Jump to content

Константы фигового дерева

(Перенаправлено с точки Фейгенбаума )

Константа Фейгенбаума δ выражает предел отношения расстояний между последовательными бифуркационными диаграммами на Л я / Л я + 1

В математике , особенно в теории бифуркаций , константы Фейгенбаума / ˈ f ɡ ə n ˌ b m / [1] — это две математические константы , которые выражают отношения на бифуркационной диаграмме нелинейной карты. Они названы в честь физика Митчелла Фейгенбаума .

Фейгенбаум первоначально связал первую константу с бифуркациями удвоения периода в логистическом отображении , но также показал, что она справедлива для всех одномерных отображений с одним квадратичным максимумом . Как следствие этой общности, каждая хаотическая система , соответствующая этому описанию, будет раздваиваться с одинаковой скоростью. Фейгенбаум сделал это открытие в 1975 году. [2] [3] и он официально опубликовал его в 1978 году. [4]

Первая константа

[ редактировать ]

Первая константа Фейгенбаума δ представляет собой предельное отношение каждого интервала бифуркации к следующему между каждым удвоением периода однопараметрического отображения .

где f ( x ) — функция, параметризованная параметром бифуркации a .

Это задано пределом [5]

где n a — дискретные значения в n периоде удвоения.

  • 30 десятичных знаков: δ = 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466
  • (последовательность A006890 в OEIS )
  • Простое рациональное приближение: 621/133 . ) , что верно до 5 значащих значений (при округлении Для более точного использования 1228/263 , . что соответствует 7 значащим значениям
  • Примерно равно 10( 1 / π − 1 ) , с погрешностью 0,0047 %

Иллюстрация

[ редактировать ]

Нелинейные карты

[ редактировать ]

Чтобы увидеть, как возникает это число, рассмотрим реальную однопараметрическую карту.

Здесь a — параметр бифуркации, x — переменная. Значения a, для которых период удваивается (например, наибольшее значение для a без орбиты с периодом 2 или наибольшее a без орбиты с периодом 4), равны a 1 , a 2 и т. д. Они приведены в таблице ниже: [6]

н Период Параметр бифуркации ( a n ) Соотношение а п -1 - а п -2 / а п - а п -1
1 2 0.75
2 4 1.25
3 8 1.368 0989 4.2337
4 16 1.394 0462 4.5515
5 32 1.399 6312 4.6458
6 64 1.400 8286 4.6639
7 128 1.401 0853 4.6682
8 256 1.401 1402 4.6689

Отношение в последнем столбце сходится к первой константе Фейгенбаума. То же число возникает и для логистической карты.

с действительным параметром a и переменной x . Снова табулируем значения бифуркации: [7]

н Период Параметр бифуркации ( a n ) Соотношение а п -1 - а п -2 / а п - а п -1
1 2 3
2 4 3.449 4897
3 8 3.544 0903 4.7514
4 16 3.564 4073 4.6562
5 32 3.568 7594 4.6683
6 64 3.569 6916 4.6686
7 128 3.569 8913 4.6680
8 256 3.569 9340 4.6768

Фракталы

[ редактировать ]
Самоподобие в множестве Мандельброта показано увеличением круглого объекта при панорамировании в отрицательном направлении x . Центр дисплея перемещается от (-1, 0) до (-1,31, 0), а изображение увеличивается от 0,5 × 0,5 до 0,12 × 0,12, чтобы приблизиться к коэффициенту Фейгенбаума.

В случае множества Мандельброта для комплексного квадратичного многочлена

постоянная Фейгенбаума — это предельное соотношение диаметров последовательных кругов на вещественной оси в комплексной плоскости (см. анимацию справа).

н Период = 2 н Параметр бифуркации ( c n ) Соотношение
1 2 −0.75
2 4 −1.25
3 8 −1.368 0989 4.2337
4 16 −1.394 0462 4.5515
5 32 −1.399 6312 4.6459
6 64 −1.400 8287 4.6639
7 128 −1.401 0853 4.6668
8 256 −1.401 1402 4.6740
9 512 −1.401 151 982 029 4.6596
10 1024 −1.401 154 502 237 4.6750
... ... ... ...
−1.401 155 1890 ...

Параметр бифуркации является корневой точкой периода -2. н компонент. Этот ряд сходится к точке Фейгенбаума c = -1,401155...... Отношение в последнем столбце сходится к первой константе Фейгенбаума.

Джулия поставила точку на фиговом дереве

Другие карты также воспроизводят это соотношение; в этом смысле константа Фейгенбаума в теории бифуркаций аналогична π в геометрии и e в исчислении .

Вторая константа

[ редактировать ]

Вторая константа Фейгенбаума или альфа-константа Фейгенбаума (последовательность A006891 в OEIS ),

представляет собой отношение ширины зубца к ширине одного из двух его подотделений (кроме зубца, ближайшего к сгибу). Отрицательный знак применяется к α , когда измеряется соотношение между нижним подзубцем и шириной зубца. [8]

Эти цифры применимы к большому классу динамических систем (например, капающие краны и рост населения). [8]

Простое рациональное приближение: 13 / 11 × 17 / 11 × 37 / 27 = 8177 / 3267 .

Другие значения

[ редактировать ]

Окно периода 3 на логистической карте также имеет путь удвоения периода к хаосу, достигая хаоса в , и у него есть две собственные константы Фейгенбаума. м [9] и Приложение F.2 [10]

Характеристики

[ редактировать ]

Оба числа считаются трансцендентными , хотя это не доказано. [11] Фактически, нет известных доказательств того, что любая из констант даже иррациональна.

Первое доказательство универсальности констант Фейгенбаума было проведено Оскаром Лэнфордом при помощи компьютера в 1982 году. [12] (с небольшой поправкой Жана-Пьера Экмана и Питера Виттвера из Женевского университета в 1987 г. ). [13] ). С годами для различных частей доказательства были открыты нечисловые методы, что помогло Михаилу Любичу получить первое полное нечисловое доказательство. [14]

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Константа Фейгенбаума (4,669) - Numberphile , получено 7 февраля 2023 г.
  2. ^ Фейгенбаум, MJ (1976). «Универсальность в сложной дискретной динамике» (PDF) . Годовой отчет Теоретического отдела Лос-Аламоса за 1975–1976 годы .
  3. ^ Аллигуд, Коннектикут; Зауэр, Т.Д.; Йорк, Дж.А. (1996). Хаос: введение в динамические системы . Спрингер. ISBN  0-387-94677-2 .
  4. ^ Фейгенбаум, Митчелл Дж. (1978). «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований». Журнал статистической физики . 19 (1): 25–52. Бибкод : 1978JSP....19...25F . дои : 10.1007/BF01020332 . S2CID   124498882 .
  5. ^ Джордан, Д.В.; Смит, П. (2007). Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения: Введение для ученых и инженеров (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-920825-8 .
  6. ^ Аллигуд, с. 503 .
  7. ^ Аллигуд, с. 504 .
  8. ^ Jump up to: а б Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос . Исследования нелинейности. Книги Персея. ISBN  978-0-7382-0453-6 .
  9. ^ Дельбурго, Р.; Харт, В.; Кенни, Б.Г. (1 января 1985 г.). «Зависимость универсальных констант от периода умножения в нелинейных отображениях» . Физический обзор А. 31 (1): 514–516. Бибкод : 1985PhRvA..31..514D . дои : 10.1103/PhysRevA.31.514 . ISSN   0556-2791 . ПМИД   9895509 .
  10. ^ Хилборн, Роберт С. (2000). Хаос и нелинейная динамика: введение для ученых и инженеров (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-850723-2 . OCLC   44737300 .
  11. ^ Бриггс, Кейт (1997). Скейлинг Фейгенбаума в дискретных динамических системах (PDF) (кандидатская диссертация). Университет Мельбурна .
  12. ^ Лэнфорд III, Оскар (1982). «Компьютерное доказательство гипотез Фейгенбаума» . Бык. амер. Математика. Соц . 6 (3): 427–434. дои : 10.1090/S0273-0979-1982-15008-X .
  13. ^ Экманн, JP; Виттвер, П. (1987). «Полное доказательство гипотез Фейгенбаума». Журнал статистической физики . 46 (3–4): 455. Бибкод : 1987JSP....46..455E . дои : 10.1007/BF01013368 . S2CID   121353606 .
  14. ^ Любич, Михаил (1999). «Универсальность Фейгенбаума-Кулле-Трессера и гипотеза Милнора о волосатости». Анналы математики . 149 (2): 319–420. arXiv : математика/9903201 . Бибкод : 1999math......3201L . дои : 10.2307/120968 . JSTOR   120968 . S2CID   119594350 .
[ редактировать ]
Последовательность OEIS A006891 (десятичное расширение параметра уменьшения Фейгенбаума)
Последовательность OEIS A195102 (Десятичное разложение параметра для биквадратичного решения уравнения Фейгенбаума-Цвитановича)
  1. ^ Хофштеттер, Харальд (25 октября 2015 г.). «Вычисление констант Фейгенбаума» . www.harald-hofstaetter.at . Проверено 7 апреля 2024 г.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: d7af75b0ec107b2560b3a06cdb19ee89__1718152440
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/d7/89/d7af75b0ec107b2560b3a06cdb19ee89.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Feigenbaum constants - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)