Бхаскара II

Не путать с Бхаскара I.

Бхаскара II
Статуя Бхаскары II в Патнадеви
Рожденный	в. 1114 Виджадавида, Махараштра (вероятно, Патан) в Хандеше или Биде в Маратваде )
Умер	в. 1185 (1185-00-00) (70–71 год) Удджайн , Мадхья-Прадеш
Другие имена	Бхаскарачарья
Род занятий	Астроном, математик
Академическая работа
Эра	эпоха Шака
Дисциплина	Математик, астроном, геометр
Основные интересы	Алгебра , арифметика , тригонометрия
Известные работы	Сиддханта Широмани в Лилавати , Биджаганита , Карана-Каутухала Грахаганита и Голадхьяя

Доказательство Бхаскары теоремы Пифагора.

Бхаскара II ( [bʰɑːskərə] ; ок. 1114–1185), также известный как Бхаскарачарья ( букв.   « Бхаскара-учитель » ), был индийским эрудитом, математиком , астрономом и инженером. Из стихов его главного труда «Сиддхамта Широмани» можно сделать вывод, что он родился в 1114 году в Виджадавиде (Виджалавиде) и жил в горных хребтах Сатпуда в Западных Гатах , предположительно в городе Патана в Чалисгаоне, расположенном в настоящее время. День Хандеша в штате Махараштра, проведенный учеными. В храме в Махараштре надпись, предположительно созданная его внуком Чангадевой, перечисляет родословную Бхаскарачарьи на протяжении нескольких поколений до него, а также двух поколений после него. Генри Коулбрук, который был первым европейцем, переведшим (1817 г.) математическую классику Бхаскарачарьи II, называет эту семью махараштрианскими браминами , проживающими на берегах Годавари .

Бхаскара II родился в семье индуистских учёных, математиков и астрономов Дешастха-брахманов и был руководителем космической обсерватории в Удджайне , главном математическом центре древней Индии. Бхаскара и его работы представляют собой значительный вклад в математические и астрономические знания XII века. Его называли величайшим математиком средневековой Индии. Его главный труд «Сиддханта-Широмани » ( санскритское слово «Корона трактатов»). разделена на четыре части: Лилавати , Биджаганита , Грахаганита и Голадхьяя . которые также иногда считаются четырьмя независимыми произведениями. Эти четыре раздела посвящены арифметике, алгебре, математике планет и сфер соответственно. Он также написал еще один трактат под названием «Карана Каутухала».

Дата, место и семья

Бхаскара называет дату своего рождения и дату написания своего основного произведения в стихе размером Арья :

Раса-гуна-пурна-махи-сама-шаканрипа-самайе ऽ бхаван-мамотпаттих ।
Вкус-Качества-Версия Теория Майя-Героический состав ॥

Это показывает, что он родился в 1036 году эпохи Шака (1114 г. н.э. ) и написал « Сиддханта Широмани» , когда ему было 36 лет. Сиддханта Широмани был завершен в 1150 году нашей эры. Он также написал еще один труд под названием « Карана-кутухала», когда ему было 69 лет (в 1183 году). В его работах видно влияние Брахмагупты , Шридхары , Махавиры , Падманабхи и других предшественников. Бхаскара жил в Патнадеви, расположенном недалеко от Патана (Чалисгаон) в окрестностях Сахьядри.

Он родился в брамина Дешастхи Ригведи. семье недалеко от Видьядавиды (Vijjalavida). Мунишвара (17 век), комментатор Сиддханты Широмани из Бхаскары, дал информацию о местонахождении Виджадавиды в своей работе «Маричи Тика» следующим образом:

на территории в горах Сахьякула Ближе к Вирату, синониму Видарбхи в Махараштре. Недалеко от Годавари

Молния в пяти кроссах отсюда.

В этом описании Видджалавида находится в Махараштре, недалеко от региона Видарбха и недалеко от берегов реки Годавари . Однако ученые расходятся во мнениях относительно точного местоположения. Многие ученые поместили это место недалеко от Патана в Чалисгаоне Талука района Джалгаон. тогда как часть ученых отождествляла его с современным городом Бид. Некоторые источники идентифицируют Видджалавиду как Биджапур или Бидар в Карнатаке . отождествить Виджалавиду с Басаром в Телангане . Также было предложено

Говорят, что Бхаскара был главой астрономической обсерватории в Удджайне , ведущем математическом центре средневековой Индии. История свидетельствует, что его прапрапрадед занимал наследственную должность придворного ученого, как и его сын и другие потомки. Его отец Махешвара (Махешваропадхьяйа ) был математиком, астрономом и астролог, который научил его математике, которую он позже передал своему сыну Локасамудре. Сын Локасамудры помог открыть в 1207 году школу для изучения писаний Бхаскары. Он умер в 1185 году нашей эры.

Сиддханта -Широмани

в Лилавати

Страница из «Лилавати» , первого тома «Сиддханты Широмани» . Использование теоремы Пифагора в углу. издание 1650 года

Первый раздел Лилавати (также известный как патиганита или анкаганита ), названный в честь его дочери, состоит из 277 стихов. Он охватывает вычисления, прогрессии, измерения , перестановки и другие темы.

Биджаганита

Второй раздел «Биджаганита» (Алгебра) состоит из 213 стихов. В нем обсуждаются ноль, бесконечность, положительные и отрицательные числа, а также неопределенные уравнения, включая (теперь называемое) уравнение Пелла , и его решение с использованием метода кутака . В частности, он также решил $61x^{2}+1=y^{2}$ случай, который ускользнул от Ферма и его европейских современников столетия спустя

Грахаганита

В третьем разделе Грахаганита , рассматривая движение планет, он рассматривал их мгновенные скорости. Он пришел к приближению: Состоит из 451 стихов.

$\sin y'-\sin y\approx (y'-y)\cos y$ для.

$y'$ близко к $y$, или в современных обозначениях:

${\frac {d}{dy}}\sin y=\cos y$.

По его словам:

бимбардхасья котиджйа гунастриджьяхарах пхалам дорджьяйорантарам

Этот результат также наблюдался ранее Мунджалачарьей (или Манджулачарьей) манасамом в контексте таблицы синусов.

Бхаскара также заявил, что в самой высокой точке мгновенная скорость планеты равна нулю.

Математика

Доказательство Бхаскарачарьи теоремы Пифагора

Некоторые из вкладов Бхаскары в математику включают следующее:

• Доказательство теоремы Пифагора путем вычисления одной и той же площади двумя разными способами, а затем сокращения членов, чтобы получить ² + б ² = с ² .
• В Лилавати решения квадратных , кубических и четвертой степени. неопределенных уравнений объясняются
• Решения неопределенных квадратных уравнений (типа ax ² + б = у ² ).
• Целые решения линейных и квадратных неопределенных уравнений ( Куттака ). Правила, которые он дает, (по сути) такие же, как и правила, данные европейскими математиками эпохи Возрождения 17 века.
• Циклический метод Чакравалы решения неопределенных уравнений вида ax ² + bx + c знак равно y . Решение этого уравнения традиционно приписывалось Уильяму Браункеру в 1657 году, хотя его метод был более сложным, чем метод чакравалы .
• Первый общий метод поиска решения задачи x ² - ​ ² = 1 (так называемое « уравнение Пелла ») было дано Бхаскара II.
• Решения диофантовых уравнений второго порядка, например 61 x ² + 1 = и ² . Это самое уравнение было поставлено как задача в 1657 году французским математиком Пьером де Ферма , но его решение было неизвестно в Европе до времен Эйлера в 18 веке.
• Решал квадратные уравнения с более чем одним неизвестным и находил отрицательные и иррациональные решения.
• Предварительные понятия о математическом анализе .
• Предварительная концепция бесконечно малых исчисления , а также заметный вклад в интегральное исчисление .
• предварительные представления о дифференциальном исчислении и дифференциальном коэффициенте.
• Изложенная теорема Ролля , частный случай одной из важнейших теорем анализа, теоремы о среднем значении . Следы общей теоремы о среднем можно найти и в его работах.
• Вычислены производные тригонометрических функций и формулы. (См. раздел «Исчисление» ниже.)
• В Сиддханта-Широмани Бхаскара разработал сферическую тригонометрию наряду с рядом других тригонометрических результатов. (См. раздел «Тригонометрия» ниже.)

Арифметика

Бхаскары Арифметический текст «Лилавати» охватывает темы определений, арифметических терминов, расчета процентов, арифметических и геометрических прогрессий, геометрии плоскости , геометрии твердого тела , тени гномона , методов решения неопределенных уравнений и их комбинаций .

Лилавати разделена на 13 глав и охватывает многие разделы математики, арифметики, алгебры, геометрии, а также немного тригонометрии и измерений. Более конкретно, содержание включает в себя:

• Определения.
• Свойства нуля (в том числе деление и правила действий с нулем).
• Дальнейшая обширная работа с числами, включая использование отрицательных чисел и ирративов .
• Оценка п .
• Арифметические термины, методы умножения и возведения в квадрат .
• Обратное правило трех и правила 3, 5, 7, 9 и 11.
• Проблемы, связанные с процентами и расчетом процентов.
• Неопределенные уравнения ( Куттака ), целочисленные решения (первого и второго порядка). Его вклад в эту тему особенно важен. поскольку правила, которые он дает, (по сути) такие же, как и правила, данные европейскими математиками эпохи Возрождения 17 века, тем не менее, его работа относилась к 12 веку. Метод решения Бхаскары был усовершенствованием методов, найденных в работах Арьябхаты и последующих математиков.

Его работа отличается систематизацией, усовершенствованными методами и новыми темами, которые он представил. Более того, Лилавати содержала превосходные задачи, и считается, что намерение Бхаскары, возможно, заключалось в том, чтобы изучающий Лилавати занялся механическим применением метода.

Алгебра

Его Биджаганита (« Алгебра ») состояла из двенадцати глав. Это был первый текст, в котором признавалось, что положительное число имеет два квадратных корня (положительный и отрицательный квадратный корень). Его работа «Биджаганита» фактически представляет собой трактат по алгебре и содержит следующие темы:

• Положительные и отрицательные числа .
• «Неизвестное» (включает определение неизвестных величин).
• Определение неизвестных величин.
• Сурды (включает в себя оценку сурдов и их квадратных корней).
• Куттака (для решения неопределенных уравнений и диофантовых уравнений ).
• Простые уравнения (неопределенные второй, третьей и четвертой степени).
• Простые уравнения с несколькими неизвестными.
• Неопределенные квадратные уравнения (типа ax ² + б = у ² ).
• Решения неопределенных уравнений второй, третьей и четвертой степени.
• Квадратные уравнения.
• Квадратные уравнения с несколькими неизвестными.
• Операции с произведениями нескольких неизвестных.

Бхаскара разработал циклический чакравалы метод для решения неопределенных квадратных уравнений вида ax. ² + Ьх + с = у. Метод Бхаскары для поиска решения задачи Nx ² + 1 = и ² (так называемое « уравнение Пелла ») имеет немалое значение.

Тригонометрия

« Сиддханта Широмани» (написанный в 1150 году) демонстрирует знания Бхаскары в области тригонометрии, включая таблицу синусов и взаимосвязи между различными тригонометрическими функциями. Он также разработал сферическую тригонометрию и другие интересные тригонометрические результаты. В частности, Бхаскара, казалось, больше интересовался тригонометрией как таковой, чем его предшественники, которые видели в ней только инструмент для вычислений. Среди многих интересных результатов, данных Бхаскарой, результаты, найденные в его работах, включают вычисление синусов углов 18 и 36 градусов, а также хорошо известные теперь формулы для $\sin \left(a+b\right)$ и $\sin \left(a-b\right)$.

Исчисление

Его работа «Сиддханта Широмани » представляет собой астрономический трактат и содержит множество теорий, которых нет в более ранних работах. предварительные представления об исчислении бесконечно малых и математическом анализе , а также ряд результатов по тригонометрии , дифференциальному и интегральному исчислению Особый интерес представляют найденные в работе .

Имеющиеся данные свидетельствуют о том, что Бхаскара был знаком с некоторыми идеями дифференциального исчисления. Бхаскара также углубляется в «дифференциальное исчисление» и предполагает, что дифференциальный коэффициент обращается в нуль при экстремальном значении функции, что указывает на знание концепции « бесконечно малых ».

• В его работах есть свидетельства ранней формы теоремы Ролля . Современная формулировка теоремы Ролля гласит, что если $f\left(a\right)=f\left(b\right)=0$, затем $f'\left(x\right)=0$ для некоторых $x$ с $\ a<x<b$.
• В этой астрономической работе он предложил одну процедуру, которая выглядит предшественником методов бесконечно малых величин. С точки зрения, это если $x\approx y$ затем $\sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y)$ это производная синуса, хотя понятие производной он не разработал.
  • Бхаскара использует этот результат для определения угла положения эклиптики — величины, необходимой для точного предсказания времени затмения.
• При вычислении мгновенного движения планеты интервал времени между последовательными положениями планет был не больше, чем трути , или 1/33750 секунды . , и его мера скорости выражалась в этой бесконечно малой единице времени
• Он знал, что когда переменная достигает максимального значения, ее дифференциал исчезает.
• Он также показал, что, когда планета находится дальше всего от Земли или ближе всего, уравнение центра (мера того, насколько далеко планета находится от положения, в котором она прогнозируется, исходя из предположения, что она должна двигаться равномерно) исчезает. Поэтому он пришел к выводу, что для некоторого промежуточного положения дифференциал уравнения центра равен нулю. В этом результате есть следы общей теоремы о среднем значении , одной из важнейших теорем анализа, которую сегодня обычно выводят из теоремы Ролля. Формула среднего значения для обратной интерполяции синуса была позже основана Парамешварой в 15 веке в « Лилавати Бхасья» , комментарии к «Лилавати» Бхаскары .

Мадхава (1340–1425) и математики школы Кералы (включая Парамешвару ) с 14 по 16 века расширили работу Бхаскары и еще больше продвинули развитие исчисления в Индии.

Астрономия

Используя астрономическую модель, разработанную Брахмагуптой в VII веке, Бхаскара точно определил многие астрономические величины, включая, например, продолжительность сидерического года , времени, которое требуется Земле для обращения вокруг Солнца, как примерно 365,2588 дней, что составляет то же, что и в Сурьясиддханте. Современное принятое измерение составляет 365,25636 дней , разница в 3,5 минуты.

Его текст по математической астрономии «Сиддханта Широмани» написан в двух частях: первая часть посвящена математической астрономии, а вторая часть посвящена сфере .

Двенадцать глав первой части охватывают такие темы, как:

• Средние долготы планет ​ .
• Истинные долготы планет.
• Три проблемы суточного вращения . Суточное движение относится к кажущемуся суточному движению звезд вокруг Земли или, точнее, вокруг двух небесных полюсов. Это вызвано вращением Земли вокруг своей оси, поэтому каждая звезда, по-видимому, движется по кругу, который называется суточным кругом.
• Сизигии .
• Лунные затмения .
• Солнечные затмения .
• Широты планет.
• Уравнение восхода солнца .
• Луны ​ Серп ​ .
• Соединения планет друг с другом.
• Соединение планет с неподвижными звездами .
• Пути Солнца и Луны.

Вторая часть содержит тринадцать глав, посвященных сфере. Он охватывает такие темы, как:

• Похвала изучению сферы.
• Природа сферы.
• Космография и география .
• планетарное Среднее движение .
• Эксцентрическая эпициклическая модель планет.
• Армиллярная сфера .
• Сферическая тригонометрия .
• Расчеты эллипса .
• Первые изображения планет.
• Вычисление лунного серпа.
• Астрономические инструменты.
• Времена года .
• Проблемы астрономических расчетов.

Инженерное дело

Самое раннее упоминание о вечном двигателе относится к 1150 году, когда Бхаскара II описал колесо, которое, как он утверждал, будет работать вечно.

Бхаскара II изобрел множество инструментов, одним из которых является Яшти-янтра . Это устройство могло варьироваться от простой палки до V-образных рейок, предназначенных специально для определения углов с помощью калиброванной шкалы.

Легенды

В своей книге «Лилавати » он рассуждает: «И в этой величине, делителем которой является ноль, нет никаких изменений, даже когда многие количества вошли в нее или вышли [из нее], точно так же, как во время разрушения и созидания, когда толпы существ входят в [него и выходят из него, нет никаких изменений в] бесконечном и неизменном [Вишну]».

«Смотрите!»

Несколько авторов заявили, что Бхаскара II доказал теорему Пифагора, нарисовав диаграмму и указав единственное слово «Смотрите!». Иногда имя Бхаскары опускают, и это называют индуистским доказательством , хорошо известным школьникам.

Однако, как отмечает историк математики Ким Плофкер, после представления проработанного примера Бхаскара II формулирует теорему Пифагора:

Следовательно, для краткости, квадратный корень из суммы квадратов руки и стойки является гипотенузой: так это и показано.

Далее следует:

И в противном случае, когда кто-то разместит там эти части фигуры, [просто] увидеть [достаточно].

Плофкер предполагает, что это дополнительное заявление может быть основным источником широко распространенного «Вот!» легенда.

Наследие

В его честь назван ряд институтов и колледжей в Индии, в том числе Бхаскарачарья Пратиштхана в Пуне, Колледж прикладных наук Бхаскарачарья в Дели, Институт космических приложений и геоинформатики Бхаскарачарья в Гандинагаре.

20 ноября 1981 года Индийская организация космических исследований (ISRO) запустила спутник «Бхаскара II» в честь математика и астронома.

В 2015 году компания Invis Multimedia выпустила «Бхаскарачарья ». короткометражный индийский документальный фильм о математике

См. также

• Список индийских математиков
• Стул невесты
• Это была паллава

Ссылки

Библиография

• Бертон, Дэвид М. (2011), История математики: введение (7-е изд.), McGraw Hill, ISBN  978-0-07-338315-6
• Ивс, Ховард (1990), Введение в историю математики (6-е изд.), Saunders College Publishing, ISBN  978-0-03-029558-4
• Мазур, Джозеф (2005), Евклид в тропическом лесу , Плюм, ISBN  978-0-452-28783-9
• Саркар, Беной Кумар (1918), Индуистские достижения в точной науке: исследование истории развития науки , Лонгманс, Грин и другие.
• Сил, сэр Браджендранат (1915), Позитивные науки древних индусов , Лонгманс, Грин и другие.
• Коулбрук, Генри Т. (1817), Арифметика и измерение Брахмегупты и Бхаскары
• Уайт, Линн Таунсенд (1978), «Тибет, Индия и Малайя как источники западных средневековых технологий», Средневековая религия и технологии: сборник эссе , University of California Press, ISBN  978-0-520-03566-9
• Селин, Хелейн , изд. (2008), «Астрономические инструменты в Индии», Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах (2-е издание) , Springer Verlag Ny, ISBN  978-1-4020-4559-2
• Шукла, Крипа Шанкар (1984), «Использование исчисления в индуистской математике», Индийский журнал истории науки , 19 : 95–104.
• Пингри, Дэвид Эдвин (1970), Перепись точных наук на санскрите , том. 146, Американское философское общество, ISBN.  9780871691460
• Плофкер, Ким (2007), «Математика в Индии», Кац, Виктор Дж. (редактор), « Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник» , Princeton University Press, ISBN  9780691114859
• Плофкер, Ким (2009), Математика в Индии , Princeton University Press, ISBN  9780691120676
• Кук, Роджер (1997), «Математика индусов» , История математики: краткий курс , Wiley-Interscience, стр. 213–215 , ISBN  0-471-18082-3
• Пулосе, К.Г. (1991), К.Г. Пулосе (редактор), Научное наследие Индии, математика , Равиварма Самскрита грантхавали, том. 22, Правительство. Санскритский колледж (Трипунитура, Индия)
• Чопра, Пран Натх (1982), Религии и общины Индии , Vision Books, ISBN  978-0-85692-081-3
• Гунатилаке, Сусанта (1999), На пути к глобальной науке: горнодобывающие цивилизационные знания , Издательство Индианского университета, ISBN  978-0-253-21182-8
• Селин, Хелейн ; Д'Амброзио, Убиратан , ред. (2001), «Математика в разных культурах: история незападной математики», Science Across Cultures , 2 , Springer, ISBN.  978-1-4020-0260-1
• Стиллвелл, Джон (2002), Математика и ее история, Тексты для студентов по математике , Springer, ISBN  978-0-387-95336-6
• Сахни, Мадху (2019), Педагогика математики , Издательство Vikas, ISBN  978-9353383275

Дальнейшее чтение

• WW Роуз Болл. Краткий обзор истории математики , 4-е издание. Дуврские публикации, 1960.
• Джордж Гевергезе Джозеф. Герб павлина: неевропейские корни математики , 2-е издание. Книги Пингвина , 2000.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Бхаскара II» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс , Университет Сент-Эндрюс , 2000.
• Ян Пирс. Бхаскарачарья II в архиве MacTutor. Университет Сент-Эндрюс, 2002 г.
• Пингри, Дэвид (1970–1980). «Бхаскара II». Словарь научной биографии . Том. 2. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера. стр. 115–120. ISBN  978-0-684-10114-9 .

Внешние ссылки

• Биография 4to40