакробоско продолжил эту традицию, хотя Нотафт считал, что Сакробоско был первым, кто сделал это. В парижской версии таблиц Альфонсина (ок. 1320 г.) день использовался в качестве основной единицы времени, записывая кратные и доли дня в системе счисления с основанием 60.

Шестидесятеричная система счисления продолжала часто использоваться европейскими астрономами для выполнения расчетов даже в 1671 году. Например, Йост Бюрги в Fundamentum Astronomiae (представленный императору Рудольфу II в 1592 году), его коллега Урсус в Fundamentum Astronomicum и, возможно, также Генри Бриггс в конце 16 века использовали таблицы умножения, основанные на шестидесятеричной системе, для вычисления синусов.

Было обнаружено , что в конце 18-го и начале 19-го веков тамильские астрономы производили астрономические расчеты, считая с помощью ракушек, используя смесь десятичных и шестидесятеричных обозначений, разработанную астрономами -эллинистами .

Системы счисления с основанием 60 также использовались в некоторых других культурах, не связанных с шумерами, например, народом Экари в Западной Новой Гвинее .

Современное использование

Дополнительная информация: Градус (угол) § Подразделения , Минута и секунда дуги , Час , Минута и Секунда.

Современное использование шестидесятеричной системы включает измерение углов , географических координат , электронной навигации и времени .

Один час времени делится на 60 минут , а одна минута — на 60 секунд. Таким образом, измерение времени, такое как 3:23:17 (3 часа, 23 минуты и 17 секунд), можно интерпретировать как целое шестидесятеричное число (без шестидесятеричной точки), что означает 3 × 60. ² + 23 × 60 ¹ + 17 × 60 ⁰ секунды . Однако каждая из трех шестидесятеричных цифр этого числа (3, 23 и 17) записывается в десятичной системе.

Точно так же практической единицей измерения угла является градус , которого 360 в круге 60 угловых минут (шесть шестидесятых). В градусе 60 угловых секунд , в минуте .

ЯМЛ

В версии 1.1 формата хранения данных YAML шестидесятеричные числа поддерживаются для простых скаляров и формально указываются как для целых чисел. и числа с плавающей запятой. Это привело к путанице, поскольку, например, некоторые MAC-адреса распознавались как шестидесятеричные числа и загружались как целые числа, тогда как другие не распознавались и загружались как строки. В YAML 1.2 поддержка шестидесятеричных чисел была прекращена.

Обозначения

Смотрите также: Позиционные обозначения § Шестидесятеричная система

В эллинистических греческих астрономических текстах, таких как сочинения Птолемея , шестидесятеричные числа записывались с использованием греческих буквенных цифр , при этом каждая шестидесятеричная цифра рассматривалась как отдельное число. Астрономы-эллинисты приняли новый символ нуля — ° , который с течением времени трансформировался в другие формы, включая греческую букву омикрон, ο, обычно означающую 70, но допустимую в шестидесятеричной системе, где максимальное значение в любой позиции равно 59. Греки ограничили использование шестидесятеричных чисел дробной частью числа.

В средневековых латинских текстах шестидесятеричные числа записывались арабскими цифрами ; различные уровни дробей обозначались минутами (т. е. дробями), минутами секундами , минутами третими и т. д. К 17 веку стало обычным обозначать целую часть шестидесятеричных чисел верхним индексом нуля, а различные дробные части — единицей или единицей. больше знаков ударения. Джон Уоллис в своей Mathesis Universalis обобщил это обозначение, включив в него числа, кратные 60; приведя в качестве примера число 49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′2″36‴49⁗ ; где числа слева умножаются на высшие степени 60, числа справа делятся на степени 60, а число, отмеченное нулем в верхнем индексе, умножается на 1. Эти обозначения приводят к современным знакам градусов, минут и секунд. Та же минутная и секундная номенклатура также используется для единиц времени, а современные обозначения времени с часами, минутами и секундами, записанными в десятичном формате и отделенные друг от друга двоеточиями, могут интерпретироваться как форма шестидесятеричной записи.

В некоторых системах использования каждая позиция после шестидесятеричной точки нумеровалась с использованием латинских или французских корней: prime или primus , Seconde или secundus , tierce , quatre , quinte второго порядка и т. д. По сей день мы называем часть часа или степени «второй». По крайней мере, до 18 века. ⁠ 1/60 ⁠ . » секунды называли «тирцем» или «третьей

В 1930-х годах Отто Нойгебауэр представил современную систему обозначений вавилонских и эллинистических чисел, которая заменяет современные десятичные обозначения от 0 до 59 в каждой позиции, используя при этом точку с запятой (;) для разделения целой и дробной частей числа и запятую. (,) для разделения позиций внутри каждой части. Например, средний синодический месяц, используемый как вавилонскими, так и эллинистическими астрономами и до сих пор используемый в еврейском календаре, составляет 29;31,50,8,20 дней. Это обозначение используется в данной статье.

Дроби и иррациональные числа

Фракции

В шестидесятеричной системе любая дробь которой , знаменателем является правильное число (имеющая только 2, 3 и 5 в простой факторизации ), может быть выражена точно. Здесь показаны все дроби этого типа, у которых знаменатель меньше или равен 60:

1 ⁄ 2 = 0;30

1 ⁄ 3 = 0;20

1 ⁄ 4 = 0;15

1 ⁄ 5 = 0;12

1 ⁄ 6 = 0;10

1 ⁄ 8 = 0;7,30

1 ⁄ 9 = 0;6,40

1 ⁄ 10 = 0;6

1 ⁄ 12 = 0;5

1 ⁄ 15 = 0;4

1 ⁄ 16 = 0;3,45

1 ⁄ 18 = 0;3,20

1 ⁄ 20 = 0;3

1 ⁄ 24 = 0;2,30

1 ⁄ 25 = 0;2,24

1 ⁄ 27 = 0;2,13,20

1 ⁄ 30 = 0;2

1 ⁄ 32 = 0;1,52,30

1 ⁄ 36 = 0;1,40

1 ⁄ 40 = 0;1,30

1 ⁄ 45 = 0;1,20

1 ⁄ 48 = 0;1,15

1 ⁄ 50 = 0;1,12

1 ⁄ 54 = 0;1,6,40

1 ⁄ 60 = 0;1

Однако числа, которые не являются правильными, образуют более сложные повторяющиеся дроби . Например:

1 ⁄ 7 = 0; 8,34,17 (черта обозначает последовательность шестидесятеричных цифр 8,34,17, повторяющуюся бесконечное число раз)

1 ⁄ 11 = 0; 5,27,16,21,49

1 ⁄ 13 = 0; 4,36,55,23

1 ⁄ 14 = 0;4, 17,8,34

1 ⁄ 17 = 0; 3,31,45,52,56,28,14,7

1 ⁄ 19 = 0; 3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41

1 ⁄ 59 = 0; 1

1 ⁄ 61 = 0; 0,59

Тот факт, что два числа, соседние с шестьюдесятью, 59 и 61, являются простыми числами, подразумевает, что дроби, повторяющиеся с периодом в одну или две шестидесятеричные цифры, могут иметь в качестве знаменателей только обычные числа, кратные 59 или 61, и что другие нерегулярные числа имеют дроби, которые повторяются с более длительным периодом.

Иррациональные числа

Вавилонская табличка YBC 7289 с шестидесятеричным числом 1; 24,51,10, приближающимся к √ 2.

Представления иррациональных чисел в любой позиционной системе счисления (включая десятичную и шестидесятеричную) не завершаются и не повторяются .

Квадратный корень из 2 , длина диагонали единичного квадрата , был аппроксимирован вавилонянами Старовавилонского периода ( 1900 г. до н. э. – 1650 г. до н. э. ) как

$1;24,51,10=1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}\approx 1.41421296\ldots$

Поскольку √ 2 ≈ 1,414 213 56 ... является иррациональным числом , его нельзя выразить точно в шестидесятеричной системе (или вообще в любой системе с целочисленным основанием), но его шестидесятеричное разложение действительно начинается с 1; 24,51,10,7,46, 6,4,44... ( OEIS : A070197 )

Значение π , использованное греческим математиком и учёным Птолемеем, составляло 3;8,30 = 3 + ⁠ 8 / 60 ⁠ + ⁠ 30 / 60 ² ⁠ = ⁠ 377 / 120 ⁠ ≈ 3.141 666 .... Джамшид аль-Каши математик XV века , персидский , вычислил 2 π как шестидесятеричное выражение до его правильного значения при округлении до девяти долей (таким образом, до ⁠ 1 / 60 ⁹ ⁠ ); его значение для 2 π составило 6;16,59,28,1,34,51,46,14,50. Как и √ 2 выше, 2 π является иррациональным числом и не может быть точно выражено в шестидесятеричной форме. Его шестидесятеричное расширение начинается с 6;16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35... ( OEIS : A091649 )

См. также

• Часы
• Широта
• Тригонометрия

Дальнейшее чтение

• Ифра, Жорж (1999), Универсальная история чисел: от предыстории до изобретения компьютера , Wiley, ISBN  0-471-37568-3 .
• Ниссен, Ханс Дж.; Дамероу, П.; Энглунд, Р. (1993), Архаичная бухгалтерия , University of Chicago Press, ISBN  0-226-58659-6

Внешние ссылки

• «Факты о вычислении градусов и минут» — книга на арабском языке, написанная Сибту аль-Маридини, Бадр ад-Дином Мухаммадом ибн Мухаммадом (р. 1423). Эта работа предлагает очень подробное рассмотрение шестидесятеричной математики и включает, по-видимому, первое упоминание о периодичности шестидесятеричных дробей.