Константы фигового дерева

Константа Фейгенбаума $δ$ выражает предел отношения расстояний между последовательными бифуркационными диаграммами на $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ Л я / Л я + 1 ⁠$

В математике , особенно в теории бифуркаций , константы Фейгенбаума / ˈ f aɪ ɡ ə n ˌ b aʊ m / ^[1] — это две математические константы , которые выражают отношения на бифуркационной диаграмме нелинейной карты. Они названы в честь физика Митчелла Фейгенбаума .

История

Фейгенбаум первоначально связал первую константу с бифуркациями удвоения периода в логистическом отображении , но также показал, что она справедлива для всех одномерных отображений с одним квадратичным максимумом . Как следствие этой общности, каждая хаотическая система , соответствующая этому описанию, будет раздваиваться с одинаковой скоростью. Фейгенбаум сделал это открытие в 1975 году. ^[2]^[3] и он официально опубликовал его в 1978 году. ^[4]

Первая константа

Первая константа Фейгенбаума $δ$ представляет собой предельное отношение каждого интервала бифуркации к следующему между каждым удвоением периода однопараметрического отображения .

x_{i+1}=f(x_{i}),

где $f (x)$ — функция, параметризованная параметром бифуркации $a$ .

Это задано пределом ^[5]

\delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}=4.669\,201\,609\,\ldots ,

где $n a$ — дискретные значения $в$ n $-м$ периоде удвоения.

Ценить

30 десятичных знаков: $δ$ = 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 …
(последовательность A006890 в OEIS )
Простое рациональное приближение: ⁠ 621/133 . ) ⁠ , что верно до 5 значащих значений (при округлении Для более точного использования ⁠ 1228/263 , . ⁠ что соответствует 7 значащим значениям
Примерно равно $10(⁠ 1 / π - 1 ⁠)$ , с погрешностью 0,0047 %

Иллюстрация

Нелинейные карты

Чтобы увидеть, как возникает это число, рассмотрим реальную однопараметрическую карту.

f(x)=a-x^{2}.

Здесь $a$ — параметр бифуркации, $x$ — переменная. Значения $a,$ для которых период удваивается (например, наибольшее значение для $a$ без орбиты с периодом 2 или наибольшее $a$ без орбиты с периодом 4), равны $a 1$ , $a 2$ и т. д. Они приведены в таблице ниже: ^[6]

$н$	Период	Параметр бифуркации ( $a n$ )	Соотношение $⁠ а п -1 - а п -2 / а п - а п -1 ⁠$
1	2	0.75	—
2	4	1.25	—
3	8	1.368 0989	4.2337
4	16	1.394 0462	4.5515
5	32	1.399 6312	4.6458
6	64	1.400 8286	4.6639
7	128	1.401 0853	4.6682
8	256	1.401 1402	4.6689

Отношение в последнем столбце сходится к первой константе Фейгенбаума. То же число возникает и для логистической карты.

f(x)=ax(1-x)

с действительным параметром $a$ и переменной $x$ . Снова табулируем значения бифуркации: ^[7]

$н$	Период	Параметр бифуркации ( $a n$ )	Соотношение $⁠ а п -1 - а п -2 / а п - а п -1 ⁠$
1	2	3	—
2	4	3.449 4897	—
3	8	3.544 0903	4.7514
4	16	3.564 4073	4.6562
5	32	3.568 7594	4.6683
6	64	3.569 6916	4.6686
7	128	3.569 8913	4.6680
8	256	3.569 9340	4.6768

Фракталы

Самоподобие в множестве Мандельброта показано увеличением круглого объекта при панорамировании в отрицательном $направлении x$ . Центр дисплея перемещается от (-1, 0) до (-1,31, 0), а изображение увеличивается от 0,5 × 0,5 до 0,12 × 0,12, чтобы приблизиться к коэффициенту Фейгенбаума.

В случае множества Мандельброта для комплексного квадратичного многочлена

f(z)=z^{2}+c

постоянная Фейгенбаума — это предельное соотношение диаметров последовательных кругов на вещественной оси в комплексной плоскости (см. анимацию справа).

$н$	Период = $2 н$	Параметр бифуркации ( $c n$ )	Соотношение $={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}$
1	2	−0.75	—
2	4	−1.25	—
3	8	−1.368 0989	4.2337
4	16	−1.394 0462	4.5515
5	32	−1.399 6312	4.6459
6	64	−1.400 8287	4.6639
7	128	−1.401 0853	4.6668
8	256	−1.401 1402	4.6740
9	512	−1.401 151 982 029	4.6596
10	1024	−1.401 154 502 237	4.6750
...	...	...	...
$\infty$		−1.401 155 1890 ...

Параметр бифуркации является корневой точкой периода $-2. н$ компонент. Этот ряд сходится к точке Фейгенбаума $c$ = -1,401155...... Отношение в последнем столбце сходится к первой константе Фейгенбаума.

Другие карты также воспроизводят это соотношение; в этом смысле константа Фейгенбаума в теории бифуркаций аналогична $π$ в геометрии и $e$ в исчислении .

Вторая константа

Вторая константа Фейгенбаума или альфа-константа Фейгенбаума (последовательность A006891 в OEIS ),

\alpha =2.502\,907\,875\,095\,892\,822\,283\,902\,873\,218...,

представляет собой отношение ширины зубца к ширине одного из двух его подотделений (кроме зубца, ближайшего к сгибу). Отрицательный знак применяется к $α$ , когда измеряется соотношение между нижним подзубцем и шириной зубца. ^[8]

Эти цифры применимы к большому классу динамических систем (например, капающие краны и рост населения). ^[8]

Простое рациональное приближение: ⁠ 13 / 11 ⁠ × ⁠ 17 / 11 ⁠ × ⁠ 37 / 27 ⁠ = ⁠ 8177 / 3267 ⁠ .

Другие значения

Окно периода 3 на логистической карте также имеет путь удвоения периода к хаосу, достигая хаоса в $r=3.854077963591\dots$ , и у него есть две собственные константы Фейгенбаума. $\delta =55.26,\alpha =9.277$ м ^[9] и Приложение F.2 ^[10]

Характеристики

Оба числа считаются трансцендентными , хотя это не доказано. ^[11] Фактически, нет известных доказательств того, что любая из констант даже иррациональна.

Первое доказательство универсальности констант Фейгенбаума было проведено Оскаром Лэнфордом при помощи компьютера в 1982 году. ^[12] (с небольшой поправкой Жана-Пьера Экмана и Питера Виттвера из Женевского университета в 1987 г. ). ^[13]). С годами для различных частей доказательства были открыты нечисловые методы, что помогло Михаилу Любичу получить первое полное нечисловое доказательство. ^[14]

См. также

Примечания

^ Константа Фейгенбаума (4,669) - Numberphile , получено 7 февраля 2023 г.
^ Фейгенбаум, MJ (1976). «Универсальность в сложной дискретной динамике» (PDF) . Годовой отчет Теоретического отдела Лос-Аламоса за 1975–1976 годы .
^ Аллигуд, Коннектикут; Зауэр, Т.Д.; Йорк, Дж.А. (1996). Хаос: введение в динамические системы . Спрингер. ISBN 0-387-94677-2 .
^ Фейгенбаум, Митчелл Дж. (1978). «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований». Журнал статистической физики . 19 (1): 25–52. Бибкод : 1978JSP....19...25F . дои : 10.1007/BF01020332 . S2CID 124498882 .
^ Джордан, Д.В.; Смит, П. (2007). Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения: Введение для ученых и инженеров (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-920825-8 .
^ Аллигуд, с. 503 .
^ Аллигуд, с. 504 .
^ Jump up to: ^а ^б Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос . Исследования нелинейности. Книги Персея. ISBN 978-0-7382-0453-6 .
^ Дельбурго, Р.; Харт, В.; Кенни, Б.Г. (1 января 1985 г.). «Зависимость универсальных констант от периода умножения в нелинейных отображениях» . Физический обзор А. 31 (1): 514–516. Бибкод : 1985PhRvA..31..514D . дои : 10.1103/PhysRevA.31.514 . ISSN 0556-2791 . ПМИД 9895509 .
^ Хилборн, Роберт С. (2000). Хаос и нелинейная динамика: введение для ученых и инженеров (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850723-2 . OCLC 44737300 .
^ Бриггс, Кейт (1997). Скейлинг Фейгенбаума в дискретных динамических системах (PDF) (кандидатская диссертация). Университет Мельбурна .
^ Лэнфорд III, Оскар (1982). «Компьютерное доказательство гипотез Фейгенбаума» . Бык. амер. Математика. Соц . 6 (3): 427–434. дои : 10.1090/S0273-0979-1982-15008-X .
^ Экманн, JP; Виттвер, П. (1987). «Полное доказательство гипотез Фейгенбаума». Журнал статистической физики . 46 (3–4): 455. Бибкод : 1987JSP....46..455E . дои : 10.1007/BF01013368 . S2CID 121353606 .
^ Любич, Михаил (1999). «Универсальность Фейгенбаума-Кулле-Трессера и гипотеза Милнора о волосатости». Анналы математики . 149 (2): 319–420. arXiv : математика/9903201 . Бибкод : 1999math......3201L . дои : 10.2307/120968 . JSTOR 120968 . S2CID 119594350 .

Ссылки

Аллигуд, Кэтлин Т., Тим Д. Зауэр, Джеймс А. Йорк, Хаос: введение в динамические системы, Учебники по математическим наукам, Springer, 1996, ISBN 978-0-38794-677-1
Бриггс, Кейт (июль 1991 г.). «Точный расчет констант Фейгенбаума» (PDF) . Математика вычислений . 57 (195): 435–439. Бибкод : 1991MaCom..57..435B . дои : 10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6 .
Бриггс, Кейт (1997). Скейлинг Фейгенбаума в дискретных динамических системах (PDF) (кандидатская диссертация). Университет Мельбурна.
Бродхерст, Дэвид (22 марта 1999 г.). «Константы Фейгенбаума до 1018 знаков после запятой» .

Вайсштейн, Эрик В. «Константа Фейгенбаума» . Математический мир .

Внешние ссылки

Константа Фейгенбаума - из Wolfram MathWorld
Последовательность OEIS A006890 (десятичное разложение скорости бифуркации Фейгенбаума)

Последовательность OEIS A006891 (десятичное расширение параметра уменьшения Фейгенбаума)

Последовательность OEIS A195102 (Десятичное разложение параметра для биквадратичного решения уравнения Фейгенбаума-Цвитановича)

Константа фигового дерева - PlanetMath
Блокнот Юлии для расчета постоянной Фейгенбаума ^[1]
Мориарти, Филип; Боули, Роджер (2009). « $δ$ – постоянная Фейгенбаума» . Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .
Терлби, Джуди (2021). Строгие расчеты перенормировок неподвижных точек и аттракторов (доктор философии). Университет Портсмута.

^ Хофштеттер, Харальд (25 октября 2015 г.). «Вычисление констант Фейгенбаума» . www.harald-hofstaetter.at . Проверено 7 апреля 2024 г.

[1] Константа Фейгенбаума (4,669) - Numberphile , получено 7 февраля 2023 г.

[2] Фейгенбаум, MJ (1976). «Универсальность в сложной дискретной динамике» (PDF) . Годовой отчет Теоретического отдела Лос-Аламоса за 1975–1976 годы .

[3] Аллигуд, Коннектикут; Зауэр, Т.Д.; Йорк, Дж.А. (1996). Хаос: введение в динамические системы . Спрингер. ISBN 0-387-94677-2 .

[4] Фейгенбаум, Митчелл Дж. (1978). «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований». Журнал статистической физики . 19 (1): 25–52. Бибкод : 1978JSP....19...25F . дои : 10.1007/BF01020332 . S2CID 124498882 .

[5] Джордан, Д.В.; Смит, П. (2007). Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения: Введение для ученых и инженеров (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-920825-8 .

[6] Аллигуд, с. 503 .

[7] Аллигуд, с. 504 .

[NonlinearDynamics-8] Jump up to: ^а ^б Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос . Исследования нелинейности. Книги Персея. ISBN 978-0-7382-0453-6 .

[9] Дельбурго, Р.; Харт, В.; Кенни, Б.Г. (1 января 1985 г.). «Зависимость универсальных констант от периода умножения в нелинейных отображениях» . Физический обзор А. 31 (1): 514–516. Бибкод : 1985PhRvA..31..514D . дои : 10.1103/PhysRevA.31.514 . ISSN 0556-2791 . ПМИД 9895509 .

[10] Хилборн, Роберт С. (2000). Хаос и нелинейная динамика: введение для ученых и инженеров (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850723-2 . OCLC 44737300 .

[11] Бриггс, Кейт (1997). Скейлинг Фейгенбаума в дискретных динамических системах (PDF) (кандидатская диссертация). Университет Мельбурна .

[12] Лэнфорд III, Оскар (1982). «Компьютерное доказательство гипотез Фейгенбаума» . Бык. амер. Математика. Соц . 6 (3): 427–434. дои : 10.1090/S0273-0979-1982-15008-X .

[13] Экманн, JP; Виттвер, П. (1987). «Полное доказательство гипотез Фейгенбаума». Журнал статистической физики . 46 (3–4): 455. Бибкод : 1987JSP....46..455E . дои : 10.1007/BF01013368 . S2CID 121353606 .

[14] Любич, Михаил (1999). «Универсальность Фейгенбаума-Кулле-Трессера и гипотеза Милнора о волосатости». Анналы математики . 149 (2): 319–420. arXiv : математика/9903201 . Бибкод : 1999math......3201L . дои : 10.2307/120968 . JSTOR 120968 . S2CID 119594350 .

[15] Хофштеттер, Харальд (25 октября 2015 г.). «Вычисление констант Фейгенбаума» . www.harald-hofstaetter.at . Проверено 7 апреля 2024 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[1]