Групповое действие

Эта статья о математической концепции. Чтобы узнать о термине социологии, см. групповое действие (социология) .

120 ° и ₂₄₀ ° . На множестве трех вершин действует циклическая группа C 3, состоящая из поворотов на 0°,

В математике многие наборы преобразований образуют группу при композиции функций ; например, вращение вокруг точки на плоскости. Часто бывает полезно рассматривать группу как абстрактную группу и говорить, что у абстрактной группы есть групповое действие , состоящее из выполнения преобразований группы преобразований. Причиной отличия группы от преобразований является то, что, вообще говоря, группа преобразований структуры действует также на различные родственные структуры; например, указанная выше группа вращения действует также на треугольники, преобразуя треугольники в треугольники.

Формально групповое действие группы G на множестве S представляет собой групповой гомоморфизм из G в некоторую группу (при функциональной композиции ) функций из S в себя.

Если группа действует на структуру, она обычно также действует на объекты, построенные на основе этой структуры. Например, группа евклидовых изометрий действует на евклидово пространство , а также на нарисованные в нем фигуры; в частности, он действует на множестве всех треугольников . Аналогично группа симметрий многогранника ребра действует на вершины , . и грани многогранника

Групповое действие в векторном пространстве называется представлением группы. В случае конечномерного векторного пространства это позволяет отождествить многие группы с общей линейной группы GL( n , K ) , группы обратимых матриц размерности n подгруппами над полем K .

Симметричная группа Sn _{элементов ,} действует на любом множестве из n переставляя элементы этого множества. Хотя группа всех перестановок множества формально зависит от множества, концепция действия группы позволяет рассматривать единую группу для изучения перестановок всех множеств одинаковой мощности .

Определение

Левое групповое действие

Если G — группа с единичным элементом e , а X — множество, то ( левое ) групповое действие α группы G на X является функцией

$\alpha \colon G\times X\to X,$

удовлетворяющее следующим двум аксиомам :

Личность:	$\alpha (e,x)=x$
Совместимость:	$\alpha (g,\alpha (h,x))=\alpha (gh,x)$

для всех g и h в G всех x в X. и

группа G Говорят, что действует на X (слева). Множество X вместе с действием G называется ( левым ) G - множеством .

Может быть удобно каррировать действие α так, чтобы вместо этого имелся набор преобразований α _g : X → X с одним преобразованием α _g для каждого элемента группы g ∈ G . Тогда отношения идентичности и совместимости читаются

$\alpha _{e}(x)=x$

и

$\alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)$

где ∘ — композиция функций . Вторая аксиома тогда утверждает, что композиция функций совместима с групповым умножением; они образуют коммутативную диаграмму . Эту аксиому можно еще сократить и записать как α _g ∘ α _h = α _gh .

Учитывая вышеизложенное, очень часто вообще не пишут α и заменяют его либо точкой, либо вообще ничем. Таким образом, α ( g , x ) можно сократить до , действие когда особенно g⋅x или gx ясно из контекста. Тогда аксиомы

$e{\cdot }x=x$

$g{\cdot }(h{\cdot }x)=(gh){\cdot }x$

Из этих двух аксиом следует, что для любого фиксированного g в G функция из X в себя, которая отображает x в g ⋅ x , является биекцией , а с обратной биекцией соответствующее отображение для g ⁻¹ . Следовательно, можно эквивалентно определить групповое действие группы G на X как гомоморфизм группы из G в симметрическую группу Sym( X ) всех биекций из X в себя.

Правильное групповое действие

Аналогично, правое групповое действие группы G на X — это функция

$\alpha \colon X\times G\to X,$

удовлетворяющее аналогичным аксиомам:

Личность:	$\alpha (x,e)=x$
Совместимость:	$\alpha (\alpha (x,g),h)=\alpha (x,gh)$

(при этом α ( x , g ) часто сокращается до xg или x ⋅ g , когда рассматриваемое действие ясно из контекста)

Личность:	$x{\cdot }e=x$
Совместимость:	$(x{\cdot }g){\cdot }h=x{\cdot }(gh)$

для всех g и h в G всех x в X. и

Разница между левыми и правыми действиями заключается в порядке, в котором произведение gh действует на x . Для левого действия h сначала действует , а затем g . Для правильного действия сначала действует g , а затем h . По формуле ( gh ) ⁻¹ = час ⁻¹ г ⁻¹ левое действие можно составить из правого действия путем композиции с обратной операцией группы. Кроме того, правое действие группы G на X можно рассматривать как левое действие ее противоположной группы G. ^на на Х. ​

Таким образом, для установления общих свойств групповых действий достаточно рассмотреть только левые действия. Однако бывают случаи, когда это невозможно. Например, умножение группы вызывает как левое, так и правое действие на саму группу — умножение слева и справа соответственно.

Примечательные свойства действий

Пусть G действующая на множестве X. — группа , Действие называется верный или эффективен , если из g ⋅ x = x для всех x ∈ X следует, что g = e _G . Эквивалентно, гомоморфизм G соответствующую в группу биекций X, действию, инъективен .

Действие называется свободен (или полурегулярен или свободен от неподвижных точек ), если из утверждения, что g ⋅ x = x для некоторого x ∈ X, уже следует, что g = e _G . ни один нетривиальный элемент G не фиксирует точку X. Другими словами , Это гораздо более сильное свойство, чем верность.

Например, действие любой группы на себя умножением слева бесплатно. Из этого наблюдения следует теорема Кэли о том, что любая группа может быть вложена в симметрическую группу (которая бесконечна, если группа такова). Конечная группа может действовать добросовестно на множестве размера, много меньшего ее мощности (однако такое действие не может быть свободным). Например, абелева 2-группа ( Z / 2 Z ) ^н (мощности 2 ^н ) действует точно на множестве размера 2 n . Это не всегда так, например циклическая группа Z /2 ^н Z не может действовать точно на множестве размера меньше 2. ^н .

В общем, наименьшее множество, на котором можно определить точное действие, может сильно различаться для групп одинакового размера. Например, три группы размера 120 — это симметрическая группа S ₅ , икосаэдрическая группа A ₅ × Z / 2 Z и циклическая группа Z / 120 Z . Наименьшие множества, на которых могут быть определены точные действия для этих групп, имеют размер 5, 7 и 16 соответственно.

Свойства транзитивности

Действие G на X называется транзитивно , если для любых двух точек x , y ∈ X существует g ∈ G такой, что g ⋅ x = y .

Действие просто транзитивно (или резко транзитивно , или регулярный ), если он одновременно транзитивен и свободен. Это означает, что при x , y ∈ X элемент g в определении транзитивности единственный. Если на X действует просто транзитивно группа G , то оно называется главным однородным пространством для G или G -торсором.

Для целого числа n ≥ 1 действие n -транзитивен , если X имеет не менее n элементов и для любой пары n -кортежей ( x ₁ , ..., x _n ), ( y ₁ , ..., y _n ) ∈ X ^н с попарно различными элементами (то есть x _i ≠ x _j , y _i ≠ y _j, когда i ≠ j ), существует g ∈ G такой, что g ⋅ x _i = y _i для i = 1, ..., n . Другими словами, действие на подмножестве X ^н кортежей без повторяющихся записей транзитивно. При n = 2, 3 это часто называют двойной или тройной транзитивностью. Класс 2-транзитивных групп (т. е. подгрупп конечной симметрической группы, действие которых 2-транзитивно) и, в более общем смысле, кратно транзитивных групп, хорошо изучен в теории конечных групп.

Действие — это резко n -транзитивен , когда действие над кортежами без повторяющихся записей в X ^н является резко транзитивным.

Примеры

Действие симметрической группы X транзитивно, фактически n -транзитивно для любого n вплоть до мощности X . Если X имеет мощность n , действие знакопеременной группы является ( n − 2) -транзитивным, но не ( n − 1) -транзитивным.

Действие общей линейной группы векторного пространства V на множестве V ∖ {0} ненулевых векторов транзитивно, но не 2-транзитивно (аналогично действию специальной линейной группы, если размерность v равна минимум 2). Действие ортогональной группы евклидова пространства не транзитивно на ненулевых векторах, а на единичной сфере .

Примитивные действия

Основная статья: примитивная группа перестановок

Действие G на X называется примитивным, если не существует разбиения X , сохраняемого всеми элементами G, кроме тривиальных разбиений (разбиение на одиночный кусок и двойственное ему разбиение на одиночные элементы ).

Топологические свойства

Предположим, что X — топологическое пространство и действие G осуществляется гомеоморфизмами .

Действие называется блуждающим , если для каждого x ∈ X существует окрестность U такая, что существует лишь конечное число g ∈ G , такое что g ⋅ U ∩ U ≠ ∅ .

В более общем смысле точка x ∈ X называется точкой разрыва действия G , если существует открытое подмножество U ∋ x такое, что существует только конечное число g ∈ G такое, что g ⋅ U ∩ U ≠ ∅ . Областью разрыва действия является множество всех точек разрыва. Эквивалентно, это наибольшее G -стабильное открытое подмножество Ω ⊂ X такое, что действие G на Ω является блуждающим. В динамическом контексте это также называется блуждающим множеством .

Действие является собственно разрывным , если для любого компактного подмножества K ⊂ X существует только конечное число g ∈ G таких, что g ⋅ K ∩ K ≠ ∅ . Это строго сильнее, чем блуждание; например, действие Z на R ² ∖ {(0, 0)}, заданный n ⋅( x , y ) = (2 ^н х , 2 ^{− п} y ) блуждающий и свободный, но не прерывистый.

Действие палубных преобразований основной группы локально односвязного пространства на накрывающее является блуждающим и свободным. Такие действия можно охарактеризовать следующим свойством: каждый x ∈ X имеет окрестность U такую, что g ⋅ U ∩ U = ∅ для каждого g ∈ G ∖ { e _G } . Действия с этим свойством иногда называют свободно разрывными , а наибольшее подмножество, на котором действие свободно разрывно, называют тогда свободным регулярным множеством .

Действие группы G на локально компактном пространстве X называется кокомпактным , если существует компактное подмножество A ⊂ X такое, что X = G ⋅ A . Для собственно разрывного действия кокомпактность эквивалентна компактности фактор- пространства G \ X .

Действия топологических групп

Основная статья: Непрерывное групповое действие

Предположим теперь, что G — топологическая группа , а X — топологическое пространство, на котором она действует посредством гомеоморфизмов. Действие называется непрерывным , если отображение G × X → X непрерывно для топологии произведения .

Говорят, что действие правильное , если отображение G × X → X × X, определенное формулой ( g , x ) ↦ ( x , g ⋅ x ), является правильным . Это означает, что для данных компактов K , K ′ множество g ∈ G такое, что g ⋅ K ∩ K ′ ≠ ∅, компактно. В частности, это эквивалентно тому, что собственный разрыв G — дискретная группа .

Говорят, что он локально свободен если существует окрестность U точки eG _, такая, что g ⋅ x ≠ x для всех x ∈ X и g ∈ U ∖ { e _G } .

Действие называется сильно непрерывным если орбитальное отображение g ↦ g ⋅ x непрерывно для каждого x ∈ X. , Вопреки тому, что следует из названия, это более слабое свойство, чем непрерывность действия.

Если G — группа Ли и X , — дифференцируемое многообразие то подпространство точек действия — это множество точек x ∈ X таких, что отображение g ↦ g ⋅ x гладко гладких . Существует хорошо разработанная теория действий группы Ли , т.е. действий, гладких на всем пространстве.

Линейные действия

Основная статья: Представительство группы

Если g действует линейными преобразованиями на модуле над коммутативным кольцом , то действие называется неприводимым, если не существует собственных ненулевых g -инвариантных подмодулей. Говорят, что оно полупростое , если оно распадается в прямую сумму неприводимых действий.

Орбиты и стабилизаторы

В соединении пяти тетраэдров группой симметрии является (вращательная) икосаэдрическая группа I порядка 60, а стабилизатором отдельного выбранного тетраэдра является (вращательная) тетраэдрическая группа T порядка 12, а пространство орбит I / T ( порядка 60/12 = 5) естественным образом отождествляется с 5-тетраэдрами – смежный класс gT соответствует тетраэдру, в который g отправляет выбранный тетраэдр.

Рассмотрим группу G, на множестве X. действующую орбита элемента x в X — это набор элементов в X, который x может быть перемещен элементами G. в Орбита x обозначается G ⋅ x : $$G{\cdot }x=\{g{\cdot }x:g\in G\}.$$

Определяющие свойства группы гарантируют, что множество орбит (точек в ) X под действием G образуют разбиение X x . Соответствующее отношение эквивалентности определяется следующим образом: x ~ y тогда и только тогда, когда существует g в G такой, что g ⋅ x = y . Тогда орбиты являются классами эквивалентности по этому отношению; два элемента x и y эквивалентны тогда и только тогда, когда их орбиты одинаковы, то есть G ⋅ x = G ⋅ y .

Действие группы транзитивно тогда и только тогда, когда оно имеет ровно одну орбиту, то есть если существует x в X такой, что G ⋅ x = X . Это так тогда и только тогда, когда G ⋅ x = X для всех x в X (при условии, что X непусто).

Множество всех орбит X под действием G записывается как X / G (или реже как G \ X ) и называется частное действия. В геометрических ситуациях его можно назвать пространство орбит , а в алгебраических ситуациях его можно назвать пространством коинварианты и обозначаются X _G , в отличие от инвариантов (неподвижных точек), обозначаемых X ^Г : коинварианты являются частными , а инварианты - подмножеством . Коинвариантная терминология и обозначения используются, в частности, в групповых когомологиях и групповых гомологиях , которые используют одно и то же соглашение о верхнем/индексном индексе.

Инвариантные подмножества

Если Y — подмножество X ∈ , то ⋅ Y обозначает множество { g ⋅ y : g ∈ G и y G Y } . Подмножество Y называется инвариантным относительно G, если G ⋅ Y = Y (что эквивалентно G ⋅ Y ⊆ Y ). В этом случае G также действует на Y ограничивая , действие Y . Подмножество Y называется фиксированным относительно G, если g ⋅ y = y для всех g в G и всех y в Y . Каждое подмножество, фиксированное относительно G, также инвариантно относительно G , но не наоборот.

Каждая орбита является инвариантным подмножеством X , на котором G действует транзитивно . И наоборот, любое инвариантное подмножество X представляет собой объединение орбит. Действие G на X транзитивно тогда и только тогда , когда все элементы эквивалентны, то есть существует только одна орбита.

G - инвариантным элементом X является x ∈ X такой, что g ⋅ x = x для всех g ∈ G . Множество всех таких x обозначается X ^Г называются G - X. и инвариантами Когда X является G -модулем , X ^Г — нулевая группа когомологий группы G с коэффициентами из X , а высшие группы когомологий — функторы функтора производные - инвариантов G .

Неподвижные точки и подгруппы стабилизаторов

Учитывая g в G и x в X с g ⋅ x = x , говорят, что « x является фиксированной точкой g » или что « g фиксирует x ». каждого x в X Для подгруппа стабилизатора группы G относительно x (также называемая группой изотропии или маленькой группой ) — это набор всех элементов в G , которые фиксируют x : $$G_{x}=\{g\in G:g{\cdot }x=x\}.$$Это подгруппа G , хотя обычно она не является нормальной. Действие группы G на X свободно тогда и только тогда , когда все стабилизаторы тривиальны. Ядро N гомоморфизма с симметрической группой G Sym( X ) задается пересечением стабилизаторов G x _для всех x в X. → Если N тривиально, действие называется точным (или эффективным).

Пусть x и y — два элемента из X , и пусть g — элемент группы такой, что y = g ⋅ x . Тогда две группы стабилизаторов G _x и G _y связаны соотношением G _y = gG _x g ⁻¹ . Доказательство: по определению h ∈ G _y тогда и только тогда, когда h ⋅( g ⋅ x ) = g ⋅ x . Применение г ⁻¹ в обе части этого равенства дает ( g ⁻¹ чг )⋅ Икс знак равно Икс ; то есть г ⁻¹ hg ∈ грамм _Икс . Противоположное включение получается аналогично, если взять h ∈ G _x и x = g ⁻¹ ⋅ y .

Вышесказанное говорит о том, что стабилизаторы элементов, находящихся на одной орбите, сопряжены друг с другом. Таким образом, каждой орбите мы можем сопоставить класс сопряженности подгруппы G (т. е. множество всех сопряженных подгрупп). Пусть ( H ) обозначает класс H. сопряженности Тогда орбита O имеет тип ( H ) , если стабилизатор G _x некоторого/любого x в O принадлежит ( H ) . Максимальный тип орбиты часто называют основным типом орбиты .

Теорема о стабилизаторе орбиты и лемма Бернсайда

Орбиты и стабилизаторы тесно связаны. Для фиксированного x в X рассмотрим отображение f : G → X, заданное формулой g ↦ g ⋅ x . По определению образ f ( G ) этого отображения — это орбита G ⋅ x . Условие того, чтобы два элемента имели одинаковое изображение: $$f(g)=f(h)\iff g{\cdot }x=h{\cdot }x\iff g^{-1}h{\cdot }x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}.$$Другими словами, f ( g ) = f ( h ) тогда и только тогда, когда g и h лежат в одном смежном классе для подгруппы стабилизатора G _x . Таким образом, волокно f ⁻¹ ({ y }) функции f над любым y из G ⋅ x содержится в таком смежном классе, и каждый такой смежный класс также встречается как слой. Следовательно, f индуцирует биекцию между множеством G / G _x смежных классов для подгруппы стабилизатора и орбитой G ⋅ x , что отправляет gG _x ↦ g ⋅ x . Этот результат известен как теорема о стабилизаторе орбиты .

Если G конечна, то теорема о стабилизаторе орбиты вместе с теоремой Лагранжа дает $$|G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|,$$другими словами, длина орбиты x , умноженная на порядок ее стабилизатора, равна порядку группы . В частности, это означает, что длина орбиты является делителем порядка группы.

Пример. Пусть G — группа простого порядка p, действующая на множестве X с k элементами. Поскольку каждая орбита имеет либо 1 , либо p элементов, существует не более k mod p орбит длины 1 , которые являются G -инвариантными элементами.

Этот результат особенно полезен, поскольку его можно использовать для подсчета аргументов (обычно в ситуациях, когда X также конечно).

Кубический граф с помеченными вершинами

Пример: мы можем использовать теорему о стабилизаторе орбиты для подсчета автоморфизмов графа . Рассмотрим кубический граф , как показано на рисунке, и пусть G обозначает его группу автоморфизмов . Тогда G действует на множестве вершин {1, 2, ..., 8} , и это действие транзитивно, в чем можно убедиться, составив вращения вокруг центра куба. Таким образом, по теореме о стабилизаторе орбиты | г | = | Г ⋅ 1 | | Г ₁ | = 8 | Г ₁ | . Применяя теперь теорему к стабилизатору G ₁ , мы можем получить | Г ₁ | = | ( г ₁ ) ⋅ 2 | | ( г ₁ ) ₂ | . Любой элемент G , который фиксирует 1, должен отправить 2 либо в 2, 4 или 5. В качестве примера таких автоморфизмов рассмотрим вращение вокруг диагональной оси через 1 и 7 на 2 π /3 , которое переставляет местами 2, 4, 5 и 3, 6, 8 и исправляет 1 и 7. Таким образом, | ( г ₁ ) ⋅ 2 | = 3 . Применение теоремы в третий раз дает | ( г ₁ ) ₂ | = | (( г ₁ ) ₂ ) ⋅ 3 | | (( г ₁ ) ₂ ) ₃ | . Любой элемент G , который фиксирует 1 и 2, должен отправить 3 либо в 3, либо в 6. Отражение куба на плоскости через 1, 2, 7 и 8 является таким автоморфизмом, переводящим 3 в 6, таким образом | (( г ₁ ) ₂ ) ⋅ 3 | = 2 . Также можно увидеть, что (( G ₁ ) ₂ ) ₃ состоит только из тождественного автоморфизма, поскольку любой элемент G, фиксирующий 1, 2 и 3, должен также фиксировать все остальные вершины, поскольку они определяются их смежностью с 1, 2 и 3. Объединение предыдущего вычислений, теперь мы можем получить | г | знак равно 8 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 знак равно 48 .

Результатом, тесно связанным с теоремой о стабилизаторе орбиты, является лемма Бернсайда : $$|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,$$где Х ^г - это набор точек, фиксированных g . Этот результат в основном полезен, когда G и X конечны, когда его можно интерпретировать следующим образом: количество орбит равно среднему числу точек, фиксированных на элемент группы.

Зафиксировав группу G , множество формальных разностей конечных G -множеств образует кольцо, называемое кольцом Бернсайда группы G , где сложение соответствует несвязному объединению , а умножение - декартову произведению .

Примеры

• The тривиальное действие любой группы G на любом множестве X определяется равенством g ⋅ x = x для всех g в G и всех x в X ; то есть каждый элемент группы вызывает тождественную перестановку на X .
• В каждой группе G это действие группы G на G : g ⋅ ​​x = gx для всех g , x в G. умножение слева — Это действие является свободным и транзитивным (регулярным) и составляет основу быстрого доказательства теоремы Кэли о том, что каждая группа изоморфна подгруппе симметрической группы перестановок множества G .
• В каждой группе G с подгруппой H умножение является действием G на множестве смежных классов G / H : g ⋅ ​​aH = gaH для всех g , a в G. левое В частности, если H не содержит нетривиальных нормальных подгрупп группы G, это индуцирует изоморфизм группы G в подгруппу группы перестановок степени [ G : H ] .
• В каждой группе сопряжение G — это действие G на G : g ⋅ ​​x = gxg ⁻¹ . Для варианта правильного действия обычно используется экспоненциальная запись: x ^г = г ⁻¹ хг ; оно удовлетворяет ( x ^г ) ^час = х ^хх .
• В каждой группе G с подгруппой H сопряжение — это действие группы G на сопряженные группы H : g ⋅ ​​K = gKg ⁻¹ для всех g в G и K, сопряженных с H .
• Действие Z на множестве X определяется автоморфизмом X , на действием 1. Аналогично действие Z 2 Z однозначно определяет и X эквивалентно данным инволюции X. заданным /
• Симметричная группа S _n и ее подгруппы действуют на множестве {1, ..., n }, переставляя ее элементы
• Группа симметрии многогранника действует на множестве вершин этого многогранника. Он также действует на множество граней или множество ребер многогранника.
• Группа симметрии любого геометрического объекта действует на множество точек этого объекта.
• Для координатного пространства V над полем F с группой единиц F * отображение F * × V → V , заданное формулой a × ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) ↦ ( ax ₁ , ax ₂ , ..., ax _n ) — групповое действие, называемое скалярным умножением .
• Группа автоморфизмов векторного пространства (или графа , или группы, или кольца...) действует на векторное пространство (или множество вершин графа, или группы, или кольца...).
• Общая линейная группа GL( n , K ) и ее подгруппы, особенно ее подгруппы Ли (включая специальную линейную группу SL( n , K ) , ортогональную группу O( n , K ) , специальную ортогональную группу SO( n , K ) , и симплектическая группа Sp( n , K ) ) являются группами Ли , действующими в векторном пространстве K ^н . Групповые операции задаются умножением матриц из групп на векторы из K ^н .
• Общая линейная группа GL( n , Z ) действует на Z ^н действием естественной матрицы. Орбиты его действия классифицируются по наибольшему общему делителю координат вектора в Z ^н .
• Аффинная группа действует транзитивно на точках аффинного пространства , а подгруппа V аффинной группы (т. е. векторного пространства) оказывает на этих точках транзитивное и свободное (т. е. регулярное ) действие; действительно, это можно использовать для определения аффинного пространства .
• Проективная линейная группа PGL( n + 1, K ) и ее подгруппы, особенно ее подгруппы Ли, которые являются группами Ли, действующими в проективном пространстве P ^н ( К ) . Это фактор действия полной линейной группы на проективном пространстве. Особенно примечательна PGL(2, K ) — симметрия проективной прямой, которая является резко 3-транзитивной, сохраняя перекрестное отношение ; группа Мёбиуса PGL(2, C ) представляет особый интерес.
• Изометрия узоры плоскости действует на набор 2D-изображений и узоров, таких как обоев . Определение можно уточнить, уточнив, что подразумевается под изображением или узором, например, функция положения со значениями в наборе цветов. Изометрии на самом деле являются одним из примеров аффинной группы (действия).
• Множества, на которые действует группа G, составляют категорию -множеств G , в которых объектами являются G -множества, а морфизмами являются гомоморфизмы G -множеств: функции f : X → Y такие, что g ⋅( f ( x )) = f ( г ⋅ Икс ) для каждого г в G .
• Группа Галуа L расширения поля / K действует на поле L, оказывает лишь тривиальное действие на элементы подполя K. но Подгруппы Gal( L / K ) соответствуют подполям L содержащим K , то есть расширениям промежуточных полей между L и K. ,
• Аддитивная группа действительных чисел ( R , +) действует на фазовое пространство « хороших » систем в классической механике (и в более общих динамических системах ) путем перевода времени : если t находится в R , а x находится в фазе пространстве, то x описывает состояние системы, а t + x определяется как состояние системы через t секунд, если t положительное, или - t секунд назад, если t отрицательное.
• Аддитивная группа действительных чисел ( R , + ) действует на множество действительных функций действительной переменной различными способами, причем ( t ⋅ f )( x ) равна, например, f ( x + t ) , f ( x ) + t , f ( xe ^т ) , ж ( x ) е ^т , ж ( Икс + т ) е ^т , или f ( xe ^т ) + t , но не f ( xe ^т + т ) .
• Учитывая групповое действие G на X , мы можем определить индуцированное действие G на множестве степеней , X установив g ⋅ U = { g ⋅ u : u ∈ U } для каждого подмножества U из X и каждого g в G . Это полезно, например, при изучении действия большой группы Матье на 24-множестве и при изучении симметрии в некоторых моделях конечной геометрии .
• Кватернионы с версоры нормой 1 ( ) , как мультипликативная группа, действуют на R ³ : для любого такого кватерниона z = cos α /2 + v sin α /2 отображение f ( x ) = z x z ^* — вращение против часовой стрелки на угол α вокруг оси, заданной единичным вектором v ; z – то же вращение; см. кватернионы и пространственное вращение . Это не точное действие, потому что кватернион −1 оставляет все точки там, где они были, как и кватернион 1 .
• Для данных левых G -множеств X , Y существует левое G -множество Y. ^Х элементами которого являются G -эквивариантные отображения α : X × G → Y и с левым G -действием, заданным выражением g ⋅ α = α ∘ (id _X × – g ) (где « – g » означает умножение справа на g ). Это G -множество обладает тем свойством, что его неподвижные точки соответствуют эквивариантным отображениям X → Y ; в более общем смысле, это экспоненциальный объект в категории G -множеств.

Групповые действия и группоиды

Основная статья: Группоид § Групповое действие

Понятие группового действия может быть закодировано группоидом G действия ′ = G ⋉ X, ассоциированным с групповым действием. Стабилизаторами действия являются группы вершин группоида, а орбитами действия — его компоненты.

Морфизмы и изоморфизмы между G -множествами

Если X и Y — два G -множества, морфизм из X в Y — это функция f : X → Y такая, что f ( g ⋅ x ) = g ⋅ f ( x ) для всех g в G и всех x в X . Морфизмы G -множеств называют также эквивариантными отображениями или G - отображениями .

Композиция двух морфизмов снова является морфизмом. Если морфизм f биективен, то его обратный также является морфизмом. В этом случае f называется изоморфизмом , а два G -множества X и Y называются изоморфными ; для всех практических целей изоморфные G -множества неразличимы.

Некоторые примеры изоморфизмов:

• Каждое регулярное действие G изоморфно действию G на G, заданному умножением слева.
• Каждое свободное действие G изоморфно G × S , где S — некоторое множество, а G действует на G × S умножением слева по первой координате. ( S можно считать множеством орбит X / G .)
• Каждое транзитивное действие G изоморфно умножению слева на G на множестве левых смежных классов некоторой подгруппы H группы G . ( H можно считать группой стабилизатора любого элемента исходного G -множества.)

С этим понятием морфизма совокупность всех G -множеств образует категорию ; эта категория является топосом Гротендика (на самом деле, если предположить классическую металогику , этот топос будет даже булевым).

Варианты и обобщения

Мы также можем рассмотреть действия моноидов на множествах, используя те же две аксиомы, что и выше. Однако это не определяет биективные отображения и отношения эквивалентности. См. действие полугруппы .

Вместо действий на множествах мы можем определить действия групп и моноидов на объекты произвольной категории: начать с объекта некоторой категории, а затем определить действие на X как гомоморфизм моноида в моноид эндоморфизмов X X . Если X имеет базовое множество, то все определения и факты, изложенные выше, могут быть перенесены. Например, если мы возьмем категорию векторных пространств, мы получим представления групп таким образом .

Мы можем рассматривать группу G как категорию с единственным объектом, в которой каждый морфизм обратим . Тогда (левое) групповое действие — это не что иное, как (ковариантный) функтор из G в категорию множеств , а представление группы — это функтор из G в категорию векторных пространств . Тогда морфизм между G -множествами является естественным преобразованием функторов группового действия. По аналогии, действие группоида — это функтор из группоида в категорию множеств или в какую-либо другую категорию.

Помимо непрерывных действий топологических групп на топологических пространствах, часто рассматривают также гладкие действия групп Ли на гладких многообразиях , регулярные действия алгебраических групп на алгебраических многообразиях и действия групповых схем на схемах . Все это примеры групповых объектов, действующих на объекты соответствующей категории.

Галерея

• 
  Орбита фундаментального сферического треугольника (отмечена красным) под действием полной октаэдрической группы.
• 
  Орбита фундаментального сферического треугольника (отмечена красным) под действием полной группы икосаэдра.

См. также

• График усиления
• Группа с операторами
• Измеримое групповое действие
• Моноидное действие
• Развитие Янга – Деруйца

Ссылки

• Ашбахер, Майкл (2000). Теория конечных групп . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-78675-1 . МР   1777008 .
• Черт возьми, Дэвид; Ричард Фут (2003). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. ISBN  0-471-43334-9 .
• Эй, Минкинг; Чанг, Шоу-Те (2010). Курс абстрактной алгебры . Всемирная научная. ISBN  978-981-4271-88-2 .
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-79540-1 , МР   1867354 .
• Ротман, Джозеф (1995). Введение в теорию групп . Тексты для аспирантов по математике 148 (4-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-94285-8 .
• Смит, Джонатан Д.Х. (2008). Введение в абстрактную алгебру . Учебники по математике. ЦРК Пресс. ISBN  978-1-4200-6371-4 .
• Капович, Майкл (2009), Гиперболические многообразия и дискретные группы , Modern Birkhäuser Classics, Birkhäuser, стр. xxvii+467, ISBN  978-0-8176-4912-8 , Збл   1180.57001
• Маскит, Бернард (1988), Клейнианские группы , Основы математических наук, том. 287, Springer-Verlag, стр. XIII+326, Zbl   0627.30039
• Перроне, Паоло (2024), Теория стартовых категорий , World Scientific, doi : 10.1142/9789811286018_0005 , ISBN  978-981-12-8600-1
• Терстон, Уильям (1980), Геометрия и топология трехмерных многообразий , конспект лекций в Принстоне, с. 175, заархивировано из оригинала 27 июля 2020 г. , получено 8 февраля 2016 г.
• Терстон, Уильям П. (1997), Трехмерная геометрия и топология. Том. 1. , Принстонская математическая серия, том. 35, Princeton University Press, стр. x+311, Zbl   0873.57001
• Том Дик, Таммо (1987), Группы преобразований , Исследования де Грютера по математике, том. 8, Берлин: Вальтер де Грюйтер и компания, с. 29, номер домена : 10.1515/9783110858372.312 , ISBN  978-3-11-009745-0 , МР   0889050

Внешние ссылки

• «Действие группы на многообразии» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Групповое действие» . Математический мир .