Интегрируемая система

В математике интегрируемость является свойством определенных динамических систем . Несмотря на то, что есть несколько отдельных формальных определений, неформально говоря, интегрируемая система - это динамическая система с достаточно много консервативных величин или первых интегралов , что ее движение ограничено подэманполдом гораздо меньшей размерности, чем у его фазового пространства .

Три функции часто называют характеристикой интегрируемых систем:

• существование максимального набора консервативных величин (обычное определяющее свойство полной интеграции )
• Существование алгебраических инвариантов, имеющих основу в алгебраической геометрии (свойство, известное, иногда как алгебраическое интегрируемость )
• Явное определение решений в явной функциональной форме (не внутреннее свойство, но что -то часто называют решаемости )

Интегрируемые системы могут рассматриваться как очень разные по качественному характеру от более общих динамических систем, которые являются более обычно хаотическими системами . Последнее, как правило, не имеет консервативных величин и асимптотически неразрешимы, поскольку произвольно небольшое возмущение в начальных условиях может привести к произвольно большим отклонениям в их траекториях в достаточно большое время.

Многие системы, изученные по физике, являются полностью интегрируемыми, в частности, в гамильтонианском смысле, ключевым примером являются многомерные гармонические осцилляторы. Другим стандартным примером является планетарное движение об одном фиксированном центре (например, солнце) или двух. Другие элементарные примеры включают движение твердого тела вокруг его центра масс ( верхняя часть Euler ) и движение оси симметричного жесткого тела вокруг точки в оси симметрии ( верхняя часть лагранжа ).

В конце 1960 -х годов было понятно, что в физике есть полностью интегрируемые системы, имеющие бесконечное количество степеней свободы, такие как некоторые модели мелких водных волн ( уравнение Korteweg - De Vries ), эффект Kerr в оптических волокнах, описанный Нелинейное уравнение Шредингера и некоторые интегрируемые системы многих тел, такие как решетчатая решетка TODA . Современная теория интегрируемых систем была возрождена с численным открытием солитонов Мартином Крускалом и Норманом Забуски в 1965 году, что привело к методу обратного рассеяния в 1967 году.

В особом случае гамильтонианских систем, если существует достаточно независимых первых интегралов Пуассона, чтобы параметры потока могли служить системой координат на наборах инвариантных уровней ( листья лагранжевого слоения ), и если потоки полны и набор энергетического уровня компактен, это подразумевает теорему Лиувиль-Арнольд ; т.е. существование переменных угловых действий . Общие динамические системы не имеют таких консервативных величин; В случае автономных гамильтонианских систем энергия, как правило, является единственной, и на наборах уровня энергии потоки обычно хаотичны.

Ключевым ингредиентом в характеристике интегрируемых систем является теорема Фросениуса , которая утверждает, что система интегрируется в Frobenius (т. Е. генерируется интегрируемым распределением), если локально, она имеет слоение максимальными интегральными коллекторами. Но интегрируемость, в смысле динамических систем , является глобальным свойством, а не локальным, поскольку требует, чтобы разловое было регулярным, с листьями встроенных субманполков.

Интегратируемость не обязательно подразумевает, что общие решения могут быть явно выражены с точки зрения некоторого известного набора специальных функций ; Это внутреннее свойство геометрии и топологии системы и природы динамики.

Общие динамические системы

В контексте дифференцируемых динамических систем понятие интегрируемости относится к существованию инвариантных, обычных слоев ; т.е. те, чьи листья являются встроенными подмены из наименьшего возможного измерения, которые инвариантны под потоком . Таким образом, существует переменное представление о степени интеграции, в зависимости от измерения листьев инвариантного слоения. Эта концепция имеет уточнение в случае гамильтонианских систем , известных как полная интегрируемость в смысле Лиувилля (см. Ниже), что чаще всего упоминается в этом контексте.

Расширение понятия интеграции также применимо к дискретным системам, таким как решетки. Это определение может быть адаптировано для описания уравнений эволюции, которые являются системами дифференциальных уравнений или уравнений конечных разностей .

Различие между интегрируемыми и неинтегрируемыми динамическими системами имеет качественное значение регулярного движения и хаотического движения и, следовательно, является внутренним свойством, а не только вопрос о том, может ли система быть явно интегрирована в точную форму.

Гамильтонианские системы и интегрируемость Liouville

В специальной обстановке гамильтонианских систем у нас есть представление о интеграции в смысле Лиувиля . (См. Теорема Лиувиль -Арнольд .) Интегратируемость Лиувиля означает, что существует регулярное размышление о фазовом пространстве инвариантными многообразиями, так что гамильтонианские векторные поля, связанные с инвариантами разливания, охватывают касательное распределение. Еще один способ заявить об этом заключается в том, что существует максимальный набор функционально независимых инвариантов Пуассона (то есть независимых функций на фазовом пространстве, чьи пуассон скобки с гамильтонианом системы и друг с другом, исчезающие).

В конечных измерениях, если фазовое пространство является симплексным (т.е. центр алгебры Пуассона состоит только из констант), он должен иметь равномерное измерение $2n,$ и максимальное количество независимых инвариантов Пуассона (включая сам гамильтониан) $n$Полем Листья слоения полностью изотропны по отношению к симплектической форме, и такое максимальное изотропное слоение называется лагранжевой . Все автономные гамильтонианские системы (то есть те, для которых гамильтонианские и пуассонские скобки не являются явно в зависимости от времени) имеют по крайней мере один инвариант; а именно, сам гамильтониан, значение которой вдоль потока является энергия. Если наборы уровней энергии являются компактными, листья лагранжевого слоения - это тори , а естественные линейные координаты на них называются «углами» переменными. Циклы канонического $1$-Форкие называются переменными действия, а полученные канонические координаты называются переменными угла действия (см. Ниже).

Существует также различие между полной интегрируемостью , в смысле Лиувиля и частичной интеграцией, а также представление о надзипись и максимальной суперинтегрируемости. По сути, эти различия соответствуют размерам листьев разливания. Когда количество независимых инвариантов Пуассона не является максимальным (но в случае автономных систем, более одного), мы говорим, что система частично интегрируется. Когда существуют дополнительные функционально независимые инварианты, за пределами максимального числа, которые могут быть поездка по Пуассону, и, следовательно, измерение листьев инвариантного слоения меньше N, мы говорим, что система является сверхгробильной . Если есть регулярное расколование с одномерными листьями (кривые), это называется максимально нагрузкой.

Переменные действия

Когда конечномерная гамильтонианская система полностью интегрируется в смысле Лиувиля, и наборы уровней энергии компактны, потоки завершены, а листья инвариантного слоения - это тори . Тогда существует, как упомянуто выше, специальные наборы канонических координат в фазовом пространстве , известном как переменные по угла действия , Таким образом, инвариантные тори являются совместными наборами уровней переменных действия . Таким образом, они обеспечивают полный набор инвариантов гамильтонианского потока (константы движения), а угловые переменные являются естественными периодическими координатами на тори. Движение на инвариантном Тори, выраженном в терминах этих канонических координат, является линейным в угловых переменных.

Подход Гамильтона -Якоби

В теории канонических преобразований существует метод Гамильтона -Якоби , в котором решения уравнений Гамильтона ищут, сначала обнаружив полное решение связанного уравнения Гамильтона -Якоби . В классической терминологии это описывается как определение преобразования в канонический набор координат, состоящих из совершенно игнорируемых переменных; т.е. те, в которых нет зависимости гамильтониана от полного набора канонических координат «позиции», и, следовательно, соответствующие канонически конъюгатные импульсы являются консервативными количествами. В случае компактных наборов уровня энергии это первый шаг к определению переменных углом действия . В общей теории частичных дифференциальных уравнений типа Гамильтона -джакоби , полное решение (то есть одно, которое зависит от N независимых констант интеграции, где n является измерением пространства конфигурации), существует в очень общих случаях, но только в Местный смысл. Следовательно, существование полного решения Уравнение Гамильтона -Якоби ни в коем случае не является характеристикой полной интеграции в смысле Лиувилла. В большинстве случаев, которые могут быть «явно интегрированы», включают полное разделение переменных , в которых константы разделения обеспечивают полный набор константов интеграции, которые требуются. Только когда эти константы можно переосмыслить, в пределах полной настройки пространства фазового пространства, поскольку значения полного набора функций Пуассона, ограниченных листьями лагранжского слоения, могут рассматриваться как полностью интегрируемая в смысле Лиувилля.

Солитоны и обратные спектральные методы

Восстановление интереса к классическим интегрируемым системам пришло с открытием в конце 1960-х годов, что солитоны , которые являются сильно стабильными, локализованными решениями уравнений с частичными дифференциальными уравнениями, такими как уравнение Korteweg-De Vries (которое описывает одноразовую недисипативную флюидную динамику. в мелких бассейнах), можно понять, рассматривая эти уравнения как бесконечные интегрируемые гамильтонианские системы. Их исследование приводит к очень плодотворному подходу к «интеграции» таких систем, трансформации обратного рассеяния и более общих обратных спектральных методов (часто сводится к проблемам Римана -Хилберта ), которые обобщают локальные линейные методы, такие как анализ Фурье для нелокальной линеаризации, посредством решения связанных интегральных уравнений.

Основная идея этого метода состоит в том, чтобы ввести линейного оператора, который определяется положением в фазовом пространстве и которая развивается при динамике рассматриваемой системы таким образом, что его «спектр» (в соответствующем обобщенном смысле) является инвариантом Под эволюцией, ср. Слабая пара . В некоторых случаях это обеспечивает достаточное количество инвариантов или «интегралов движения», чтобы сделать систему полностью интегрируемой. В случае систем, имеющих бесконечное количество степеней свободы, таких как уравнение KDV, этого недостаточно, чтобы сделать точную собственность интегрируемости Лиувилля. Однако для соответствующим образом определенных граничных условий спектральное преобразование может, фактически, можно интерпретировать как преобразование в совершенно игнорируемые координаты , в которых консервативные величины образуют половину двойного бесконечного набора канонических координат, и поток линеаризируется в них. В некоторых случаях это может быть даже рассматриваться как преобразование переменных углу действия, хотя обычно только конечное количество переменных «позиции» на самом деле являются угловыми координатами, а остальные не совпадают.

Билинейные уравнения Hirota и τ-функции

Другая точка зрения, которая возникла в современной теории интегрируемых систем, возникла в Расчетный подход, впервые приведенный Рёго Хиротой , который включал замену исходная нелинейная динамическая система с билинейной системой постоянного коэффициента уравнения для вспомогательного количества, которое впоследствии стало известно как τ-функция . Сейчас они называются уравнениями Хироты . Хотя изначально появляясь так же как расчетное устройство, без каких -либо четких отношений К обратному подходу рассеяния или гамильтонианской структуре это, тем не менее, дал очень прямой метод, из которого можно было получить важные классы решений, таких как солитоны .

Впоследствии это было интерпретировано Микио Сато и его ученики, сначала для случая интегрируемые иерархии PDE, такие как иерархия Кадомтев -Фетвишвили , но затем Для гораздо более общих классов интегрируемых иерархий, как своего рода универсальный подход фазового пространства , в котором, как правило, динамика поездок рассматривалась просто так, как определено фиксированным (конечным или бесконечным) действием абелевой группы на (конечном или бесконечном) Grassmann коллектор . Τ-функция рассматривалась как определяющая проекционного оператора от элементов групповой орбиты до некоторого происхождения в Grassmannian, и уравнения Хироты как выражающие отношения Плайкера , характеризующие Plücker внедряет Grassmannian в проектирование соответствующей Определенное (бесконечное) внешнее пространство , рассматриваемое как фермионное пространство Fock .

Квантовые интегрируемые системы

Существует также понятие квантовых интегрируемых систем.

В квантовой настройке функции в фазовом пространстве должны быть заменены операторами самостоятельного следования на пространстве Гильберта , а понятие функций Пуассона по коммутирующимся операторам заменено операторами. Понятие законов о сохранении должно быть специализировано на местных законах о сохранении. Каждый гамильтониан имеет бесконечный набор консервативных величин, предоставленных проекторами для своих собственных зданий энергии . Однако это не подразумевает какую -либо специальную динамическую структуру.

Чтобы объяснить квантовую интегрируемость, полезно рассмотреть настройку свободных частиц. Здесь вся динамика уменьшается в одном теле. Говорят, что квантовая система интегрируется, если динамика снижается два тела. Уравнение Ян -Бакстера является следствием этой сниженности и приводит к следам идентичности, которые обеспечивают бесконечный набор консервативных величин. Все эти идеи включены в метод квантового обратного рассеяния, где алгебраический Bethe Ansatz может использоваться для получения явных решений. Примерами квантовых интегрируемых моделей являются модель Lieb -Liniger , модель Хаббарда и несколько вариантов модели Гейзенберга . Некоторые другие типы квантовой интегрируемости известны в явных зависимых от времени квантовых задач, таких как модель управляемого Тависа-Каммингса.

Точно решаемые модели

В физике полностью интегрируемые системы, особенно в бесконечно-размерных условиях, часто называют точно решаемыми моделями. Это скрывает различие между интегрируемостью, в гамильтонианском смысле и более общим чувством динамических систем.

Существуют также точно решаемые модели в статистической механике, которые более тесно связаны с квантовыми интегрируемыми системами, чем классические. Два тесно связанных метода: подход Bethe Ansatz , в его современном смысле, основанный на уравнениях Ян -Бакстера и методе квантового обратного рассеяния , обеспечивают квантовые аналоги обратных спектральных методов. Они одинаково важны при изучении решаемых моделей в статистической механике.

Неточное представление о «точной решаемости» как о значении: «Решения могут быть явно выражены с точки зрения некоторых ранее известных функций» также используются, как будто это было внутренним свойством самой системы, а не чисто расчетные особенности, которые были У нас есть некоторые «известные» функции, с точки зрения которых могут быть выражены решения. Это понятие не имеет внутреннего значения, поскольку то, что подразумевается под «известными» функциями, очень часто определяется именно тем фактом, что они удовлетворяют определенным данным уравнениям, и список таких «известных функций» постоянно растет. Хотя такая характеристика «интегрируемости» не имеет внутренней достоверности, она часто подразумевает такую ​​регулярность, которая следует ожидать в интегрируемых системах.

Список некоторых известных интегрируемых систем

Классические механические системы

• Calogero - Мозер - Модель -Сатерленд
• силы Центральное движение ( точные решения классических проблем центральной стороны )
• Геодезическое движение на эллипсоидах
• Гармонический осциллятор
• Интегрируемые системы Clebsch и Steklov в жидкостях
• Lagrange, Euler и Kovalevskaya tops
• Нейман Осциллятор
• Два центральных ньютоновских гравитационных движений

Интегрируемые решетки модели

• Ablowitz - Ladik Lactice
• Вся решетка
• Вольтерра Латекс

Интегрируемые системы в размерах 1 + 1

• ANKS System
• Уравнение Бенджамина - ONO
• Уравнение Буссинеск (водяные волны)
• Уравнение Камасса - Хольм
• Классическая модель Heisenberg Fercomagnet (спин -цепь)
• Уравнение degasperis-procesi
• Уравнение DYM
• Гарнье интегрируемая система
• Kaup -kupershmidt уравнение
• Krichever–Novikov equation
• Кортевег - уравнение де Вриса
• Уравнение Ландау -Лифшица (непрерывное спиновое поле)
• Нелинейное уравнение Шредингера
• Нелинейные сигма -модели
• Синус -Гордон Уравнение
• Тируя модель
• Трехволновое уравнение

Интегрируемые PDE в 2 + 1 измерениях

• Уравнение Дэйви -Стевартсона
• Уравнение Ишимори
• Уравнение Кадомтев -Фетвиашвили
• Novikov–Veselov equation

Интегрируемые PDE в размерах 3 + 1

• Преобразование Белинского -Захаров генерирует слабую пару для уравнений поля Эйнштейна ; Общие решения называются гравитационными солитонами , из которых метрика Шварцшильда , метрика KERR и некоторые растворы гравитационных волн являются примерами.

Точно решаемые статистические модели решетки

• 8-вертекс модель
• Модель Гаудин
• Модель ISIN
• Модель ICE-Type Lieb
• Quantum Heisenberg Model

Смотрите также

• Система hitchin

Связанные области

• Математическая физика
• Солитон
• Трансцендентная краска
• Статистическая механика
• Интегрируемый алгоритм

Некоторые ключевые участники (с 1965 года)

• Марк Аблоуц
• Родни Бакстер
• Перси депинг
• Леонид Дики
• Владимир Дринфельд
• Boris Dubrovin
• Людвиг Фаддев
• Герман Флашка
• Израиль Гелфанд
• Александр его
• Мичио Джимбо
• Игорь М. Война
• Мартин Крускал
• Питер Лакс
• Vladimir Matveev
• Генри Маккин
• Роберт Миура
• Тецуджи Мива
• Алан Ньюэлл
• Николай Решетихин
• Алексей Шабат
• Евгений Склянин
• Микио Сато
• Эллиотт Х. Либ
• Грэм Сегал
• Джордж Уилсон
• Vladimir E. Zakharov

Ссылки

• Арнольд, VI (1997). Математические методы классической механики (2 -е изд.). Спрингер. ISBN  978-0-387-96890-2 .
• Audin, M. (1996). Спиннирующие вершины: курс по интегрируемым системам . Кембриджские исследования по продвинутой математике. Тол. 51. издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0521779197 .
• Бабелон, О.; Бернард, Д.; Талон, М. (2003). Введение в классические интегрируемые системы . Издательство Кембриджского университета . doi : 10.1017/cbo9780511535024 . ISBN  0-521-82267-х .
• Baxter, RJ (1982). Точно решенные модели в статистической механике . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-083180-7 .
• Dunajski, M. (2009). Solitons, Instantons и Villors . Издательство Оксфордского университета . ISBN  978-0-19-857063-9 .
• Faddeev, Ld ; Тахтаджан, Л.А. (1987). Гамильтонианские методы в теории солитонов . Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-387-15579-1 .
• Фоменко, в (1995). Симплектическая геометрия. Методы и приложения (2 -е изд.). Гордон и нарушение. ISBN  978-2-88124-901-3 .
• Фоменко, в ; Болсинов, Ав (2003). Интегрируемые гамильтонианские системы: геометрия, топология, классификация . Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-0-415-29805-6 .
• Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2 -е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-02918-9 .
• Харнад Дж .; Winternitz, P .; Sabidussi, G. , eds. (2000). Интегрируемые системы: от классики к кванту . Американское математическое общество . ISBN  0-8218-2093-1 .
• Харнад Дж .; Балог, Ф. (2021). Тау функционирует и их приложения . Кембриджские монографии по математической физике. Издательство Кембриджского университета . doi : 10.1017/9781108610902 . ISBN  9781108492683 Полем S2CID   222379146 .
• Hietarinta, J.; Джоши, Н .; Nijhoff, F. (2016). Дискретные системы и интегрируемость . Издательство Кембриджского университета . Bibcode : 2016dsi..book ..... h . doi : 10.1017/cbo9781107337411 . ISBN  978-1-107-04272-8 .
• Korepin, ve ; Боголибов, Нью -Йорк; Izergin, AG (1997). Квантовой метод обратного рассеяния и функции корреляции . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-58646-7 .
• Afrajmovich, V.S. ; Arnold, V.I. ; Il'yashenko, Yu. S. ; Shil'nikov, L.P. Dynamical Systems V . Springer. ISBN  3-540-18173-3 .
• Мусардо, Джузеппе (2010). Статистическая теория поля. Введение в точно решенные модели статистической физики . Издательство Оксфордского университета . ISBN  978-0-19-954758-6 .
• Сарданашвили, Г. (2015). Справочник по интегрируемым гамильтонианским системам . Урс. ISBN  978-5-396-00687-4 .

Дальнейшее чтение

• Бейлинсон А .; Дринфельд, В. «Квантование интегрируемой системы Хитчина и Hecke Eigensheaves» (PDF) .
• Донаги . Маркман, Э. (1996). «Спектральные обложки, алгебраически полностью интегрируемые, гамильтонианские системы и модули пучков». Интегрируемые системы и квантовые группы . Заметки лекции по математике. Тол. 1620. Springer. С. 1–119. doi : 10.1007/bfb0094792 . ISBN  978-3-540-60542-3 .
• Sonnad, Kiran G.; Кэри, Джон Р. (2004). «Поиск нелинейной решетки с улучшенной интегрируемостью с использованием теории возмущений преобразования». Физический обзор e . 69 (5): 056501. BIBCODE : 2004PHRVE..69E6501S . doi : 10.1103/physreve.69.056501 . PMID   15244955 .

Внешние ссылки

• «Интегрируемая система» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]
• «Сторона - Симметрия и интегрируемость различных уравнений» , конференция, посвященная изучению интегрируемых различий уравнений и связанных с ними тем.