Уравнения Фридмана

Александр Фридманн

Уравнения Фридмана , также известные как Фридмана-Леметра ( FL ) уравнения , представляют собой набор уравнений физической космологии , которые управляют расширением пространства в однородных и изотропных моделях Вселенной в контексте общей теории относительности . Впервые они были выведены Александром Фридманом в 1922 году на основе для Эйнштейна уравнений поля гравитации метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера и идеальной жидкости с заданной массовой плотностью ρ и давлением p . Уравнения отрицательной пространственной кривизны были даны Фридманом в 1924 году.

Предположения

Основная статья: метрика Фридмана – Леметра – Робертсона – Уокера

Уравнения Фридмана начинаются с упрощающего предположения, что Вселенная пространственно однородна и изотропна , то есть с космологического принципа ; эмпирически это оправдано на масштабах порядка 100 Мпк . Космологический принцип подразумевает, что метрика Вселенной должна иметь вид

$$-\mathrm {d} s^{2}=a(t)^{2}\,{\mathrm {d} s_{3}}^{2}-c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}$$

где d s ₃ ² - это трехмерная метрика, которая должна быть одной из (а) плоского пространства, (б) сферы постоянной положительной кривизны или (в) гиперболического пространства с постоянной отрицательной кривизной. Эта метрика называется метрикой Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (FLRW). Параметр k, обсуждаемый ниже, принимает значение 0, 1, −1 или гауссовой кривизны в этих трех случаях соответственно. Именно этот факт позволяет разумно говорить о « масштабном коэффициенте » a ( t ) .

Уравнения Эйнштейна теперь связывают эволюцию этого масштабного фактора с давлением и энергией материи во Вселенной. Из метрики FLRW мы вычисляем символы Кристоффеля , затем тензор Риччи . Используя тензор энергии-импульса для идеальной жидкости, мы подставляем их в уравнения поля Эйнштейна, и полученные уравнения описаны ниже.

Уравнения

Существует два независимых уравнения Фридмана для моделирования однородной изотропной Вселенной. Первое:

$${\frac {{\dot {a}}^{2}+kc^{2}}{a^{2}}}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}},$$

которая получается из 00-компоненты уравнений поля Эйнштейна . Второе:

$${\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}$$

которое получается из первого вместе со следом уравнений поля Эйнштейна (размерность двух уравнений - время ⁻² ).

a — масштабный фактор , G , Λ и c — универсальные константы ( G — гравитационная постоянная Ньютона , Λ — космологическая постоянная с размерной длиной ⁻² , c — скорость света в вакууме ). ρ и p — объемная плотность массы (а не объемная плотность энергии) и давление соответственно. k является постоянным во всем конкретном решении, но может меняться от одного решения к другому.

В предыдущих уравнениях a , ρ и p являются функциями времени. к / а ² — пространственная кривизна в любом временном интервале Вселенной; он равен одной шестой пространственного скаляра кривизны Риччи R, поскольку

$$R={\frac {6}{c^{2}a^{2}}}({\ddot {a}}a+{\dot {a}}^{2}+kc^{2})$$

в модели Фридмана. Ч ≡ ş / a — параметр Хаббла .

Мы видим, что в уравнениях Фридмана a ( t ) не зависит от того, какую систему координат мы выбрали для пространственных срезов. Есть два часто используемых варианта a и k, которые описывают одну и ту же физику:

• k = +1, 0 или −1 в зависимости от того, является ли форма Вселенной замкнутой 3-сферой , плоской ( евклидово пространство ) или открытым 3- гиперболоидом соответственно. Если k = +1 , то a — радиус кривизны Вселенной. Если k = 0 , то a может быть присвоено любому произвольному положительному числу в определенный момент времени. Если k = −1 , то (грубо говоря) можно сказать, что i · a — радиус кривизны Вселенной.
• a — масштабный коэффициент , который в настоящее время принимается равным 1. k — текущая пространственная кривизна (когда a = 1 ). Если форма Вселенной гиперсферическая 0 и R _t — радиус кривизны ( R _в настоящее время ), то a = Р _т / Р ₀ . Если k положительно, то Вселенная гиперсферична. Если k = 0 , то Вселенная плоская . Если k отрицательно, то Вселенная гиперболическая .

Используя первое уравнение, второе уравнение можно переписать как

$${\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right),$$

что исключает Λ и выражает сохранение массы-энергии :

$$T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }=0.$$

Эти уравнения иногда упрощают, заменяя

$${\begin{aligned}\rho &\to \rho -{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}&p&\to p+{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}\end{aligned}}$$

дать:

$${\begin{aligned}H^{2}=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}&={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\\{\dot {H}}+H^{2}={\frac {\ddot {a}}{a}}&=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right).\end{aligned}}$$

Упрощенная форма второго уравнения инвариантна относительно этого преобразования.

Параметр Хаббла может меняться со временем, если другие части уравнения зависят от времени (в частности, плотность массы, энергия вакуума или пространственная кривизна). Оценка параметра Хаббла в настоящее время дает константу Хаббла, которая является константой пропорциональности закона Хаббла . Применительно к жидкости с заданным уравнением состояния уравнения Фридмана дают временную эволюцию и геометрию Вселенной как функцию плотности жидкости.

Некоторые космологи называют второе из этих двух уравнений уравнением ускорения Фридмана и оставляют термин «уравнение Фридмана» только для первого уравнения.

Параметр плотности

Параметр плотности Ω определяется как отношение фактической (или наблюдаемой) плотности ρ к критической плотности ρ _c вселенной Фридмана. Соотношение между фактической плотностью и критической плотностью определяет общую геометрию Вселенной; когда они равны, геометрия Вселенной плоская (евклидова). В более ранних моделях, которые не включали космологическую постоянную , критическая плотность изначально определялась как точка водораздела между расширяющейся и сжимающейся Вселенной.

На сегодняшний день критическая плотность оценивается примерно в пять атомов ( одноатомного водорода ) на кубический метр, тогда как средняя плотность обычного вещества во Вселенной считается равной 0,2–0,25 атомов на кубический метр.

Предполагаемое относительное распределение компонентов плотности энергии Вселенной. Темная энергия доминирует в общей энергии (74%), тогда как темная материя (22%) составляет большую часть массы. Из оставшейся барионной материи (4%) только одна десятая часть компактна. В феврале 2015 года исследовательская группа под руководством Европы, стоящая за космологическим зондом «Планк», опубликовала новые данные, уточняющие эти значения до 4,9% обычной материи, 25,9% темной материи и 69,1% темной энергии.

Гораздо большую плотность дает неопознанная темная материя , хотя и обычная, и темная материя способствуют сжатию Вселенной. Однако большая часть исходит от так называемой темной энергии , на которую приходится космологическая постоянная. Хотя полная плотность равна критической плотности (точно, с точностью до ошибки измерения), темная энергия не приводит к сжатию Вселенной, а, скорее, может ускорить ее расширение.

Выражение для критической плотности находится, если предположить, что Λ равно нулю (как и для всех основных вселенных Фридмана) и положить нормализованную пространственную кривизну k равной нулю. Применив замены к первому из уравнений Фридмана, мы находим:

$$\rho _{\mathrm {c} }={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}=1.8788\times 10^{-26}h^{2}{\rm {kg}}\,{\rm {m}}^{-3}=2.7754\times 10^{11}h^{2}M_{\odot }\,{\rm {Mpc}}^{-3},$$

(где h = H ₀ /(100 км/с/Мпк) . Для H _o = 67,4 км/с/Мпк , т.е. h = 0,674 , ρ _c = 8,5 × 10 ⁻²⁷ кг/м ³ ).

Параметр плотности (полезный для сравнения различных космологических моделей) затем определяется как:

$$\Omega \equiv {\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G\rho }{3H^{2}}}.$$

Первоначально этот термин использовался как средство определения пространственной геометрии Вселенной, где ρ _c — критическая плотность, при которой пространственная геометрия является плоской (или евклидовой). Предполагая нулевую плотность энергии вакуума, если Ω больше единицы, космические секции Вселенной закрыты; Вселенная в конечном итоге перестанет расширяться, а затем коллапсирует. Если Ω меньше единицы, они открыты; и Вселенная будет расширяться вечно. Однако можно также включить члены пространственной кривизны и энергии вакуума в более общее выражение для Ω, и в этом случае этот параметр плотности равен точно единице. Затем речь идет об измерении различных компонентов, обычно обозначаемых нижними индексами. Согласно модели ΛCDM , существуют важные компоненты Ω , обусловленные барионами , холодной темной материей и темной энергией . Пространственная геометрия Вселенной , по измерениям космического корабля WMAP , почти плоская. Это означает, что Вселенную можно хорошо аппроксимировать моделью, в которой параметр пространственной кривизны к равен нулю; однако это не обязательно означает, что Вселенная бесконечна: возможно, Вселенная намного больше той части, которую мы видим.

Первое уравнение Фридмана часто рассматривают в терминах текущих значений параметров плотности, т.е.

$${\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }.$$

Здесь Ω _0,R — сегодняшняя плотность излучения (когда a = 1 ), Ω _0,M — сегодняшняя плотность материи ( темной плюс барионной ), Ω _{0, k} = 1 − Ω ₀ — сегодняшняя «плотность пространственной кривизны», 0 Ω _,Λ — космологическая постоянная или плотность вакуума сегодня.

Полезные решения

Уравнения Фридмана могут быть точно решены в присутствии идеальной жидкости с уравнением состояния

$$p=w\rho c^{2},$$

где p — давление , ρ — массовая плотность жидкости в сопутствующей системе отсчета, а w — некоторая константа.

В пространственно плоском случае ( k = 0 ) решение для масштабного коэффициента равно

$$a(t)=a_{0}\,t^{\frac {2}{3(w+1)}}$$

где a ₀ — некоторая константа интегрирования, фиксируемая выбором начальных условий. Это семейство решений, обозначенное w , чрезвычайно важно для космологии. Например, w = 0 описывает вселенную, в которой доминирует материя , где давление пренебрежимо мало по отношению к плотности массы. Из общего решения легко увидеть, что во Вселенной, где доминирует материя, масштабный коэффициент равен

$$a(t)\propto t^{2/3}$$

материя доминируетДругим важным примером является случай Вселенной с преобладанием излучения , а именно, когда w = 1 / 3 . Это приводит к

$$a(t)\propto t^{1/2}$$

радиационный

Обратите внимание, что это решение недействительно при доминировании космологической постоянной, которая соответствует w = −1 . В этом случае плотность энергии постоянна, а масштабный фактор растет экспоненциально.

Решения для других значений k можно найти на сайте Тершич, Бальса. «Конспекты лекций по астрофизике» . Проверено 24 февраля 2022 г.

Смеси

Если вещество представляет собой смесь двух и более невзаимодействующих жидкостей, каждая из которых имеет такое уравнение состояния, то

$${\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+{\frac {p_{f}}{c^{2}}}\right)\,$$

выполняется отдельно для каждой такой жидкости f . В каждом случае

$${\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+w_{f}\rho _{f}\right)\,$$

из чего мы получаем

$${\rho }_{f}\propto a^{-3\left(1+w_{f}\right)}\,.$$

Например, можно образовать линейную комбинацию таких членов

$$\rho =Aa^{-3}+Ba^{-4}+Ca^{0}\,$$

где A — плотность «пыли» (обычной материи, w = 0 ), когда a = 1 ; B – плотность излучения ( w = 1/3 = а ) 1 когда ; C = — плотность «темной энергии» ( w −1 ). Затем это заменяется на

$$\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\,$$

и решает для a как функцию времени.

Подробный вывод

Чтобы сделать решения более явными, мы можем вывести полные соотношения из первого уравнения Фридмана:

$${\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }$$

с

$${\begin{aligned}H&={\frac {\dot {a}}{a}}\\[6px]H^{2}&=H_{0}^{2}\left(\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }\right)\\[6pt]H&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\dot {a}}{a}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} t}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\mathrm {d} a&=\mathrm {d} tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\end{aligned}}$$

Перестановка и изменение использования переменных a ′ и t ′ для интегрирования

$$tH_{0}=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a'^{2}}}}$$

Могут быть найдены решения зависимости масштабного фактора от времени для вселенных, в которых доминирует каждый компонент. В каждом из них мы также предположили, что Ω _{0, k} ≈ 0 , что то же самое, что предположить, что доминирующий источник плотности энергии равен примерно 1.

Для вселенных с доминированием материи, где 0 _,M ≫ 0 _,R и 0 _{, Λ} , а также 0 _,M ≈ 1 :

$${\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}&=\left.\left({\tfrac {2}{3}}{a'}^{3/2}\right)\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left({\tfrac {3}{2}}tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}\right)^{2/3}&=a(t)\end{aligned}}$$

который восстанавливает вышеупомянутое a ∝ t ^2/3

Для вселенных с доминированием излучения, где Ω _0,R ≫ Ω _0,M и Ω _0,Λ , а также Ω _0,R ≈ 1 :

$${\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}&=\left.{\frac {a'^{2}}{2}}\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left(2tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}\right)^{1/2}&=a(t)\end{aligned}}$$

Для вселенных с Λ -доминированием, где Ω _{0, Λ} ≫ Ω _0,R и Ω _0,M , а также Ω _{0, Λ} ≈ 1 и где мы теперь изменим наши границы интегрирования с t _i на t и аналогично _я к ​ :

$${\begin{aligned}\left(t-t_{i}\right)H_{0}&=\int _{a_{i}}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {(\Omega _{0,\Lambda }a'^{2})}}}\\[6px]\left(t-t_{i}\right)H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}&={\bigl .}\ln |a'|\,{\bigr |}_{a_{i}}^{a}\\[6px]a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)&=a(t)\end{aligned}}$$

Решение вселенной с доминированием Λ представляет особый интерес, поскольку вторая производная по времени положительна и не равна нулю; другими словами, подразумевая ускоряющееся расширение Вселенной, что делает ρ _Λ кандидатом на роль темной энергии :

$${\begin{aligned}a(t)&=a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}\textstyle {\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\\[6px]{\frac {\mathrm {d} ^{2}a(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}&=a_{i}{H_{0}}^{2}\,\Omega _{0,\Lambda }\exp \left((t-t_{i})H_{0}\textstyle {\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\end{aligned}}$$

Там, где по построению a _i > 0 , наши предположения были Ω _{0, Λ} ≈ 1 и H ₀ было измерено как положительное, что привело к тому, что ускорение было больше нуля.

Фридмана

Набор

$${\tilde {a}}={\frac {a}{a_{0}}},\quad \rho _{c}={\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}},\quad \Omega ={\frac {\rho }{\rho _{\mathrm {c} }}},\quad t={\frac {\tilde {t}}{H_{0}}},\quad \Omega _{\mathrm {k} }=-{\frac {kc^{2}}{H_{0}^{2}a_{0}^{2}}},$$

где a ₀ и H ₀ — это отдельно масштабный коэффициент и параметр Хаббла сегодня.Тогда мы сможем иметь

$${\frac {1}{2}}\left({\frac {d{\tilde {a}}}{d{\tilde {t}}}}\right)^{2}+U_{\text{eff}}({\tilde {a}})={\frac {1}{2}}\Omega _{\mathrm {k} }$$

где

$$U_{\text{eff}}({\tilde {a}})={\frac {-\Omega {\tilde {a}}^{2}}{2}}.$$

Для любой формы эффективного потенциала U _eff ( ã ) существует уравнение состояния p = p ( ρ ), которое его создаст.

В популярной культуре

Несколько студентов Университета Цинхуа ( КПК лидера Си Цзиньпина ) альма-матер , участвовавших в протестах против COVID-19 в Китае в 2022 году, несли плакаты с нацарапанными на них уравнениями Фридмана, которые некоторые интерпретировали как игру слов «Свободный человек». Другие интерпретировали использование уравнений как призыв «открыть» Китай и прекратить его политику нулевого Covid, поскольку уравнения Фридмана относятся к расширению или «открытию» Вселенной.

См. также

• Математика общей теории относительности
• Решения уравнений поля Эйнштейна
• Теплая инфляция

Дальнейшее чтение

• Либшер, Дирк-Эккехард (2005). "Расширение" . Космология . Берлин: Шпрингер. стр. 53–77. ISBN  3-540-23261-3 .