Комплексный квадратичный полином
Комплексный квадратичный многочлен — это квадратный многочлен которого , коэффициенты и переменная являются комплексными числами .
Характеристики
[ редактировать ]Квадратичные полиномы независимо от формы обладают следующими свойствами:
- Это некритический полином, т. е. он имеет одну конечную критическую точку в комплексной плоскости. Динамическая плоскость состоит максимум из двух бассейнов: бассейна бесконечности и бассейна конечной критической точки (если конечная критическая точка не выходит за пределы)
- Она может быть посткритически конечной , т. е. орбита критической точки может быть конечной, поскольку критическая точка является периодической или предпериодической. [1]
- Это унимодальная функция ,
- Это рациональная функция ,
- Это целая функция .
Формы
[ редактировать ]Когда квадратичный полином имеет только одну переменную ( одномерную ), можно выделить четыре его основные формы:
- Общая форма: где
- Факторизованная форма, используемая для логистической карты :
- который имеет безразличную неподвижную точку с множителем в начале [2]
- Моническая , и центрированная форма
Уническая и центрированная форма широко изучена и обладает следующими свойствами:
- Это простейшая форма нелинейной функции с одним коэффициентом ( параметром ),
- Это центрированный полином (сумма его критических точек равна нулю). [3]
- это бином
Лямбда-форма является:
- простейшее нетривиальное возмущение невозмущенной системы
- «первое семейство динамических систем , в котором известны явные необходимые и достаточные условия, когда проблема малых делителей устойчива» [4]
Спряжение
[ редактировать ]Между формами
[ редактировать ]С аффинно сложной сопряжен с общей формой квадратичного многочлена; он часто используется для изучения динамики и создания изображений множеств Мандельброта , Жюлиа и Фату .
Когда человек хочет перемен от к : [2]
Когда человек хочет перемен от к , преобразование параметра [5]
и преобразование между переменными в и является
С удвоенной картой
[ редактировать ]Существует полусопряженность между диадическим преобразованием (отображением удвоения) и случаем квадратичного полинома c = –2.
Обозначения
[ редактировать ]Итерация
[ редактировать ]Здесь обозначает n -ю итерацию функции :
так
Из-за возможной путаницы с возведением в степень некоторые авторы пишут для n- й итерации .
Параметр
[ редактировать ]Моническая и центрированная форма можно обозначить:
- параметр
- внешний угол луча, который приземляется:
- в c в Мандельброте, заданном на плоскости параметров
- от критического значения: z = c в наборе Жюлиа на динамической плоскости
так :
Примеры:
- c — точка приземления 1/6 внешнего луча множества Мандельброта , и (где я^2=-1)
- c — точка приземления внешнего луча 5/14 . с
- 1/4
- 1/6
- 9/56
- 129/16256
Карта
[ редактировать ]Моническая и центрированная форма, иногда называемая семейством квадратичных многочленов Дуади-Хаббарда , [6] обычно используется с переменной и параметр :
Когда он используется как функция эволюции дискретной нелинейной динамической системы
оно называется квадратичным отображением : [7]
Множество Мандельброта — это набор значений параметра c, для которых начальное условие z 0 = 0 не приводит к расхождению итераций к бесконечности.
Критические предметы
[ редактировать ]Критические точки
[ редактировать ]сложная плоскость
[ редактировать ]точка Критическая это точка на динамической плоскости так, что производная обращается в нуль:
С
подразумевает
мы видим, что единственная (конечная) критическая точка в этом суть .
является начальной точкой для итерации множества Мандельброта . [8]
Для квадратичного семейства критическая точка z = 0 является центром симметрии множества Жюлиа Jc, поэтому она представляет собой выпуклую комбинацию двух точек из Jc. [9]
расширенная сложная плоскость
[ редактировать ]В сфере Римана полином имеет 2d-2 критических точки. Здесь ноль и бесконечность являются критическими точками.
Критическое значение
[ редактировать ]Критическое значение из является изображением критической точки:
С
у нас есть
Таким образом, параметр является критическим значением .
Кривые критического уровня
[ редактировать ]Кривая критического уровня – кривая уровня, содержащая критическую точку. Он действует как своего рода скелет. [10] динамической плоскости
Пример: кривые уровня пересекаются в седловой точке , которая является особым типом критической точки.
- привлечение
- привлечение
- привлечение
- параболический
- Видео для c по внутреннему лучу 0
Установлен критический предел
[ редактировать ]Набор критических пределов - это набор прямых орбит всех критических точек.
Критическая орбита
[ редактировать ]Передняя орбита критической точки называется критической орбитой . Критические орбиты очень важны, поскольку каждая притягивающая периодическая орбита притягивает критическую точку, поэтому изучение критических орбит помогает нам понять динамику множества Фату . [11] [12] [13]
Эта орбита попадает в притягивающий периодический цикл, если таковой существует.
Критический сектор
[ редактировать ]Критический сектор – это сектор динамической плоскости, содержащий критическую точку.
Критический набор
[ редактировать ]Критический набор – это набор критических точек.
Критический полином
[ редактировать ]так
Эти полиномы используются для:
- нахождение центров этих компонент множества Мандельброта периода n . Центры являются корнями -го n критического полинома.
- нахождение корней компонентов множества Мандельброта периода n ( локальный минимум )
- Мисюревич очки
Критические кривые
[ редактировать ]Диаграммы критических полиномов называются критическими кривыми . [14]
Эти кривые создают скелет (темные линии) бифуркационной диаграммы . [15] [16]
Пространства, плоскости
[ редактировать ]4D пространство
[ редактировать ]можно использовать четырехмерное ( 4D) пространство Джулии-Мандельброта. Для глобального анализа этой динамической системы [17]
В этом пространстве есть два основных типа 2D-плоскостей:
- динамическая (динамическая) плоскость, -плоскость или c -плоскость
- плоскость параметров или z -плоскость
Существует также еще одна плоскость, используемая для анализа таких динамических систем w -плоскость :
2D-плоскость параметров
[ редактировать ]- плоскость параметров r (логистическая карта)
- плоскость параметров c
Фазовое пространство квадратичного отображения называется плоскостью его параметров . Здесь:
является постоянным и является переменной.
Никакой динамики здесь нет. Это всего лишь набор значений параметров. На плоскости параметров нет орбит.
Плоскость параметров состоит из:
- Множество Мандельброта
- Место бифуркации = граница множества Мандельброта с
- корневые точки
- Ограниченные гиперболические компоненты множества Мандельброта = внутренняя часть множества Мандельброта. [20] с внутренними лучами
- Место бифуркации = граница множества Мандельброта с
- внешний вид набора Мандельброта с
- внешние лучи
- эквипотенциальные линии
Существует много различных подтипов плоскости параметров. [21] [22]
См. также:
- Карта Бетчера , которая отображает внешнюю часть набора Мандельброта на внешнюю сторону единичного диска.
- карта множителя, которая отображает внутреннюю часть гиперболической компоненты множества Мандельброта во внутреннюю часть единичного круга
2D-динамическая плоскость
[ редактировать ]«Многочлен Pc отображает каждый динамический луч в другой луч, удваивая угол (который мы измеряем при полных оборотах, т.е. 0 = 1 = 2π рад = 360°), и динамические лучи любого многочлена «выглядят как прямые лучи» вблизи бесконечности. Это позволяет нам изучать множества Мандельброта и Жюлиа комбинаторно, заменяя динамическую плоскость единичным кругом, лучи углами, а квадратичный полином отображением удвоения по модулю один». Вирпи Кауко [23]
В динамической плоскости можно найти:
- Набор Юлии
- Набор « Наполненная Джулия»
- Набор Фату
- Орбиты
Динамическая плоскость состоит из:
Здесь, является константой и является переменной.
Двумерную динамическую плоскость можно рассматривать как сечение Пуанкаре трехмерного пространства непрерывной динамической системы. [24] [25]
Динамические z -плоскости можно разделить на две группы:
- самолет для (см. карту комплексного возведения в квадрат )
- самолеты (все остальные самолеты для )
сфера Римана
[ редактировать ]Расширенная комплексная плоскость плюс бесконечная точка.
Производные
[ редактировать ]Первая производная по c
[ редактировать ]На плоскости параметров:
- это переменная
- постоянен
Первая производная от относительно c есть
Эту производную можно найти итерацией, начиная с
а затем заменяя на каждом последовательном шаге
В этом легко убедиться, воспользовавшись цепным правилом для производной.
Эта производная используется в методе оценки расстояния для построения множества Мандельброта .
Первая производная по z
[ редактировать ]В динамической плоскости:
- является переменной;
- является константой.
В фиксированной точке ,
В периодической точке z 0 периода p первая производная функции
часто представлен и называется множителем или характеристическим числом Ляпунова. Его логарифм известен как показатель Ляпунова. Абсолютное значение множителя используется для проверки устойчивости периодических (также фиксированных) точек .
В непериодической точке производная, обозначаемая , можно найти путем итерации, начиная с
а затем используя
Эта производная используется для вычисления внешнего расстояния до множества Жюлиа.
Производная Шварца
[ редактировать ]Производная Шварца (сокращенно SD) от f равна: [26]
См. также
[ редактировать ]- точка Мисюревича
- Периодические точки комплексных квадратичных отображений
- Набор Мандельброта
- Джулия сет
- Теория замешивания Милнора – Терстона
- Карта палаток
- Логистическая карта
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Пуарье, Альфредо (1993). «О посткритически конечных полиномах, часть 1: Критические портреты». arXiv : математика/9305207 .
- ^ Jump up to: а б «Майкл Ямпольский, Саид Закери: Сопряжение квадратичных полиномов Зигеля» (PDF) .
- ^ Бодил Браннер : Голоморфные динамические системы в комплексной плоскости. Мат-отчет № 1996-42. Технический университет Дании
- ^ Динамические системы и малые делители, Редакторы: Стефано Марми, Жан-Кристоф Йокко, стр. 46
- ^ "Покажите, что знакомую логистическую карту $x_{n+1} = sx_n(1 - x_n)$ можно перекодировать в форму $x_{n+1} = x_n^2 + c$" . Математический обмен стеками .
- ^ Юньпин Цзин: Локальная связность множества Мандельброта в некоторых бесконечно перенормируемых точках. Комплексная динамика и смежные темы, Новые исследования в области высшей математики, 2004, The International Press, 236-264.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Квадратичная карта» . mathworld.wolfram.com .
- ^ Java-программа Дитера Рёсса, показывающая результат изменения начальной точки итераций Мандельброта. Архивировано 26 апреля 2012 г. на Wayback Machine.
- ^ «Выпуклые множества Юлии» . MathOverflow .
- ^ Ричардс, Тревор (11 мая 2015 г.). «Конформная эквивалентность аналитических функций на компактах». arXiv : 1505.02671v1 [ math.CV ].
- ^ М. Ромера. Архивировано 22 июня 2008 г. в Wayback Machine , Г. Пастор. Архивировано 1 мая 2008 г. в Wayback Machine и Ф. Монтойя: Мультифуркации в негиперболических фиксированных точках карты Мандельброта. Архивировано 11 декабря 2009 г. в Wayback Machine Fractalia. Архивировано 19 сентября 2008 г. в Wayback Machine 6, № 21, 10-12 (1997).
- ^ Бернс А.М .: Планирование побега: анимация параболических бифуркаций в множестве Мандельброта. Математический журнал, Vol. 75, № 2 (апрель 2002 г.), стр. 104–116.
- ^ «Ханская Академия» . Ханская академия .
- ^ Дорога к хаосу заполнена полиномиальными кривымиРичард Д. Нейдингер и Р. Джон Аннен III. Американский математический ежемесячник, Vol. 103, № 8, октябрь 1996 г., стр. 640–653.
- ^ Хао, Байлин (1989). Элементарная символическая динамика и хаос в диссипативных системах . Всемирная научная . ISBN 9971-5-0682-3 . Архивировано из оригинала 5 декабря 2009 года . Проверено 2 декабря 2009 г.
- ^ «М. Ромера, Г. Пастор и Ф. Монтойя, «Точки Мисюревича в одномерных квадратичных картах», Physica A, 232 (1996), 517-535. Препринт» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2 октября 2006 года.
- ^ «Пространство Джулии-Мандельброт, Му-Энси в MROB» . www.mrob.com .
- ^ Карлесон, Леннарт, Гамелен, Теодор В.: Серия «Комплексная динамика»: Universitext, Подсерии: Universitext: Tracts in Mathematics, 1-е изд. 1993. Корр. 2-е издание, 1996, IX, 192 с. 28 ил., ISBN 978-0-387-97942-7
- ^ Голоморфные движения и головоломки П. Реша
- ^ Ремпе, Лассе; Шлейхер, Дирк (12 мая 2008 г.). «Места бифуркации экспоненциальных карт и квадратичных полиномов: локальная связность, тривиальность слоев и плотность гиперболичности». arXiv : 0805.1658 [ math.DS ].
- ^ «Множества Юлии и Мандельброта, альтернативные плоскости» . aleph0.clarku.edu .
- ^ «Экспоненциальная карта, Му-Энси в МРОБ» . mrob.com .
- ^ Деревья видимых компонентов в наборе Мандельброта Вирпи Кауко, FUNDAM EN TA MATHEMATICAE 164 (2000)
- ^ «Множество Мандельброта названо в честь математика Бенуа Б.» . www.sgtnd.narod.ru .
- ^ Моелис, Крешимир Йосич, Эрик Т. Ши-Браун (2006) Периодическая орбита. стипендия ,
- ^ «Конспект лекций | Математическое изложение | Математика» . MIT OpenCourseWare .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Моника Невинс и Томас Д. Роджерс, « Квадратичные карты как динамические системы p-адических чисел». [ постоянная мертвая ссылка ] "
- Вольф Юнг: Гомеоморфизмы на ребрах множества Мандельброта. доктор философии дипломная работа 2002 г.
- Подробнее о квадратичных картах: Квадратичная карта