Алгебра Уэйка – Муди

В математике — алгебра Каца–Муди (названная в честь Виктора Каца и Роберта Муди , которые независимо и одновременно открыли их в 1968 году). ) — алгебра Ли , обычно бесконечномерная, которая может быть определена генераторами и отношениями через обобщенную матрицу Картана . Эти алгебры образуют обобщение конечномерных полупростых алгебр Ли , и многие свойства, связанные со структурой алгебры Ли, такие как ее корневая система , неприводимые представления и связь с многообразиями флагов , имеют естественные аналоги в настройке Каца – Муди.

Класс алгебр Каца–Муди, называемый аффинными алгебрами Ли, имеет особое значение в математике и теоретической физике , особенно в двумерной конформной теории поля и теории точно решаемых моделей . Кац открыл элегантное доказательство некоторых комбинаторных тождеств, тождеств Макдональда , которое основано на теории представлений аффинных алгебр Каца – Муди. Ховард Гарланд и Джеймс Леповски продемонстрировали, что тождества Роджерса-Рамануджана можно вывести аналогичным образом.

История алгебр Каца – Муди

Первоначальная конструкция Эли Картана и Вильгельма Киллинга конечномерных простых алгебр Ли из целых чисел Картана зависела от типа. В 1966 году Жан-Пьер Серр показал, что отношения Клода Шевалле и Хариш- Чандры с упрощениями Натана Джейкобсона , дать определяющее представление алгебры Ли . Таким образом, можно описать простую алгебру Ли в терминах генераторов и отношений, используя данные из матрицы целых чисел Картана, которая, естественно, положительно определена .

«Почти одновременно в 1967 году Виктор Кац в СССР и Роберт Муди в Канаде разработали то, что впоследствии стало алгеброй Каца – Муди. Кац и Муди заметили, что, если условия Вильгельма Киллинга были смягчены, все еще можно было связать с матрицей Картана алгебра Ли, которая обязательно была бы бесконечномерной». – Эй Джей Коулман

В своей диссертации 1967 года Роберт Муди рассмотрел алгебры Ли, матрица Картана которых больше не является положительно определенной. Это все равно привело к появлению алгебры Ли, но теперь бесконечномерной. Одновременно Z - градуированные алгебры Ли в Москве изучались , где И. Л. Кантор ввел и изучил общий класс алгебр Ли, в том числе и то, что со временем стало известно как алгебры Каца–Муди. Виктор Кац также изучал простые или почти простые алгебры Ли с полиномиальным ростом. Развилась богатая математическая теория бесконечномерных алгебр Ли. Описание предмета, который также включает в себя работы многих других, представлено в (Kac 1990). См. также (Селигман, 1987).

Введение

Учитывая размера n × n обобщенную матрицу Картана $C={\begin{pmatrix}c_{ij}\end{pmatrix}}$, можно построить алгебру Ли ${\mathfrak {g}}'(C)$ определяется генераторами $e_{i}$, $h_{i}$, и $f_{i}\left(i\in \{1,\ldots ,n\}\right)$ и отношения, заданные:

• $\left[h_{i},h_{j}\right]=0\$ для всех $i,j\in \{1,\ldots ,n\}$;
• $\left[h_{i},e_{j}\right]=c_{ij}e_{j}$;
• $\left[h_{i},f_{j}\right]=-c_{ij}f_{j}$;
• $\left[e_{i},f_{j}\right]=\delta _{ij}h_{i}$, где $\delta _{ij}$ – дельта Кронекера;
• Если $i\neq j$ (так $c_{ij}\leq 0$) затем ${\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0$ и $\operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0$, где $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y],$ является присоединенным представлением ${\mathfrak {g}}$.

В предположении «симметризуемости» ${\mathfrak {g}}'(C)$ отождествляется с производной подалгеброй ${\mathfrak {g}}'(C)=[{\mathfrak {g}}(C),{\mathfrak {g}}(C)]$ аффинной алгебры Каца-Муди ${\mathfrak {g}}(C)$ определено ниже.

Определение

Предположим, нам дан $n\times n$ обобщенная матрица Картана C ( c _ij ) ранга r = . Для каждого такого $C$, существует единственная с точностью до реализация изоморфизма $C$, то есть тройка $({\mathfrak {h}},\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n},\{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n},$) где ${\mathfrak {h}}$ представляет собой комплексное векторное пространство, $\{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n}$ представляет собой подмножество элементов ${\mathfrak {h}}$, и $\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n}$ является подмножеством дуального пространства ${\mathfrak {h}}^{*}$ удовлетворяющие следующим трем условиям:

1. Векторное пространство ${\mathfrak {h}}$ имеет размерность 2 n − r
2. Наборы $\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n}$ и $\{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n}$ линейно независимы и
3. Для каждого $1\leq i,j\leq n,\alpha _{i}\left(\alpha _{j}^{\vee }\right)=C_{ji}$.

The $\alpha _{i}$ аналогичны простым корням полупростой алгебры Ли, а $\alpha _{i}^{\vee }$ к простым кокорням.

Затем мы определяем алгебру Каца-Муди, ассоциированную с $C$ как алгебра Ли ${\mathfrak {g}}:={\mathfrak {g}}(C)$ определяется генераторами $e_{i}$ и $f_{i}\left(i\in \{1,\ldots ,n\}\right)$ и элементы ${\mathfrak {h}}$ и отношения

• $\left[h,h'\right]=0\$ для $h,h'\in {\mathfrak {h}}$;
• $\left[h,e_{i}\right]=\alpha _{i}(h)e_{i}$, для $h\in {\mathfrak {h}}$;
• $\left[h,f_{i}\right]=-\alpha _{i}(h)f_{i}$, для $h\in {\mathfrak {h}}$;
• $\left[e_{i},f_{j}\right]=\delta _{ij}\alpha _{i}^{\vee }$, где $\delta _{ij}$ – дельта Кронекера;
• Если $i\neq j$ (так $c_{ij}\leq 0$) затем ${\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0$ и $\operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0$, где $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y],$ является присоединенным представлением ${\mathfrak {g}}$.

Реальная (возможно , бесконечномерная) алгебра Ли также считается алгеброй Каца–Муди, если ее комплексификация является алгеброй Каца–Муди.

Разложение корневого пространства алгебры Каца – Муди

${\mathfrak {h}}$ является аналогом подалгебры Картана для алгебры Каца–Муди. ${\mathfrak {g}}$.

Если $x\neq 0$ является элементом ${\mathfrak {g}}$ такой, что

$\forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x$

для некоторых $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\backslash \{0\}$, затем $x$ называется корневым вектором и $\lambda$ является корнем ​ ${\mathfrak {g}}$. (Нулевой функционал по соглашению не считается корнем.) Множество всех корней ${\mathfrak {g}}$ часто обозначается $\Delta$ а иногда и $R$. Для данного корня $\lambda$, обозначается ${\mathfrak {g}}_{\lambda }$ корневое пространство ​ $\lambda$; то есть,

${\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:\forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x\}$.

Это следует из определяющих соотношений ${\mathfrak {g}}$ что $e_{i}\in {\mathfrak {g}}_{\alpha _{i}}$ и $f_{i}\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha _{i}}$. Кроме того, если $x_{1}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}}$ и $x_{2}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}}$, затем $\left[x_{1},x_{2}\right]\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}+\lambda _{2}}$ по тождеству Якоби .

Фундаментальный результат теории состоит в том, что любую алгебру Каца–Муди можно разложить в прямую сумму ${\mathfrak {h}}$ и его корневые пространства, то есть

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\lambda \in \Delta }{\mathfrak {g}}_{\lambda }$,

и что каждый корень $\lambda$ можно записать как $\lambda =\sum _{i=1}^{n}z_{i}\alpha _{i}$ со всеми $z_{i}$ являются целыми числами одного знака .

Типы алгебр Каца–Муди

Свойства алгебры Каца – Муди контролируются алгебраическими свойствами ее обобщенной матрицы Картана C . Для классификации алгебр Каца–Муди достаточно рассмотреть случай неразложимой матрицы C , т. е. предположить, что не существует разложения множества индексов I в непересекающееся объединение непустых подмножеств I ₁ и I ₂ такой, что C _ij = 0 для всех i в I ₁ и j в I ₂ . Любое разложение обобщенной матрицы Картана приводит к разложению в прямую сумму соответствующей алгебры Каца – Муди:

${\mathfrak {g}}(C)\simeq {\mathfrak {g}}\left(C_{1}\right)\oplus {\mathfrak {g}}\left(C_{2}\right),$

где две алгебры Каца–Муди в правой части связаны с подматрицами C, соответствующими наборам индексов I ₁ и I ₂ .

Важный подкласс алгебр Каца – Муди соответствует симметризуемым обобщенным матрицам Картана C , которые можно разложить как DS , где D — диагональная матрица с положительными целыми элементами, а S — симметричная матрица . В предположениях симметризуемости и неразложимости C алгебры Каца – Муди делятся на три класса:

• Положительно определенная матрица S порождает конечномерную простую алгебру Ли .
• Положительная полуопределенная матрица S порождает бесконечномерную алгебру Каца – Муди аффинного типа или аффинную алгебру Ли .
• S Неопределенная матрица порождает алгебру Каца–Муди неопределенного типа .
• Поскольку диагональные элементы C и S положительны, S не может быть отрицательно определенным или отрицательно полуопределенным.

Полностью классифицированы симметризуемые неразложимые обобщенные матрицы Картана конечного и аффинного типа. Они соответствуют диаграммам Дынкина и аффинным диаграммам Дынкина . Об алгебрах Каца–Муди неопределенного типа известно мало, хотя группы, соответствующие этим алгебрам Каца–Муди, были построены над произвольными полями Жаком Титсом.

Среди алгебр Каца–Муди неопределенного типа большая часть работ сосредоточена на тех гиперболических типах , для которых матрица S неопределенна, но для каждого собственного подмножества I соответствующая подматрица является положительно определенной или положительно полуопределенной. Гиперболические алгебры Каца–Муди имеют ранг не выше 10 и полностью классифицированы. Существует бесконечно много рангов 2 и 238 рангов от 3 до 10 .

См. также

• Формула характера Вейля – Каца
• Обобщенная алгебра Каца – Муди
• Интегрируемый модуль
• Чудовищный самогон

Ссылки

• Берман, Стивен; Паршалл, Карен Хангер (13 января 2002 г.). «Виктор Кац и Роберт Муди: их пути к алгебрам лжи Каца-Муди». Математический интеллект . 24 :50–60. дои : 10.1007/BF03025312 . S2CID   120670625 .
• Роберт В. Муди , Новый класс алгебр Ли , Журнал алгебры , 10 (1968), 211–230. дои : 10.1016/0021-8693(68)90096-3 М.Р. 0229687
• Виктор Кац , Бесконечномерные алгебры Ли , 3-е издание, Cambridge University Press (1990) ISBN   0-521-46693-8 [1]
• Энтони Вассерманн , Конспекты лекций по алгебрам Каца – Муди и Вирасоро
• «Алгебра Каца – Муди» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Виктор Г. Кац, Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конечного роста Матем. Изв. СССР, 2 (1968) стр. 1271–1311, Изв. Акад. Наук СССР сер. Мат., 32 (1968) стр. 1923–1967.
• Танумурти, Н.; Мисра, Кайлаш К., ред. (2004). Алгебры Ли Каца-Муди и смежные темы . АМС . ISBN  0-8218-3337-5 .
• Шраван Кумар , Группы Каца – Муди, их разновидности флагов и теория представлений , 1-е издание, Birkhäuser (2002). ISBN   3-7643-4227-7 .
• Чжэ-сянь, Ван (1991). Введение в алгебру Каца-Муди . Всемирная научная . ISBN  981-02-0224-5 .

Внешние ссылки

• SIGMA: специальный выпуск, посвященный алгебрам Каца – Муди и их приложениям