Проблема стабильного брака

В математике , экономике и информатике проблема стабильного брака (также проблема стабильного соответствия ) — это проблема поиска устойчивого соответствия между двумя наборами элементов одинакового размера с учетом порядка предпочтений для каждого элемента. Паросочетание биекция — это элементов одного множества элементам другого множества. Соответствие не является стабильным, если:

Существует элемент A из первого совпадающего набора, который предпочитает некоторый элемент B из второго совпадающего набора элементу, с которым A уже сопоставлен, и
B также предпочитает A элементу, которому B уже соответствует.

Другими словами, совпадение стабильно, когда не существует пары ( A , B ), которые оба предпочитают друг друга своему текущему партнеру при сопоставлении.

Проблема стабильного брака формулируется следующим образом:

Учитывая n мужчин и n женщин, где каждый человек расположил всех представителей противоположного пола в порядке предпочтения, жените мужчин и женщин вместе так, чтобы не было двух людей противоположного пола, которые оба предпочли бы друг друга, чем своих нынешних партнеров. . Когда таких пар нет, совокупность браков считается стабильной.

Существование двух классов, которые необходимо объединить друг с другом (гетеросексуальные мужчины и женщины в этом примере), отличает эту проблему от проблемы стабильных соседей по комнате .

Приложения

Алгоритмы поиска решений проблемы стабильного брака находят применение в различных реальных ситуациях, возможно, самая известная из них — направление выпускников-медиков на первый прием в больницу. ^[1] В 2012 году Нобелевская премия по экономике была присуждена Ллойду С. Шепли и Элвину Э. Роту «за теорию стабильного распределения и практику проектирования рынка». ^[2]

Важным и масштабным применением стабильного брака является распределение пользователей по серверам в крупной распределенной интернет-службе. ^[3] Миллиарды пользователей получают доступ к веб-страницам, видео и другим услугам в Интернете, что требует, чтобы каждый пользователь был сопоставлен с одним из (потенциально) сотен тысяч серверов по всему миру, предлагающих эту услугу. Пользователь предпочитает серверы, которые расположены достаточно близко, чтобы обеспечить более быстрое время ответа для запрошенной услуги, что приводит к (частичному) предпочтительному заказу серверов для каждого пользователя. Каждый сервер предпочитает обслуживать пользователей с меньшими затратами, что приводит к (частичному) предпочтительному упорядочиванию пользователей для каждого сервера. Сети доставки контента , которые распределяют большую часть мирового контента и услуг, решают эту большую и сложную проблему стабильного брака между пользователями и серверами каждые десятки секунд, позволяя миллиардам пользователей сопоставляться с их соответствующими серверами, которые могут предоставлять запрошенные веб-страницы и видео. или другие услуги. ^[3]

Алгоритм Гейла-Шепли для стабильного сопоставления используется для распределения раввинов, окончивших Еврейский союзный колледж, к еврейским общинам. ^[4]

Различные стабильные паросочетания

В общем, может быть много различных устойчивых паросочетаний. Например, предположим, что есть трое мужчин (A,B,C) и три женщины (X,Y,Z), которые имеют предпочтения:

А: YXZ Б: ZYX C: XZY

X: BAC Y: CBA Z: ACB

Есть три устойчивых решения этой схемы согласования:

мужчины получают первый выбор, а женщины третий - (AY, BZ, CX);
всем участникам предоставляется второй выбор - (AX, BY, CZ);
женщины получают свой первый выбор, а мужчины третий - (AZ, BX, CY).

Все три стабильны, поскольку нестабильность требует, чтобы оба участника были более довольны альтернативным матчем. Предоставление одной группе первого выбора гарантирует стабильность совпадений, поскольку они будут недовольны любым другим предложенным совпадением. Предоставление каждому второго выбора гарантирует, что любой другой матч не понравится одной из сторон. В общем, семейству решений любого случая проблемы стабильного брака можно придать структуру конечной дистрибутивной решетки :и эта структура приводит к эффективным алгоритмам для решения нескольких задач о стабильных браках. ^[5]

В равномерно случайном случае проблемы стабильного брака с $n$ мужчинами и $n$ женщинами среднее количество стабильных совпадений асимптотически равно $e^{-1}n\ln n$ . ^[6]В случае стабильного брака, выбранного для максимизации количества различных стабильных совпадений, это число является экспоненциальной функцией от $n$ . ^[7]Подсчет количества устойчивых совпадений в данном экземпляре является #P-complete . ^[8]

Алгоритмическое решение

Анимация, показывающая пример алгоритма Гейла – Шепли.

В 1962 году Дэвид Гейл и Ллойд Шепли доказали, что для любого равного числа мужчин и женщин всегда возможно решить проблему стабильного брака и сделать все браки стабильными. Они представили алгоритм, позволяющий это сделать. ^[9]^[10]

Алгоритм Гейла-Шепли (также известный как алгоритм отложенного принятия) включает в себя ряд «раундов» (или « итераций »):

В первом раунде сначала а ) каждый незамужний мужчина делает предложение женщине, которую он предпочитает больше всего, а затем б ) каждая женщина отвечает «может быть» своему поклоннику, которого она больше всего предпочитает, и «нет» всем остальным поклонникам. Затем она временно «помолвлена» с женихом, которого она больше всего предпочитает на данный момент, и этот жених также временно помолвлен с ней.
В каждом последующем раунде сначала а ) каждый незанятый мужчина делает предложение наиболее предпочтительной женщине, которой он еще не делал предложения (независимо от того, помолвлена ли женщина), а затем б ) каждая женщина отвечает «может быть», если она в настоящее время не помолвлена или если она предпочитает этого мужчину своему нынешнему временному партнеру (в этом случае она отвергает своего нынешнего временного партнера, который становится незанятым). Предварительный характер помолвок сохраняет за уже помолвленной женщиной право «обменять» (и при этом «бросить» своего бывшего партнера).
Этот процесс повторяется до тех пор, пока все не будут задействованы.

Этот алгоритм гарантированно создаст стабильный брак для всех участников во времени. $O(n^{2})$ где $n$ это количество мужчин или женщин. ^[11]

Среди всех возможных различных стабильных совпадений всегда получается то, которое лучше для всех мужчин среди всех стабильных совпадений и худшее для всех женщин. ^[12]

Это правдивый механизм с точки зрения мужчин (предлагающей стороны), т. е. ни один человек не может добиться лучшего соответствия себе, искажая свои предпочтения. Более того, алгоритм GS является доказательством групповой стратегии даже для мужчин, т. е. ни одна коалиция мужчин не может скоординировать искажение своих предпочтений так, чтобы все мужчины в коалиции оказались в строго лучшем положении. ^[13] Однако некоторые коалиции могут искажать свои предпочтения, так что некоторые мужчины будут более обеспеченными, а другие сохранят того же партнера. ^[14]Алгоритм GS неправдив для женщин (проверяющей стороны): каждая женщина может исказить свои предпочтения и получить лучшее совпадение.

Теорема о сельских больницах

Теорема о сельских больницах касается более общего варианта проблемы стабильного соответствия, аналогичного тому, который применяется в задаче подбора врачей на должности в больницах, и отличается от основной $n$ -n- $n$ -формы задачи стабильного брака следующими способами:

Каждый участник может желать быть сопоставленным только с подмножеством участников на другой стороне сопоставления.
Участники на одной стороне сопоставления (больницы) могут иметь количественный потенциал, определяющий количество врачей, которые они готовы нанять.
Общее количество участников на одной стороне может не равняться общей мощности, с которой они должны быть сопоставлены на другой стороне.
Полученное соответствие может не соответствовать всем участникам.

В этом случае условием стабильности является то, что ни одна несовпадающая пара не предпочитает друг друга своей ситуации в сопоставлении (будь то ситуация другого партнера или несовпадение). При этом условии устойчивое паросочетание все равно будет существовать, и его все равно можно найти с помощью алгоритма Гейла – Шепли.

Для такого рода задачи устойчивого сопоставления теорема о сельских больницах гласит:

Набор назначенных врачей и количество заполненных должностей в каждой больнице одинаковы во всех стабильных сопоставлениях.
Любая больница, имеющая несколько пустых позиций в каком-либо стабильном сопоставлении, получает точно такой же набор врачей во всех стабильных сопоставлениях.

Связанные проблемы

При стабильном совпадении с безразличием некоторые мужчины могут быть безразличны к двум или более женщинам, и наоборот.

Проблема стабильных соседей по комнате аналогична проблеме стабильного брака, но отличается тем, что все участники принадлежат к единому пулу (а не делятся на равное количество «мужчин» и «женщин»).

Проблема больниц/резидентов , также известная как проблема поступления в колледж , отличается от проблемы стабильного брака тем, что больница может принять нескольких резидентов, а колледж может принять в новый класс более одного студента. Алгоритмы решения проблемы больниц/ординаторов могут быть ориентированы на больницы (как это было с NRMP до 1995 года). ^[15] или ориентированный на резидента . Эта проблема была решена с помощью алгоритма в той же оригинальной статье Гейла и Шепли, в которой была решена проблема стабильного брака. ^[9]

Проблема « больницы /резиденты» с парами позволяет в группу пациентов включать пары, которые должны быть направлены вместе либо в одну и ту же больницу, либо в определенную пару больниц, выбранную парой (например, супружеская пара хочет быть уверена, что они останутся в больнице). вместе и не застревать в программах, находящихся далеко друг от друга). Добавление пар в задачу о больницах/резидентах делает задачу NP-полной . ^[16]

Задача о назначениях направлена на поиск паросочетания во взвешенном двудольном графе , имеющего максимальный вес. Сопоставления с максимальным взвешиванием не обязательно должны быть стабильными, но в некоторых приложениях сопоставление с максимальным взвешиванием лучше, чем стабильное.

Проблема сопоставления с контрактами представляет собой обобщение проблемы сопоставления, в которой участникам можно сопоставить разные условия контрактов. ^[17] Важным частным случаем контрактов является согласование гибкой заработной платы. ^[18]

См. также

Сопоставление (теория графов) – сопоставление между различными вершинами графа; обычно не связано с упорядочением предпочтений.
Сопоставление без зависти - ослабление стабильного сопоставления для задач сопоставления «многие к одному».
Сопоставление радуги для графов с цветными краями
Стабильный совпадающий многогранник
Решетка устойчивых паросочетаний
Проблема секретаря (также называемая проблемой брака ) – решение, когда остановиться, чтобы получить лучшее вознаграждение в последовательности вариантов.

Ссылки

^ Стабильные алгоритмы сопоставления
^ «Премия в области экономических наук 2012» . Нобелевская премия.org . Проверено 9 сентября 2013 г.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Брюс Мэггс и Рамеш Ситараман (2015). «Алгоритмические самородки в доставке контента» (PDF) . Обзор компьютерных коммуникаций ACM SIGCOMM . 45 (3).
^ Бодин, Лоуренс; Панкен, Аарон (июнь 2003 г.). «Высокие технологии для высшей власти: трудоустройство выпускников раввинов Еврейского союзного колледжа — Еврейского института религии» . Интерфейсы . 33 (3): 1–11. дои : 10.1287/inte.33.3.1.16013 . ISSN 0092-2102 .
^ Гасфилд, Дэн (1987). «Три быстрых алгоритма для четырех проблем стабильного брака». SIAM Journal по вычислительной технике . 16 (1): 111–128. дои : 10.1137/0216010 . МР 0873255 .
^ Питтель, Борис (1989). «Среднее количество стабильных совпадений». SIAM Journal по дискретной математике . 2 (4): 530–549. дои : 10.1137/0402048 . МР 1018538 .
^ Карлин, Анна Р .; Гаран, Шаян Овейс; Вебер, Робби (2018). «Просто экспоненциальная верхняя граница максимального количества устойчивых паросочетаний». В Диакониколасе, Илиас; Кемпе, Дэвид; Хензингер, Моника (ред.). Материалы 50-го симпозиума по теории вычислений (STOC 2018) . Ассоциация вычислительной техники. стр. 920–925. arXiv : 1711.01032 . дои : 10.1145/3188745.3188848 . МР 3826305 .
^ Ирвинг, Роберт В.; Кожа, Пол (1986). «Сложность подсчета стабильных браков». SIAM Journal по вычислительной технике . 15 (3): 655–667. дои : 10.1137/0215048 . МР 0850415 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Гейл, Д.; Шепли, Л.С. (1962). «Прием в колледж и стабильность брака» . Американский математический ежемесячник . 69 (1): 9–14. дои : 10.2307/2312726 . JSTOR 2312726 . Архивировано из оригинала 25 сентября 2017 года.
^ Гарри Мэйрсон : «Проблема стабильного брака», The Brandeis Review 12, 1992 ( онлайн ).
^ Ивама, Кадзуо ; Миядзаки, Шуичи (2008). «Обзор проблемы стабильного брака и ее вариантов». Международная конференция по образованию и исследованиям в области информатики для общества, распространяющего знания (ICKS 2008) . IEEE. стр. 131–136. дои : 10.1109/ICKS.2008.7 . hdl : 2433/226940 . ISBN 978-0-7695-3128-1 .
^ Эриксон, Джефф (июнь 2019 г.). «4.5 Стабильное соответствие» (PDF) . Алгоритмы . Университет Иллинойса. стр. 170–176 . Проверено 19 декабря 2023 г.
^ Дубинс, Луизиана ; Фридман, Д.А. (1981). «Макиавелли и алгоритм Гейла – Шепли». Американский математический ежемесячник . 88 (7): 485–494. дои : 10.2307/2321753 . JSTOR 2321753 . МР 0628016 .
^ Хуанг, Чиен-Чунг (2006). «Обман мужчин в алгоритме стабильного сопоставления Гейла-Шепли». В Азаре, Йоси; Эрлебах, Томас (ред.). Алгоритмы – ESA 2006, 14-й ежегодный европейский симпозиум, Цюрих, Швейцария, 11–13 сентября 2006 г., Труды . Конспекты лекций по информатике. Том. 4168. Спрингер. стр. 418–431. дои : 10.1007/11841036_39 . МР 2347162 .
^ Робинсон, Сара (апрель 2003 г.). «Встречают ли студенты-медики свою (наилучшую) пару?» (PDF) . Новости СИАМ (3): 36 . Проверено 2 января 2018 г.
^ Гасфилд, Д.; Ирвинг, RW (1989). Проблема стабильного брака: структура и алгоритмы . МТИ Пресс. п. 54. ИСБН 0-262-07118-5 .
^ Хэтфилд, Джон Уильям; Милгром, Пол (2005). «Согласование договоров». Американский экономический обзор . 95 (4): 913–935. дои : 10.1257/0002828054825466 . JSTOR 4132699 .
^ Кроуфорд, Винсент; Кноер, Элси Мари (1981). «Подбор рабочих мест с разнородными фирмами и работниками». Эконометрика . 49 (2): 437–450. дои : 10.2307/1913320 . JSTOR 1913320 .

Дальнейшее чтение

Кляйнберг Дж. и Тардос Э. (2005) Разработка алгоритмов , глава 1, стр. 1–12. Текст [1] см. на сопутствующем веб-сайте. Архивировано 14 мая 2011 г. на Wayback Machine .
Кнут, DE (1996). Стабильный брак и его связь с другими комбинаторными задачами: введение в математический анализ алгоритмов . Материалы CRM и конспекты лекций. Английский перевод. Американское математическое общество.
Питтель, Б. (1992). «О возможных решениях проблемы стабильного брака» . Анналы прикладной теории вероятности . 2 (2): 358–401. дои : 10.1214/aoap/1177005708 . JSTOR 2959755 .
Рот, А.Е. (1984). «Эволюция рынка труда для медицинских интернов и ординаторов: пример теории игр» (PDF) . Журнал политической экономии . 92 (6): 991–1016. дои : 10.1086/261272 . S2CID 1360205 .
Рот, А.Е.; Сотомайор, МАО (1990). Двустороннее сопоставление: исследование теоретико-игрового моделирования и анализа . Издательство Кембриджского университета .
Шохам, Йоав; Лейтон-Браун, Кевин (2009). Мультиагентные системы: алгоритмические, теоретико-игровые и логические основы . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-89943-7 . См. раздел 10.6.4; можно скачать бесплатно в Интернете .
Шуммер, Дж.; Вогра, Р.В. (2007). «Проектирование механизмов без денег» (PDF) . В Нисане Ноам; Рафгарден, Тим; Тардос, Ева; Вазирани, Виджай (ред.). Алгоритмическая теория игр . стр. 255–262. ISBN 978-0521872829 .
Гасфилд, Д.; Ирвинг, RW (1989). Проблема стабильного брака: структура и алгоритмы . МТИ Пресс . ISBN 0-262-07118-5 .

Внешние ссылки

[1] Стабильные алгоритмы сопоставления

[2] «Премия в области экономических наук 2012» . Нобелевская премия.org . Проверено 9 сентября 2013 г.

[nuggets-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Брюс Мэггс и Рамеш Ситараман (2015). «Алгоритмические самородки в доставке контента» (PDF) . Обзор компьютерных коммуникаций ACM SIGCOMM . 45 (3).

[4] Бодин, Лоуренс; Панкен, Аарон (июнь 2003 г.). «Высокие технологии для высшей власти: трудоустройство выпускников раввинов Еврейского союзного колледжа — Еврейского института религии» . Интерфейсы . 33 (3): 1–11. дои : 10.1287/inte.33.3.1.16013 . ISSN 0092-2102 .

[5] Гасфилд, Дэн (1987). «Три быстрых алгоритма для четырех проблем стабильного брака». SIAM Journal по вычислительной технике . 16 (1): 111–128. дои : 10.1137/0216010 . МР 0873255 .

[6] Питтель, Борис (1989). «Среднее количество стабильных совпадений». SIAM Journal по дискретной математике . 2 (4): 530–549. дои : 10.1137/0402048 . МР 1018538 .

[7] Карлин, Анна Р .; Гаран, Шаян Овейс; Вебер, Робби (2018). «Просто экспоненциальная верхняя граница максимального количества устойчивых паросочетаний». В Диакониколасе, Илиас; Кемпе, Дэвид; Хензингер, Моника (ред.). Материалы 50-го симпозиума по теории вычислений (STOC 2018) . Ассоциация вычислительной техники. стр. 920–925. arXiv : 1711.01032 . дои : 10.1145/3188745.3188848 . МР 3826305 .

[8] Ирвинг, Роберт В.; Кожа, Пол (1986). «Сложность подсчета стабильных браков». SIAM Journal по вычислительной технике . 15 (3): 655–667. дои : 10.1137/0215048 . МР 0850415 .

[gs62-9] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Гейл, Д.; Шепли, Л.С. (1962). «Прием в колледж и стабильность брака» . Американский математический ежемесячник . 69 (1): 9–14. дои : 10.2307/2312726 . JSTOR 2312726 . Архивировано из оригинала 25 сентября 2017 года.

[10] Гарри Мэйрсон : «Проблема стабильного брака», The Brandeis Review 12, 1992 ( онлайн ).

[IwamaMiyazaki2008-11] Ивама, Кадзуо ; Миядзаки, Шуичи (2008). «Обзор проблемы стабильного брака и ее вариантов». Международная конференция по образованию и исследованиям в области информатики для общества, распространяющего знания (ICKS 2008) . IEEE. стр. 131–136. дои : 10.1109/ICKS.2008.7 . hdl : 2433/226940 . ISBN 978-0-7695-3128-1 .

[12] Эриксон, Джефф (июнь 2019 г.). «4.5 Стабильное соответствие» (PDF) . Алгоритмы . Университет Иллинойса. стр. 170–176 . Проверено 19 декабря 2023 г.

[13] Дубинс, Луизиана ; Фридман, Д.А. (1981). «Макиавелли и алгоритм Гейла – Шепли». Американский математический ежемесячник . 88 (7): 485–494. дои : 10.2307/2321753 . JSTOR 2321753 . МР 0628016 .

[14] Хуанг, Чиен-Чунг (2006). «Обман мужчин в алгоритме стабильного сопоставления Гейла-Шепли». В Азаре, Йоси; Эрлебах, Томас (ред.). Алгоритмы – ESA 2006, 14-й ежегодный европейский симпозиум, Цюрих, Швейцария, 11–13 сентября 2006 г., Труды . Конспекты лекций по информатике. Том. 4168. Спрингер. стр. 418–431. дои : 10.1007/11841036_39 . МР 2347162 .

[Robinson-15] Робинсон, Сара (апрель 2003 г.). «Встречают ли студенты-медики свою (наилучшую) пару?» (PDF) . Новости СИАМ (3): 36 . Проверено 2 января 2018 г.

[16] Гасфилд, Д.; Ирвинг, RW (1989). Проблема стабильного брака: структура и алгоритмы . МТИ Пресс. п. 54. ИСБН 0-262-07118-5 .

[17] Хэтфилд, Джон Уильям; Милгром, Пол (2005). «Согласование договоров». Американский экономический обзор . 95 (4): 913–935. дои : 10.1257/0002828054825466 . JSTOR 4132699 .

[18] Кроуфорд, Винсент; Кноер, Элси Мари (1981). «Подбор рабочих мест с разнородными фирмами и работниками». Эконометрика . 49 (2): 437–450. дои : 10.2307/1913320 . JSTOR 1913320 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

v т и Темы теории игр
Definitions	Congestion game Cooperative game Determinacy Escalation of commitment Extensive-form game First-player and second-player win Game complexity Graphical game Hierarchy of beliefs Information set Normal-form game Preference Sequential game Simultaneous game Simultaneous action selection Solved game Succinct game Mechanism design
Equilibrium concepts	Bayes correlated equilibrium Bayesian Nash equilibrium Berge equilibrium Core Correlated equilibrium Coalition-proof Nash equilibrium Epsilon-equilibrium Evolutionarily stable strategy Gibbs equilibrium Mertens-stable equilibrium Markov perfect equilibrium Nash equilibrium Pareto efficiency Perfect Bayesian equilibrium Proper equilibrium Quantal response equilibrium Quasi-perfect equilibrium Risk dominance Satisfaction equilibrium Self-confirming equilibrium Sequential equilibrium Shapley value Strong Nash equilibrium Subgame perfection Trembling hand equilibrium
Strategies	Appeasement Backward induction Bid shading Collusion Cheap talk De-escalation Deterrence Escalation Forward induction Grim trigger Markov strategy Dominant strategies Pure strategy Mixed strategy Strategy-stealing argument Tit for tat
Classes of games	Auction Bargaining problem Global game Intransitive game Mean-field game n-player game Perfect information Large Poisson game Potential game Repeated game Screening game Signaling game Strictly determined game Stochastic game Symmetric game Zero-sum game
Games	Go Chess Infinite chess Checkers All-pay auction Prisoner's dilemma Gift-exchange game Optional prisoner's dilemma Traveler's dilemma Coordination game Chicken Centipede game Lewis signaling game Volunteer's dilemma Dollar auction Battle of the sexes Stag hunt Matching pennies Ultimatum game Electronic mail game Rock paper scissors Pirate game Dictator game Public goods game Blotto game War of attrition El Farol Bar problem Fair division Fair cake-cutting Bertrand competition Cournot competition Stackelberg competition Deadlock Diner's dilemma Guess 2/3 of the average Kuhn poker Nash bargaining game Induction puzzles Trust game Princess and monster game Rendezvous problem
Theorems	Aumann's agreement theorem Folk theorem Minimax theorem Nash's theorem Negamax theorem Purification theorem Revelation principle Sprague–Grundy theorem Zermelo's theorem
Key figures	Albert W. Tucker Amos Tversky Antoine Augustin Cournot Ariel Rubinstein Claude Shannon Daniel Kahneman David K. Levine David M. Kreps Donald B. Gillies Drew Fudenberg Eric Maskin Harold W. Kuhn Herbert Simon Hervé Moulin John Conway Jean Tirole Jean-François Mertens Jennifer Tour Chayes John Harsanyi John Maynard Smith John Nash John von Neumann Kenneth Arrow Kenneth Binmore Leonid Hurwicz Lloyd Shapley Melvin Dresher Merrill M. Flood Olga Bondareva Oskar Morgenstern Paul Milgrom Peyton Young Reinhard Selten Robert Axelrod Robert Aumann Robert B. Wilson Roger Myerson Samuel Bowles Suzanne Scotchmer Thomas Schelling William Vickrey
Miscellaneous	Alpha–beta pruning Bounded rationality Combinatorial game theory Confrontation analysis Coopetition Evolutionary game theory Glossary of game theory List of game theorists List of games in game theory No-win situation Topological game Tragedy of the commons

Базы данных авторитетного контроля
International	FAST
National	France BnF data Israel United States