Матрицы Кравчука

В математике — матрицы Кравчука это матрицы , элементы которых представляют собой значения полиномов Кравчука в неотрицательных целочисленных точках. Матрица Кравчука K ^{( Н )} представляет собой ( N + 1) × ( N + 1) матрицу. Первые несколько матриц Кравчука:

$K^{(0)}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\qquad K^{(1)}=\left[{\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}}\right],\qquad K^{(2)}=\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\2&0&-2\\1&-1&1\end{array}}\right],\qquad K^{(3)}=\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\3&1&-1&-3\\3&-1&-1&3\\1&-1&1&-1\end{array}}\right],$

$K^{(4)}=\left[{\begin{array}{rrrrr}1&1&1&1&1\\4&2&0&-2&-4\\6&0&-2&0&6\\4&-2&0&2&-4\\1&-1&1&-1&1\end{array}}\right],\qquad K^{(5)}=\left[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1&1\\5&3&1&-1&-3&-5\\10&2&-2&-2&2&10\\10&-2&-2&2&2&-10\\5&-3&1&1&-3&5\\1&-1&1&-1&1&-1\end{array}}\right].$

Определение

В общем случае для положительного целого числа $N$, записи $K_{ij}^{(N)}$ задаются производящей функцией :

$(1+v)^{N-j}\,(1-v)^{j}=\sum _{i}v^{i}K_{ij}^{(N)},$

где индексы строк и столбцов $i$ и $j$ бежать от $0$ к $N$. Явно:

$K_{ij}^{(N)}=\sum _{k}(-1)^{k}{\binom {j}{k}}{\binom {N-j}{i-k}},$

или через полиномы Кравчука :

$K_{ij}^{(N)}=\kappa _{i}(j,N).$

Значения матрицы Кравчука также можно вычислить с помощью рекуррентного соотношения. Заполнив верхнюю строку единицами и самый правый столбец чередующимися биномиальными коэффициентами , каждая из остальных записей определяется суммой соседних записей сверху, сверху и справа.

Характеристики

Полиномы Кравчука ортогональны относительно симметричных биномиальных распределений: $p=1/2$.

В качестве преобразования матрица Кравчука представляет собой инволюцию с точностью до масштабирования:

$(K_{ij}^{(N)})^{2}=2^{N}I.$

Матрицы Кравчука имеют разложение LDU, включающее треугольные матрицы Паскаля и диагональную матрицу степеней 2.

Собственные значения $\pm {\sqrt {2^{n}}}$, а определитель $(-2)^{n(n+1)/2}$.

См. также

• Полином Кравчука
• Матрица Паскаля

Внешние ссылки

• Энциклопедия Кравчука