Модель Солоу – Свона

Модель Солоу-Свона или модель экзогенного роста представляет собой экономическую модель долгосрочного экономического роста . Он пытается объяснить долгосрочный экономический рост, рассматривая накопление капитала , рост рабочей силы или населения , а также рост производительности, в значительной степени обусловленный технологическим прогрессом . По своей сути это совокупная производственная функция , которую часто называют типом Кобба-Дугласа , что позволяет модели «вступить в контакт с микроэкономикой ». ^[1]^: 26 Модель была независимо разработана Робертом Солоу и Тревором Своном в 1956 году. ^[2]^[3]^{[примечание 1]} и заменил кейнсианскую модель Харрода-Домара .

С математической точки зрения модель Солоу – Свона представляет собой нелинейную систему, состоящую из одного обыкновенного дифференциального уравнения , которое моделирует эволюцию на душу населения запаса капитала . Благодаря своим особенно привлекательным математическим характеристикам, Солоу-Свон оказался удобной отправной точкой для различных расширений. Например, в 1965 году Дэвид Касс и Тьяллинг Купманс объединили Фрэнка Рэмси : анализ потребительской оптимизации ^[4] тем самым эндогенизируя ^[5] норма сбережений , чтобы создать то, что сейчас известно как модель Рэмси-Кэсса-Купманса .

Фон

Модель Солоу-Свона была расширением модели Харрода-Домара 1946 года, в которой было снято ограничительное предположение о том, что только капитал способствует экономическому росту (при условии, что существует достаточно рабочей силы для использования всего капитала). Важный вклад в эту модель внесла работа Солоу и Свона в 1956 году, которые независимо друг от друга разработали относительно простые модели роста. ^[2]^[3] Модель Солоу с некоторым успехом соответствовала имеющимся данным об экономическом росте США . ^[6] В 1987 году Солоу был удостоен Нобелевской премии по экономике за свою работу. Сегодня экономисты используют учет источников роста Солоу для оценки отдельного воздействия на экономический рост технологических изменений, капитала и рабочей силы. ^[7]

Модель Солоу также является одной из наиболее широко используемых моделей в экономике для объяснения экономического роста. ^[8] По сути, он утверждает, что результаты «общей факторной производительности (СФП) могут привести к безграничному повышению уровня жизни в стране». ^[8]

Расширение модели Харрода – Домара.

Солоу расширил модель Харрода-Домара, добавив труд как фактор производства и коэффициенты капиталоемкости, которые не фиксированы, как в модели Харрода-Домара. Эти уточнения позволяют повышение капиталоемкости отличить от технологического прогресса. Солоу рассматривает производственную функцию с фиксированными пропорциями как «решающее допущение» для результатов нестабильности в модели Харрода-Домара. Его собственная работа расширяет эту тему, исследуя последствия альтернативных спецификаций, а именно модели Кобба-Дугласа и более общей постоянной эластичности замещения (CES) . ^[2] Хотя это стало канонической и знаменитой историей ^[9] в истории экономики, представленной во многих экономических учебниках, ^[10] недавняя переоценка работы Харрода поставила это под сомнение. Одна из основных критических замечаний заключается в том, что оригинальная пьеса Харрода ^[11] он не был в основном озабочен экономическим ростом и не использовал явно производственные функции с фиксированными пропорциями. ^[10]^[12]

Долгосрочные последствия

Стандартная модель Солоу предсказывает, что в долгосрочной перспективе экономики придут к сбалансированному равновесному росту и что постоянный рост дохода на душу населения достижим только за счет технологического прогресса. Оба изменения в сбережениях и росте населения вызывают только эффект уровня в долгосрочном периоде (т.е. в абсолютном значении реального дохода на душу населения).Интересным следствием модели Солоу является то, что бедные страны должны расти быстрее и в конечном итоге догнать более богатые страны. Такое сближение можно объяснить: ^[13]

Задержки в распространении знаний. Различия в реальных доходах могут сократиться по мере того, как бедные страны будут получать более качественные технологии и информацию;
Эффективное распределение международных потоков капитала, поскольку норма прибыли на капитал должна быть выше в более бедных странах. На практике это наблюдается редко и известно как парадокс Лукаса ;
Математическое значение модели (при условии, что бедные страны еще не достигли устойчивого состояния).

Баумол попытался проверить это эмпирически и обнаружил очень сильную корреляцию между ростом производства страны в течение длительного периода времени (с 1870 по 1979 год) и ее первоначальным богатством. ^[14] Его выводы позже были оспорены Делонгом , который утверждал, что как неслучайность стран, включенных в выборку, так и вероятность значительных ошибок измерения оценок реального дохода на душу населения в 1870 году исказили выводы Баумоля. Делонг заключает, что доказательств в поддержку теории конвергенции мало.

Предположения

капитал подвержен убывающей отдаче Ключевое предположение модели роста Солоу-Свона заключается в том, что в закрытой экономике .

При фиксированном запасе труда влияние на выпуск последней накопленной единицы капитала всегда будет меньше, чем предыдущее.
Если для простоты предположить отсутствие технологического прогресса или роста рабочей силы, убывающая отдача означает, что в какой-то момент количества нового произведенного капитала будет достаточно, чтобы компенсировать количество существующего капитала, потерянного из-за амортизации. ^[1] На данный момент, из-за предположений об отсутствии технологического прогресса или роста рабочей силы, мы видим, что экономика перестает расти.
Если предположить, что темпы роста рабочей силы не равны нулю, ситуация несколько усложняется, но основная логика по-прежнему применима. ^[2] – в краткосрочной перспективе темпы роста замедляются по мере того, как начинает действовать уменьшающаяся отдача, и экономика приближается к постоянным «стационарным» темпам роста (то есть к отсутствию экономического роста на душу населения).
Включение ненулевого технологического прогресса очень похоже на предположение о ненулевом росте рабочей силы с точки зрения «эффективного труда»: новое устойчивое состояние достигается при постоянной производительности на рабочий час, необходимой для единицы продукции . Однако в этом случае выпуск продукции на душу населения растет темпами технического прогресса в «стационарном» состоянии. ^[3] (то есть темпы роста производительности ).

Изменения в эффектах производительности

В модели Солоу-Свона необъяснимое изменение роста выпуска после учета эффекта накопления капитала называется остатком Солоу . Этот остаток измеряет экзогенное увеличение общей факторной производительности (СФП) в течение определенного периода времени. Увеличение СФП часто полностью объясняется технологическим прогрессом, но оно также включает в себя любое постоянное повышение эффективности, с которой факторы производства комбинируются с течением времени. Подразумевается, что рост СФП включает в себя любые постоянные улучшения производительности, возникающие в результате совершенствования методов управления в частном или государственном секторах экономики. Парадоксально, но хотя рост СФП в модели является экзогенным, его невозможно наблюдать, поэтому его можно оценить только в сочетании с одновременной оценкой влияния накопления капитала на экономический рост в течение определенного периода времени.

Модель можно переформулировать несколько иначе, используя разные предположения о производительности или разные показатели измерения:

Средняя производительность труда ( ALP ) — это экономический выпуск на один человеко-час.
Многофакторная производительность ( МФП ) — это объем выпуска, разделенный на средневзвешенное значение капитальных и трудовых затрат. Используемые веса обычно основаны на совокупных долях затрат, которые получает каждый из факторов. Это соотношение часто называют следующим: 33% рентабельности капитала и 67% рентабельности труда (в западных странах).

В растущей экономике капитал накапливается быстрее, чем рождаются люди, поэтому знаменатель в функции роста при расчете MFP растет быстрее, чем при расчете ALP. Следовательно, рост MFP почти всегда ниже, чем рост ALP. (Поэтому измерение в терминах ALP увеличивает видимый эффект увеличения капитала .) MFP измеряется по « остатку Солоу », а не по ALP.

Математика модели

Действие хрестоматийной модели Солоу – Свона происходит в мире непрерывного времени, в котором нет правительства и международной торговли. Один товар (выпуск) производится с использованием двух факторов производства : труда ( $L$ ) и капитал ( $K$ ) в совокупной производственной функции , удовлетворяющей условиям Инады , из которых следует, что эластичность замещения должна быть асимптотически равна единице. ^[15]^[16]

Y(t)=K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }\,

где $t$ обозначает время, $0<\alpha <1$ - эластичность выпуска по отношению к капиталу, и $Y(t)$ представляет собой общий объем производства. $A$ относится к технологиям, увеличивающим труд, или « знаниям », таким образом $AL$ представляет собой эффективный труд. Все факторы производства задействованы полностью, а первоначальные значения $A(0)$ , $K(0)$ , и $L(0)$ даны. Число рабочих, т. е. рабочей силы, а также уровень технологии растут экзогенно темпами $n$ и $g$ , соответственно:

L(t)=L(0)e^{nt}

A(t)=A(0)e^{gt}

Количество эффективных единиц труда, $A(t)L(t)$ , поэтому растет со скоростью $(n+g)$ . При этом запасы капитала со временем обесцениваются с постоянной скоростью. $\delta$ . Однако только часть результатов ( $cY(t)$ с $0<c<1$ ) потребляется , оставляя сохраненную долю $s=1-c$ для инвестиций . Эта динамика выражается через следующее дифференциальное уравнение :

{\dot {K}}(t)=s\cdot Y(t)-\delta \cdot K(t)\,

где ${\dot {K}}$ это сокращение от ${\frac {dK(t)}{dt}}$ , производная по времени. Производная по времени означает, что это изменение основного капитала — продукция, которая не потребляется и не используется для замены изношенных старых капитальных товаров, представляет собой чистые инвестиции.

Поскольку производственная функция $Y(K,AL)$ имеет постоянную отдачу от масштаба , ее можно записать как выпуск на эффективную единицу труда. $y$ , что является мерой создания богатства: ^{[примечание 2]}

y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}=k(t)^{\alpha }

Основной интерес модели представляет динамика капиталоемкости. $k$ , основной капитал на единицу эффективной рабочей силы. Его поведение во времени описывается ключевым уравнением модели Солоу – Свона: ^{[примечание 3]}

{\dot {k}}(t)=sk(t)^{\alpha }-(n+g+\delta )k(t)

Первый срок, $sk(t)^{\alpha }=sy(t)$ , — фактические инвестиции на единицу эффективного труда: дробь $s$ продукции на единицу эффективного труда $y(t)$ то, что сохраняется и инвестируется. Второй срок, $(n+g+\delta )k(t)$ , – это «инвестиции безубыточности»: сумма инвестиций, которую необходимо вложить, чтобы предотвратить $k$ от падения. ^[17]^: 16 Из уравнения следует, что $k(t)$ сходится к установившемуся значению $k^{*}$ , определяемый $sk(t)^{\alpha }=(n+g+\delta )k(t)$ , при котором не происходит ни увеличения, ни уменьшения фондоемкости:

k^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{1/(1-\alpha )}\,

при котором запас капитала $K$ и эффективный труд $AL$ растут темпами $(n+g)$ . Аналогичным образом можно рассчитать устойчивое состояние созданного богатства. $y^{*}$ что соответствует $k^{*}$ :

y^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{\alpha /(1-\alpha )}\,

В предположении постоянной доходности объем выпуска $Y$ также растет такими темпами. По сути, модель Солоу-Свона предсказывает, что экономика будет стремиться к равновесию сбалансированного роста , независимо от его отправной точки. В этой ситуации рост выработки на одного работающего определяется исключительно темпами технического прогресса . ^[17]^: 18

Поскольку по определению ${\frac {K(t)}{Y(t)}}=k(t)^{1-\alpha }$ , в состоянии равновесия $k^{*}$ у нас есть

{\frac {K(t)}{Y(t)}}={\frac {s}{n+g+\delta }}

Следовательно, в равновесии соотношение капитала к выпуску зависит только от норм сбережений, роста и амортизации. Это версия золотого правила нормы сбережений, предложенная моделью Солоу-Свона .

С ${\alpha }<1$ , в любое время $t$ предельный продукт капитала $K(t)$ в модели Солоу – Свона обратно пропорциональна соотношению капитала и рабочей силы.

MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }}{(K/L)^{1-\alpha }}}

Если производительность $A$ одинаково во всех странах, затем в странах с меньшим капиталом на одного работника $K/L$ иметь более высокий предельный продукт, который обеспечит более высокую отдачу от капитальных вложений. Как следствие, модель предсказывает, что в мире открытой рыночной экономики и глобального финансового капитала инвестиции будут перетекать из богатых стран в бедные страны до тех пор, пока капитал/работники не начнут перетекать из богатых стран в бедные страны. $K/L$ и доход/работник $Y/L$ уравнять ситуацию между странами.

Поскольку предельный продукт физического капитала в бедных странах не выше, чем в богатых странах, ^[18] вывод состоит в том, что производительность труда ниже в бедных странах. Базовая модель Солоу не может объяснить, почему производительность в этих странах ниже. Лукас предположил, что более низкий уровень человеческого капитала в бедных странах может объяснить более низкую производительность. ^[19]

Поскольку предельный продукт капитала ${\frac {\partial Y}{\partial K}}$ равна норме прибыли $r$

\alpha ={\frac {K{\frac {\partial Y}{\partial K}}}{Y}}={\frac {rK}{Y}}\,

так что $\alpha$ представляет собой долю дохода, присваиваемую капиталом. Таким образом, модель Солоу-Свона с самого начала предполагает, что соотношение дохода на труд и капитал является постоянным.

Версия модели Мэнкива – Ромера – Вейля

Добавление человеческого капитала

В 1992 году Н. Грегори Мэнкью , Дэвид Ромер и Дэвид Н. Вейл выдвинули теорию версии модели Солоу-Свона, дополненной включением роли человеческого капитала , которая может объяснить неспособность международных инвестиций поступать в бедные страны. ^[20] В этой модели объем производства и предельный продукт капитала (K) ниже в бедных странах, поскольку в них меньше человеческого капитала, чем в богатых странах.

Подобно модели Солоу–Свона из учебника, производственная функция имеет тип Кобба–Дугласа:

Y(t)=K(t)^{\alpha }H(t)^{\beta }(A(t)L(t))^{1-\alpha -\beta },

где $H(t)$ это запас человеческого капитала, который обесценивается с одинаковой скоростью $\delta$ как физический капитал. Для простоты они предполагают одну и ту же функцию накопления для обоих типов капитала. Как и в случае Солоу-Свона, часть результата $sY(t)$ , сохраняется каждый период, но в этом случае разделяется и инвестируется частично в физический и частично в человеческий капитал, так что $s=s_{K}+s_{H}$ . Следовательно, в этой модели есть два фундаментальных динамических уравнения:

{\dot {k}}=s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k

{\dot {h}}=s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h

Сбалансированный (или устойчивый) равновесный путь роста определяется ${\dot {k}}={\dot {h}}=0$ , что означает $s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k=0$ и $s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h=0$ . Решение для установившегося уровня $k$ и $h$ дает:

k^{*}=\left({\frac {s_{K}^{1-\beta }s_{H}^{\beta }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}

h^{*}=\left({\frac {s_{K}^{\alpha }s_{H}^{1-\alpha }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}

В устойчивом состоянии, $y^{*}=(k^{*})^{\alpha }(h^{*})^{\beta }$ .

Эконометрические оценки

Кленоу и Родригес-Клэр ставят под сомнение обоснованность дополненной модели, поскольку оценки Мэнкью, Ромера и Вейля ${\beta }$ казалось, не согласовывалось с общепринятыми оценками влияния увеличения количества школьного образования на заработную плату рабочих. Хотя расчетная модель объяснила 78% различий в доходах между странами, оценки ${\beta }$ подразумевалось, что внешнее воздействие человеческого капитала на национальный доход превышает его прямое влияние на заработную плату работников. ^[21]

Учет внешних эффектов

Теодор Бретон предложил идею, которая совместила большой эффект человеческого капитала от обучения в модели Мэнкью, Ромера и Вейля с меньшим влиянием обучения на зарплаты рабочих. Он продемонстрировал, что математические свойства модели включают значительные внешние эффекты между факторами производства, поскольку человеческий капитал и физический капитал являются мультипликативными факторами производства. ^[22] Внешнее влияние человеческого капитала на производительность физического капитала проявляется в предельном продукте физического капитала:

MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }(H/L)^{\beta }}{(K/L)^{1-\alpha }}}

Он показал, что большие оценки влияния человеческого капитала в межстрановых оценках модели согласуются с меньшим эффектом, обычно обнаруживаемым на заработной плате работников, когда учитывается внешнее воздействие человеческого капитала на физический капитал и рабочую силу. Это понимание значительно усиливает аргументы в пользу версии Мэнкью, Ромера и Вейля модели Солоу – Свона. Большинство анализов, критикующих эту модель, не учитывают денежные внешние эффекты обоих типов капитала, присущие этой модели. ^[22]

Общая факторная производительность

Экзогенная скорость роста TFP ( общая факторная производительность ) в модели Солоу-Свона является остатком после учета накопления капитала. Модель Мэнкью, Ромера и Вейля дает более низкую оценку СФП (остатка), чем базовая модель Солоу-Свона, поскольку добавление человеческого капитала к модели позволяет накоплением капитала объяснить большую часть различий в доходах между странами. В базовой модели остаток СФП включает влияние человеческого капитала, поскольку человеческий капитал не включен в качестве фактора производства.

Условная сходимость

Модель Солоу-Свона, дополненная человеческим капиталом, предсказывает, что уровни доходов бедных стран будут иметь тенденцию догонять или приближаться к уровням доходов богатых стран, если бедные страны имеют одинаковые нормы сбережений как для физического капитала, так и для человеческого капитала в виде доли. выпуска, процесс, известный как условная конвергенция. Однако нормы сбережений сильно различаются в разных странах. В частности, поскольку существуют значительные финансовые ограничения для инвестиций в образование, нормы сбережений человеческого капитала, вероятно, будут варьироваться в зависимости от культурных и идеологических особенностей в каждой стране. ^[23]

С 1950-х годов соотношение объемов производства и численности рабочей силы в богатых и бедных странах в целом не сближалось, но те бедные страны, которые значительно увеличили норму своих сбережений, испытали конвергенцию доходов, предсказанную моделью Солоу-Свона. Например, соотношение объемов производства и числа рабочих в Японии , стране, которая когда-то была относительно бедной, приблизилось к уровню богатых стран. В Японии наблюдались высокие темпы роста после того, как она увеличила норму сбережений в 1950-х и 1960-х годах, и она испытала замедление роста производства на одну рабочую силу с тех пор, как ее норма сбережений стабилизировалась примерно в 1970 году, как и предсказывалось моделью.

Уровни доходов на душу населения в южных штатах США имеют тенденцию приближаться к уровням в северных штатах. Наблюдаемая сходимость в этих состояниях также согласуется с концепцией условной сходимости . Происходит ли абсолютная конвергенция между странами или регионами, зависит от того, имеют ли они схожие характеристики, такие как:

образования Политика
Институциональные механизмы
Свободные внутренние рынки и торговая политика с другими странами. ^[24]

Дополнительные доказательства условной конвергенции получены из многомерных межстрановых регрессий. ^[25]

Эконометрический анализ Сингапура и других « восточноазиатских тигров » дал удивительный результат: хотя объем производства на одного работника растет, почти ни один из их быстрого роста не был обусловлен ростом производительности на душу населения (у них низкий « остаток Солоу »). ). ^[7]

См. также

Примечания

^ Идея использования производственной функции Кобба – Дугласа в основе модели роста восходит к Тинберген, Дж. (1942). «К теории долгосрочного экономического развития». Мировой экономический архив . 55 : 511–549. JSTOR 40430851 . озеро Бремс, Ганс (1986). «Неоклассический рост: Тинберген и Солоу» . Новаторская экономическая теория, 1630–1980 гг . Балтимор: Издательство Университета Джонса Хопкинса. стр. 362–368. ISBN 978-0-8018-2667-2 .
^ Пошаговый расчет: $y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}={\frac {K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }}{A(t)L(t)}}={\frac {K(t)^{\alpha }}{(A(t)L(t))^{\alpha }}}=k(t)^{\alpha }$
^ Пошаговый расчет: ${\dot {k}}(t)={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{[A(t)L(t)]^{2}}}[A(t){\dot {L}}(t)+L(t){\dot {A}}(t)]={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}$ . С ${\dot {K}}(t)=sY(t)-\delta K(t)\,$ , и ${\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}$ , ${\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}$ являются $n$ и $g$ , соответственно, уравнение упрощается до ${\dot {k}}(t)=s{\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}-\delta {\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}-n{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}-g{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}=sy(t)-\delta k(t)-nk(t)-gk(t)$ . Как упоминалось выше, $y(t)=k(t)^{\alpha }$ .

Ссылки

^ Аджемоглу, Дарон (2009). «Модель роста Солоу». Введение в современный экономический рост . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 26–76 . ISBN 978-0-691-13292-1 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Солоу, Роберт М. (февраль 1956 г.). «Вклад в теорию экономического роста» . Ежеквартальный экономический журнал . 70 (1): 65–94. дои : 10.2307/1884513 . hdl : 10338.dmlcz/143862 . JSTOR 1884513 . PDF.
^ Jump up to: ^а ^б Свон, Тревор В. (ноябрь 1956 г.). «Экономический рост и накопление капитала». Экономический рекорд . 32 (2): 334–361. дои : 10.1111/j.1475-4932.1956.tb00434.x .
^ Касс Д. (1965): «Оптимальный рост в агрегатной модели накопления капитала, Обзор экономических исследований , 32 (3): 233-240 , jstor .
^ Касс эндогенизирует норму сбережений, явно моделируя решение потребителя потреблять и сберегать. Это делается путем добавления задачи оптимизации домохозяйства к модели Солоу. см. также Гири Р. ( без даты , до 2022 г.): Лекция 3 – Модель роста с эндогенными сбережениями: модель Рэмси-Кэсса-Купмана . Автономный технологический институт Мексики (ITAM)
^ Солоу, Роберт М. (1957). «Технические изменения и совокупная производственная функция». Обзор экономики и статистики . 39 (3): 312–320. дои : 10.2307/1926047 . JSTOR 1926047 . PDF.
^ Jump up to: ^а ^б Хейнс, Джоэл Д.; Шариф, Наваз М. (2006). «Система управления сложностью компонентов технологий для глобальной конкуренции». Обзор конкурентоспособности . 16 (2): 106–121. дои : 10.1108/cr.2006.16.2.106 .
^ Jump up to: ^а ^б Эрик Фрей (2017). «Модель Солоу и уровень жизни» . Бакалавриат по математическому моделированию: один + два . 7 (2 (статья 5)): Аннотация. дои : 10.5038/2326-3652.7.2.4879 . ISSN 2326-3652 . OCLC 7046600490 . Архивировано из оригинала 22 сентября 2017 года.
^ Блюм, Лоуренс Э.; Сарджент, Томас Дж. (01 марта 2015 г.). «Харрод 1939» . Экономический журнал . 125 (583): 350–377. дои : 10.1111/ecoj.12224 . ISSN 1468-0297 .
^ Jump up to: ^а ^б Бесоми, Даниэле (2001). «Динамика Харрода и теория роста: история ошибочной атрибуции». Кембриджский экономический журнал . 25 (1): 79–96. дои : 10.1093/cje/25.1.79 . JSTOR 23599721 .
^ Харрод, РФ (1939). «Очерк динамической теории». Экономический журнал . 49 (193): 14–33. дои : 10.2307/2225181 . JSTOR 2225181 .
^ Халсмайер, Верена; Гувер, Кевин Д. (3 июля 2016 г.). «Харрод Солоу: Преобразование макроэкономической динамики в модель долгосрочного роста». Европейский журнал истории экономической мысли . 23 (4): 561–596. дои : 10.1080/09672567.2014.1001763 . ISSN 0967-2567 . S2CID 153351897 .
^ Ромер, Дэвид (2006). Продвинутая макроэкономика . МакГроу-Хилл. стр. 31–35. ISBN 9780072877304 .
^ Баумол, Уильям Дж. (1986). «Рост производительности, конвергенция и благосостояние: что показывают долгосрочные данные». Американский экономический обзор . 76 (5): 1072–1085. JSTOR 1816469 .
^ Барелли, Пауло; Пессоа, Самуэль де Абреу (2003). «Условия Инада предполагают, что производственная функция должна быть асимптотически Кобба – Дугласа» (PDF) . Письма по экономике . 81 (3): 361–363. дои : 10.1016/S0165-1765(03)00218-0 . hdl : 10438/1012 .
^ Литина, Анастасия; Паливос, Теодор (2008). «Означают ли условия Инады, что производственная функция должна быть асимптотически Кобба – Дугласа? Комментарий». Письма по экономике . 99 (3): 498–499. doi : 10.1016/j.econlet.2007.09.035 .
^ Jump up to: ^а ^б Ромер, Дэвид (2011). «Модель роста Солоу». Продвинутая макроэкономика (Четвертое изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 6–48. ISBN 978-0-07-351137-5 .
^ Казелли, Ф.; Фейрер, Дж. (2007). «Предельный продукт капитала». Ежеквартальный экономический журнал . 122 (2): 535–68. CiteSeerX 10.1.1.706.3505 . дои : 10.1162/qjec.122.2.535 . S2CID 9329404 .
^ Лукас, Роберт (1990). «Почему капитал не перетекает из богатых стран в бедные?». Американский экономический обзор . 80 (2): 92–96.
^ Мэнкью, Н. Грегори; Ромер, Дэвид; Вейл, Дэвид Н. (май 1992 г.). «Вклад в эмпирику экономического роста». Ежеквартальный экономический журнал . 107 (2): 407–437. CiteSeerX 10.1.1.335.6159 . дои : 10.2307/2118477 . JSTOR 2118477 . S2CID 1369978 .
^ Кленов, Питер Дж.; Родригес-Клэр, Андрес (январь 1997 г.). «Неоклассическое возрождение в экономике роста: не зашло ли оно слишком далеко?» . В Бернанке, Бен С.; Ротемберг, Хулио (ред.). Ежегодник NBER по макроэкономике, 1997 г., том 12 . Национальное бюро экономических исследований. стр. 73–114 . ISBN 978-0-262-02435-8 .
^ Jump up to: ^а ^б Бретон, TR (2013). «Были ли Мэнкью, Ромер и Вейл правы? Согласование микро- и макроэффекта обучения на доход» (PDF) . Макроэкономическая динамика . 17 (5): 1023–1054. дои : 10.1017/S1365100511000824 . hdl : 10784/578 . S2CID 154355849 .
^ Бретон, TR (2013). «Роль образования в экономическом росте: теория, история и текущие результаты». Образовательные исследования . 55 (2): 121–138. дои : 10.1080/00131881.2013.801241 . S2CID 154380029 .
^ Барро, Роберт Дж .; Сала-и-Мартин, Ксавье (2004). «Модели роста с экзогенными нормами сбережений». Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 37–51. ISBN 978-0-262-02553-9 .
^ Барро, Роберт Дж .; Сала-и-Мартин, Ксавье (2004). «Модели роста с экзогенными нормами сбережений». Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 461–509. ISBN 978-0-262-02553-9 .

Дальнейшее чтение

Аженор, Пьер-Ришар (2004). «Рост и технологический прогресс: модель Солоу – Свон». Экономика адаптации и роста (второе изд.). Кембридж: Издательство Гарвардского университета. стр. 439–462. ISBN 978-0-674-01578-4 .
Барро, Роберт Дж .; Сала-и-Мартин, Ксавье (2004). «Модели роста с экзогенными нормами сбережений» . Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 23–84. ISBN 978-0-262-02553-9 .
Бурмейстер, Эдвин; Добелл, А. Родни (1970). «Односекторные модели роста». Математические теории экономического роста . Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 20–64.
Дорнбуш, Рюдигер ; Фишер, Стэнли ; Старц, Ричард (2004). «Теория роста: неоклассическая модель». Макроэкономика (Девятое изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл Ирвин. стр. 61–75 . ISBN 978-0-07-282340-0 .
Фермер, Роджер Э.А. (1999). «Неоклассическая теория роста». Макроэкономика (Второе изд.). Цинциннати: Юго-Запад. стр. 333–355. ISBN 978-0-324-12058-5 .
Фергюсон, Брайан С.; Лим, GC (1998). Введение в динамические экономические модели . Манчестер: Издательство Манчестерского университета. стр. 42–48. ISBN 978-0-7190-4996-5 .
Гандольфо, Джанкарло (1996). «Неоклассическая модель роста» . Экономическая динамика (Третье изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 175–189. ISBN 978-3-540-60988-9 .
Халсмайер, Верена (2014). «От исследовательского моделирования к технической экспертизе: модель роста Солоу как многоцелевой проект» . История политической экономии . 46 (Приложение 1, Массачусетский технологический институт и трансформация американской экономики ): 229–251. дои : 10.1215/00182702-2716181 . Проверено 29 ноября 2017 г.
Интрилигатор, Майкл Д. (1971). Математическая оптимизация и экономическая теория . Энглвуд Клиффс: Прентис-Холл. стр. 398–416. ISBN 978-0-13-561753-3 .
ван Рейкегем Вилли (1963): Структура некоторых моделей макроэкономического роста: сравнение. Weltwirtschaftliches Archiv , том 91, стр. 84–100.

Внешние ссылки

[4] Идея использования производственной функции Кобба – Дугласа в основе модели роста восходит к Тинберген, Дж. (1942). «К теории долгосрочного экономического развития». Мировой экономический архив . 55 : 511–549. JSTOR 40430851 . озеро Бремс, Ганс (1986). «Неоклассический рост: Тинберген и Солоу» . Новаторская экономическая теория, 1630–1980 гг . Балтимор: Издательство Университета Джонса Хопкинса. стр. 362–368. ISBN 978-0-8018-2667-2 .

[18] Пошаговый расчет: $y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}={\frac {K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }}{A(t)L(t)}}={\frac {K(t)^{\alpha }}{(A(t)L(t))^{\alpha }}}=k(t)^{\alpha }$

[19] Пошаговый расчет: ${\dot {k}}(t)={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{[A(t)L(t)]^{2}}}[A(t){\dot {L}}(t)+L(t){\dot {A}}(t)]={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}$ . С ${\dot {K}}(t)=sY(t)-\delta K(t)\,$ , и ${\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}$ , ${\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}$ являются $n$ и $g$ , соответственно, уравнение упрощается до ${\dot {k}}(t)=s{\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}-\delta {\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}-n{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}-g{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}=sy(t)-\delta k(t)-nk(t)-gk(t)$ . Как упоминалось выше, $y(t)=k(t)^{\alpha }$ .

[1] Аджемоглу, Дарон (2009). «Модель роста Солоу». Введение в современный экономический рост . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 26–76 . ISBN 978-0-691-13292-1 .

[Solow1956-2] Jump up to: ^а ^б ^с Солоу, Роберт М. (февраль 1956 г.). «Вклад в теорию экономического роста» . Ежеквартальный экономический журнал . 70 (1): 65–94. дои : 10.2307/1884513 . hdl : 10338.dmlcz/143862 . JSTOR 1884513 . PDF.

[Swan1956-3] Jump up to: ^а ^б Свон, Тревор В. (ноябрь 1956 г.). «Экономический рост и накопление капитала». Экономический рекорд . 32 (2): 334–361. дои : 10.1111/j.1475-4932.1956.tb00434.x .

[5] Касс Д. (1965): «Оптимальный рост в агрегатной модели накопления капитала, Обзор экономических исследований , 32 (3): 233-240 , jstor .

[6] Касс эндогенизирует норму сбережений, явно моделируя решение потребителя потреблять и сберегать. Это делается путем добавления задачи оптимизации домохозяйства к модели Солоу. см. также Гири Р. ( без даты , до 2022 г.): Лекция 3 – Модель роста с эндогенными сбережениями: модель Рэмси-Кэсса-Купмана . Автономный технологический институт Мексики (ITAM)

[7] Солоу, Роберт М. (1957). «Технические изменения и совокупная производственная функция». Обзор экономики и статистики . 39 (3): 312–320. дои : 10.2307/1926047 . JSTOR 1926047 . PDF.

[framework-8] Jump up to: ^а ^б Хейнс, Джоэл Д.; Шариф, Наваз М. (2006). «Система управления сложностью компонентов технологий для глобальной конкуренции». Обзор конкурентоспособности . 16 (2): 106–121. дои : 10.1108/cr.2006.16.2.106 .

[doi_10.5038/2326-3652.7.2.4879-9] Jump up to: ^а ^б Эрик Фрей (2017). «Модель Солоу и уровень жизни» . Бакалавриат по математическому моделированию: один + два . 7 (2 (статья 5)): Аннотация. дои : 10.5038/2326-3652.7.2.4879 . ISSN 2326-3652 . OCLC 7046600490 . Архивировано из оригинала 22 сентября 2017 года.

[10] Блюм, Лоуренс Э.; Сарджент, Томас Дж. (01 марта 2015 г.). «Харрод 1939» . Экономический журнал . 125 (583): 350–377. дои : 10.1111/ecoj.12224 . ISSN 1468-0297 .

[:0-11] Jump up to: ^а ^б Бесоми, Даниэле (2001). «Динамика Харрода и теория роста: история ошибочной атрибуции». Кембриджский экономический журнал . 25 (1): 79–96. дои : 10.1093/cje/25.1.79 . JSTOR 23599721 .

[12] Харрод, РФ (1939). «Очерк динамической теории». Экономический журнал . 49 (193): 14–33. дои : 10.2307/2225181 . JSTOR 2225181 .

[13] Халсмайер, Верена; Гувер, Кевин Д. (3 июля 2016 г.). «Харрод Солоу: Преобразование макроэкономической динамики в модель долгосрочного роста». Европейский журнал истории экономической мысли . 23 (4): 561–596. дои : 10.1080/09672567.2014.1001763 . ISSN 0967-2567 . S2CID 153351897 .

[14] Ромер, Дэвид (2006). Продвинутая макроэкономика . МакГроу-Хилл. стр. 31–35. ISBN 9780072877304 .

[15] Баумол, Уильям Дж. (1986). «Рост производительности, конвергенция и благосостояние: что показывают долгосрочные данные». Американский экономический обзор . 76 (5): 1072–1085. JSTOR 1816469 .

[16] Барелли, Пауло; Пессоа, Самуэль де Абреу (2003). «Условия Инада предполагают, что производственная функция должна быть асимптотически Кобба – Дугласа» (PDF) . Письма по экономике . 81 (3): 361–363. дои : 10.1016/S0165-1765(03)00218-0 . hdl : 10438/1012 .

[17] Литина, Анастасия; Паливос, Теодор (2008). «Означают ли условия Инады, что производственная функция должна быть асимптотически Кобба – Дугласа? Комментарий». Письма по экономике . 99 (3): 498–499. doi : 10.1016/j.econlet.2007.09.035 .

[Romer2011-20] Jump up to: ^а ^б Ромер, Дэвид (2011). «Модель роста Солоу». Продвинутая макроэкономика (Четвертое изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 6–48. ISBN 978-0-07-351137-5 .

[21] Казелли, Ф.; Фейрер, Дж. (2007). «Предельный продукт капитала». Ежеквартальный экономический журнал . 122 (2): 535–68. CiteSeerX 10.1.1.706.3505 . дои : 10.1162/qjec.122.2.535 . S2CID 9329404 .

[Lucas1990-22] Лукас, Роберт (1990). «Почему капитал не перетекает из богатых стран в бедные?». Американский экономический обзор . 80 (2): 92–96.

[23] Мэнкью, Н. Грегори; Ромер, Дэвид; Вейл, Дэвид Н. (май 1992 г.). «Вклад в эмпирику экономического роста». Ежеквартальный экономический журнал . 107 (2): 407–437. CiteSeerX 10.1.1.335.6159 . дои : 10.2307/2118477 . JSTOR 2118477 . S2CID 1369978 .

[24] Кленов, Питер Дж.; Родригес-Клэр, Андрес (январь 1997 г.). «Неоклассическое возрождение в экономике роста: не зашло ли оно слишком далеко?» . В Бернанке, Бен С.; Ротемберг, Хулио (ред.). Ежегодник NBER по макроэкономике, 1997 г., том 12 . Национальное бюро экономических исследований. стр. 73–114 . ISBN 978-0-262-02435-8 .

[breton-25] Jump up to: ^а ^б Бретон, TR (2013). «Были ли Мэнкью, Ромер и Вейл правы? Согласование микро- и макроэффекта обучения на доход» (PDF) . Макроэкономическая динамика . 17 (5): 1023–1054. дои : 10.1017/S1365100511000824 . hdl : 10784/578 . S2CID 154355849 .

[26] Бретон, TR (2013). «Роль образования в экономическом росте: теория, история и текущие результаты». Образовательные исследования . 55 (2): 121–138. дои : 10.1080/00131881.2013.801241 . S2CID 154380029 .

[27] Барро, Роберт Дж .; Сала-и-Мартин, Ксавье (2004). «Модели роста с экзогенными нормами сбережений». Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 37–51. ISBN 978-0-262-02553-9 .

[28] Барро, Роберт Дж .; Сала-и-Мартин, Ксавье (2004). «Модели роста с экзогенными нормами сбережений». Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 461–509. ISBN 978-0-262-02553-9 .

[1]

[2]

[3]

[примечание 1]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[примечание 2]

[примечание 3]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

v т и Экономика
Theoretical	Microeconomics Decision theory Price theory Game theory Contract theory Mechanism design Macroeconomics Mathematical economics Computational economics Behavioral economics Pluralism in economics
Empirical	Econometrics Economic statistics Experimental economics Economic history
Applied	Agricultural Behavioral Business Cultural Demographic Development Digitization Ecological Education Engineering Environmental Evolutionary Expeditionary Feminist Financial Geographical Happiness Health Historical Humanistic Industrial organization Information Institutional Knowledge Labour Law Managerial Monetary Natural resource Organizational Participation Personnel Planning Policy Public Public choice / Social choice theory Regional Rural Service Socio Sociological Solidarity Statistics Urban Welfare
Schools (history)	Mainstream Heterodox American (National) Ancient thought Anarchist Mutualism Austrian Behavioral Buddhist Chartalism Modern monetary theory Chicago Classical Critique of political economy Democracy Disequilibrium Ecological Evolutionary Feminist Georgism Happiness Historical Humanistic Institutional Keynesian Neo- (neoclassical–Keynesian synthesis) New Post- Circuitism Malthusianism Marginalism Marxian Neo- Mercantilism Mixed Neoclassical Lausanne New classical Real business-cycle theory New institutional Physiocracy Socialist Stockholm Supply-side Thermo
Economists	de Mandeville Quesnay Smith Malthus Say Ricardo von Thünen List Bastiat Cournot Mill Gossen Marx Walras Jevons George Menger Marshall Edgeworth Clark Pareto von Böhm-Bawerk von Wieser Veblen Fisher Pigou Heckscher von Mises Schumpeter Keynes Knight Polanyi Frisch Sraffa Myrdal Hayek Kalecki Röpke Kuznets Tinbergen Robinson von Neumann Hicks Lange Leontief Galbraith Koopmans Schumacher Friedman Samuelson Simon Buchanan Arrow Baumol Solow Rothbard Greenspan Sowell Becker Ostrom Sen Lucas Stiglitz Thaler Hoppe Krugman Piketty more
Lists	Glossary Economists Publications (journals) Schools
Category Index Lists Outline Publications Business portal