Jump to content

Комплексный квадратичный полином

(Перенаправлено с квадратичной карты )

Комплексный квадратичный многочлен — это квадратный многочлен которого , коэффициенты и переменная являются комплексными числами .

Характеристики

[ редактировать ]

Квадратичные полиномы независимо от формы обладают следующими свойствами:

  • Это некритический полином, т. е. он имеет одну конечную критическую точку в комплексной плоскости. Динамическая плоскость состоит максимум из двух бассейнов: бассейна бесконечности и бассейна конечной критической точки (если конечная критическая точка не выходит за пределы)
  • Она может быть посткритически конечной , т. е. орбита критической точки может быть конечной, поскольку критическая точка является периодической или предпериодической. [1]
  • Это унимодальная функция ,
  • Это рациональная функция ,
  • Это целая функция .

Когда квадратичный полином имеет только одну переменную ( одномерную ), можно выделить четыре его основные формы:

  • Общая форма: где
  • Факторизованная форма, используемая для логистической карты :
  • который имеет безразличную неподвижную точку с множителем в начале [2]
  • Моническая , и центрированная форма

Уническая и центрированная форма широко изучена и обладает следующими свойствами:

Лямбда-форма является:

  • простейшее нетривиальное возмущение невозмущенной системы
  • «первое семейство динамических систем , в котором известны явные необходимые и достаточные условия, когда проблема малых делителей устойчива» [4]

Спряжение

[ редактировать ]

Между формами

[ редактировать ]

С аффинно сложной сопряжен с общей формой квадратичного многочлена; он часто используется для изучения динамики и создания изображений множеств Мандельброта , Жюлиа и Фату .

Когда человек хочет перемен от к : [2]

Когда человек хочет перемен от к , преобразование параметра [5]

и преобразование между переменными в и является

С удвоенной картой

[ редактировать ]

Существует полусопряженность между диадическим преобразованием (отображением удвоения) и случаем квадратичного полинома c = –2.

Обозначения

[ редактировать ]

Итерация

[ редактировать ]

Здесь обозначает n итерацию функции :

так

Из-за возможной путаницы с возведением в степень некоторые авторы пишут для n- й итерации .

Параметр

[ редактировать ]

Моническая и центрированная форма можно обозначить:

  • параметр
  • внешний угол луча, который приземляется:
    • в c в Мандельброте, заданном на плоскости параметров
    • от критического значения: z = c в наборе Жюлиа на динамической плоскости

так :

Примеры:

Моническая и центрированная форма, иногда называемая семейством квадратичных многочленов Дуади-Хаббарда , [6] обычно используется с переменной и параметр :

Когда он используется как функция эволюции дискретной нелинейной динамической системы

оно называется квадратичным отображением : [7]

Множество Мандельброта — это набор значений параметра c, для которых начальное условие z 0 = 0 не приводит к расхождению итераций к бесконечности.

Критические предметы

[ редактировать ]

Критические точки

[ редактировать ]

сложная плоскость

[ редактировать ]

точка Критическая это точка на динамической плоскости так, что производная обращается в нуль:

С

подразумевает

мы видим, что единственная (конечная) критическая точка в этом суть .

является начальной точкой для итерации множества Мандельброта . [8]

Для квадратичного семейства критическая точка z = 0 является центром симметрии множества Жюлиа Jc, поэтому она представляет собой выпуклую комбинацию двух точек из Jc. [9]

расширенная сложная плоскость

[ редактировать ]

В сфере Римана полином имеет 2d-2 критических точки. Здесь ноль и бесконечность являются критическими точками.

Критическое значение

[ редактировать ]

Критическое значение из является изображением критической точки:

С

у нас есть

Таким образом, параметр является критическим значением .

Кривые критического уровня

[ редактировать ]

Кривая критического уровня – кривая уровня, содержащая критическую точку. Он действует как своего рода скелет. [10] динамической плоскости

Пример: кривые уровня пересекаются в седловой точке , которая является особым типом критической точки.

Установлен критический предел

[ редактировать ]

Набор критических пределов - это набор прямых орбит всех критических точек.

Критическая орбита

[ редактировать ]
Динамическая плоскость с критической орбитой, попадающая в трехпериодный цикл
Динамическая плоскость с множеством Жюлиа и критической орбитой.
Динамическая плоскость: изменения критической орбиты вдоль внутреннего луча главной кардиоиды на угол 1/6.
Критическая орбита, стремящаяся к слабо притягивающей неподвижной точке с abs(множителем) = 0,99993612384259

Передняя орбита критической точки называется критической орбитой . Критические орбиты очень важны, поскольку каждая притягивающая периодическая орбита притягивает критическую точку, поэтому изучение критических орбит помогает нам понять динамику множества Фату . [11] [12] [13]

Эта орбита попадает в притягивающий периодический цикл, если таковой существует.

Критический сектор

[ редактировать ]

Критический сектор – это сектор динамической плоскости, содержащий критическую точку.

Критический набор

[ редактировать ]

Критический набор – это набор критических точек.

Критический полином

[ редактировать ]

так

Эти полиномы используются для:

  • нахождение центров этих компонент множества Мандельброта периода n . Центры являются корнями -го n критического полинома.

Критические кривые

[ редактировать ]
Критические кривые

Диаграммы критических полиномов называются критическими кривыми . [14]

Эти кривые создают скелет (темные линии) бифуркационной диаграммы . [15] [16]

Пространства, плоскости

[ редактировать ]

4D пространство

[ редактировать ]

можно использовать четырехмерное ( 4D) пространство Джулии-Мандельброта. Для глобального анализа этой динамической системы [17]

w -плоскость и c -плоскость

В этом пространстве есть два основных типа 2D-плоскостей:

  • динамическая (динамическая) плоскость, -плоскость или c -плоскость
  • плоскость параметров или z -плоскость

Существует также еще одна плоскость, используемая для анализа таких динамических систем w -плоскость :

  • плоскость сопряжения [18]
  • модель самолета [19]

2D-плоскость параметров

[ редактировать ]

Фазовое пространство квадратичного отображения называется плоскостью его параметров . Здесь:

является постоянным и является переменной.

Никакой динамики здесь нет. Это всего лишь набор значений параметров. На плоскости параметров нет орбит.

Плоскость параметров состоит из:

Существует много различных подтипов плоскости параметров. [21] [22]

Карта множителей

См. также:

  • Карта Бетчера , которая отображает внешнюю часть набора Мандельброта на внешнюю сторону единичного диска.
  • карта множителя, которая отображает внутреннюю часть гиперболической компоненты множества Мандельброта во внутреннюю часть единичного круга

2D-динамическая плоскость

[ редактировать ]

«Многочлен Pc отображает каждый динамический луч в другой луч, удваивая угол (который мы измеряем при полных оборотах, т.е. 0 = 1 = 2π рад = 360°), и динамические лучи любого многочлена «выглядят как прямые лучи» вблизи бесконечности. Это позволяет нам изучать множества Мандельброта и Жюлиа комбинаторно, заменяя динамическую плоскость единичным кругом, лучи углами, а квадратичный полином отображением удвоения по модулю один». Вирпи Кауко [23]

В динамической плоскости можно найти:

Динамическая плоскость состоит из:

Здесь, является константой и является переменной.

Двумерную динамическую плоскость можно рассматривать как сечение Пуанкаре трехмерного пространства непрерывной динамической системы. [24] [25]

Динамические z -плоскости можно разделить на две группы:

сфера Римана

[ редактировать ]

Расширенная комплексная плоскость плюс бесконечная точка.

Производные

[ редактировать ]

Первая производная по c

[ редактировать ]

На плоскости параметров:

  • это переменная
  • постоянен

Первая производная от относительно c есть

Эту производную можно найти итерацией, начиная с

а затем заменяя на каждом последовательном шаге

В этом легко убедиться, воспользовавшись цепным правилом для производной.

Эта производная используется в методе оценки расстояния для построения множества Мандельброта .

Первая производная по z

[ редактировать ]

В динамической плоскости:

  • является переменной;
  • является константой.

В фиксированной точке ,

В периодической точке z 0 периода p первая производная функции

часто представлен и называется множителем или характеристическим числом Ляпунова. Его логарифм известен как показатель Ляпунова. Абсолютное значение множителя используется для проверки устойчивости периодических (также фиксированных) точек .

В непериодической точке производная, обозначаемая , можно найти путем итерации, начиная с

а затем используя

Эта производная используется для вычисления внешнего расстояния до множества Жюлиа.

Производная Шварца

[ редактировать ]

Производная Шварца (сокращенно SD) от f равна: [26]

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Пуарье, Альфредо (1993). «О посткритически конечных полиномах, часть 1: Критические портреты». arXiv : математика/9305207 .
  2. ^ Jump up to: а б «Майкл Ямпольский, Саид Закери: Сопряжение квадратичных полиномов Зигеля» (PDF) .
  3. ^ Бодил Браннер : Голоморфные динамические системы в комплексной плоскости. Мат-отчет № 1996-42. Технический университет Дании
  4. ^ Динамические системы и малые делители, Редакторы: Стефано Марми, Жан-Кристоф Йокко, стр. 46
  5. ^ "Покажите, что знакомую логистическую карту $x_{n+1} = sx_n(1 - x_n)$ можно перекодировать в форму $x_{n+1} = x_n^2 + c$" . Математический обмен стеками .
  6. ^ Юньпин Цзин: Локальная связность множества Мандельброта в некоторых бесконечно перенормируемых точках. Комплексная динамика и смежные темы, Новые исследования в области высшей математики, 2004, The International Press, 236-264.
  7. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Квадратичная карта» . mathworld.wolfram.com .
  8. ^ Java-программа Дитера Рёсса, показывающая результат изменения начальной точки итераций Мандельброта. Архивировано 26 апреля 2012 г. на Wayback Machine.
  9. ^ «Выпуклые множества Юлии» . MathOverflow .
  10. ^ Ричардс, Тревор (11 мая 2015 г.). «Конформная эквивалентность аналитических функций на компактах». arXiv : 1505.02671v1 [ math.CV ].
  11. ^ М. Ромера. Архивировано 22 июня 2008 г. в Wayback Machine , Г. Пастор. Архивировано 1 мая 2008 г. в Wayback Machine и Ф. Монтойя: Мультифуркации в негиперболических фиксированных точках карты Мандельброта. Архивировано 11 декабря 2009 г. в Wayback Machine Fractalia. Архивировано 19 сентября 2008 г. в Wayback Machine 6, № 21, 10-12 (1997).
  12. ^ Бернс А.М .: Планирование побега: анимация параболических бифуркаций в множестве Мандельброта. Математический журнал, Vol. 75, № 2 (апрель 2002 г.), стр. 104–116.
  13. ^ «Ханская Академия» . Ханская академия .
  14. ^ Дорога к хаосу заполнена полиномиальными кривымиРичард Д. Нейдингер и Р. Джон Аннен III. Американский математический ежемесячник, Vol. 103, № 8, октябрь 1996 г., стр. 640–653.
  15. ^ Хао, Байлин (1989). Элементарная символическая динамика и хаос в диссипативных системах . Всемирная научная . ISBN  9971-5-0682-3 . Архивировано из оригинала 5 декабря 2009 года . Проверено 2 декабря 2009 г.
  16. ^ «М. Ромера, Г. Пастор и Ф. Монтойя, «Точки Мисюревича в одномерных квадратичных картах», Physica A, 232 (1996), 517-535. Препринт» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2 октября 2006 года.
  17. ^ «Пространство Джулии-Мандельброт, Му-Энси в MROB» . www.mrob.com .
  18. ^ Карлесон, Леннарт, Гамелен, Теодор В.: Серия «Комплексная динамика»: Universitext, Подсерии: Universitext: Tracts in Mathematics, 1-е изд. 1993. Корр. 2-е издание, 1996, IX, 192 с. 28 ил., ISBN   978-0-387-97942-7
  19. ^ Голоморфные движения и головоломки П. Реша
  20. ^ Ремпе, Лассе; Шлейхер, Дирк (12 мая 2008 г.). «Места бифуркации экспоненциальных карт и квадратичных полиномов: локальная связность, тривиальность слоев и плотность гиперболичности». arXiv : 0805.1658 [ math.DS ].
  21. ^ «Множества Юлии и Мандельброта, альтернативные плоскости» . aleph0.clarku.edu .
  22. ^ «Экспоненциальная карта, Му-Энси в МРОБ» . mrob.com .
  23. ^ Деревья видимых компонентов в наборе Мандельброта Вирпи Кауко, FUNDAM EN TA MATHEMATICAE 164 (2000)
  24. ^ «Множество Мандельброта названо в честь математика Бенуа Б.» . www.sgtnd.narod.ru .
  25. ^ Моелис, Крешимир Йосич, Эрик Т. Ши-Браун (2006) Периодическая орбита. стипендия ,
  26. ^ «Конспект лекций | Математическое изложение | Математика» . MIT OpenCourseWare .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: b4d2b50e19d98bb998188dacafda502c__1718189100
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/b4/2c/b4d2b50e19d98bb998188dacafda502c.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Complex quadratic polynomial - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)