Константы фигового дерева
В математике , особенно в теории бифуркаций , константы Фейгенбаума / ˈ f aɪ ɡ ə n ˌ b aʊ m / [1] — это две математические константы , которые выражают отношения на бифуркационной диаграмме нелинейной карты. Они названы в честь физика Митчелла Фейгенбаума .
История
[ редактировать ]Фейгенбаум первоначально связал первую константу с бифуркациями удвоения периода в логистическом отображении , но также показал, что она справедлива для всех одномерных отображений с одним квадратичным максимумом . Как следствие этой общности, каждая хаотическая система , соответствующая этому описанию, будет раздваиваться с одинаковой скоростью. Фейгенбаум сделал это открытие в 1975 году. [2] [3] и он официально опубликовал его в 1978 году. [4]
Первая константа
[ редактировать ]Первая константа Фейгенбаума δ представляет собой предельное отношение каждого интервала бифуркации к следующему между каждым удвоением периода однопараметрического отображения .
где f ( x ) — функция, параметризованная параметром бифуркации a .
где n a — дискретные значения в n -м периоде удвоения.
Ценить
[ редактировать ]- 30 десятичных знаков: δ = 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 …
- (последовательность A006890 в OEIS )
- Простое рациональное приближение: 621/133 . ) , что верно до 5 значащих значений (при округлении Для более точного использования 1228/263 , . что соответствует 7 значащим значениям
- Примерно равно 10( 1 / π − 1 ) , с погрешностью 0,0047 %
Иллюстрация
[ редактировать ]Нелинейные карты
[ редактировать ]Чтобы увидеть, как возникает это число, рассмотрим реальную однопараметрическую карту.
Здесь a — параметр бифуркации, x — переменная. Значения a, для которых период удваивается (например, наибольшее значение для a без орбиты с периодом 2 или наибольшее a без орбиты с периодом 4), равны a 1 , a 2 и т. д. Они приведены в таблице ниже: [6]
н Период Параметр бифуркации ( a n ) Соотношение а п -1 - а п -2 / а п - а п -1 1 2 0.75 — 2 4 1.25 — 3 8 1.368 0989 4.2337 4 16 1.394 0462 4.5515 5 32 1.399 6312 4.6458 6 64 1.400 8286 4.6639 7 128 1.401 0853 4.6682 8 256 1.401 1402 4.6689
Отношение в последнем столбце сходится к первой константе Фейгенбаума. То же число возникает и для логистической карты.
с действительным параметром a и переменной x . Снова табулируем значения бифуркации: [7]
н Период Параметр бифуркации ( a n ) Соотношение а п -1 - а п -2 / а п - а п -1 1 2 3 — 2 4 3.449 4897 — 3 8 3.544 0903 4.7514 4 16 3.564 4073 4.6562 5 32 3.568 7594 4.6683 6 64 3.569 6916 4.6686 7 128 3.569 8913 4.6680 8 256 3.569 9340 4.6768
Фракталы
[ редактировать ]В случае множества Мандельброта для комплексного квадратичного многочлена
постоянная Фейгенбаума — это предельное соотношение диаметров последовательных кругов на вещественной оси в комплексной плоскости (см. анимацию справа).
н Период = 2 н Параметр бифуркации ( c n ) Соотношение 1 2 −0.75 — 2 4 −1.25 — 3 8 −1.368 0989 4.2337 4 16 −1.394 0462 4.5515 5 32 −1.399 6312 4.6459 6 64 −1.400 8287 4.6639 7 128 −1.401 0853 4.6668 8 256 −1.401 1402 4.6740 9 512 −1.401 151 982 029 4.6596 10 1024 −1.401 154 502 237 4.6750 ... ... ... ... ∞ −1.401 155 1890 ...
Параметр бифуркации является корневой точкой периода -2. н компонент. Этот ряд сходится к точке Фейгенбаума c = -1,401155...... Отношение в последнем столбце сходится к первой константе Фейгенбаума.
Другие карты также воспроизводят это соотношение; в этом смысле константа Фейгенбаума в теории бифуркаций аналогична π в геометрии и e в исчислении .
Вторая константа
[ редактировать ]Вторая константа Фейгенбаума или альфа-константа Фейгенбаума (последовательность A006891 в OEIS ),
представляет собой отношение ширины зубца к ширине одного из двух его подотделений (кроме зубца, ближайшего к сгибу). Отрицательный знак применяется к α , когда измеряется соотношение между нижним подзубцем и шириной зубца. [8]
Эти цифры применимы к большому классу динамических систем (например, капающие краны и рост населения). [8]
Простое рациональное приближение: 13 / 11 × 17 / 11 × 37 / 27 = 8177 / 3267 .
Другие значения
[ редактировать ]Окно периода 3 на логистической карте также имеет путь удвоения периода к хаосу, достигая хаоса в , и у него есть две собственные константы Фейгенбаума. м [9] и Приложение F.2 [10]
Характеристики
[ редактировать ]Оба числа считаются трансцендентными , хотя это не доказано. [11] Фактически, нет известных доказательств того, что любая из констант даже иррациональна.
Первое доказательство универсальности констант Фейгенбаума было проведено Оскаром Лэнфордом при помощи компьютера в 1982 году. [12] (с небольшой поправкой Жана-Пьера Экмана и Питера Виттвера из Женевского университета в 1987 г. ). [13] ). С годами для различных частей доказательства были открыты нечисловые методы, что помогло Михаилу Любичу получить первое полное нечисловое доказательство. [14]
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Константа Фейгенбаума (4,669) - Numberphile , получено 7 февраля 2023 г.
- ^ Фейгенбаум, MJ (1976). «Универсальность в сложной дискретной динамике» (PDF) . Годовой отчет Теоретического отдела Лос-Аламоса за 1975–1976 годы .
- ^ Аллигуд, Коннектикут; Зауэр, Т.Д.; Йорк, Дж.А. (1996). Хаос: введение в динамические системы . Спрингер. ISBN 0-387-94677-2 .
- ^ Фейгенбаум, Митчелл Дж. (1978). «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований». Журнал статистической физики . 19 (1): 25–52. Бибкод : 1978JSP....19...25F . дои : 10.1007/BF01020332 . S2CID 124498882 .
- ^ Джордан, Д.В.; Смит, П. (2007). Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения: Введение для ученых и инженеров (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-920825-8 .
- ^ Аллигуд, с. 503 .
- ^ Аллигуд, с. 504 .
- ^ Jump up to: а б Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос . Исследования нелинейности. Книги Персея. ISBN 978-0-7382-0453-6 .
- ^ Дельбурго, Р.; Харт, В.; Кенни, Б.Г. (1 января 1985 г.). «Зависимость универсальных констант от периода умножения в нелинейных отображениях» . Физический обзор А. 31 (1): 514–516. Бибкод : 1985PhRvA..31..514D . дои : 10.1103/PhysRevA.31.514 . ISSN 0556-2791 . ПМИД 9895509 .
- ^ Хилборн, Роберт С. (2000). Хаос и нелинейная динамика: введение для ученых и инженеров (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850723-2 . OCLC 44737300 .
- ^ Бриггс, Кейт (1997). Скейлинг Фейгенбаума в дискретных динамических системах (PDF) (кандидатская диссертация). Университет Мельбурна .
- ^ Лэнфорд III, Оскар (1982). «Компьютерное доказательство гипотез Фейгенбаума» . Бык. амер. Математика. Соц . 6 (3): 427–434. дои : 10.1090/S0273-0979-1982-15008-X .
- ^ Экманн, JP; Виттвер, П. (1987). «Полное доказательство гипотез Фейгенбаума». Журнал статистической физики . 46 (3–4): 455. Бибкод : 1987JSP....46..455E . дои : 10.1007/BF01013368 . S2CID 121353606 .
- ^ Любич, Михаил (1999). «Универсальность Фейгенбаума-Кулле-Трессера и гипотеза Милнора о волосатости». Анналы математики . 149 (2): 319–420. arXiv : математика/9903201 . Бибкод : 1999math......3201L . дои : 10.2307/120968 . JSTOR 120968 . S2CID 119594350 .
Ссылки
[ редактировать ]- Аллигуд, Кэтлин Т., Тим Д. Зауэр, Джеймс А. Йорк, Хаос: введение в динамические системы, Учебники по математическим наукам, Springer, 1996, ISBN 978-0-38794-677-1
- Бриггс, Кейт (июль 1991 г.). «Точный расчет констант Фейгенбаума» (PDF) . Математика вычислений . 57 (195): 435–439. Бибкод : 1991MaCom..57..435B . дои : 10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6 .
- Бриггс, Кейт (1997). Скейлинг Фейгенбаума в дискретных динамических системах (PDF) (кандидатская диссертация). Университет Мельбурна.
- Бродхерст, Дэвид (22 марта 1999 г.). «Константы Фейгенбаума до 1018 знаков после запятой» .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Константа Фейгенбаума - из Wolfram MathWorld
- Последовательность OEIS A006890 (десятичное разложение скорости бифуркации Фейгенбаума)
- Последовательность OEIS A006891 (десятичное расширение параметра уменьшения Фейгенбаума)
- Последовательность OEIS A195102 (Десятичное разложение параметра для биквадратичного решения уравнения Фейгенбаума-Цвитановича)
- Константа фигового дерева - PlanetMath
- Блокнот Юлии для расчета постоянной Фейгенбаума [1]
- Мориарти, Филип; Боули, Роджер (2009). « δ – постоянная Фейгенбаума» . Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .
- Терлби, Джуди (2021). Строгие расчеты перенормировок неподвижных точек и аттракторов (доктор философии). Университет Портсмута.
- ^ Хофштеттер, Харальд (25 октября 2015 г.). «Вычисление констант Фейгенбаума» . www.harald-hofstaetter.at . Проверено 7 апреля 2024 г.