Твердое тело

Положение твердого тела определяется положением его центра масс и его ориентацией (всего не менее шести параметров).

В физике твердое тело , также известное как твердый объект , – твердое тело , в котором деформация равна нулю или незначительна. Расстояние твердого между любыми двумя заданными точками тела остается постоянным во времени независимо от действующих на него внешних сил или моментов . Твердое тело обычно рассматривают как распределение массы . непрерывное

Согласно специальной теории относительности , совершенно твердого тела не существует; и объекты можно считать твердыми только в том случае, если они не движутся со скоростью, близкой к скорости света . В квантовой механике твердое тело обычно рассматривается как совокупность точечных масс . Например, молекулы (состоящие из точечных масс: электронов и ядер) часто рассматриваются как твердые тела (см. классификацию молекул как жестких роторов ).

Кинематика

Линейное и угловое положение

Положение твердого тела — это положение всех частиц, из которых оно состоит. Чтобы упростить описание этого положения, мы воспользуемся свойством твердости тела, а именно тем, что все его частицы сохраняют одинаковое расстояние относительно друг друга. Если тело твердое, то достаточно описать положение хотя бы трех неколлинеарных частиц . Это позволяет восстановить положение всех остальных частиц при условии, что известно их неизменное во времени положение относительно трех выбранных частиц. Однако обычно используется другой, математически более удобный, но эквивалентный подход. Положение всего тела представлено:

1. линейное положение или положение тела, а именно положение одной из частиц тела, специально выбранной в качестве точки отсчета (обычно совпадающей с центром масс или центроидом тела), вместе с
2. угловое положение (также известное как ориентация или положение ) тела.

Таким образом, положение твердого тела имеет две составляющие: линейную и угловую соответственно. То же самое справедливо и для других кинематических и кинетических величин, описывающих движение твердого тела, таких как линейная и угловая скорость , ускорение , импульс , импульс и кинетическая энергия .

Линейное положение может быть представлено вектором, хвост которого находится в произвольной контрольной точке пространства (начале выбранной системы координат ), а его вершина — в произвольной интересующей точке твердого тела, обычно совпадающей с его центром масс или центроид . Эта контрольная точка может определять начало системы координат , прикрепленной к телу.

Существует несколько способов численного описания ориентации твердого тела, включая набор из трех углов Эйлера , кватернион или матрицу направляющего косинуса (также называемую матрицей вращения ). Все эти методы фактически определяют ориентацию базиса ( или системы координат ), который имеет фиксированную ориентацию относительно тела (т.е. вращается вместе с телом), относительно другого базиса (или системы координат), от которого происходит движение тела. наблюдается твердое тело. Например, базисный набор с фиксированной ориентацией относительно самолета может быть определен как набор из трех ортогональных единичных векторов b ₁ , b ₂ , b ₃ , таких, что b ₁ параллелен хорде крыла и направлен вперед, b ₂ нормален к плоскости симметрии и направлен вправо, а b ₃ определяется векторным произведением $b_{3}=b_{1}\times b_{2}$.

В общем, когда твердое тело движется, его положение и ориентация со временем меняются. В кинематическом смысле эти изменения называются перемещением и вращением соответственно. Действительно, положение твердого тела можно рассматривать как гипотетическое перемещение и вращение (ротоперемещение) тела, начиная с гипотетического исходного положения (не обязательно совпадающего с положением, фактически занимаемым телом при движении).

Линейная и угловая скорость

Скорость (также называемая линейной скоростью ) и угловая скорость измеряются относительно системы отсчета .

Линейная скорость твердого тела — векторная величина, равная скорости изменения его линейного положения во времени. Таким образом, это скорость точки отсчета, прикрепленной к телу. При чисто поступательном движении (движении без вращения) все точки твердого тела движутся с одинаковой скоростью . Однако когда движение включает вращение, мгновенная скорость любых двух точек тела обычно не одинакова. Две точки вращающегося тела будут иметь одинаковую мгновенную скорость только в том случае, если они лежат на оси, параллельной мгновенной оси вращения .

Угловая скорость — векторная величина, описывающая угловую скорость , с которой меняется ориентация твердого тела, и мгновенную ось, вокруг которой оно вращается (существование этой мгновенной оси гарантируется теоремой Эйлера о вращении ). Все точки твердого тела испытывают одинаковую угловую скорость всегда . При чисто вращательном движении все точки тела меняют положение, кроме тех, которые лежат на мгновенной оси вращения . Связь между ориентацией и угловой скоростью не является прямой аналогией связи между положением и скоростью. Угловая скорость не является временной скоростью изменения ориентации, поскольку не существует такого понятия, как вектор ориентации, который можно дифференцировать для получения угловой скорости.

Кинематические уравнения

Теорема сложения для угловой скорости

Угловая скорость твердого тела B в системе отсчета N равна сумме угловой скорости твердого тела D в N и угловой скорости B относительно D:

${}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }={}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {D} }+{}^{\mathrm {D} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }.$

В этом случае твердые тела и системы отсчета неразличимы и полностью взаимозаменяемы.

Теорема сложения для положения

Для любого набора из трех точек P, Q и R вектор положения от P до R представляет собой сумму вектора положения от P до Q и вектора положения от Q до R:

$\mathbf {r} ^{\mathrm {PR} }=\mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }+\mathbf {r} ^{\mathrm {QR} }.$

Нормой вектора положения является пространственное расстояние. Здесь координаты всех трех векторов должны быть выражены в системах координат одинаковой ориентации.

Математическое определение скорости

Скорость точки P в системе отсчета N определяется как производная по времени по N вектора положения от O до P:

${}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }={\frac {{}^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {OP} })$

где O — любая произвольная точка, зафиксированная в системе отсчета N, а N слева от оператора d/d t указывает, что производная берется в системе отсчета N. Результат не зависит от выбора O, пока O зафиксировано в Н.

Математическое определение ускорения

Ускорение точки P в системе отсчета N определяется как производная по времени по N ее скорости:

${}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }={\frac {^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }).$

Скорость двух точек, закрепленных на твердом теле

Для двух точек P и Q, закрепленных на твердом теле B, где B имеет угловую скорость $\scriptstyle {^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }}$ в системе отсчета N скорость Q в N может быть выражена как функция скорости P в N:

${}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\!\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }.$

где $\mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }$ — вектор положения от P до Q., с координатами, выраженными в N (или кадре с той же ориентацией, что и N.) Это соотношение можно вывести из временной инвариантности нормального расстояния между P и Q.

Ускорение двух точек, закрепленных на твердом теле.

Дифференцируя уравнение скорости двух точек, закрепленных на твердом теле в N, по времени, ускорение в системе отсчета N точки Q, закрепленной на твердом теле B, можно выразить как

${}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \left({}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }\right)+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }$

где $\scriptstyle {{}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }}$ - угловое ускорение B в системе отсчета N.

Угловая скорость и ускорение двух точек, закрепленных на твердом теле

Как упоминалось выше , все точки твердого тела B имеют одинаковую угловую скорость. ${}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }$ в фиксированной системе отсчета N и, следовательно, с тем же угловым ускорением ${}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }.$

Скорость одной точки, движущейся по твердому телу

Если точка R движется в твердом теле B, а точка B движется в системе отсчета N, то скорость R в N равна

${}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }$

где Q — точка, фиксированная в B, которая мгновенно совпадает с R в интересующий момент. Это соотношение часто комбинируют с соотношением для скорости двух точек, закрепленных на твердом теле .

Ускорение одной точки, движущейся по твердому телу

Ускорение в системе отсчета N точки R, движущейся в теле B, в то время как B движется в системе отсчета N, определяется выражением

${}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }+2{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times {}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }$

где Q — точка, зафиксированная в B, мгновенно совпадающая с R в интересующий момент. Это уравнение часто комбинируют с ускорением двух точек, закрепленных на твердом теле .

Другие количества

Если C — начало локальной системы координат L , прикрепленной к телу, пространственное : ускорение или вращения ускорение твердого тела определяется как пространственное ускорение C ) (в отличие от ускорения материала, указанного выше $${\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})-{\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})={\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)+{\boldsymbol {\alpha }}(t)\times A(t)\mathbf {r} _{0}$$ где

• $\mathbf {r} _{0}$ представляет положение точки/частицы относительно опорной точки тела в локальной системе координат L (жесткость тела означает, что это не зависит от времени)
• $A(t)\,$ — матрица ориентации , ортогональная матрица с определителем 1, представляющая ориентацию (угловое положение) локальной системы координат L относительно произвольной опорной ориентации другой системы G. координат в каждом столбце, которые определяют ориентацию осей L относительно G. Думайте об этой матрице как о трёх ортогональных единичных векторах, по одному
• ${\boldsymbol {\omega }}(t)$ представляет угловую скорость твердого тела
• $\mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})$ представляет собой полную скорость точки/частицы
• $\mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})$ представляет общее ускорение точки/частицы
• ${\boldsymbol {\alpha }}(t)$ представляет угловое ускорение твердого тела
• ${\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})$ представляет пространственное ускорение точки/частицы
• ${\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)$ представляет пространственное ускорение твердого тела (т.е. пространственное ускорение начала координат L ).

В 2D угловая скорость является скаляром, а матрица A(t) просто представляет поворот в плоскости xy на угол, который является интегралом угловой скорости по времени.

Транспортные средства , идущие люди и т. д. обычно вращаются в соответствии с изменением направления скорости: они движутся вперед относительно своей собственной ориентации. Тогда, если тело следует по замкнутой орбите в плоскости, угловая скорость, интегрированная за интервал времени, в течение которого орбита совершается один раз, равна целому числу, умноженному на 360°. Это целое число представляет собой номер витка относительно начала координат скорости. Сравните величину вращения, связанную с вершинами многоугольника .

Кинетика

Основная статья: Динамика твердого тела

Любую точку, жестко связанную с телом, можно использовать в качестве точки отсчета (начала системы координат L ) для описания линейного движения тела (векторы линейного положения, скорости и ускорения зависят от выбора).

Однако, в зависимости от применения, удобным выбором может быть:

• центр масс всей системы, обладающий вообще самым простым движением для тела, свободно движущегося в пространстве;
• точка, в которой поступательное движение равно нулю или упрощено, например, на оси или шарнире , в центре шарового шарнира и т. д.

Когда центр масс используется в качестве контрольной точки:

• (Линейный) импульс не зависит от вращательного движения. В любой момент времени она равна произведению общей массы твердого тела на поступательную скорость.
• Угловой момент относительно центра масс такой же, как и без трансляции: в любой момент времени он равен произведению тензора инерции на угловую скорость. Когда угловая скорость выражается относительно системы координат, совпадающей с главными осями тела, каждая компонента углового момента представляет собой произведение момента инерции (главного значения тензора инерции) на соответствующую компоненту угловая скорость; крутящий момент равен произведению тензора инерции на угловое ускорение .
• Возможными движениями в отсутствие внешних сил являются поступательное движение с постоянной скоростью, установившееся вращение вокруг неподвижной главной оси, а также прецессия без крутящего момента .
• Чистая внешняя сила, действующая на твердое тело, всегда равна произведению общей массы на поступательное ускорение (т. е. второй закон Ньютона справедлив для поступательного движения, даже когда чистый внешний крутящий момент отличен от нуля и/или тело вращается).
• Полная кинетическая энергия представляет собой просто сумму поступательной и вращательной энергии .

Геометрия

Два твердых тела называются разными (не копиями), если нет собственного вращения от одного к другому. Твердое тело называется киральным, если его зеркальное отображение в этом смысле иное, т. е. если оно либо не обладает симметрией , либо его группа симметрии содержит только собственные вращения. В противоположном случае объект называется ахиральным: зеркальное изображение — это копия, а не другой объект. Такой объект может иметь плоскость симметрии, но не обязательно: может существовать и плоскость отражения, относительно которой изображение объекта является повернутой версией. Последнее справедливо для S _2n , причем случай n = 1 является инверсионной симметрией.

Для (жесткого) прямоугольного прозрачного листа инверсионная симметрия соответствует наличию на одной стороне изображения без вращательной симметрии, а на другой стороне изображения, при котором просвечивает изображение на верхней стороне, перевернутое. Мы можем выделить два случая:

• поверхность листа с изображением несимметрична - в этом случае две стороны различны, но зеркальное изображение объекта одинаково, после поворота на 180° вокруг оси, перпендикулярной плоскости зеркала.
• поверхность листа с изображением имеет ось симметрии - в этом случае две стороны одинаковы, и зеркальное изображение предмета тоже такое же, опять же после поворота на 180° вокруг оси, перпендикулярной плоскости зеркала.

Лист со сквозным изображением является ахиральным. Мы снова можем выделить два случая:

• поверхность листа с изображением не имеет оси симметрии – две стороны разные
• поверхность листа с изображением имеет ось симметрии – две стороны одинаковы

Конфигурационное пространство

Конфигурационное пространство твердого тела с одной неподвижной точкой (т. е. тела с нулевым поступательным движением) задается основным многообразием группы вращений SO(3) . Конфигурационное пространство незакрепленного (с ненулевым поступательным движением) твердого тела есть E ⁺ (3) , подгруппа прямых изометрий евклидовой группы в трех измерениях (комбинации сдвигов и вращений ).

См. также

• Угловая скорость
• Соглашения об осях
• Дифференциальное вращение
• Динамика жесткого тела
• Бесконечно малые вращения
• Уравнения Эйлера (динамика твердого тела)
• Законы Эйлера
• Прирожденная жесткость
• Жесткий ротор
• Жесткая трансформация
• Геометрическая механика
• Классическая механика (Гольдштейн)

Ссылки

• Рой Физерстоун (1987). Алгоритмы динамики роботов . Спрингер. ISBN  0-89838-230-0 . Этот справочник эффективно сочетает теорию винтов твердого тела с динамикой для робототехнических приложений. Автор также предпочитает широко использовать пространственные ускорения вместо материальных ускорений, поскольку они упрощают уравнения и позволяют использовать компактные обозначения.
• На странице JPL DARTS есть раздел, посвященный алгебре пространственных операторов (ссылка: [2] ), а также обширный список ссылок (ссылка: [3] ).
• Энди Руина и Рудра Пратап (2015). Введение в статику и динамику . Издательство Оксфордского университета. (ссылка: [4] ).
• Профессор, доктор Деннис М. Кохманн, Конспект лекций по динамике, ETH Zurich. [5]

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с твердыми телами, на Викискладе?