Альтернативы общей теории относительности

Альтернативой общей теории относительности являются физические теории , которые пытаются описать явление гравитации, конкурируя с Эйнштейна общей теорией относительности . Было много различных попыток построить идеальную теорию гравитации .

Эти попытки можно разделить на четыре широкие категории в зависимости от их масштаба. В этой статье обсуждаются простые альтернативы общей теории относительности, которые не связаны с квантовой механикой или объединением сил. Другие теории, которые пытаются построить теорию, используя принципы квантовой механики, известны как теории квантованной гравитации . В-третьих, существуют теории, которые пытаются объяснить гравитацию и другие силы одновременно; они известны как классические единые теории поля . Наконец, самые амбициозные теории пытаются одновременно выразить гравитацию в терминах квантовой механики и объединить силы; это называются теориями всего .

Ни одна из этих альтернатив общей теории относительности не получила широкого признания. Общая теория относительности выдержала множество испытаний . оставаясь согласующимся со всеми наблюдениями до сих пор. Напротив, многие из ранних альтернатив были окончательно опровергнуты. Однако некоторые альтернативные теории гравитации поддерживаются меньшинством физиков, и эта тема остается предметом интенсивного изучения в теоретической физике .

Мотивации

After general relativity, attempts were made either to improve on theories developed before general relativity, or to improve general relativity itself. Many different strategies were attempted, for example the addition of spin to general relativity, combining a general relativity-like metric with a spacetime that is static with respect to the expansion of the universe, getting extra freedom by adding another parameter. At least one theory was motivated by the desire to develop an alternative to general relativity that is free of singularities.

Experimental tests improved along with the theories. Many of the different strategies that were developed soon after general relativity were abandoned, and there was a push to develop more general forms of the theories that survived, so that a theory would be ready when any test showed a disagreement with general relativity.

By the 1980s, the increasing accuracy of experimental tests had all confirmed general relativity; no competitors were left except for those that included general relativity as a special case. Further, shortly after that, theorists switched to string theory which was starting to look promising, but has since lost popularity. In the mid-1980s a few experiments were suggesting that gravity was being modified by the addition of a fifth force (or, in one case, of a fifth, sixth and seventh force) acting in the range of a few meters. Subsequent experiments eliminated these.

Motivations for the more recent alternative theories are almost all cosmological, associated with or replacing such constructs as "inflation", "dark matter" and "dark energy". Investigation of the Pioneer anomaly has caused renewed public interest in alternatives to general relativity.

Notation in this article

Main articles: Mathematics of general relativity and Ricci calculus

$c\;$ is the speed of light, $G\;$ is the gravitational constant. "Geometric variables" are not used.

Latin indices go from 1 to 3, Greek indices go from 0 to 3. The Einstein summation convention is used.

$\eta _{\mu \nu }\;$ is the Minkowski metric. $g_{\mu \nu }\;$ is a tensor, usually the metric tensor. These have signature (−,+,+,+).

Partial differentiation is written $\partial _{\mu }\varphi \;$ or $\varphi _{,\mu }\;$. Covariant differentiation is written $\nabla _{\mu }\varphi \;$ or $\varphi _{;\mu }\;$.

General relativity

Main article: General relativity

For comparison with alternatives, the formulas of General Relativity are:

$\delta \int ds=0\,$

${ds}^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,$

$R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)\,$

which can also be written

$T^{\mu \nu }={c^{4} \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\,.$

The Einstein–Hilbert action for general relativity is:

$S={c^{4} \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\ d^{4}x+S_{m}\,$

where $G\,$ is Newton's gravitational constant, $R=R_{\mu }^{~\mu }\,$ is the Ricci curvature of space, $g=\det(g_{\mu \nu })\,$ and $S_{m}\,$ is the action due to mass.

General relativity is a tensor theory, the equations all contain tensors. Nordström's theories, on the other hand, are scalar theories because the gravitational field is a scalar. Other proposed alternatives include scalar–tensor theories that contain a scalar field in addition to the tensors of general relativity, and other variants containing vector fields as well have been developed recently.

Classification of theories

Theories of gravity can be classified, loosely, into several categories. Most of the theories described here have:

• an 'action' (see the principle of least action, a variational principle based on the concept of action)
• a Lagrangian density
• a metric

If a theory has a Lagrangian density for gravity, say $L\,$, then the gravitational part of the action $S\,$ is the integral of that:

$S=\int L{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$.

In this equation it is usual, though not essential, to have $g=-1\,$ at spatial infinity when using Cartesian coordinates. For example, the Einstein–Hilbert action uses

$L\,\propto \,R$

where R is the scalar curvature, a measure of the curvature of space.

Almost every theory described in this article has an action. It is the most efficient known way to guarantee that the necessary conservation laws of energy, momentum and angular momentum are incorporated automatically; although it is easy to construct an action where those conservation laws are violated. Canonical methods provide another way to construct systems that have the required conservation laws, but this approach is more cumbersome to implement. The original 1983 version of MOND did not have an action.

A few theories have an action but not a Lagrangian density. A good example is Whitehead, the action there is termed non-local.

A theory of gravity is a "metric theory" if and only if it can be given a mathematical representation in which two conditions hold:
Condition 1: There exists a symmetric metric tensor $g_{\mu \nu }\,$ of signature (−, +, +, +), which governs proper-length and proper-time measurements in the usual manner of special and general relativity:

${d\tau }^{2}=-g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,$

where there is a summation over indices $\mu$ and $\nu$.
Condition 2: Stressed matter and fields being acted upon by gravity respond in accordance with the equation:

$0=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }={T^{\mu \nu }}_{,\nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }T^{\sigma \nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\nu }T^{\mu \sigma }\,$

where $T^{\mu \nu }\,$ is the stress–energy tensor for all matter and non-gravitational fields, and where $\nabla _{\nu }$ is the covariant derivative with respect to the metric and $\Gamma _{\sigma \nu }^{\alpha }\,$ is the Christoffel symbol. The stress–energy tensor should also satisfy an energy condition.

Metric theories include (from simplest to most complex):

• Scalar field theories (includes conformally flat theories & Stratified theories with conformally flat space slices)
  • Bergman
  • Coleman
  • Einstein (1912)
  • Einstein–Fokker theory
  • Lee–Lightman–Ni
  • Littlewood
  • Ni
  • Nordström's theory of gravitation (first metric theory of gravity to be developed)
  • Page–Tupper
  • Papapetrou
  • Rosen (1971)
  • Whitrow–Morduch
  • Yilmaz theory of gravitation (attempted to eliminate event horizons from the theory.)
• Quasilinear theories (includes Linear fixed gauge)
  • Bollini–Giambiagi–Tiomno
  • Deser–Laurent
  • Whitehead's theory of gravity (intended to use only retarded potentials)
• Tensor theories
  • Einstein's general relativity
  • Fourth-order gravity (allows the Lagrangian to depend on second-order contractions of the Riemann curvature tensor)
  • f(R) gravity (allows the Lagrangian to depend on higher powers of the Ricci scalar)
  • Gauss–Bonnet gravity
  • Lovelock theory of gravity (allows the Lagrangian to depend on higher-order contractions of the Riemann curvature tensor)
  • Infinite derivative gravity
• Scalar–tensor theories
  • Bekenstein
  • Bergmann–Wagoner
  • Brans–Dicke theory (the most well-known alternative to general relativity, intended to be better at applying Mach's principle)
  • Jordan
  • Nordtvedt
  • Thiry
  • Chameleon
  • Pressuron
• Vector–tensor theories
  • Hellings–Nordtvedt
  • Will–Nordtvedt
• Bimetric theories
  • Lightman–Lee
  • Rastall
  • Rosen (1975)
• Other metric theories

(see section Modern theories below)

Non-metric theories include

• Belinfante–Swihart
• Einstein–Cartan theory (intended to handle spin-orbital angular momentum interchange)
• Kustaanheimo (1967)
• Teleparallelism
• Gauge theory gravity

A word here about Mach's principle is appropriate because a few of these theories rely on Mach's principle (e.g. Whitehead), and many mention it in passing (e.g. Einstein–Grossmann, Brans–Dicke). Mach's principle can be thought of a half-way-house between Newton and Einstein. It goes this way:

• Newton: Absolute space and time.
• Mach: The reference frame comes from the distribution of matter in the universe.
• Einstein: There is no reference frame.

Theories from 1917 to the 1980s

Main article: History of gravitational theory

At the time it was published in the 17th century, Isaac Newton's theory of gravity was the most accurate theory of gravity. Since then, a number of alternatives were proposed. The theories which predate the formulation of general relativity in 1915 are discussed in history of gravitational theory.

This section includes alternatives to general relativity published after general relativity but before the observations of galaxy rotation that led to the hypothesis of "dark matter". Those considered here include (see Will Lang):

Theories from 1917 to the 1980s.

Publication year(s)	Author(s)	Theory name	Theory type
1922	Alfred North Whitehead	Whitehead's theory of gravitation	Quasilinear
1922, 1923	Élie Cartan	Einstein–Cartan theory	Non-metric
1939	Markus Fierz, Wolfgang Pauli
1943	George David Birkhoff
1948	Edward Arthur Milne	Kinematic Relativity
1948	Yves Thiry
1954	Achilles Papapetrou		Scalar field
1953	Dudley E. Littlewood		Scalar field
1955	Pascual Jordan
1956	Otto Bergmann		Scalar field
1957	Frederik Belinfante, James C. Swihart
1958, 1973	Huseyin Yilmaz	Yilmaz theory of gravitation
1961	Carl H. Brans, Robert H. Dicke	Brans–Dicke theory	Scalar–tensor
1960, 1965	Gerald James Whitrow, G. E. Morduch		Scalar field
1966	Paul Kustaanheimo
1967	Paul Kustaanheimo, V. S. Nuotio
1968	Stanley Deser, B. E. Laurent		Quasilinear
1968	C. Page, B. O. J. Tupper		Scalar field
1968	Peter Bergmann		Scalar–tensor
1970	C. G. Bollini, J. J. Giambiagi, J. Tiomno		Quasilinear
1970	Kenneth Nordtvedt
1970	Robert V. Wagoner		Scalar–tensor
1971	Nathan Rosen		Scalar field
1975	Nathan Rosen		Bimetric
1972, 1973	Ni Wei-tou		Scalar field
1972	Clifford Martin Will, Kenneth Nordtvedt		Vector–tensor
1973	Ronald Hellings, Kenneth Nordtvedt		Vector–tensor
1973	Alan Lightman, David L. Lee		Scalar field
1974	David L. Lee, Alan Lightman, Ni Wei-tou
1977	Jacob Bekenstein		Scalar–tensor
1978	B. M. Barker		Scalar–tensor
1979	P. Rastall		Bimetric

These theories are presented here without a cosmological constant or added scalar or vector potential unless specifically noted, for the simple reason that the need for one or both of these was not recognized before the supernova observations by the Supernova Cosmology Project and High-Z Supernova Search Team. How to add a cosmological constant or quintessence to a theory is discussed under Modern Theories (see also Einstein–Hilbert action).

Scalar field theories

See also: Scalar theories of gravitation

The scalar field theories of Nordström have already been discussed. Those of Littlewood, Bergman, Yilmaz, Whitrow and Morduch and Page and Tupper follow the general formula give by Page and Tupper.

According to Page and Tupper, who discuss all these except Nordström, the general scalar field theory comes from the principle of least action:

$\delta \int f\left({\tfrac {\varphi }{c^{2}}}\right)\,ds=0$

where the scalar field is,

$\varphi ={\frac {GM}{r}}$

and c may or may not depend on $\varphi$.

In Nordström,

$f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2}),\qquad c=c_{\infty }$

In Littlewood and Bergmann,

$f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}-{\frac {(c/\varphi ^{2})^{2}}{2}}\right)\qquad c=c_{\infty }\,$

In Whitrow and Morduch,

$f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=1,\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,$

In Whitrow and Morduch,

$f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}\right),\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,$

In Page and Tupper,

$f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)={\frac {\varphi }{c^{2}}}+\alpha \left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)^{2},\qquad {\frac {c_{\infty }^{2}}{c^{2}}}=1+4\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)+(15+2\alpha )\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)^{2}$

Page and Tupper matches Yilmaz's theory to second order when $\alpha =-7/2$.

The gravitational deflection of light has to be zero when c is constant. Given that variable c and zero deflection of light are both in conflict with experiment, the prospect for a successful scalar theory of gravity looks very unlikely. Further, if the parameters of a scalar theory are adjusted so that the deflection of light is correct then the gravitational redshift is likely to be wrong.

Ni summarized some theories and also created two more. In the first, a pre-existing special relativity space-time and universal time coordinate acts with matter and non-gravitational fields to generate a scalar field. This scalar field acts together with all the rest to generate the metric.

The action is:

$S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}$

$L_{\varphi }=\varphi R-2g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi$

Misner et al. gives this without the $\varphi R$ term. $S_{m}$ is the matter action.

$\Box \varphi =4\pi T^{\mu \nu }\left[\eta _{\mu \nu }e^{-2\varphi }+\left(e^{2\varphi }+e^{-2\varphi }\right)\,\partial _{\mu }t\,\partial _{\nu }t\right]$

t is the universal time coordinate. This theory is self-consistent and complete. But the motion of the solar system through the universe leads to serious disagreement with experiment.

In the second theory of Ni there are two arbitrary functions $f(\varphi )$ and $k(\varphi )$ that are related to the metric by:

$ds^{2}=e^{-2f(\varphi )}dt^{2}-e^{2f(\varphi )}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]$

$\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi =4\pi \rho ^{*}k(\varphi )$

Ni quotes Rosen as having two scalar fields $\varphi$ and $\psi$ that are related to the metric by:

$ds^{2}=\varphi ^{2}\,dt^{2}-\psi ^{2}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]$

In Papapetrou the gravitational part of the Lagrangian is:

$L_{\varphi }=e^{\varphi }\left({\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{\varphi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)$

In Papapetrou there is a second scalar field $\chi$. The gravitational part of the Lagrangian is now:

$L_{\varphi }=e^{{\frac {1}{2}}(3\varphi +\chi )}\left(-{\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi -e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\chi }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{-\chi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)\,$

Bimetric theories

See also: Bimetric theory

Bimetric theories contain both the normal tensor metric and the Minkowski metric (or a metric of constant curvature), and may contain other scalar or vector fields.

Rosen (1975) bimetric theoryThe action is:

$S={1 \over 64\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-\eta }}\eta ^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }g^{\gamma \delta }(g_{\alpha \gamma |\mu }g_{\alpha \delta |\nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta |\mu }g_{\gamma \delta |\nu })+S_{m}$

$\Box _{\eta }g_{\mu \nu }-g^{\alpha \beta }\eta ^{\gamma \delta }g_{\mu \alpha |\gamma }g_{\nu \beta |\delta }=-16\pi G{\sqrt {g/\eta }}(T_{\mu \nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T)\,$

Lightman–Lee developed a metric theory based on the non-metric theory of Belinfante and Swihart. The result is known as BSLL theory. Given a tensor field $B_{\mu \nu }\,$, $B=B_{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }\,$, and two constants $a\,$ and $f\,$ the action is:

$S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}(aB^{\mu \nu |\alpha }B_{\mu \nu |\alpha }+fB_{,\alpha }B^{,\alpha })+S_{m}$

and the stress–energy tensor comes from:

$a\Box _{\eta }B^{\mu \nu }+f\eta ^{\mu \nu }\Box _{\eta }B=-4\pi G{\sqrt {g/\eta }}\,T^{\alpha \beta }\left({\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial B_{\mu }\nu }}\right)$

In Rastall, the metric is an algebraic function of the Minkowski metric and a Vector field. The Action is:

$S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}F(N)K^{\mu ;\nu }K_{\mu ;\nu }+S_{m}$

where

$F(N)=-{\frac {N}{2+N}}$ and $N=g^{\mu \nu }K_{\mu }K_{\nu }\;$

(see Will for the field equation for $T^{\mu \nu }\;$ and $K_{\mu }\;$).

Quasilinear theories

In Whitehead, the physical metric $g\;$ is constructed (by Synge) algebraically from the Minkowski metric $\eta \;$ and matter variables, so it doesn't even have a scalar field. The construction is:

$g_{\mu \nu }(x^{\alpha })=\eta _{\mu \nu }-2\int _{\Sigma ^{-}}{y_{\mu }^{-}y_{\nu }^{-} \over (w^{-})^{3}}\left[{\sqrt {-g}}\rho u^{\alpha }\,d\Sigma _{\alpha }\right]^{-}$

where the superscript (−) indicates quantities evaluated along the past $\eta \;$ light cone of the field point $x^{\alpha }\;$ and

${\begin{aligned}(y^{\mu })^{-}&=x^{\mu }-(x^{\mu })^{-},\qquad (y^{\mu })^{-}(y_{\mu })^{-}=0,\\[5pt]w^{-}&=(y^{\mu })^{-}(u_{\mu })^{-},\qquad (u_{\mu })={\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }},\\[5pt]d\sigma ^{2}&=\eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\end{aligned}}$

Nevertheless, the metric construction (from a non-metric theory) using the "length contraction" ansatz is criticised.

Deser and Laurent and Bollini–Giambiagi–Tiomno are Linear Fixed Gauge theories. Taking an approach from quantum field theory, combine a Minkowski spacetime with the gauge invariant action of a spin-two tensor field (i.e. graviton) $h_{\mu \nu }\;$ to define

$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }\;$

The action is:

$S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}\left[2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\mu \lambda }^{|\lambda }-2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\lambda |\mu }^{\lambda }+h_{\nu |\mu }^{\nu }h_{\lambda }^{\lambda |\mu }-h^{\mu \nu |\lambda }h_{\mu \nu |\lambda }\right]+S_{m}\;$

The Bianchi identity associated with this partial gauge invariance is wrong. Linear Fixed Gauge theories seek to remedy this by breaking the gauge invariance of the gravitational action through the introduction of auxiliary gravitational fields that couple to $h_{\mu \nu }\;$.

A cosmological constant can be introduced into a quasilinear theory by the simple expedient of changing the Minkowski background to a de Sitter or anti-de Sitter spacetime, as suggested by G. Temple in 1923. Temple's suggestions on how to do this were criticized by C. B. Rayner in 1955.

Tensor theories

Einstein's general relativity is the simplest plausible theory of gravity that can be based on just one symmetric tensor field (the metric tensor). Others include: Starobinsky (R+R^2) gravity, Gauss–Bonnet gravity, f(R) gravity, and Lovelock theory of gravity.

Starobinsky

See also: Starobinsky inflation

Starobinsky gravity, proposed by Alexei Starobinsky has the Lagrangian

${\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}\right]$

and has been used to explain inflation, in the form of Starobinsky inflation. Here $M$ is a constant.

Gauss–Bonnet

Gauss–Bonnet gravity has the action

${\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+R^{2}-4R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].$

where the coefficients of the extra terms are chosen so that the action reduces to general relativity in 4 spacetime dimensions and the extra terms are only non-trivial when more dimensions are introduced.

Stelle's 4th derivative gravity

Stelle's 4th derivative gravity, which is a generalization of Gauss–Bonnet gravity, has the action

${\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+f_{1}R^{2}+f_{2}R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+f_{3}R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].$

f(R)

f(R) gravity has the action

${\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}f(R)$

and is a family of theories, each defined by a different function of the Ricci scalar. Starobinsky gravity is actually an $f(R)$ theory.

Infinite derivative gravity

Infinite derivative gravity is a covariant theory of gravity, quadratic in curvature, torsion free and parity invariant,

${\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[M_{p}^{2}R+Rf_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R+R^{\mu \nu }f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].$

and

$2f_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+2f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)=0,$

in order to make sure that only massless spin −2 and spin −0 components propagate in the graviton propagator around Minkowski background. The action becomes non-local beyond the scale $M_{s}$, and recovers to general relativity in the infrared, for energies below the non-local scale $M_{s}$. In the ultraviolet regime, at distances and time scales below non-local scale, $M_{s}^{-1}$, the gravitational interaction weakens enough to resolve point-like singularity, which means Schwarzschild's singularity can be potentially resolved in infinite derivative theories of gravity.

Lovelock

Lovelock gravity has the action

${\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\ (\alpha _{0}+\alpha _{1}R+\alpha _{2}\left(R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)+\alpha _{3}{\mathcal {O}}(R^{3})),$

and can be thought of as a generalization of general relativity.

Scalar–tensor theories

See also: Scalar–tensor theory, Brans–Dicke theory, Dilaton, Chameleon particle, Pressuron, and Horndeski's theory

These all contain at least one free parameter, as opposed to general relativity which has no free parameters.

Although not normally considered a Scalar–Tensor theory of gravity, the 5 by 5 metric of Kaluza–Klein reduces to a 4 by 4 metric and a single scalar. So if the 5th element is treated as a scalar gravitational field instead of an electromagnetic field then Kaluza–Klein can be considered the progenitor of Scalar–Tensor theories of gravity. This was recognized by Thiry.

Scalar–Tensor theories include Thiry, Jordan, Brans and Dicke, Bergman, Nordtveldt (1970), Wagoner, Bekenstein and Barker.

The action $S\;$ is based on the integral of the Lagrangian $L_{\varphi }\;$.

$S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\;$

$L_{\varphi }=\varphi R-{\omega (\varphi ) \over \varphi }g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi +2\varphi \lambda (\varphi )\;$

$S_{m}=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,G_{N}L_{m}\;$

$T^{\mu \nu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {2 \over {\sqrt {g}}}{\delta S_{m} \over \delta g_{\mu \nu }}$

where $\omega (\varphi )\;$ is a different dimensionless function for each different scalar–tensor theory. The function $\lambda (\varphi )\;$ plays the same role as the cosmological constant in general relativity. $G_{N}\;$ is a dimensionless normalization constant that fixes the present-day value of $G\;$. An arbitrary potential can be added for the scalar.

The full version is retained in Bergman and Wagoner. Special cases are:

Nordtvedt, $\lambda =0\;$

Since $\lambda$ was thought to be zero at the time anyway, this would not have been considered a significant difference. The role of the cosmological constant in more modern work is discussed under Cosmological constant.

Brans–Dicke, $\omega \;$ is constant

Bekenstein variable mass theoryStarting with parameters $r\;$ and $q\;$, found from a cosmological solution,$\varphi =[1-qf(\varphi )]f(\varphi )^{-r}\;$ determines function $f\;$ then

$\omega (\varphi )=-\textstyle {\frac {3}{2}}-\textstyle {\frac {1}{4}}f(\varphi )[(1-6q)qf(\varphi )-1][r+(1-r)qf(\varphi )]^{-2}\;$

Barker constant G theory

$\omega (\varphi )={\frac {4-3\varphi }{2\varphi -2}}$

Adjustment of $\omega (\varphi )\;$ allows Scalar Tensor Theories to tend to general relativity in the limit of $\omega \rightarrow \infty \;$ in the current epoch. However, there could be significant differences from general relativity in the early universe.

So long as general relativity is confirmed by experiment, general Scalar–Tensor theories (including Brans–Dicke) can never be ruled out entirely, but as experiments continue to confirm general relativity more precisely and the parameters have to be fine-tuned so that the predictions more closely match those of general relativity.

The above examples are particular cases of Horndeski's theory, the most general Lagrangian constructed out of the metric tensor and a scalar field leading to second order equations of motion in 4-dimensional space. Viable theories beyond Horndeski (with higher order equations of motion) have been shown to exist.

Vector–tensor theories

Before we start, Will (2001) has said: "Many alternative metric theories developed during the 1970s and 1980s could be viewed as "straw-man" theories, invented to prove that such theories exist or to illustrate particular properties. Few of these could be regarded as well-motivated theories from the point of view, say, of field theory or particle physics. Examples are the vector–tensor theories studied by Will, Nordtvedt and Hellings."

Hellings and Nordtvedt and Will and Nordtvedt are both vector–tensor theories. In addition to the metric tensor there is a timelike vector field $K_{\mu }.$ The gravitational action is:

$S={\frac {1}{16\pi G}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[R+\omega K_{\mu }K^{\mu }R+\eta K^{\mu }K^{\nu }R_{\mu \nu }-\epsilon F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+\tau K_{\mu ;\nu }K^{\mu ;\nu }\right]+S_{m}$

where $\omega ,\eta ,\epsilon ,\tau$ are constants and

$F_{\mu \nu }=K_{\nu ;\mu }-K_{\mu ;\nu }.$ (See Will for the field equations for $T^{\mu \nu }$ and $K_{\mu }.$)

Will and Nordtvedt is a special case where

$\omega =\eta =\epsilon =0;\quad \tau =1$

Hellings and Nordtvedt is a special case where

$\tau =0;\quad \epsilon =1;\quad \eta =-2\omega$

These vector–tensor theories are semi-conservative, which means that they satisfy the laws of conservation of momentum and angular momentum but can have preferred frame effects. When $\omega =\eta =\epsilon =\tau =0$ they reduce to general relativity so, so long as general relativity is confirmed by experiment, general vector–tensor theories can never be ruled out.

Other metric theories

Others metric theories have been proposed; that of Bekenstein is discussed under Modern Theories.

Non-metric theories

See also: Einstein–Cartan theory and Cartan connection

Cartan's theory is particularly interesting both because it is a non-metric theory and because it is so old. The status of Cartan's theory is uncertain. Will claims that all non-metric theories are eliminated by Einstein's Equivalence Principle. Will (2001) tempers that by explaining experimental criteria for testing non-metric theories against Einstein's Equivalence Principle. Misner et al. claims that Cartan's theory is the only non-metric theory to survive all experimental tests up to that date and Turyshev lists Cartan's theory among the few that have survived all experimental tests up to that date. The following is a quick sketch of Cartan's theory as restated by Trautman.

Cartan suggested a simple generalization of Einstein's theory of gravitation. He proposed a model of space time with a metric tensor and a linear "connection" compatible with the metric but not necessarily symmetric. The torsion tensor of the connection is related to the density of intrinsic angular momentum. Independently of Cartan, similar ideas were put forward by Sciama, by Kibble in the years 1958 to 1966, culminating in a 1976 review by Hehl et al.

The original description is in terms of differential forms, but for the present article that is replaced by the more familiar language of tensors (risking loss of accuracy). As in general relativity, the Lagrangian is made up of a massless and a mass part. The Lagrangian for the massless part is:

${\begin{aligned}L&={1 \over 32\pi G}\Omega _{\nu }^{\mu }g^{\nu \xi }x^{\eta }x^{\zeta }\varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\\[5pt]\Omega _{\nu }^{\mu }&=d\omega _{\nu }^{\mu }+\omega _{\xi }^{\eta }\\[5pt]\nabla x^{\mu }&=-\omega _{\nu }^{\mu }x^{\nu }\end{aligned}}$

The $\omega _{\nu }^{\mu }\;$ is the linear connection. $\varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\;$ is the completely antisymmetric pseudo-tensor (Levi-Civita symbol) with $\varepsilon _{0123}={\sqrt {-g}}\;$, and $g^{\nu \xi }\,$ is the metric tensor as usual. By assuming that the linear connection is metric, it is possible to remove the unwanted freedom inherent in the non-metric theory. The stress–energy tensor is calculated from:

$T^{\mu \nu }={1 \over 16\pi G}(g^{\mu \nu }\eta _{\eta }^{\xi }-g^{\xi \mu }\eta _{\eta }^{\nu }-g^{\xi \nu }\eta _{\eta }^{\mu })\Omega _{\xi }^{\eta }\;$

The space curvature is not Riemannian, but on a Riemannian space-time the Lagrangian would reduce to the Lagrangian of general relativity.

Some equations of the non-metric theory of Belinfante and Swihart have already been discussed in the section on bimetric theories.

A distinctively non-metric theory is given by gauge theory gravity, which replaces the metric in its field equations with a pair of gauge fields in flat spacetime. On the one hand, the theory is quite conservative because it is substantially equivalent to Einstein–Cartan theory (or general relativity in the limit of vanishing spin), differing mostly in the nature of its global solutions. On the other hand, it is radical because it replaces differential geometry with geometric algebra.

Modern theories 1980s to present

В этот раздел включены альтернативы общей теории относительности, опубликованные после наблюдений вращения галактик, которые привели к гипотезе «темной материи». Не существует известного надежного списка для сравнения этих теорий. Здесь рассматриваются: Бекенштейн, Моффат, Моффат, Моффат. Эти теории представлены с космологической постоянной или добавленным скалярным или векторным потенциалом.

Мотивации

Мотивы для более поздних альтернатив общей теории относительности почти полностью космологические, связанные с такими конструкциями, как «инфляция», «темная материя» и «темная энергия», или заменяющие их. Основная идея состоит в том, что гравитация согласуется с общей теорией относительности в современную эпоху, но в ранней Вселенной она могла быть совершенно иной.

В 1980-х годах в мире физики медленно зарождалось осознание того, что существует несколько проблем, присущих нынешнему сценарию Большого взрыва, включая проблему горизонта и наблюдение о том, что в ранние времена, когда кварки только формировались, их было недостаточно. пространство во Вселенной содержит хотя бы один кварк. Теория инфляции была разработана для преодоления этих трудностей. Другой альтернативой было создание альтернативы общей теории относительности, согласно которой скорость света была выше в ранней Вселенной. Открытие неожиданных кривых вращения галактик застало всех врасплох. Может ли во Вселенной быть больше массы, чем мы думаем, или сама теория гравитации неверна? Сейчас консенсус заключается в том, что недостающая масса представляет собой «холодную темную материю», но этот консенсус был достигнут только после того, как были опробованы альтернативы общей теории относительности, и некоторые физики до сих пор полагают, что альтернативные модели гравитации могут дать ответ.

В 1990-х годах исследования сверхновых обнаружили ускоренное расширение Вселенной, которое теперь обычно приписывают темной энергии . Это привело к быстрому восстановлению космологической постоянной Эйнштейна, и квинтэссенция стала альтернативой космологической постоянной. По крайней мере, одна новая альтернатива общей теории относительности попыталась объяснить результаты исследований сверхновых совершенно по-другому. Измерение скорости гравитации с помощью гравитационного события GW170817 исключило многие альтернативные теории гравитации как объяснения ускоренного расширения. Еще одно наблюдение, которое вызвало недавний интерес к альтернативам общей теории относительности, — это аномалия Пионер . Вскоре было обнаружено, что альтернативы общей теории относительности могут объяснить эту аномалию. Сейчас считается, что это объясняется неоднородным тепловым излучением.

Космологическая константа и квинтэссенция

См. Также: Космологическая постоянная , действие Эйнштейна – Гильберта и Квинтэссенция (физика).

Космологическая постоянная $\Lambda \;$ — это очень старая идея, восходящая к Эйнштейну в 1917 году. Успех модели Вселенной Фридмана, в которой $\Lambda =0\;$ привело к общему признанию, что оно равно нулю, но использование ненулевого значения вернулось, когда данные о сверхновых показали, что расширение Вселенной ускоряется.

В ньютоновской гравитации добавление космологической постоянной меняет уравнение Ньютона – Пуассона на:

$\nabla ^{2}\varphi =4\pi \rho \ G;$

к

$\nabla ^{2}\varphi +{\frac {1}{2}}\Lambda c^{2}=4\pi \rho \ G;$

В общей теории относительности это меняет действие Эйнштейна – Гильберта с

$S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;$

к

$S={1 \over 16\pi G}\int (R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;$

что меняет уравнение поля на:

$T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\;$

к:

$T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R+g^{\mu \nu }\Lambda \right)\;$

В альтернативных теориях гравитации таким же образом к действию можно добавить космологическую постоянную.

В более общем смысле скалярный потенциал $\lambda (\varphi )\;$ могут быть добавлены к скалярным тензорным теориям. Это можно сделать в любой альтернативе общей теории относительности, содержащей скалярное поле. $\varphi \;$ добавив термин $\lambda (\varphi )\;$ внутри лагранжиана гравитационной части действия $L_{\varphi }\;$ часть

$S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,L_{\varphi }+S_{m}\;$

Потому что $\lambda (\varphi )\;$ является произвольной функцией скалярного поля, а не константой, его можно задать так, чтобы оно давало ускорение, большое в ранней Вселенной и малое в современную эпоху. Это известно как квинтэссенция.

Подобный метод можно использовать в альтернативах общей теории относительности, использующих векторные поля, включая Rastall. и векторно-тензорные теории. Член, пропорциональный

$K^{\mu }K^{\nu }g_{\mu \nu }\;$

добавляется к лагранжиану гравитационной части действия.

Теории Фарнса

В декабре 2018 года астрофизик Джейми Фарнс из Оксфордского университета предложил теорию темной жидкости , связанную с представлениями о гравитационно-отталкивающих отрицательных массах, которые ранее были представлены Альбертом Эйнштейном . Теория может помочь лучше понять значительные количества неизвестной темной материи и темной энергии во Вселенной .

Теория опирается на концепцию отрицательной массы и вновь вводит тензор сотворения Фреда Хойла , чтобы обеспечить создание материи только для частиц с отрицательной массой. Таким образом, частицы отрицательной массы окружают галактики и оказывают на них давление, напоминая темную материю. Поскольку эти предполагаемые частицы взаимно отталкивают друг друга, они раздвигают Вселенную, тем самым напоминая темную энергию. Создание материи позволяет плотности экзотических частиц с отрицательной массой оставаться постоянной как функция времени и поэтому выглядит как космологическая константа . Уравнения поля Эйнштейна модифицируются следующим образом:

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }^{+}+T_{\mu \nu }^{-}+C_{\mu \nu }\right)$

Согласно бритве Оккама, теория Фарнса является более простой альтернативой традиционной модели LambdaCDM, поскольку и темная энергия, и темная материя (две гипотезы) решаются с использованием одной жидкости с отрицательной массой (одна гипотеза). Теорию можно будет напрямую проверить с помощью крупнейшего в мире радиотелескопа Square Kilometer Array , который должен заработать в 2022 году.

Релятивистский МОНД

Основные статьи: Модифицированная ньютоновская динамика , Тензорно-векторно-скалярная гравитация и Расширенные теории гравитации.

Оригинальная теория МОНД Милгрома была разработана в 1983 году как альтернатива «темной материи». Отклонения от закона гравитации Ньютона определяются масштабом ускорения, а не масштабом расстояний. МОНД успешно объясняет наблюдение Талли-Фишера о том, что светимость галактики должна масштабироваться как четвертая степень скорости вращения. Это также объясняет, почему несоответствие вращения в карликовых галактиках особенно велико.

Вначале с MOND было несколько проблем.

1. Он не включал релятивистские эффекты.
2. Это нарушило закон сохранения энергии, импульса и момента импульса.
3. Оно было непоследовательным в том смысле, что давало разные галактические орбиты для газа и звезд.
4. В нем не говорилось, как рассчитать гравитационное линзирование скоплений галактик.

К 1984 году проблемы 2 и 3 были решены путем введения лагранжиана ( AQUAL ). Релятивистская версия этого явления, основанная на скалярно-тензорной теории, была отвергнута, поскольку она позволяла волнам в скалярном поле распространяться быстрее света. Лагранжиан нерелятивистской формы:

$L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}f\left\lbrack {\frac {|\nabla \varphi |^{2}}{a_{0}^{2}}}\right\rbrack -\rho \varphi$

Релятивистская версия этого имеет:

$L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}{\tilde {f}}\left(\ell _{0}^{2}g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi \right)$

с нестандартным массовым действием. Здесь $f$ и ${\tilde {f}}$ являются произвольными функциями, выбранными для обеспечения поведения Ньютона и MOND в правильных пределах, и $l_{0}=c^{2}/a_{0}\;$ — шкала длины MOND. К 1988 году второе скалярное поле (PCC) устранило проблемы с более ранней скалярно-тензорной версией, но противоречило прецессии перигелия Меркурия и гравитационному линзированию галактик и скоплений. К 1997 году МОНД был успешно включен в стратифицированную релятивистскую теорию [Сандерс], но, поскольку это теория предпочтительной системы отсчета , у нее есть свои проблемы. Бекенштейн представил тензорно-векторно-скалярную модель (TeVeS). Это имеет два скалярных поля $\varphi$ и $\sigma \;$ и векторное поле $U_{\alpha }$. Действие разделено на части для гравитации, скаляров, вектора и массы.

$S=S_{g}+S_{s}+S_{v}+S_{m}$

Гравитационная часть такая же, как и в общей теории относительности.

${\begin{aligned}S_{s}&=-{\frac {1}{2}}\int \left[\sigma ^{2}h^{\alpha \beta }\varphi _{,\alpha }\varphi _{,\beta }+{\frac {1}{2}}G\ell _{0}^{-2}\sigma ^{4}F(kG\sigma ^{2})\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{v}&=-{\frac {K}{32\pi G}}\int \left[g^{\alpha \beta }g^{\mu \nu }U_{[\alpha ,\mu ]}U_{[\beta ,\nu ]}-{\frac {2\lambda }{K}}\left(g^{\mu \nu }U_{\mu }U_{\nu }+1\right)\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{m}&=\int L\left({\tilde {g}}_{\mu \nu },f^{\alpha },f_{|\mu }^{\alpha },\ldots \right){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\end{aligned}}$

где

$h^{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }-U^{\alpha }U^{\beta }$

${\tilde {g}}^{\alpha \beta }=e^{2\varphi }g^{\alpha \beta }+2U^{\alpha }U^{\beta }\sinh(2\varphi )$

$k,K$ — константы, в индексах квадратные скобки $U_{[\alpha ,\mu ]}$ представляют собой антисимметризацию, $\lambda$ — множитель Лагранжа (рассчитанный в другом месте), а L — лагранжиан, переведенный из плоского пространства-времени в метрику ${\tilde {g}}^{\alpha \beta }$. Обратите внимание, что G не обязательно равна наблюдаемой гравитационной постоянной. $G_{Newton}$. F — произвольная функция, и

$F(\mu )={\frac {3}{4}}{\mu ^{2}(\mu -2)^{2} \over 1-\mu }$

приведен в качестве примера с правильной асимптотикой; обратите внимание, как оно становится неопределенным, когда $\mu =1$

Параметрические постньютоновские параметры этой теории рассчитываются в: который показывает, что все его параметры равны параметрам общей теории относительности, за исключением

${\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {4G}{K}}\left((2K-1)e^{-4\varphi _{0}}-e^{4\varphi _{0}}+8\right)-8\\[5pt]\alpha _{2}&={\frac {6G}{2-K}}-{\frac {2G(K+4)e^{4\varphi _{0}}}{(2-K)^{2}}}-1\end{aligned}}$

оба из которых выражены в геометрических единицах , где $c=G_{Newtonian}=1$; так

$G^{-1}={\frac {2}{2-K}}+{\frac {k}{4\pi }}.$

Теории Моффата

Дж. В. Моффат разработал несимметричную теорию гравитации . Это не метрическая теория. Впервые утверждалось, что она не содержит горизонта черной дыры, но Бурко и Ори обнаружили, что несимметричная теория гравитации может содержать черные дыры. Позже Моффат заявил, что его также применяли для объяснения кривых вращения галактик без привлечения «темной материи». Дамур, Дезер и Макарти раскритиковали несимметричную теорию гравитации, заявив, что она имеет неприемлемое асимптотическое поведение.

Математика несложна, но запутана, поэтому ниже приведен лишь краткий обзор. Начиная с несимметричного тензора $g_{\mu \nu }\;$, лагранжева плотность распадается на

$L=L_{R}+L_{M}\;$

где $L_{M}\;$ то же самое, что и для материи в общей теории относительности.

$L_{R}={\sqrt {-g}}\left[R(W)-2\lambda -{\frac {1}{4}}\mu ^{2}g^{\mu \nu }g_{[\mu \nu ]}\right]-{\frac {1}{6}}g^{\mu \nu }W_{\mu }W_{\nu }\;$

где $R(W)\;$ - это термин кривизны, аналогичный, но не равный кривизне Риччи в общей теории относительности, $\lambda \;$ и $\mu ^{2}\;$ являются космологическими константами, $g_{[\nu \mu ]}\;$ является антисимметричной частью $g_{\nu \mu }\;$. $W_{\mu }\;$ это соединение, и его немного сложно объяснить, поскольку оно определяется рекурсивно. Однако, $W_{\mu }\approx -2g_{[\mu \nu ]}^{,\nu }\;$

Хауган и Кауфманн использовали измерения поляризации света, излучаемого галактиками, чтобы наложить жесткие ограничения на величину некоторых параметров несимметричной теории гравитации. Они также использовали эксперименты Хьюза-Древера, чтобы ограничить оставшиеся степени свободы. Их ограничения на восемь порядков жестче, чем предыдущие оценки.

Моффата Теория метрической асимметричной тензорной гравитации (MSTG) способна предсказывать кривые вращения галактик без темной материи или MOND и утверждает, что она также может объяснить гравитационное линзирование скоплений галактик без темной материи. Он имеет переменную $G\;$, увеличиваясь до окончательного постоянного значения примерно через миллион лет после Большого взрыва.

Кажется, что теория содержит асимметричный тензор $A_{\mu \nu }\;$ поле и ток источника $J_{\mu }\;$ вектор. Действие разделено на:

$S=S_{G}+S_{F}+S_{FM}+S_{M}\;$

И гравитация, и масса соответствуют терминам общей теории относительности с космологической постоянной. Действие тела и связь материи тела:

$S_{F}=\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left({\frac {1}{12}}F_{\mu \nu \rho }F^{\mu \nu \rho }-{\frac {1}{4}}\mu ^{2}A_{\mu \nu }A^{\mu \nu }\right)\;$

$S_{FM}=\int d^{4}x\,\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }A_{\alpha \beta }\partial _{\mu }J_{\nu }\;$

где

$F_{\mu \nu \rho }=\partial _{\mu }A_{\nu \rho }+\partial _{\rho }A_{\mu \nu }$

и $\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }\;$ является символом Леви-Чивита . Связь по секулярному полю представляет собой связь Паули и является калибровочно-инвариантной для любого тока источника. Ток источника выглядит как фермионное поле материи, связанное с барионным и лептонным числом.

Скалярно-тензорно-векторная гравитация

Основная статья: Скалярно-тензорно-векторная гравитация

Моффата. Скалярно-тензорно-векторная гравитация содержит тензор, вектор и три скалярных поля. Но уравнения довольно просты. Действие разделено на: $S=S_{G}+S_{K}+S_{S}+S_{M}$ с условиями гравитации, векторного поля $K_{\mu },$ скалярные поля $G,\omega ,\mu$ и масса. $S_{G}$ является стандартным гравитационным термином, за исключением того, что $G$ перемещается внутри интеграла.

$S_{K}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\omega \left({\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }+V(K)\right),\qquad {\text{where }}\quad B_{\mu \nu }=\partial _{\mu }K_{\nu }-\partial _{\nu }K_{\mu }.$

$S_{S}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}{\frac {1}{G^{3}}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }G\,\nabla _{\nu }G-V(G)\right)+{\frac {1}{G}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\omega \,\nabla _{\nu }\omega -V(\omega )\right)+{1 \over \mu ^{2}G}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\mu \,\nabla _{\nu }\mu -V(\mu )\right).$

Потенциальная функция векторного поля выбирается следующей:

$V(K)=-{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }-{\frac {1}{4}}g\left(\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }\right)^{2}$

где $g$ является константой связи. Функции, предполагаемые для скалярных потенциалов, не указаны.

Бесконечная производная гравитация

Основная статья: Бесконечная производная гравитация

Чтобы удалить призраки в модифицированном пропагаторе, а также получить асимптотическую свободу, Бисвас, Мазумдар и Сигел (2005) рассмотрели струнный бесконечный набор членов высших производных.

$S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}\left({\frac {R}{2}}+RF(\Box )R\right)$

где $F(\Box )$ является экспонентой целой функции оператора Даламбера . Это позволяет избежать сингулярности черной дыры вблизи начала координат и восстановить падение потенциала общей теории относительности на 1/r на больших расстояниях. Лусто и Маццителли (1997) нашли точное решение этой теории, представляющее гравитационную ударную волну.

Общая теория относительности самодействия (GRSI)

Общая теория относительности самодействия или модель GRSI. представляет собой попытку объяснить астрофизические и космологические наблюдения без темной материи и темной энергии путем добавления членов самодействия при расчете гравитационных эффектов в общей теории относительности , аналогичных терминам самодействия в квантовой хромодинамике . Кроме того, модель объясняет соотношение Талли-Фишера : отношение радиального ускорения , наблюдения, которые в настоящее время сложно понять в рамках Lambda-CDM .

Тестирование альтернатив общей теории относительности

Основная статья: Тесты общей теории относительности

Любая предполагаемая альтернатива общей теории относительности должна будет пройти множество тестов, чтобы стать принятой. Подробное описание этих тестов см. в Misner et al. Глава 39, Уилл Таблица 2.1 и Ni. Большинство таких тестов можно отнести к следующим подразделам.

Самосогласованность

Самосогласованность среди неметрических теорий включает в себя исключение теорий, допускающих тахионы , призрачные полюса и полюса более высокого порядка, а также тех, у которых есть проблемы с поведением на бесконечности. Среди метрических теорий самосогласованность лучше всего иллюстрируется описанием нескольких теорий, которые не прошли этот тест. Классическим примером является теория поля со спином два Фирца и Паули; уравнения поля предполагают, что гравитирующие тела движутся по прямым линиям, тогда как уравнения движения утверждают, что гравитация отклоняет тела от прямолинейного движения. Йылмаз (1971) содержит тензорное гравитационное поле, используемое для построения метрики; это математически противоречиво, поскольку функциональная зависимость метрики от тензорного поля четко не определена.

Полнота

Чтобы быть полной, теория гравитации должна быть способна анализировать результаты каждого интересующего эксперимента. Поэтому она должна согласовываться с электромагнетизмом и всей остальной физикой. Например, любая теория, которая не может предсказать на основе первых принципов движение планет или поведение атомных часов, является неполной.

Многие ранние теории неполны, поскольку неясно, является ли плотность $\rho$ используемый теорией, должен рассчитываться из тензора энергии-импульса $T$ как $\rho =T_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }$ или как $\rho =T_{\mu \nu }\delta ^{\mu \nu }$, где $u$ - четырехскоростная , и $\delta$ это дельта Кронекера . Теории Тирри (1948) и Джордана являются неполными, если только параметр Жордана $\eta \;$ установлено значение -1, и в этом случае они соответствуют теории Бранса – Дике. и поэтому заслуживают дальнейшего рассмотрения. Милн является неполным, поскольку не дает предсказаний по гравитационному красному смещению. Теории Уитроу и Мордуха. Племя Кустаан и Кустаанхеймо и Нуотио являются либо неполными, либо противоречивыми. Включение уравнений Максвелла является неполным, если не предположить, что они наложены на плоское фоновое пространство-время, и когда это делается, они становятся противоречивыми, поскольку они предсказывают нулевое гравитационное красное смещение, когда используется волновая версия света (теория Максвелла). и ненулевое красное смещение, когда используется версия частицы (фотона). Другой, более очевидный пример — ньютоновская гравитация с уравнениями Максвелла; свет в виде фотонов отклоняется гравитационными полями (вполовину меньше, чем в общей теории относительности), а свет в виде волн — нет.

Классические тесты

Основная статья: Тесты общей теории относительности

Существует три «классических» теста (начиная с 1910-х годов или ранее) способности теорий гравитации учитывать релятивистские эффекты; это гравитационное красное смещение , гравитационное линзирование (обычно тестируемое вокруг Солнца) и аномальное смещение перигелия планет. Каждая теория должна воспроизводить наблюдаемые результаты в этих областях, которые на сегодняшний день всегда соответствуют предсказаниям общей теории относительности. В 1964 году Ирвин И. Шапиро обнаружил четвертый тест, названный задержкой Шапиро . Его также обычно считают «классическим» тестом.

Соглашение с механикой Ньютона и специальной теорией относительности.

В качестве примера несогласия с экспериментами Ньютона Биркгоф Теория достаточно надежно предсказывает релятивистские эффекты, но требует, чтобы звуковые волны распространялись со скоростью света. Это было следствием допущения, сделанного для упрощения обработки столкновения масс.

Принцип эквивалентности Эйнштейна

Основная статья: Принцип эквивалентности

Принцип эквивалентности Эйнштейна состоит из трех компонентов. Во-первых, это уникальность свободного падения, также известная как принцип слабой эквивалентности. Это выполняется, если инертная масса равна гравитационной массе. η — параметр, используемый для проверки максимально допустимого нарушения принципа слабой эквивалентности. Первые испытания принципа слабой эквивалентности были проведены Этвёшем до 1900 года и ограничили η менее чем 5 × 10. ⁻⁹ . Современные тесты сократили это значение до менее чем 5 × 10. ⁻¹³ . Второе — лоренц-инвариантность. В отсутствие гравитационных эффектов скорость света постоянна. Тестовым параметром для этого является δ . Первые тесты лоренц-инвариантности были проведены Майкельсоном и Морли до 1890 года и ограничили δ величиной менее 5 × 10. ⁻³ . Современные тесты снизили это значение до менее чем 1 × 10. ⁻²¹ . Третий — локальная позиционная инвариантность, которая включает пространственную и временную инвариантность. Результат любого локального негравитационного эксперимента не зависит от того, где и когда он проводится. Пространственная локальная инвариантность положения проверяется с помощью измерений гравитационного красного смещения. Тестовым параметром для этого является α . Верхние пределы этого значения, установленные Паундом и Ребкой в ​​1960 году, ограничивали значение α менее 0,1. Современные тесты снизили это значение до менее чем 1 × 10. ⁻⁴ .

Гипотеза Шиффа утверждает, что любая полная, самосогласованная теория гравитации, воплощающая слабый принцип эквивалентности, обязательно воплощает принцип эквивалентности Эйнштейна. Это, вероятно, верно, если теория имеет полное сохранение энергии. Метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. Крайне немногие неметрические теории удовлетворяют этому требованию. Например, неметрическая теория Белинфанте и Свихарта. устраняется формализмом THεμ для проверки принципа эквивалентности Эйнштейна. Гравитация калибровочной теории является заметным исключением, где сильный принцип эквивалентности по существу представляет собой минимальную связь калибровочной ковариантной производной .

Параметрический постньютоновский формализм

Основная статья: Параметризованный постньютоновский формализм

См. также «Тесты общей теории относительности» , Misner et al. и Уилл для получения дополнительной информации.

Работа над разработкой стандартизированного, а не специального набора тестов для оценки альтернативных моделей гравитации началась с Эддингтона в 1922 году и привела к созданию стандартного набора параметрических постньютоновских чисел в Нордтведте и Уилле. и Уилл и Нордтведт. Каждый параметр измеряет отдельный аспект того, насколько теория отклоняется от ньютоновской гравитации. Поскольку здесь мы говорим об отклонении от теории Ньютона, они измеряют только эффекты слабого поля. Эффекты сильных гравитационных полей будут рассмотрены позже.

Вот эти десять: $\gamma ,\beta ,\eta ,\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4}.$

• $\gamma$ является мерой кривизны пространства, равной нулю для ньютоновской гравитации и единице для общей теории относительности.
• $\beta$ является мерой нелинейности при добавлении гравитационных полей, одной из мер общей теории относительности.
• $\eta$ — это проверка эффектов предпочтительного местоположения.
• $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ измерить степень и характер «эффектов предпочтительной системы координат». Любая теория гравитации, в которой хотя бы один из трех ненулевой, называется теорией выделенной системы отсчета.
• $\zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4},\alpha _{3}$ измерить степень и характер нарушений глобальных законов сохранения. Теория гравитации обладает четырьмя законами сохранения энергии-импульса и шестью законами сохранения углового момента только в том случае, если все пять равны нулю.

Сильная гравитация и гравитационные волны

Основная статья: Тесты общей теории относительности

Параметрический постньютоновский подход является лишь мерой эффектов слабого поля. Сильные гравитационные эффекты можно наблюдать в компактных объектах, таких как белые карлики, нейтронные звезды и черные дыры. Экспериментальные тесты, такие как стабильность белых карликов, скорость вращения пульсаров, орбиты двойных пульсаров и существование горизонта черной дыры, могут быть использованы в качестве тестов, альтернативных общей теории относительности. Общая теория относительности предсказывает, что гравитационные волны распространяются со скоростью света. Многие альтернативы общей теории относительности утверждают, что гравитационные волны движутся быстрее света, возможно, нарушая причинно-следственную связь. После обнаружения с помощью нескольких сообщений слияния нейтронных звезд GW170817 , где было измерено, что световые и гравитационные волны движутся с одинаковой скоростью с ошибкой 1/10. ¹⁵ , многие из этих модифицированных теорий гравитации были исключены.

Космологические тесты

Полезные тесты космологического масштаба только начинают становиться доступными. Учитывая ограниченность астрономических данных и сложность теорий, сравнения включают сложные параметры. Например, Рейес и др., проанализировали 70 205 светящихся красных галактик с помощью взаимной корреляции, включающей оценки скорости галактик и гравитационные потенциалы, оцененные с помощью линзирования, но результаты все еще являются предварительными.

Для тех теорий, которые стремятся заменить темную материю, такие наблюдения, как кривая вращения галактики , соотношение Талли-Фишера , более высокая скорость вращения карликовых галактик и гравитационное линзирование ограничениями выступают из-за галактических скоплений. Для теорий, которые стремятся заменить инфляцию размер пульсаций в спектре космического микроволнового фонового излучения , самым строгим критерием является . Для тех теорий, которые включают или стремятся заменить темную энергию, в качестве тестов можно использовать результаты яркости сверхновой и возраста Вселенной. Еще одним испытанием является плоскостность Вселенной. Согласно общей теории относительности, сочетание барионной материи, темной материи и темной энергии делает Вселенную абсолютно плоской.

Результаты проверки теорий

Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий

(См. Уилл и Ни для более подробной информации. Миснер и др. дает таблицу перевода параметров из обозначения Ni в обозначение Will)

Общей теории относительности уже более 100 лет, в течение которых одна альтернативная теория гравитации за другой не согласовывалась со все более точными наблюдениями. Одним из показательных примеров является параметризованный постньютоновский формализм . В следующей таблице перечислены параметрические постньютоновские значения для большого количества теорий. Если значение в ячейке совпадает со значением в заголовке столбца, то полную формулу будет слишком сложно включать сюда.

	$\gamma$	$\beta$	$\xi$	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	$\alpha _{3}$	$\zeta _{1}$	$\zeta _{2}$	$\zeta _{3}$	$\zeta _{4}$
Общая теория относительности Эйнштейна	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
Скалярно-тензорные теории
Бергманн, Вагонер	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	$\beta$	0	0	0	0	0	0	0	0
Нордтведт, Бекенштейн	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	$\beta$	0	0	0	0	0	0	0	0
Бранс-Дике	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	1	0	0	0	0	0	0	0	0
Векторно-тензорные теории
Хеллингс-Нордтведт	$\gamma$	$\beta$	0	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
Уилл-Нордтведт	1	1	0	0	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
Биметрические теории
Розен	1	1	0	0	$c_{0}/c_{1}-1$	0	0	0	0	0
Расталл	1	1	0	0	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
Лайтман-Ли	$\gamma$	$\beta$	0	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
Стратифицированные теории
Ли-Лайтман-Ни	$ac_{0}/c_{1}$	$\beta$	$\xi$	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
В	$ac_{0}/c_{1}$	$bc_{0}$	0	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
Скалярные теории поля
Эйнштейн (1912) {Не общая теория относительности}	0	0		-4	0	-2	0	-1	0	0†
Уитроу – Мордух	0	-1		-4	0	0	0	−3	0	0†
Розен	$\lambda$	$\textstyle {\frac {3}{4}}+\textstyle {\frac {\lambda }{4}}$		$-4-4\lambda$	0	-4	0	-1	0	0
Папапетру	1	1		-8	-4	0	0	2	0	0
В (стратифицированный)	1	1		-8	0	0	0	2	0	0
Йылмаз (1962)	1	1		-8	0	-4	0	-2	0	-1†
Пейдж – Таппер	$\gamma$	$\beta$		$-4-4\gamma$	0	$-2-2\gamma$	0	$\zeta _{2}$	0	$\zeta _{4}$
Нордстрем	$-1$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$		0	0	0	0	0	0	0†
Нордстрем, Эйнштейн-Фоккер	$-1$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$		0	0	0	0	0	0	0
В (плоский)	$-1$	$1-q$		0	0	0	0	$\zeta _{2}$	0	0†
Уитроу – Мордух	$-1$	$1-q$		0	0	0	0	д	0	0†
Литлвуд, Бергман	$-1$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$		0	0	0	0	-1	0	0†

† Теория неполна, и $\zeta _{4}$ может принимать одно из двух значений. В списке указано значение, наиболее близкое к нулю.

На данный момент все экспериментальные тесты согласуются с общей теорией относительности, и поэтому параметрический постньютоновский анализ немедленно исключает все скалярные теории поля в таблице. Полный список параметрических постньютоновских параметров Уайтхеда недоступен. Десерт-Лоран, Боллини–Джамбьяджи–Тиомино, но в этих трех случаях $\beta =\xi$, что находится в сильном противоречии с общей теорией относительности и экспериментальными результатами. В частности, эти теории предсказывают неправильные амплитуды земных приливов. (Небольшая модификация теории Уайтхеда позволяет избежать этой проблемы. Однако модификация предсказывает эффект Нордтведта , который был ограничен экспериментально.)

Теории, которые не проходят другие проверки

Стратифицированные теории Ni, Ли Лайтман и Ни являются неудачными, потому что все они не могут объяснить продвижение перигелия Меркурия. Биметрические теории Лайтмана и Ли. Розен, Расталл все они не проходят некоторые тесты, связанные с сильными гравитационными полями. Скалярно-тензорные теории включают общую теорию относительности как частный случай, но согласуются с параметрическими постньютоновскими значениями общей теории относительности только тогда, когда они равны общей теории относительности с точностью до экспериментальной ошибки. По мере того как экспериментальные тесты становятся более точными, отклонение скалярно-тензорных теорий от общей теории относительности сводится к нулю. То же самое и с векторно-тензорными теориями: отклонение векторно-тензорных теорий от общей теории относительности сводится к нулю. Кроме того, векторно-тензорные теории полуконсервативны; они имеют ненулевое значение для $\alpha _{2}$ которые могут оказать измеримое влияние на приливы и отливы на Земле. Неметрические теории, такие как Белинфанте и Суихарт, обычно не согласуются с экспериментальными проверками принципа эквивалентности Эйнштейна. И это не оставляет в качестве вероятной альтернативы общей теории относительности ничего, кроме, возможно, Картана. Так было до тех пор, пока космологические открытия не подтолкнули к развитию современных альтернатив.

Внешние ссылки

• Кэрролл, Шон . Обсуждение видеолекций о возможностях и ограничениях пересмотра общей теории относительности. Темная энергия или что еще хуже: был ли Эйнштейн не прав? на YouTube