Группа монстров

Эта статья о самой большой из спорадических конечных простых групп. О типе бесконечной группы, известной как группа монстров Тарского, см. Группа монстров Тарского .

В области абстрактной алгебры , известной как теория групп , группа монстров M (также известная как монстр Фишера-Грисса или дружественный гигант ) является крупнейшей спорадической простой группой , имеющей порядок

   808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000

= 2 ⁴⁶  · 3 ²⁰  · 5 ⁹  · 7 ⁶  · 11 ²  · 13 ³  · 17  · 19  · 23  · 29  · 31  · 41  · 47  · 59  · 71

≈ 8 × 10 ⁵³ .

Конечные полностью группы классифицированы . простые Каждая такая группа принадлежит к одному из 18 счетно бесконечных семейств или к одной из 26 спорадических групп, не следующих такой систематической схеме. Группа монстров содержит 20 спорадических групп (включая саму себя) в качестве подфакторов . Роберт Грисс , доказавший существование монстра в 1982 году, назвал эти 20 групп счастливой семьей , а остальные шесть исключений — изгоями .

Дать хорошее конструктивное определение монстру сложно из-за его сложности. Мартин Гарднер написал популярный отчет о группе монстров в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в июне 1980 года .

История

Чудовище было предсказано Берндом Фишером (неопубликовано, около 1973 г.) и Робертом Гриссом. как простая группа, содержащая покрытие Фишера группы монстров как централизатор инволюции двойное . В течение нескольких месяцев порядок M был найден Гриссом с использованием формулы порядка Томпсона , а Фишер, Конвей , Нортон и Томпсон открыли другие группы в качестве подфакторов, включая многие известные спорадические группы, а также две новые: группу Томпсона и группа Харада -Нортон . Таблица символов монстра, массив размером 194х194, была рассчитана в 1979 году Фишером и Дональдом Ливингстоном с использованием компьютерных программ, написанных Майклом Торном. В 1970-е годы было неясно, существует ли монстр на самом деле. Грисс построил M как группу автоморфизмов , алгебры Грисса 196 884-мерной коммутативной неассоциативной алгебры над действительными числами; он впервые объявил о своем строительстве в Анн-Арборе 14 января 1980 года. В своей статье 1982 года он назвал монстра Дружелюбным Гигантом, но это имя не получило широкого распространения. Джон Конвей и Жак Тит впоследствии упростили эту конструкцию.

Конструкция Грисса показала, что монстр существует. Томпсон показал, что ее единственность (как простой группы, удовлетворяющей определенным условиям, вытекающим из классификации конечных простых групп) будет следовать из существования 196 883-мерного точного представления . Доказательство существования такого представления было озвучено Нортоном , хотя он никогда не публиковал подробности. Грисс, Мейерфранкенфельд и Сегев дали первое полное опубликованное доказательство единственности монстра (точнее, они показали, что группа с теми же централизаторами инволюций, что и монстр, изоморфна монстру).

Монстр стал кульминацией развития спорадических простых групп и может быть построен из любых двух из трех подчастных: группы Фишера Fi ₂₄ , маленького монстра и группы Конвея Co ₁ .

Множитель Шура и внешняя группа автоморфизмов монстра тривиальны .

Представительства

Минимальная степень точного комплексного представления равна 47 × 59 × 71 = 196 883, следовательно, является произведением трёх крупнейших простых делителей порядка M. Наименьшее точное линейное представление над любым полем имеет размерность 196 882 над полем с двумя элементами, что всего на один меньше размерности наименьшего точного комплексного представления.

Наименьшее точное перестановочное представление монстра находится на

   97,239,461,142,009,186,000

= 2 ⁴ ·3 ⁷ ·5 ³ ·7 ⁴ ·11·13 ² ·29·41·59·71 ≈ 10 ²⁰

точки.

Монстра можно реализовать как группу Галуа над рациональными числами , и как группа Гурвица .

Монстр необычен среди простых групп тем, что не существует простого способа представления его элементов. Это связано не столько с его размерами, сколько с отсутствием «маленьких» изображений. Например, простые группы A ₁₀₀ и SL ₂₀ (2) намного больше, но их легко вычислить, поскольку они имеют «маленькие» перестановки или линейные представления. Альтернирующие группы , такие как A ₁₀₀ , имеют представления перестановок, которые «маленькие» по сравнению с размером группы, а все конечные простые группы лиева типа , такие как SL ₂₀ (2), имеют линейные представления, которые «маленькие» по сравнению с размеру группы. Все спорадические группы, кроме монстра, также имеют достаточно маленькие линейные представления, чтобы с ними было легко работать на компьютере (следующий по сложности случай после монстра — это ребенок-монстр с представлением размером 4370).

Компьютерная конструкция

Мартин Сейсен реализовал быстрый пакет Python под названием mmgroup , который утверждает, что является первой реализацией группы монстров, в которой можно эффективно выполнять произвольные операции. В документации указано, что умножение элементов группы занимает менее 40 миллисекунд на типичном современном ПК, что на пять порядков быстрее, чем предполагал Роберт А. Уилсон в 2013 году. Программный пакет mmgroup был использован для поиска двух новых максимальных подгрупп группы монстров.

Ранее Роберт А. Уилсон явно нашел (с помощью компьютера) две обратимые матрицы размером 196 882 на 196 882 (с элементами в поле порядка 2 ), которые вместе порождают группу монстров путем матричного умножения; это на одно измерение меньше, чем 196 883-мерное представление в характеристике 0. Выполнение вычислений с этими матрицами было возможно, но это слишком дорого с точки зрения времени и места для хранения, чтобы быть полезным, поскольку каждая такая матрица занимает более четырех с половиной гигабайт.

Уилсон утверждает, что лучшее описание монстра — это сказать: «Это группа автоморфизмов вершинной алгебры монстра ». Однако это не сильно поможет, потому что никто не нашел «действительно простой и естественной конструкции вершинной алгебры монстра».

Уилсон с сотрудниками нашел метод выполнения вычислений с помощью монстра, который был значительно быстрее, хотя теперь его заменила вышеупомянутая работа Сейсена. Пусть V — векторное пространство размерности 196 882 над полем с двумя элементами. Выбирается большая подгруппа H (желательно максимальная подгруппа) Монстра, в которой легко производить вычисления. Выбрана подгруппа H равна 3 ¹⁺¹² .2.Suz.2, где Suz — группа Suzuki . Элементы монстра хранятся в виде слов в элементах H и дополнительном T. генераторе Достаточно быстро вычислить действие одного из этих слов на вектор в V . С помощью этого действия можно выполнять вычисления (например, порядок элемента монстра). Уилсон представил векторы u и v , совместным стабилизатором которых является тривиальная группа. Таким образом (например) можно вычислить порядок элемента g монстра, найдя наименьшее i > 0 такое, что g ^я ты = ты и г ^я v = v . Эта и подобные конструкции (в разных характеристиках ) были использованы для нахождения некоторых нелокальных максимальных подгрупп группы монстров.

подчастные

Схема 26 спорадических простых групп, показывающая подчастные отношения.

Монстр содержит 20 из 26 спорадических групп в качестве субчастных. Эта диаграмма, основанная на схеме из книги «Симметрия и монстр» Марка Ронана , показывает, как они сочетаются друг с другом. Линии означают включение в качестве подчастного нижней группы в верхнюю. Символы в кружках обозначают группы, не входящие в более крупные спорадические группы. Для ясности лишние включения не показаны.

Максимальные подгруппы

Монстр имеет 46 классов сопряженности максимальных подгрупп . Неабелевы простые группы около 60 типов изоморфизма находятся как подгруппы или как факторы подгрупп. Самая большая представленная чередующаяся группа — А ₁₂ .

46 классов максимальных подгрупп монстра представлены в следующей таблице. Предыдущая неопубликованная работа Wilson et. Аль стремился исключить любые почти простые подгруппы с неабелевыми простыми цоколями вида U ₃ (4), L ₂ (8) и L ₂ (16). Однако последнему противоречили Дитрих и др., которые нашли новую максимальную подгруппу вида U ₃ (4). Ранее эти же авторы нашли новую максимальную подгруппу вида L ₂ (13) и подтвердили отсутствие максимальных подгрупп с цоколем L ₂ (8) или L ₂ (16), завершив тем самым классификацию в литературе.

Максимальные подгруппы Монстра

Нет.	Структура	Заказ	Комментарии
1	2  ·  Б	8,309,562,962,452,852,382,355,161,088,000,000 = 2 42 ·3 13 ·5 6 ·7 2 ·11·13·17·19·23·31·47	централизатор инволюции класса 2А; содержит нормализатор (47:23) × 2 силовской 47-подгруппы
2	2 1+24 +  ·  Ко 1	139,511,839,126,336,328,171,520,000 = 2 46 ·3 9 ·5 4 ·7 2 ·11·13·23	централизатор инволюции класса 2В
3	3  ·  Фи 24	7,531,234,255,143,970,327,756,800 = 2 22 ·3 17 ·5 2 ·7 3 ·11·13·17·23·29	нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3А); содержит нормализатор ((29:14) × 3).2 силовской 29-подгруппы
4	2 2 · 2 E 6 (2):S 3	1,836,779,512,410,596,494,540,800 = 2 39 ·3 10 ·5 2 ·7 2 ·11·13·17·19	нормализатор 4-группы Клейна типа 2А 2
5	2 10+16 ·  ТО + 10 (2)	1,577,011,055,923,770,163,200 = 2 46 ·3 5 ·5 2 ·7·17·31
6	2 2+11+22 (С 3 х М 24 )	50,472,333,605,150,392,320 = 2 46 ·3 4 ·5·7·11·23	нормализатор 4-группы Клейна; содержит нормализатор (23:11) × S 4 силовской 23-подгруппы
7	3 1+12 + .2 Вода .2	2,859,230,155,080,499,200 = 2 15 ·3 20 ·5 2 ·7·11·13	нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3В)
8	2 5+10+20 (S 3 x L 5 (2))	2,061,452,360,684,666,880 = 2 46 ·3 3 ·5·7·31
9	С 3 × Чт	544,475,663,327,232,000 = 2 16 ·3 11 ·5 3 ·7 2 ·13·19·31	нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3С); содержит нормализатор (31:15) × S3 силовской 31-подгруппы
10	2 3+6+12+18 (Д 3 (2) х 3С 6 )	199,495,389,743,677,440 = 2 46 ·3 4 ·5·7
11	3 8 ·  ТО − 8 (3)  ·  2 3	133,214,132,225,341,440 = 2 11 ·3 20 ·5·7·13·41
12	(Д 10 × ХН ).2	5,460,618,240,000,000 = 2 16 ·3 6 ·5 7 ·7·11·19	нормализатор подгруппы порядка 5 (класс 5А)
13	(3 2 :2 × О + 8 (3) ).С 4	2,139,341,679,820,800 = 2 16 ·3 15 ·5 2 ·7·13
14	3 2+5+10 .( М 11 × 2S 4 )	49,093,924,366,080 = 2 8 ·3 20 ·5·11
15	3 3+2+6+6 :(L 3 (3) × SD 16 )	11,604,018,486,528 = 2 8 ·3 20 ·13
16	5 1+6 + :2 Дж 2 :4	378,000,000,000 = 2 10 ·3 3 ·5 9 ·7	нормализатор подгруппы 5-го порядка (класс 5В)
17	(7:3 × Он ):2	169,276,262,400 = 2 11 ·3 4 ·5 2 ·7 4 ·17	нормализатор подгруппы порядка 7 (класс 7А)
18	(А 5 х А 12 ): 2	28,740,096,000 = 2 12 ·3 6 ·5 3 ·7·11
19	5 3+3 (2 х Д 3 (5))	11,625,000,000 = 2 6 ·3·5 9 ·31
20	(А 6 × А 6 × А 6 ).(2 × S 4 )	2,239,488,000 = 2 13 ·3 7 ·5 3
21	(А 5 × U 3 (8):3 1 ):2	1,985,679,360 = 2 12 ·3 6 ·5·7·19	содержит нормализатор ((19:9) × A 5 ):2 силовской 19-подгруппы
22	5 2+2+4 :(S 3 x GL 2 (5))	1,125,000,000 = 2 6 ·3 2 ·5 9
23	(Л 3 (2) × С 4 (4):2).2	658,022,400 = 2 13 ·3 3 ·5 2 ·7·17	содержит нормализатор ((17:8) × L 3 (2)).2 силовской 17-подгруппы
24	7 1+4 + :(3 × 2S 7 )	508,243,680 = 2 5 ·3 3 ·5·7 6	нормализатор подгруппы порядка 7 (класс 7В)
25	(5 2 :4.2 2 × U 3 (5)).S 3	302,400,000 = 2 9 ·3 3 ·5 5 ·7
26	(Л 2 (11) × М 12 ):2	125,452,800 = 2 9 ·3 4 ·5 2 ·11 2	содержит нормализатор (11:5 × M 12 ):2 подгруппы порядка 11
27	(А 7 × (А 5 × А 5 ):2 2 ):2	72,576,000 = 2 10 ·3 4 ·5 3 ·7
28	5 4 :(3 × 2Л 2 (25)):2 2	58,500,000 = 2 5 ·3 2 ·5 6 ·13
29	7 2+1+2 :ГЛ 2 (7)	33,882,912 = 2 5 ·3 2 ·7 6
30	М 11 А 6,2 × 2	11,404,800 = 2 9 ·3 4 ·5 2 ·11
31	(S 5 × S 5 × S 5 ):S 3	10,368,000 = 2 10 ·3 4 ·5 3
32	(Л 2 (11) × Л 2 (11)):4	1,742,400 = 2 6 ·3 2 ·5 2 ·11 2
33	13 2 :2Л 2 (13).4	1,476,384 = 2 5 ·3·7·13 3
34	(7 2 :(3 х 2А 4 ) х Д 2 (7)):2	1,185,408 = 2 7 ·3 3 ·7 3
35	(13:6 х Д 3 (3)).2	876,096 = 2 6 ·3 4 ·13 2	нормализатор подгруппы порядка 13 (класс 13А)
36	13 1+2 + :(3 × 4S 4 )	632,736 = 2 5 ·3 2 ·13 3	нормализатор подгруппы 13-го порядка (класс 13В); нормализатор силовской 13-подгруппы
37	Ю 3 (4):4	249,600 = 2 8 ·3·5 2 ·13
38	Л 2 (71)	178,920 = 2 3 ·3 2 ·5·7·71	содержит нормализатор 71:35 силовской 71-подгруппы
39	Л2 ) (59	102,660 = 2 2 ·3·5·29·59	содержит нормализатор 59:29 силовской 59-подгруппы
40	11 2 :(5 х 2А 5 )	72,600 = 2 3 ·3·5 2 ·11 2	нормализатор силовской 11-подгруппы.
41	Л2 ) (41	34,440 = 2 3 ·3·5·7·41	Нортон и Уилсон нашли максимальную подгруппу такого вида; из-за тонкой ошибки, на которую указал Заварницын, в некоторых предыдущих списках и статьях утверждалось, что такой максимальной подгруппы не существует.
42	Л 2 (29):2	24,360 = 2 3 ·3·5·7·29
43	7 2 :СЛ 2 (7)	16,464 =2 4 ·3·7 3	это было случайно исключено из некоторых предыдущих списков 7-локальных подгрупп
44	Л 2 (19):2	6,840 = 2 3 ·3 2 ·5·19
45	Л 2 (13):2	2,184 = 2 3 ·3·7·13
46	41:40	1,640 = 2 3 ·5·41	нормализатор силовской 41-подгруппы

Обратите внимание, что таблицы максимальных подгрупп часто содержат тонкие ошибки, в частности, по крайней мере две подгруппы в этой таблице были ошибочно исключены из некоторых предыдущих списков.

Маккея E ₈ Наблюдение

Есть также связь между монстром и расширенными диаграммами Дынкина. ${\tilde {E}}_{8},$ в частности, между узлами диаграммы и определенными классами сопряженности в монстре, известным как Маккея E ₈ наблюдение . Затем это распространяется на отношение между расширенными диаграммами ${\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}$ и группы 3.Fi ₂₄ ′ , 2.B и M, где это (3/2/1-кратные центральные расширения) группы Фишера , группы младенцев-монстров и монстров. Это спорадические группы, связанные с централизаторами элементов типа 1А, 2А и 3А в монстре, а порядок расширения соответствует симметриям диаграммы. См. классификацию ADE: троицы для дальнейших связей ( типа соответствия Маккея ), в том числе (для монстра) с довольно небольшой простой группой PSL (2,11) и со 120 трикасательными плоскостями канонической секстической кривой рода 4, известной как группы Бринга. изгиб .

Самогон

Основная статья: Чудовищный самогон

Группа монстров — одна из двух основных составляющих гипотезы о чудовищном самогоне Конвея и Нортона. которая связывает дискретную и недискретную математику и была окончательно доказана Ричардом Борчердсом в 1992 году.

В этом случае группа монстров видна как группа автоморфизмов модуля монстра , алгебры вершинных операторов , бесконечномерной алгебры, содержащей алгебру Грисса, и действует на монстр-алгебре Ли , обобщенной алгебре Каца – Муди .

Многие математики, в том числе Конвей, видели в монстре красивый и до сих пор загадочный объект. Конвей сказал о группе монстров: «Никогда не было никакого объяснения, почему она здесь, и, очевидно, она не существует просто по совпадению. У нее слишком много интригующих свойств, чтобы все это было просто случайностью». Саймон П. Нортон , эксперт по свойствам группы монстров, сказал: «Я могу объяснить, что такое Monstrous Moonshine, в одном предложении, это голос Бога».

См. также

• Суперсингулярное простое число , простые числа, которые делят порядок монстра.
• Группа «Бимонстр» , квадратный венок группы «Монстр», имеющий удивительно простое изложение.

Источники

• Борчердс, Ричард Э. (октябрь 2002 г.). «Что такое… Монстр?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 49 (9).
• ле Брюн, Ливен (22 апреля 2009 г.). «Граф монстров и наблюдения Маккея» . бесконечные книги .
• Конвей, Джон Хортон (1985). «Простая конструкция группы монстров Фишера-Грисса». Математические изобретения . 79 (3): 513–540. Бибкод : 1985InMat..79..513C . дои : 10.1007/BF01388521 . МР   0782233 . S2CID   123340529 .
• Конвей, Джон Хортон ; Нортон, Саймон П. (1979). «Чудовищный самогон». Бюллетень Лондонского математического общества . 11 (3): 308–339. дои : 10.1112/blms/11.3.308 .
• Дитрих, Хайко; Ли, Мелисса; Попель, Томаш (6 декабря 2023 г.). «Максимальные подгруппы Монстра». arXiv : 2304.14646 [ GR математика. ГР ]. Бибкод : 2023arXiv230414646D .
• Дункан, Джон Ф. (2008). «Арифметические группы и аффинная диаграмма Дынкина E8». arXiv : 0810.1465 [ RT math. РТ ].
• Гарднер, Мартин (1980). «Математические игры». Научный американец . Том. 242, нет. 6. С. 20–33. ISSN   0036-8733 . JSTOR   24966339 .
• Грисс, Роберт Л. (1976). «Структура простой группы монстров». В Скотте, В. Ричарде; Гросс, Флетчер (ред.). Материалы конференции по конечным группам (Университет Юты, 1975) . Бостон, Массачусетс: Академическая пресса . стр. 113–118. ISBN  978-012633650-4 . МР   0399248 .
• Грисс, Роберт Л. (1982). «Дружелюбный великан» (PDF) . изобретения Математические 69 (1): 1–102. Бибкод : 1982InMat..69.... 1G дои : 10.1007/BF01389186 . hdl : 2027.42/46608 . МР   0671653 . S2CID   123597150 .
• Грисс, Роберт Л.; Мейерфранкенфельд, Ульрих; Сегев, Йоав (1989). «Доказательство уникальности Монстра». Анналы математики . Вторая серия. 130 (3): 567–602. дои : 10.2307/1971455 . JSTOR   1971455 . МР   1025167 .
• Харан, Брэди (2014). Жизнь, смерть и чудовище (Джон Конвей) . Numberphile – через YouTube .
• Хэ, Ян-Хуэй ; Маккей, Джон (25 мая 2015 г.). «Спорадический и исключительный». arXiv : 1505.06742 [ AG math. АГ ].
• Холмс, Петра Э.; Уилсон, Роберт А. (2002). «Новая максимальная подгруппа Монстра» . Журнал алгебры . 251 (1): 435–447. дои : 10.1006/jabr.2001.9037 . МР   1900293 .
• Холмс, Петра Э.; Уилсон, Роберт А. (2004). «PSL ₂ (59) — подгруппа Монстра». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 69 (1): 141–152. дои : 10.1112/S0024610703004915 . МР   2025332 . S2CID   122913546 .
• Холмс, Петра Э.; Уилсон, Роберт А. (2008). «О подгруппах Монстра, содержащих _А5 » . Журнал алгебры . 319 (7): 2653–2667. дои : 10.1016/j.jalgebra.2003.11.014 . МР   2397402 .
• Мастерс, Александр (22 февраля 2019 г.). «Некролог Саймона Нортона» . Хранитель .
• Нортон, Саймон П. (1985). «Уникальность монстра Фишера-Грисса». Конечные группы – достижение совершеннолетия (Монреаль, Квебек, 1982) . Созерцание Математика. Том. 45. Провиденс Р.И.: Американское математическое общество . стр. 271–285. дои : 10.1090/conm/045/822242 . ISBN  978-082185047-3 . МР   0822242 .
• Нортон, Саймон П.; Уилсон, Роберт А. (2013). «Исправление 41-структуры Монстра, построение новой максимальной подгруппы L2(41) и нового феномена самогона» (PDF) . Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 87 (3): 943–962. дои : 10.1112/jlms/jds078 . S2CID   7075719 .
• Робертс, Шивон (2013). Любопытство: В погоне за монстром . Институт перспективных исследований.
• Ронан, М. (2006). Симметрия и монстр . Издательство Оксфордского университета. ISBN  019280722-6 .
• Томпсон, Джон Г. (1979). «Уникальность монстра Фишера-Грисса». Бюллетень Лондонского математического общества . 11 (3): 340–346. дои : 10.1112/blms/11.3.340 . МР   0554400 .
• Томпсон, Джон Г. (1984). «Некоторые конечные группы, которые появляются как Gal L / K , где K ⊆ Q(μ _n )» . Журнал алгебры . 89 (2): 437–499. дои : 10.1016/0021-8693(84)90228-X . МР   0751155 .
• Титс, Жак (1983). «Чудовище (по Р. Гриссу, Б. Фишеру и др.)» . Звездочка (121): 105–122. МР   0768956 . Збл   0548.20010 .
• Титс, Жак (1984). «О «Дружелюбном великане» Р. Грисса ». Математические изобретения . 78 (3): 491–499. Бибкод : 1984InMat..78..491T . дои : 10.1007/BF01388446 . МР   0768989 . S2CID   122379975 .
• Уилсон, Роберт А. (2001). «Монстр — это группа Гурвица» . Журнал теории групп . 4 (4): 367–374. дои : 10.1515/jgth.2001.027 . МР   1859175 . Архивировано из оригинала 5 марта 2012 г.
• Уилсон, Роберт А. (2010). «Новые вычисления в Монстре». Самогон: первая четверть века и далее . Лондонская математика. Соц. Конспект лекций Сер. Том. 372. Издательство Кембриджского университета . стр. 393–403. ISBN  978-052110664-1 . МР   2681789 .
• Уилсон, Роберт А. (2016). «Является ли группа Сузуки Sz(8) подгруппой Монстра?» (PDF) . Бюллетень Лондонского математического общества . 48 (2): 355–364. дои : 10.1112/blms/bdw012 . МР   3483073 . S2CID   123219818 .

Дальнейшее чтение

• Конвей, Дж. Х. ; Кертис, RT; Нортон, СП ; Паркер, РА ; Уилсон, Р.А. (1985). Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обыкновенные характеры простых групп . при вычислительной помощи Дж. Г. Текрея. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-019853199-9 .
• Харада, Коитиро (2001). «Математика монстра». Экспозиции Сугаку . 14 (1): 55–71. МР   1690763 .
• Холмс, ЧП; Уилсон, Р.А. (2003). «Компьютерная конструкция Монстра с использованием 2-локальных подгрупп». Журнал Лондонского математического общества . 67 (2): 346–364. дои : 10.1112/S0024610702003976 . S2CID   102338377 .
• Холмс, Петра Э. (2008). «Классификация подгрупп Монстра, изоморфных S ₄ , и приложение» . Журнал алгебры . 319 (8): 3089–3099. дои : 10.1016/j.jalgebra.2004.01.031 . МР   2408306 .
• Иванов, А.А. (2009). Группа монстров и инволюции Майораны . Кембриджские трактаты по математике. Том. 176. Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511576812 . ISBN  978-052188994-0 .
• Нортон, Саймон П. (1998). «Анатомия монстра. I». Атлас конечных групп: десять лет спустя (Бирмингем, 1995) . Лондонская математика. Соц. Конспект лекций Сер. Том. 249. Издательство Кембриджского университета . стр. 198–214. дои : 10.1017/CBO9780511565830.020 . ISBN  978-052157587-4 . МР   1647423 .
• Нортон, Саймон П.; Уилсон, Роберт А. (2002). «Анатомия монстра. II». Труды Лондонского математического общества . Третья серия. 84 (3): 581–598. дои : 10.1112/S0024611502013357 . МР   1888424 .
• дю Сотуа, Маркус (2008). В поисках самогона . Четвертая власть. ISBN  978-000721461-7 . опубликовано в США издательством HarperCollins под названием Symmetry , ISBN   978-006078940-4 ).
• Уилсон, РА; Уолш, П.Г.; Паркер, РА; Линтон, Ю.А. (1998). «Компьютерная конструкция Монстра». Журнал теории групп . 1 (4): 307–337. дои : 10.1515/jgth.1998.023 .
• Маккей, Джон; Хэ, Ян-Хуэй (2022). «Лекции Касива о «Новых подходах к монстру» ». Уведомления ICCM . 10 : 71–88. arXiv : 2106.01162 . дои : 10.4310/ICCM.2022.v10.n1.a4 . S2CID   235293875 .

Внешние ссылки

• Что такое... Монстр? Ричард Э. Борчердс , Уведомления Американского математического общества , октябрь 2002 г., стр. 1077.
• MathWorld: Группа монстров
• Атлас представлений конечных групп: группа монстров
• Выпуск Scientific American, июнь 1980 г.: Поимка монстра: математическая группа с нелепым количеством элементов.