Симметричная матрица

Эта статья о матрице симметричной относительно его диагонали. Для матрицы симметричной вокруг своего центра см. Центросимметричную матрицу .

Для матриц с симметрией по полю комплексного числа см. Гермитианскую матрицу .

Симметрия матрицы 5 × 5

В линейной алгебре симметричная матрица представляет собой квадратную матрицу , которая равна ее транспонированию . Формально,

$A{\text{ is symmetric}}\iff A=A^{\textsf {T}}.$

Поскольку равные матрицы имеют равные размеры, только квадратные матрицы могут быть симметричными.

Записи симметричной матрицы симметричны по отношению к основной диагонали . Так что если $a_{ij}$ обозначает запись в $i$th writ и $j$th столбца тогда

$A{\text{ is symmetric}}\iff {\text{ for every }}i,j,\quad a_{ji}=a_{ij}$

для всех индексов $i$ и $j.$

Каждая квадратная диагональная матрица симметрична, так как все вне диагональные элементы равны нулю. Точно так же характерно отличается от 2, каждый диагональный элемент перекосая-симметричной матрицы должен быть нулевым, поскольку каждый из них является своим собственным отрицательным.

В линейной алгебре настоящая симметричная матрица представляет собой оператор самостоятельного следования представлено на ортонормальной основе над реальным пространством внутреннего продукта . Соответствующим объектом для сложного внутреннего пространства продукта является гермитовая матрица со сложными записями, которая равна его конъюгату транспонирования . Следовательно, в линейной алгебре над сложными числами часто предполагается, что симметричная матрица относится к той, которая имеет реальные записи. Симметричные матрицы появляются естественным образом в различных приложениях, а типичное числовое программное обеспечение для линейной алгебры делает для них специальные помещения.

Пример

Следующее $3\times 3$ Матрица симметрична: $$A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&2\end{bmatrix}}$$ С $A=A^{\textsf {T}}$.

Характеристики

Основные свойства

• Сумма и разница двух симметричных матриц симметричны.
• Это не всегда верно для продукта : данные симметричные матрицы $A$ и $B$, затем $AB$ симметрично, тогда и только тогда $A$ и $B$ поездка , т. Е. Если $AB=BA$.
• Для любого целого числа $n$, $A^{n}$ симметрично, если $A$ симметричный.
• Если $A^{-1}$ существует, это симметрично, если и только тогда, когда $A$ симметричный.
• Ранг симметричной матрицы $A$ равна количеству ненулевых собственных значений $A$.

Разложение в симметричное и симметричное

Любая квадратная матрица может быть однозначно написана как сумма симметричной и симметричной матрицы. Это разложение известно как разложение Toeplitz. Позволять ${\mbox{Mat}}_{n}$ обозначать пространство $n\times n$ матрицы. Если ${\mbox{Sym}}_{n}$ обозначает пространство $n\times n$ Симметричные матрицы и ${\mbox{Skew}}_{n}$ пространство $n\times n$ Симметричные матрицы перекоса ${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}$ и ${\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}$IE $${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},$$ где $\oplus$ обозначает прямую сумму . Позволять $X\in {\mbox{Mat}}_{n}$ затем $$X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right).$$

Обратите внимание, что ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$ и ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in \mathrm {Skew} _{n}}$Полем Это верно для каждой квадратной матрицы $X$ с записями из любого поля, которых характеристика отличается от 2.

Симметричный $n\times n$ Матрица определяется ${\tfrac {1}{2}}n(n+1)$ скаляры (количество записей на или выше основной диагонали ). Аналогичным образом, акимметричная матрица определяется ${\tfrac {1}{2}}n(n-1)$ скаляры (количество записей выше основной диагонали).

Матрица конгруэнтен с симметричной матрицей

Любая матрица, согласованная с симметричной матрицей, снова симметрична: если $X$ это симметричная матрица, тогда тоже $AXA^{\mathrm {T} }$ для любой матрицы $A$.

Симметрия подразумевает нормальность

(Реальная) симметричная матрица является нормальной матрицей .

Настоящие симметричные матрицы

Обозначайте $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ стандартный внутренний продукт на $\mathbb {R} ^{n}$Полем Настоящий $n\times n$ матрица $A$ симметрично, тогда и только тогда $$\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.$$

Поскольку это определение не зависит от выбора основы , симметрия является свойством, которое зависит только от линейного оператора A и выбора внутреннего продукта . Эта характеристика симметрии полезна, например, в дифференциальной геометрии , для каждого касательного пространства в коллектор может быть наделен внутренним продуктом, что приводит к тому, что называется риманновым коллектором . Другая область, где используется эта формулировка, находится в пространствах Гильберта .

Теорема о конечном измерении спектра говорит, что любая симметричная матрица, чья записи реальны, может быть диагонализирована ортогональной матрицей . Более явно: для каждой реальной симметричной матрицы $A$ существует реальная ортогональная матрица $Q$ так что $D=Q^{\mathrm {T} }AQ$ это диагональная матрица . Таким образом, каждая реальная симметричная матрица, до выбора ортонормальной основы , диагональной матрицы.

Если $A$ и $B$ являются $n\times n$ Настоящие симметричные матрицы, которые едут, тогда они могут быть одновременно диагонализированы ортогональной матрицей: существует основа $\mathbb {R} ^{n}$ таким образом, что каждый элемент основы является собственным вектором для обоих $A$ и $B$.

Каждая настоящая симметричная матрица - это гермитовая , и поэтому все его собственные значения реальны. (Фактически, собственные значения - это записи в диагональной матрице $D$ (Выше) и, следовательно $D$ уникально определяется $A$ Вплоть до порядка своих записей.) По сути, свойство симметричного для реальных матриц соответствует свойству гермитона для сложных матриц.

Сложные симметричные матрицы

Сложная симметричная матрица может быть «диагонализирована» с использованием унитарной матрицы : Таким образом, если $A$ это сложная симметричная матрица, есть унитарная матрица $U$ так что $UAU^{\mathrm {T} }$ это реальная диагональная матрица с неотрицательными записями. Этот результат называется факторизация Autonne -Takagi . Первоначально это было доказано Леоном Аутонном (1915) и Тейджи Такаги (1925) и вновь открыта с различными доказательствами нескольких других математиков. На самом деле, матрица $B=A^{\dagger }A$ это гермитовая и положительная полупрофильная , так что есть унитарная матрица $V$ так что $V^{\dagger }BV$ диагональ с неотрицательными реальными записями. Таким образом $C=V^{\mathrm {T} }AV$ сложный симметричный с $C^{\dagger }C$ настоящий. Письмо $C=X+iY$ с $X$ и $Y$ настоящие симметричные матрицы, $C^{\dagger }C=X^{2}+Y^{2}+i(XY-YX)$Полем Таким образом $XY=YX$Полем С $X$ и $Y$ поездка, есть настоящая ортогональная матрица $W$ так что оба $WXW^{\mathrm {T} }$ и $WYW^{\mathrm {T} }$ диагональны. Параметр $U=WV^{\mathrm {T} }$ (унитарная матрица), матрица $UAU^{\mathrm {T} }$ сложный диагональ. Предварительно-мультипликационный $U$ подходящей диагональной унитарной матрицей (которая сохраняет единицу $U$), диагональные записи $UAU^{\mathrm {T} }$ может быть сделан реальным и неотрицательным по желанию. Чтобы построить эту матрицу, мы выражаем диагональную матрицу как $UAU^{\mathrm {T} }=\operatorname {diag} (r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})$Полем Матрица, которую мы ищем, просто дана $D=\operatorname {diag} (e^{-i\theta _{1}/2},e^{-i\theta _{2}/2},\dots ,e^{-i\theta _{n}/2})$Полем Четко $DUAU^{\mathrm {T} }D=\operatorname {diag} (r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})$ По желанию, поэтому мы делаем модификацию $U'=DU$Полем Поскольку их квадраты являются собственными значениями $A^{\dagger }A$, они совпадают с единственными ценностями $A$Полем (Обратите внимание, что касается собственного разложения сложной симметричной матрицы $A$, нормальная форма Иордании $A$ не может быть диагональю, поэтому $A$ не может быть диагонализирован каким -либо преобразованием сходства.)

Разложение

Используя нормальную форму Иордании , можно доказать, что каждая квадратная реальная матрица может быть написана как продукт двух реальных симметричных матриц, и каждая квадратная комплексная матрица может быть написана как продукт двух сложных симметричных матриц.

Каждая реальная не-симулярная матрица может быть уникально учреждена как произведение ортогональной матрицы и симметричной положительной определенной матрицы , которая называется полярной разложением . Унидимые матрицы также могут быть учтены, но не уникально.

Декомпозиция Чулесского утверждает, что каждая реальная симметричная матрица с положительным определением $A$ является продуктом нижней триангулярной матрицы $L$ и его транспонирование, $$A=LL^{\textsf {T}}.$$

Если матрица является симметричной неопределенной, она может быть все еще разложена как $PAP^{\textsf {T}}=LDL^{\textsf {T}}$ где $P$ это матрица перестановки (возникающая из -за необходимости поворота ), $L$ нижняя часть треугольной матрицы и $D$ является прямой суммой симметричной $1\times 1$ и $2\times 2$ блоки, которые называются разложением Bunch -Kaufman

Общая (сложная) симметричная матрица может быть дефектной и, следовательно, не быть диагонализацией . Если $A$ Диагонализируется, он может быть разлагается как $$A=Q\Lambda Q^{\textsf {T}}$$ где $Q$ это ортогональная матрица $QQ^{\textsf {T}}=I$, и $\Lambda$ является диагональной матрицей собственных значений $A$Полем В особом случае, что $A$ настоящий симметричный, тогда $Q$ и $\Lambda$ также настоящие. Чтобы увидеть ортогональность, предположим $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ Собственные векторы соответствуют отдельным собственным значениям $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$Полем Затем $$\lambda _{1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle =\lambda _{2}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .$$

С $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ различны, у нас есть $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0$.

Гессиан

Симметричный $n\times n$ матрицы реальных функций появляются как гессианцы с двойными дифференцируемыми функциями $n$ Реальные переменные (непрерывность второго производного не требуется, несмотря на общее убеждение противоположному ).

Каждая квадратичная форма $q$ на $\mathbb {R} ^{n}$ может быть уникально написан в форме $q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x}$ с симметричным $n\times n$ матрица $A$Полем Из -за вышеупомянутой теоремы спектрального $\mathbb {R} ^{n}$, "выглядит" $$q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}$$ с реальными числами $\lambda _{i}$Полем Это значительно упрощает изучение квадратичных форм, а также изучение наборов уровней $\left\{\mathbf {x} :q(\mathbf {x} )=1\right\}$ которые являются обобщениями конических секций .

Это важно отчасти потому, что поведение второго порядка каждой гладкой много-подходящей функции описывается квадратичной формой, принадлежащей к гессиану функции; Это является следствием теоремы Тейлора .

Симметризируемая матрица

Анонца $n\times n$ матрица $A$ Говорят, что симметризируется, если существует инвертируемая диагональная матрица $D$ и симметричная матрица $S$ так что $A=DS.$

Транспонирование симметризируемой матрицы симметризируется, поскольку $A^{\mathrm {T} }=(DS)^{\mathrm {T} }=SD=D^{-1}(DSD)$ и $DSD$ симметричный. Матрица $A=(a_{ij})$ симметризируется тогда и только тогда, когда будут выполнены следующие условия:

1. $a_{ij}=0$ подразумевает $a_{ji}=0$ для всех $1\leq i\leq j\leq n.$
2. $a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}$ Для любой конечной последовательности $\left(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}\right).$

Смотрите также

Другие типы симметрии или рисунка в квадратных матрицах имеют особые имена; Смотрите, например:

• Симметричная матрица (также называемая антисимметричной или антиметрической )
• Центрозимметричная матрица
• Матрица циркулянта
• Ковариационная матрица
• Коксетерная матрица
• GCD Матрица
• Матрица Ханкеля
• Гильберт Матрица
• Персимметричная матрица
• Закон инерции Сильвестра
• Toeplitz Matrix
• Матричные транспозиции

Смотрите также симметрию в математике .

Ссылки

• Рог, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013), Анализ Матрикса (2 -е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-54823-6

Внешние ссылки

• «Симметричная матрица» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]
• Краткое введение и доказательство собственных свойств реальной симметричной матрицы
• Как реализовать симметричную матрицу в C ++