Конкурс Курно

Конкуренция Курно — это экономическая модель, используемая для описания структуры отрасли, в которой компании конкурируют за объем выпускаемой продукции, который они принимают независимо друг от друга и одновременно. Он назван в честь Антуана Огюстена Курно (1801–1877), который был вдохновлен наблюдением за конкуренцией в дуополии родниковой воды . Он имеет следующие особенности:

• Существует более одной фирмы, и все фирмы производят однородный продукт нет , т. е. дифференциации продукта ;
• нет Фирмы не сотрудничают, т. е. сговора ;
• Фирмы обладают рыночной властью , т. е. решение каждой фирмы о выпуске влияет на цену товара;
• Количество фирм фиксировано;
• Фирмы конкурируют в количествах, а не в ценах; и
• Фирмы экономически рациональны и действуют стратегически , обычно стремясь максимизировать прибыль с учетом решений своих конкурентов.

Существенным допущением этой модели является «не-гипотеза» о том, что каждая фирма стремится максимизировать прибыль, основанная на ожидании того, что ее собственное решение о выпуске не окажет влияния на решения ее конкурентов.Цена — это общеизвестная убывающая функция общего объема выпуска. Все фирмы знают $N$, общее число фирм на рынке и принять выпуск остальных как заданный. Рыночная цена устанавливается на таком уровне, что спрос равен общему объему производства всех фирм.Каждая фирма принимает количество, установленное конкурентами, как данность, оценивает свой остаточный спрос и затем ведет себя как монополия .

История

Состояние равновесия... поэтому стабильно ; т. е. если какой-либо из производителей, введенный в заблуждение относительно своего истинного интереса, временно покинет его, он будет к нему возвращен.

- Антуан Огюстен Курно, Исследование математических принципов теории богатства (1838 г.), перевод Бэкона (1897 г.).

Антуан Огюстен Курно (1801–1877) впервые изложил свою теорию конкуренции в своей книге 1838 года «Исследования математических принципов теории богатства» как способ описания конкуренции на рынке родниковой воды, где доминируют два поставщика (дуополия ) . Эта модель была одной из многих, которые Курно изложил в книге «явно и с математической точностью». В частности, Курно построил функции прибыли для каждой фирмы, а затем использовал частичное дифференцирование фирмы , чтобы построить функцию, представляющую наилучшую реакцию на заданные (экзогенные) уровни выпуска другой фирмы (фирм) на рынке. Затем он показал, что устойчивое равновесие возникает там, где эти функции пересекаются (т. е. одновременное решение функций наилучшего ответа каждой фирмы).

Следствием этого является то, что в состоянии равновесия ожидания каждой фирмы относительно того, как будут действовать другие фирмы, оказываются верными; когда все раскрыто, ни одна фирма не хочет менять свое решение о выпуске. Эта идея стабильности была позже подхвачена и развита как описание равновесий Нэша , подмножеством которых являются равновесия Курно.

Наследие Исследований

Экономическая теория Курно была мало замечена, пока Леон Вальрас не назвал его предшественником. на книгу Курно, Это привело к несимпатичной рецензии Жозефа Бертрана которая, в свою очередь, подверглась резкой критике. Ирвинг Фишер нашел подход Курно к олигополии «блестящим и многообещающим, но не лишенным серьезных возражений». Он организовал перевод Натаниэля Бэкона в 1897 году.

Реакция на этот аспект теории Курно варьировалась от резкого осуждения до вялого одобрения. В последние годы он получил признание как вклад в теорию игр , а не в экономику. Джеймс В. Фридман объясняет:

В современном языке и интерпретации Курно постулировал, что олигополистический рынок представляет собой конкретную игру...

Математика в книге Курно элементарна, и ее изложение несложно понять. Приведенный ниже отчет точно соответствует словам и диаграммам Курно. Диаграммы, предположительно, были включены в оригинальное издание в виде увеличенной таблички и отсутствуют в некоторых современных переизданиях.

Концептуальная основа Курно

Обсуждение Курно олигополии основано на двух теоретических открытиях, сделанных на предыдущих страницах его книги. Оба перешли (с некоторыми корректировками) в микроэкономическую теорию, особенно в рамках области промышленной организации , где предположения Курно можно ослабить для изучения различных рыночных структур и отраслей, например, модели конкуренции Штакельберга . Обсуждение Курно монополии повлияло на более поздних авторов, таких как Эдвард Чемберлин и Джоан Робинсон, во время возрождения интереса к несовершенной конкуренции в 1930-х годах .

«Закон спроса» или «продаж»

Кривая Курно «спроса или продаж»

Курно с осторожностью относился к психологическим понятиям спроса, определяя его просто как количество проданного конкретного товара (чему способствовал тот факт, что французское слово débit , означающее «объем продаж», имеет ту же начальную букву, что и requiree , означающее «спрос»). ). Он формализовал это математически следующим образом:

Мы будем учитывать объем продаж или годовой спрос $D$, для любого товара быть функцией $F(p)$ от его цены.

Отсюда следует, что его кривые спроса выполняют некоторую часть работы современных кривых предложения, поскольку производители, способные ограничить объем продаж, оказывают влияние на кривую спроса Курно.

Курно отмечает, что кривая спроса обычно представляет собой убывающую функцию цены и что общая стоимость проданного товара равна $pF(p)$, которая обычно увеличивается до максимума, а затем снижается до 0. Условием максимума является то, что производная $pF(p)$, то есть, $F(p)+pF'(p)$, должно быть 0 (где $F'(p)$ является производной от $F(p)$).

Теория дуополии Курно

Монополия и дуополия

Курно настаивает на том, что каждый дуополист стремится самостоятельно максимизировать прибыль, и это ограничение существенно, поскольку Курно говорит нам, что если бы они пришли к взаимопониманию между собой так, чтобы каждый получил максимально возможный доход, то были бы получены совершенно разные результаты, неотличимые друг от друга. с точки зрения потребителя, от тех, которые влечет за собой монополия.

Ценовая модель Курно

Курно представляет математически корректный анализ состояния равновесия, соответствующего некоторой логически непротиворечивой модели дуополистического поведения. Однако его модель не сформулирована и не является особенно естественной ( Шапиро заметил, что наблюдаемая практика представляет собой «естественное возражение против количественной модели Курно». ), и «его слова и математика не совсем совпадают».

Его модель можно будет легче понять, если немного приукрасить ее. Предположим, что есть два владельца источников минеральной воды, каждый из которых может производить неограниченное количество воды по нулевой цене. Предположим, что вместо продажи воды населению они предлагают ее посреднику. Каждый собственник уведомляет посредника о количестве, которое он или она намерен произвести. Посредник находит рыночную цену, которая определяется функцией спроса. $F$ и совокупное предложение. Он или она продает воду по этой цене, возвращая выручку владельцам.

Потребительский спрос $D$ за минеральную воду по цене $p$ обозначается $F(p)$; обратная сторона $F$ написано $f$ а рыночная цена определяется выражением $p=f(D)$, где $D=D_{1}+D_{2}$ и $D_{i}$ это сумма, предоставленная владельцем $i$.

Предполагается, что каждый собственник знает объем предложения своего конкурента и корректирует свое собственное предложение с учетом этого, чтобы максимизировать свою прибыль. Положение равновесия – это состояние, при котором ни один из собственников не склонен регулировать объем предложения.

Чтобы представить такое же поведение рынка без посредника, нужны умственные искажения.

Трудности интерпретации

Особенностью модели Курно является то, что для обоих собственников применяется единая цена. Он обосновал это предположение тем, что «с этого момента цена обязательно будет одинаковой для обоих владельцев». де Борнье развивает эту тему, говоря, что «очевидный вывод о том, что в данный момент может существовать только одна цена» следует из «существенного предположения, касающегося его модели, [а именно] однородности продукта».

Позже Курно пишет, что собственник может корректировать свое предложение «en modifiant Correctement le Prix». Опять же, это нонсенс: невозможно, чтобы одна цена одновременно находилась под контролем двух поставщиков. Если существует единая цена, то она должна определяться рынком как следствие решений собственников по вопросам, находящимся под их индивидуальным контролем.

Отчет Курно настолько вывел его английского переводчика (Натаниэля Бэкона) из равновесия, что его слова были исправлены на «должную корректировку цены ». Эджворт рассматривал равенство цен по Курно как «особое условие, а не… абстрактно необходимое в случаях несовершенной конкуренции». Жан Маньян де Борнье говорит, что в теории Курно «каждый собственник будет использовать цену как переменную для контроля количества», не говоря о том, как одна цена может управлять двумя количествами. А. Дж. Никол заявил, что теория Курно не имеет смысла, если «цены не определяются непосредственно покупателями». Шапиро , возможно, в отчаянии, заметил, что «действительный процесс ценообразования в теории Курно несколько загадочный».

Сговор

Дуополисты Курно не являются истинными максимизаторами прибыли. Любой поставщик может увеличить свою прибыль, исключив посредников и монополизировав рынок, незначительно уступая конкуренту; таким образом, посредника можно рассматривать как механизм ограничения конкуренции.

Нахождение равновесия дуополии Курно

Пример 1

Модель конкуренции Курно обычно представлена ​​для случая дуопольной рыночной структуры; В следующем примере представлен простой анализ модели Курно для случая дуополии. Поэтому предположим, что у нас есть рынок, состоящий только из двух фирм, которые мы назовем фирмой 1 и фирмой 2. Для простоты мы предполагаем, что каждая фирма сталкивается с одинаковыми предельными издержками. То есть для данной фирмы $i$выходное количество, обозначенное $q_{i}$ где $i\in \{1,2\}$, твердый $i$затраты на производство $q_{i}$ единиц продукции определяется выражением $C(q_{i})=\chi q_{i}$, где $\chi$ это предельные издержки.Это предположение говорит нам о том, что обе фирмы имеют одинаковые затраты на единицу продукции. Следовательно, поскольку прибыль каждой фирмы равна ее доходам за вычетом затрат, где доход равен количеству произведенных единиц продукции, умноженному на рыночную цену, мы можем обозначить функции прибыли для фирмы 1 и фирмы 2 следующим образом:

$\Pi _{1}(Q)=p(Q)q_{1}-\chi q_{1}$

$\Pi _{2}(Q)=p(Q)q_{2}-\chi q_{2}$

В приведенных выше функциях прибыли мы имеем цену как функцию общего выпуска, которую мы обозначаем как $Q$ и для двух фирм мы должны иметь $Q=q_{1}+q_{2}$. Для примера предположим, что цена (обратная функция спроса) линейна и имеет вид $p=a-bQ$. Таким образом, обратную функцию спроса можно переписать в виде $p=a-bq_{1}-bq_{2}$.

Теперь, подставив наше уравнение для цены вместо $p(Q)$ мы можем записать функцию прибыли каждой фирмы как:

$\Pi _{1}(q_{1},q_{2})=(a-bq_{1}-bq_{2}-\chi )q_{1}$

$\Pi _{2}(q_{1},q_{2})=(a-bq_{1}-bq_{2}-\chi )q_{2}$

Поскольку предполагается, что фирмы максимизируют прибыль, условия первого порядка (FOC) для каждой фирмы таковы:

${\frac {\partial \Pi _{1}(q_{1},q_{2})}{\partial q_{1}}}=a-2bq_{1}-bq_{2}-\chi =0$

${\frac {\partial \Pi _{2}(q_{1},q_{2})}{\partial q_{2}}}=a-bq_{1}-2bq_{2}-\chi =0$

В ФОКах заявляют, что фирма $i$ производит объем выпуска, максимизирующий прибыль, когда предельные издержки ( ${\text{MC}}$) равен предельному доходу ( ${\text{MR}}$). Интуитивно это предполагает, что фирмы будут производить до тех пор, пока это будет оставаться прибыльным, поскольку любое дальнейшее производство после этой точки будет означать, что ${\text{MC}}>{\text{MR}}$, и, следовательно, производство за пределами этой точки приводит к тому, что фирма теряет деньги на каждую дополнительную произведенную единицу. Обратите внимание, что при объеме, максимизирующем прибыль, где ${\text{MC}}={\text{MR}}$, мы должны иметь ${\text{MC}}-{\text{MR}}=0$ поэтому мы приравниваем приведенные выше уравнения к нулю.

Теперь, когда у нас есть два уравнения, описывающие состояния, в которых каждая фирма производит объем, максимизирующий прибыль, мы можем просто решить эту систему уравнений, чтобы получить оптимальный уровень выпуска каждой фирмы: $q_{1},q_{2}$ для фирм 1 и 2 соответственно. Итак, мы получаем:

$q_{1}={\frac {a-\chi }{2b}}-{\frac {q_{2}}{2}}$

$q_{2}={\frac {a-\chi }{2b}}-{\dfrac {q_{1}}{2}}$

Эти функции описывают оптимальный (максимизирующий прибыль) объем выпуска каждой фирмы с учетом цен, с которыми фирмы сталкиваются на рынке. $p$, предельные издержки, $\chi$и объем выпуска конкурирующих фирм. Функции можно рассматривать как описывающие «наилучшую реакцию» фирмы на уровень выпуска другой фирмы.

Теперь мы можем найти равновесие Курно-Нэша , используя приведенные выше функции «Наилучший ответ» для объема выпуска фирм 1 и 2. Напомним, что обе фирмы имеют одинаковые затраты на единицу продукции ( $\chi$) и цена ( $p$). Следовательно, используя эту симметричную связь между фирмами, мы находим равновесное количество, фиксируя $q_{1}=q_{2}=q^{*}$. Мы можем быть уверены, что эта схема дает нам равновесные уровни, поскольку ни у одной фирмы нет стимула изменять уровень выпуска, поскольку это нанесет вред фирме в пользу ее конкурента. Теперь заменив в $q^{*}$ для $q_{1},q_{2}$ и решая, мы получаем симметричный (одинаковый для каждой фирмы) объем выпуска в равновесии как $q^{*}={\frac {a-\chi }{3b}}$.

Это равновесное значение описывает оптимальный уровень выпуска для фирм 1 и 2, где каждая фирма производит объем выпуска, равный $q^{*}$. Таким образом, в состоянии равновесия общий рыночный выпуск $Q$ будет $Q=q_{1}^{*}+q_{2}^{*}={\frac {2(a-\chi )}{3b}}$.

Пример 2

Доходы, получаемые двумя собственниками, равны $pD_{1}$ и $pD_{2}$, то есть, $f(D_{1}+D_{2})\cdot D_{1}$ и $f(D_{1}+D_{2})\cdot D_{2}$. Первый собственник максимизирует прибыль, оптимизируя параметр $D_{1}$ под его контролем, при условии, что частная производная его прибыли по $D_{1}$ должно быть 0, и рассуждения зеркального отображения применимы к его или ее сопернику. Таким образом, мы получаем уравнения:

$f(D_{1}+D_{2})+D_{1}f'(D_{1}+D_{2})=0$ и

$f(D_{1}+D_{2})+D_{2}f'(D_{1}+D_{2})=0$.

Положение равновесия находится путем одновременного решения этих двух уравнений. Легче всего это сделать, складывая и вычитая их, превращая в:

$D_{1}=D_{2}$ и

$2f(D)+Df'(D)=0$, где $D=D_{1}+D_{2}$.

Таким образом, мы видим, что два собственника поставляют равные количества и что общий проданный объем является корнем одного нелинейного уравнения в $D$.

Курно идет дальше этого простого решения, исследуя устойчивость равновесия. Каждое из его оригинальных уравнений определяет связь между $D_{1}$ и $D_{2}$ который можно изобразить на графике. Если первый собственник предоставлял количество $x_{\textsf {l}}$, то второй собственник примет количество $y_{\textsf {l}}$ от красной кривой, чтобы максимизировать свой доход. Но тогда, по аналогичным рассуждениям, первый собственник скорректирует свое предложение до $x_{\textsf {ll}}$ чтобы дать ему или ей максимальную прибыль, как показано синей кривой, когда $D_{2}$ равно $y_{\textsf {l}}$. Это приведет к тому, что второй собственник адаптируется к стоимости предложения. $y_{\textsf {ll}}$и так далее, пока не будет достигнуто равновесие в точке пересечения $i$, координаты которого $(x,y)$.

Поскольку собственники движутся к положению равновесия, отсюда следует, что равновесие стабильно, но Курно отмечает, что если бы красная и синяя кривые поменялись местами, это перестало бы быть правдой. Он добавляет, что легко видеть, что соответствующая диаграмма была бы недопустимой, поскольку, например, обязательно имеет место, что $m_{1}>m_{2}$. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что когда $D_{1}$ равно 0, два уравнения сводятся к:

$f(D_{2})=0$ и

$f(D_{2})+D_{2}f'(D_{2})=0$.

Первое из них соответствует величине $D_{2}$ продается, когда цена равна нулю (это максимальное количество, которое публика готова потребить), а второй утверждает, что производная $D_{2}f(D_{2})$ относительно $D_{2}$ равно 0, но $D_{2}f(D_{2})$ это денежная стоимость совокупного объема продаж $D_{2}$, а точка поворота этого значения является максимумом. Очевидно, что объем продаж, который максимизирует денежную стоимость, достигается раньше максимально возможного объема продаж (который соответствует значению 0). Итак, корень $m_{1}$ первого уравнения обязательно больше корня $m_{2}$ второго уравнения.

Сравнение с монополией

Мы видели, что система Курно сводится к уравнению $2f(D)+Df'(D)=0$. $D$ функционально связан с $p$ с помощью $f$ в одном направлении и $F$ в другом. Если мы переформулируем это уравнение через $p$, это говорит нам, что $F(p)+2pF'(p)=0$, что можно сравнить с уравнением $F(p)+pF'(p)=0$ полученные ранее за монополию.

Если мы построим другую переменную $u$ против $p$, то мы можем нарисовать кривую функции $u=-{\frac {F(p)}{F'(p)}}$. Монопольная цена – это $p$ для которого эта кривая пересекает линию $u=p$, а цена дуополии определяется пересечением кривой с более крутой линией $u=2p$. Независимо от формы кривой, ее пересечение с $u=2p$ происходит левее (т.е. по более низкой цене, чем) его пересечения с $u=p$. Следовательно, цены при дуополии ниже, чем при монополии, и объемы продаж соответственно выше.

Расширение олигополии

Когда есть $n$ собственников, уравнение цен становится $F(p)+npF'(p)=0$. Цену можно прочитать на графике от пересечения $u=np$ с кривой. Следовательно, цена бесконечно падает по мере увеличения числа собственников. При бесконечном числе собственников цена становится нулевой; или, в более общем плане, если мы учтем издержки производства, цена станет предельными издержками.

Критика Бертрана

Французский математик Жозеф Бертран , рецензируя Вальраса « Теорию математического богатства общества» , был привлечен к книге Курно высокой похвалой Вальраса. Бертран критически относился к рассуждениям и предположениям Курно. Бертран утверждал, что «удаление символов сократит книгу до нескольких страниц». Его краткое изложение теории дуополии Курно осталось влиятельным:

Курно предполагает, что один из собственников снизит свою цену, чтобы привлечь к себе покупателей, а другой, в свою очередь, снизит свою цену еще больше, чтобы привлечь обратно к себе покупателей. Они перестанут таким образом подрывать друг друга только тогда, когда любому собственнику, даже если другой отказался от борьбы, больше нечего будет получить от снижения своей цены. Одно из основных возражений против этого состоит в том, что при этом предположении не существует решения, поскольку нет предела движению вниз... Если формулировка Курно скрывает этот очевидный результат, то это потому, что он совершенно непреднамеренно вводит в качестве D и D' два соответствующий выпуск собственников, и, рассматривая их как независимые переменные, он предполагает, что если один из собственников изменит свой выпуск, то выпуск другого собственника может остаться постоянным. Совершенно очевидно, что не могло.

Парето не впечатлила критика Бертрана, и он пришел к выводу, что Бертран «написал свою статью, не сверившись с книгами, которые он критиковал».

Ирвинг Фишер обрисовал модель дуополии, аналогичную той, которую Бертран обвинил Курно в неправильном анализе:

Более естественная гипотеза, часто принимаемая молчаливо, заключается в том, что каждый [производитель] предполагает, что цена его конкурента останется фиксированной, в то время как его собственная цена будет корректироваться. Согласно этой гипотезе, каждый будет продавать дешевле другого, пока останется хоть какая-то прибыль, так что конечный результат будет идентичен результату неограниченной конкуренции.

Фишер, похоже, считал Бертрана первым, кто представил эту модель, и с тех пор она вошла в литературу как соревнование Бертрана .

См. также

• Агрегативные игры
• Бертран конкурс
• Модель Бертрана – Эджворта
• Предполагаемый вариант
• Теория игр
• Линейная модель города Хотеллинга
• Равновесие Нэша
• конкурс Штакельберга
• Молчаливый сговор

Дальнейшее чтение

• Холт, Чарльз . Игры и стратегическое поведение (версия PDF) , PDF
• Тироль, Жан . Теория промышленной организации , MIT Press, 1988.
• Теория олигоплии стала простой , глава 6 книги Экономика серфинга» « Хью Диксона .
• Шампетер, Джозеф , История экономического анализа (1954). Подробно обсуждает Курно.