Картана Матрица

В математике термин картана матрицы имеет три значения. Все это названо в честь французского математика Эли Картан . Забавно, что картан -матрицы в контексте алгебр Lie впервые были исследованы убийством Вильгельма , тогда как форма убийства связана с картаном. ^{[ Цитация необходима ]}

Алгебры лей

(Симметризируемая) генерализованная картан -матрица - это квадратная матрица $A=(a_{ij})$ с целочисленными записями такими, что

Для диагональных записей, $a_{ii}=2$ .
Для неагональных записей, $a_{ij}\leq 0$ .
$a_{ij}=0$ тогда и только тогда $a_{ji}=0$
$A$ может быть написан как $DS$ , где $D$ , Диагональная матрица и $S$ матрица симметричная .

Например, картанская матрица для G ₂ может быть разложена как таковая:

{\begin{bmatrix}2&-3\\-1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&-1\\-1&2\end{bmatrix}}.

Третье условие не является независимым, но на самом деле является следствием первого и четвертого условия.

Мы всегда можем выбрать D с положительными диагональными записями. В этом случае, если S в вышеупомянутом разложении является положительным определенным , то A , как говорят, является картанской матрицей .

Картановая матрица простой алгебры Lie - это матрица, элементами которых являются скалярные продукты

a_{ji}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{j},r_{j})}

^{[ 1 ]}

(Иногда называют картанами целых чисел ), где r _I - простые корни алгебры. Записи являются неотъемлемой частью одного из свойств корней . Первое условие следует из определения, второе из того факта, что для $i\neq j,r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}r_{i}$ является корнем, который представляет собой линейную комбинацию простых корней R _I и R _J с положительным коэффициентом для R _J и поэтому, коэффициент для R _I должен быть неотрицательным. Третий верен, потому что ортогональность - это симметричное отношение. И, наконец, пусть $D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}$ и $S_{ij}=2(r_{i},r_{j})$ Полем Поскольку простые корни охватывают евклидовое пространство , S является положительным определенным.

И наоборот, учитывая обобщенную картанную матрицу, можно восстановить соответствующую свою алгебру Lie. (См. Kac - Moody Algebra для получения более подробной информации).

Классификация

Анонца $n\times n$ Матрица А разлагается , если существует неэмпатное подгрупп $I\subset \{1,\dots ,n\}$ так что $a_{ij}=0$ в любое время $i\in I$ и $j\notin I$ Полем А не подходит, если он не разлагается.

Пусть A - неверно -композиционная генерализованная картанская матрица. Мы говорим, что A имеет конечный тип , если все его основные несовершеннолетние положительны, что A имеет аффинный тип , если его надлежащий основной несовершеннолетний положительный, а A имеет определитель 0, и что A имеет неопределенный тип в противном случае.

Конечный тип невернокомпаемых матриц классифицируйте конечные простые алгебры (из типов (из типов (из типов $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ ), в то время как аффинный тип невернокомпаемых матриц классифицируют аффинные алгебры (скажем, на некотором алгебраически закрытом поле характеристики 0).

Детерминанты картан матриц простых алгебр

Детерминанты картан -матриц простых алгебр Lie приведены в следующей таблице (вместе с ₁ = B ₁ = C ₁ , B ₂ = C ₂ , D ₃ = A ₃ , D ₂ = A ₁ A ₁ , E ₅ = D ₅ , E ₄ = A ₄ и E ₃ = A ₂ A ₁ ). ^{[ 2 ]}

A _n	B _n	C _n	D _n n ≥ 3	E_В 3 ≤ n ≤ 8	F ₄	G ₂
n + 1	2	2	4	9 - n	1	1

Другое свойство этого определителя заключается в том, что оно равно индексу связанной корневой системы, то есть она равна $|P/Q|$ где $P, Q$ обозначают весовую решетку и корневую решетку соответственно.

Представления конечных измерных алгебр

В теории модульных представлений , и, в более общем плане, в теории представлений конечно-размерных ассоциативных алгебр , которые не являются полупростыми , картановая матрица определяется с учетом (конечным) набором основных невозможных модулей и записи сочинения для них в терминах. Неснизимые модули , дающие матрицу целых чисел, подсчитывая количество случаев неприводимого модуля.

Картановые матрицы в M-Theory

В M-теории можно рассмотреть геометрию с двумя циклами , которая пересекается друг с другом с конечным числом точек, в пределе, где площадь двух циклов достигает нуля. На этом пределе появляется локальная группа симметрии . Предполагается, что матрица пересечения номеров базис-основы двух циклов является картанской матрицей алгебры лей этой локальной группы симметрии. ^{[ 3 ]}

Это можно объяснить следующим образом. В M-теории есть солитоны , которые представляют собой двумерные поверхности, называемые мембранами или 2-браннями . Двухметная натяжение имеет напряжение и, следовательно, имеет тенденцию к сокращению, но она может обернуться вокруг двух циклов, что мешает его сокращению до нуля.

Можно уплотнить одно измерение, которое разделяется всеми двумя циклами и их пересекающими точками, а затем занять предел, когда это измерение уменьшается до нуля, тем самым получая размерное сокращение этого измерения. Затем один получает теорию строк типа IIA в качестве предела M-теории, с 2-брюками, обертывая два цикла, которые теперь описаны открытой струной, растянутой между D-брюками . есть группа локальной симметрии U (1) Для каждой D-Brane , напоминающая степень свободы перемещения ее без изменения его ориентации. Предел, в котором два цикла имеют нулевую площадь,-это предел, когда эти D-брюки находятся друг на друге, так что вы получаете расширенную локальную группу симметрии.

Теперь открытая строка, растянутая между двумя D-брюками, представляет собой генератор алгебры Lie, а коммутатор двух такого генератора является третьим, представленным открытой строкой, которую можно сплотить, склеивая края двух открытых строк. Последнее отношение между различными открытыми строками зависит от того, как 2-брюки могут пересекаться в исходной M-теории, т.е. в количестве пересечения двух циклов. Таким образом, алгебра Lie полностью зависит от этих перекрестных чисел. Точное отношение к картанской матрице заключается в том, что последний описывает коммутаторы простых корней , которые связаны с двумя циклами на основе выбранных.

Генераторы в картан-субальгебре представлены открытыми струнами, которые растягиваются между D-Brane и самим собой.

Смотрите также

Примечания

^ Георги, Говард (1999-10-22). Алгебры Lie в физике частиц (2 изд.). Westview Press. п. 115. ISBN 0-7382-0233-9 .
^ Картан-грамм детерминанты для простых групп лжи Альфреда К.Т. Ву, Дж. Мат. Физический Тол. 23, № 11, ноябрь 1982 г.
^ Sen, Ashoke (1997). «Примечание об улучшенных симметриях датчика в теории M- и струн». Журнал физики высокой энергии . 1997 (9): 001. Arxiv : Hep-th/9707123 . doi : 10.1088/1126-6708/1997/09/001 . S2CID 15444381 .

Ссылки

Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представления: первый курс . Выпускники текстов по математике . Тол. 129. Springer-Verlag. п. 334. ISBN 0-387-97495-4 .
Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры лей и теорию представления . Выпускники текстов по математике . Тол. 9. Springer-Verlag. С. 55–56. doi : 10.1007/978-1-4612-6398-2 . ISBN 0-387-90052-7 .
Kac, Victor G. (1990). Бесконечные размерные алгебры (3 -е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-46693-6 . .

Внешние ссылки

«Матрица Картана» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]
Вейсштейн, Эрик У. "Картан -матрица" . MathWorld .

[1] Георги, Говард (1999-10-22). Алгебры Lie в физике частиц (2 изд.). Westview Press. п. 115. ISBN 0-7382-0233-9 .

[2] Картан-грамм детерминанты для простых групп лжи Альфреда К.Т. Ву, Дж. Мат. Физический Тол. 23, № 11, ноябрь 1982 г.

[3] Sen, Ashoke (1997). «Примечание об улучшенных симметриях датчика в теории M- и струн». Журнал физики высокой энергии . 1997 (9): 001. Arxiv : Hep-th/9707123 . doi : 10.1088/1126-6708/1997/09/001 . S2CID 15444381 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

v Т и Матрицы классы
Явно ограниченные записи	Чередование Антидиагональный Анти имитские Антисимметричный Стрелка Группа БИДИАГОНАЛЬНЫЙ Бисмметричный Блок-Диагональный Блокировать Блок Tridiagonal Логический Коши Центрозимметричный Конференция Сложный Хадамард Сопозитивный Диагонально доминирующий Диагональ Дискретное преобразование Фурье Элементарный Эквивалент Фросениус Общая перестановка Хадамард Приобретение Эрмитоан Гессенберг Пустой Целое число Логичный Матричный блок Метцлер Мур Неотрицательный Патадиагональный Перестановка Персимметричный Полиномиал Кватернион Подпись Перекосившитый Симметричный Горизонт Редкий Сильвестр Симметричный Toeplitz Треугольный Тридиагональный Vandermonde Уолш С
Постоянный	Обмен Гильберт Личность Поясница Из них Паскаль Паули Redheffer Сдвиг Ноль
Условия на собственные значения или собственные векторы	Товарищ Конвергентный Дефектный Определенный Диагонализируем Гервиц Положительный дефицит Stieltjes
Удовлетворительные условия на продуктах или конверсах	Конгруэнтный Идентификация или проекция Обратимый Прибежище Нильпотент Нормальный Ортогональный Немодучный Unipotent Унитарный Полностью немодучный Взвешивание
С конкретными приложениями	Прилегайте Чередовый знак Дополнен БЕЗАУТ Карлеман Карман Циркулирующий Кофактор Коммутация Путаница Коксетер Расстояние Дублирование и устранение Евклидово расстояние Фундаментальное (линейное дифференциальное уравнение) Генератор Грамм Гессиан Домохозяйка Якобиан Мгновенный Расплачиваться Выбирать Случайный Ротация Seifert Сдвиг Сходство Симплектично Полностью положительный Трансформация
Используется в статистике	Центрирование Корреляция Ковариация Дизайн Вдвойной стохастический Информация о Фишере Имеет Точность Стохастический Переход
Используется в теории графика	Смежность Biadjacency Степень Эдмондс Частота Лапласиан Сейдель смежности Все
Используется в науке и технике	Cabibbo -kobayashi -maskawa Плотность Фундаментальный (компьютерное зрение) Нечеткая ассоциация Гамма Гелл-Манн Гамильтониан Нерегулярный Перекрывать С Государственный переход Замена Z (химия)
Связанные термины	Иордан нормальная форма Линейная независимость Матрица экспоненциальная Матричное представление конических секций Идеальная матрица Псевдоинверно Ряд эшелона форма Вронский
Математический портал Список матриц Категория: матрицы