Прока действие

В физике , особенно в теории поля и физике элементарных частиц , действие Прока описывает массивное со спином -1 поле и массой m в пространстве-времени Минковского . Соответствующее уравнение представляет собой релятивистское волновое уравнение, называемое уравнением Прока . Действие и уравнение Прока названы в честь румынского физика Александру Прока .

Уравнение Прока включено в Стандартную модель и описывает там три массивных векторных бозона , то есть Z- и W-бозоны.

(+---) В этой статье используется метрическая сигнатура и обозначение тензорного индекса на языке 4-векторов .

Лагранжева плотность

Используемое поле представляет собой сложный 4-потенциал. $B^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)$, где $\phi$ представляет собой своего рода обобщенный электрический потенциал и $\mathbf {A}$ — обобщенный магнитный потенциал . Поле $B^{\mu }$ преобразуется как сложный четырехвектор .

Плотность Лагранжа определяется выражением:

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }B_{\nu }^{*}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{*})(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu }.$

где $c$ это скорость света в вакууме , $\hbar$ – приведенная постоянная Планка , $\partial _{\mu }$ это 4-градиент .

Уравнение

Уравнение Эйлера-Лагранжа движения для этого случая, также называемое уравнением Прока , имеет вид:

$\partial _{\mu }(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=0$

что эквивалентно соединению

$\left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]B^{\nu }=0$

с (в массовом случае)

$\partial _{\mu }B^{\mu }=0\!$

которое можно назвать обобщенным калибровочным условием Лоренца . Для ненулевых источников, включающих все фундаментальные константы, уравнение поля имеет вид:

$c{{\mu }_{0}}{{j}^{\nu }}=\left({{g}^{\mu \nu }}\left({{\partial }_{\sigma }}{{\partial }^{\sigma }}+{{m}^{2}}{{c}^{2}}/{{\hbar }^{2}}\right)-{{\partial }^{\nu }}{{\partial }^{\mu }}\right){{B}_{\mu }}$

Когда $m=0$, уравнения без источника сводятся к уравнениям Максвелла без заряда или тока, а приведенное выше сводится к уравнению заряда Максвелла. Это уравнение поля Прока тесно связано с уравнением Клейна – Гордона , поскольку оно имеет второй порядок в пространстве и времени.

В обозначениях векторного исчисления уравнения без источника:

$\Box \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\phi \!$

$\Box \mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\mathbf {A} \!$

и $\Box$ — оператор Даламбера .

Крепление манометра

Действие Прока — это с фиксированной калибровкой версия действия Штюкельберга через механизм Хиггса . Квантование действия Прока требует использования ограничений второго класса .

Если $m\neq 0$, они не инвариантны относительно калибровочных преобразований электромагнетизма

$B^{\mu }\rightarrow B^{\mu }-\partial ^{\mu }f$

где $f$ является произвольной функцией.

См. также

• Электромагнитное поле
• Фотон
• Квантовая электродинамика
• Квантовая гравитация
• Векторный бозон
• Релятивистские волновые уравнения
• Уравнение Клейна-Гордона (спин 0)
• Уравнение Дирака (спин 1/2)

Дальнейшее чтение

• Раскрытие тайны суперсимметрии, П. Лабелль, МакГроу-Хилл (США), 2010, ISBN   978-0-07-163641-4
• Квантовая теория поля, Д. МакМахон, МакГроу Хилл (США), 2008, ISBN   978-0-07-154382-8
• Квантовая механика демистифицирована, Д. МакМахон, МакГро Хилл (США), 2006, ISBN   0-07-145546 9