Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях

Теоремы Пенроуза-Хокинга об особенностях (после Роджера Пенроуза и Стивена Хокинга ) представляют собой набор результатов в общей теории относительности , которые пытаются ответить на вопрос о том, когда гравитация порождает сингулярности . Теорема Пенроуза о сингулярности — это теорема полуримановой геометрии , и ее общая релятивистская интерпретация предсказывает гравитационную сингулярность при формировании черной дыры. Теорема Хокинга о сингулярности основана на теореме Пенроуза и интерпретируется как гравитационная сингулярность в ситуации Большого взрыва . Пенроуз был удостоен Нобелевской премии по физике в 2020 году «за открытие того, что образование черных дыр является надежным предсказанием общей теории относительности», которым он поделился с Рейнхардом Гензелем и Андреа Гез .

Сингулярность

Сингулярность в решениях уравнений поля Эйнштейна — это одно из трех:

• Пространственноподобные сингулярности: сингулярность находится в будущем или прошлом всех событий в определенном регионе. Сингулярность Большого взрыва и типичная сингулярность внутри невращающейся незаряженной черной дыры Шварцшильда подобны пространству.
• Временные сингулярности: это сингулярности, которых наблюдатель может избежать, поскольку они не обязательно происходят в будущем всех событий. Наблюдатель мог бы иметь возможность перемещаться вокруг времениподобной сингулярности. Они менее распространены в известных решениях уравнений поля Эйнштейна .
• Нулевые особенности. Эти особенности возникают на светоподобных или нулевых поверхностях. Пример можно найти в некоторых типах недр черных дыр, таких как горизонт Коши заряженной ( Рейсснер-Нордстрем ) или вращающейся ( Керр ) черной дыры.

Особенность может быть как сильной, так и слабой:

• Слабые сингулярности. Слабая сингулярность — это такая сингулярность, в которой приливные силы (которые ответственны за спагеттификацию в черных дырах) не обязательно бесконечны. Наблюдатель, попадающий в слабую сингулярность, возможно, не будет разорван на части, прежде чем достигнет сингулярности, хотя законы физики там все равно нарушатся. Горизонт Коши внутри заряженной или вращающейся черной дыры может быть примером слабой сингулярности.
• Сильные сингулярности. Сильная сингулярность — это такая сингулярность, при которой приливные силы становятся бесконечными. В сильной сингулярности любой объект будет разрушен бесконечными приливными силами по мере приближения к сингулярности. Сингулярность в центре черной дыры Шварцшильда является примером сильной сингулярности.

Пространственноподобные сингулярности — это особенность невращающихся незаряженных черных дыр , описываемая метрикой Шварцшильда , тогда как времяподобные сингулярности — это те, которые возникают в точных решениях заряженных или вращающихся черных дыр. Оба они обладают свойством геодезической неполноты , при котором ни какой-то путь света, ни какой-то путь частицы не могут быть расширены за пределы определенного собственного времени или аффинного параметра (аффинный параметр является нулевым аналогом собственного времени).

черной дыры возникает своего рода геодезическая неполнота Теорема Пенроуза гарантирует, что внутри любой , когда материя удовлетворяет разумным энергетическим условиям . Условие энергии, требуемое для теоремы о сингулярности черной дыры, является слабым: оно гласит, что световые лучи всегда фокусируются вместе под действием гравитации и никогда не раздвигаются, и это справедливо всякий раз, когда энергия материи неотрицательна.

Теорема Хокинга о сингулярности относится ко всей Вселенной и работает в обратном направлении: она гарантирует, что (классический) Большой взрыв имеет бесконечную плотность. Эта теорема более ограничена и справедлива только тогда, когда материя подчиняется более сильному энергетическому условию, называемому условием сильной энергии , в котором энергия больше давления. Вся обычная материя, за исключением вакуумного среднего скалярного поля , подчиняется этому условию. Во время инфляции Вселенная нарушает доминирующее энергетическое состояние, и это первоначально утверждалось (например, Старобинским). ), что инфляционные космологии могли бы избежать первоначальной сингулярности Большого взрыва. Однако с тех пор было показано, что инфляционная космология все еще не завершена. и, таким образом, для описания прошлой границы расширяющейся области пространства-времени требуется физика, отличная от инфляции.

До сих пор остается открытым вопрос, предсказывает ли (классическая) общая теория относительности пространственноподобные сингулярности внутри реалистичных заряженных или вращающихся черных дыр, или же они являются артефактами решений с высокой симметрией и превращаются в нулевые или времениподобные сингулярности при добавлении возмущений.

Интерпретация и значение

В общей теории относительности сингулярность — это место, которого объекты или лучи света могут достичь за конечное время, где кривизна становится бесконечной или пространство-время перестает быть многообразием . Сингулярности можно найти во всех пространствах-временях черных дыр, метрике Шварцшильда , метрике Рейсснера-Нордстрема , метрике Керра и метрике Керра-Ньюмана , а также во всех космологических решениях, которые не имеют энергии скалярного поля или космологической постоянной.

Невозможно предсказать, что может произойти из сингулярности Большого взрыва в нашем прошлом или что произойдет с наблюдателем, который попадет «в» сингулярность черной дыры в будущем, поэтому они требуют модификации физического закона. До Пенроуза можно было предположить, что сингулярности образуются только в надуманных ситуациях. Например, при коллапсе звезды с образованием черной дыры, если звезда вращается и, таким образом, обладает некоторым угловым моментом , возможно, центробежная сила частично противодействует гравитации и препятствует образованию сингулярности. Теоремы о сингулярности доказывают, что этого не может произойти и что сингулярность всегда будет формироваться, как только образуется горизонт событий .

В примере с коллапсирующей звездой, поскольку вся материя и энергия являются источником гравитационного притяжения в общей теории относительности, дополнительный угловой момент только сильнее стягивает звезду по мере ее сжатия: часть за пределами горизонта событий в конечном итоге превращается в черную дыру Керра. (см. теорему об отсутствии волос ). Часть внутри горизонта событий обязательно имеет где-то сингулярность. Доказательство в некоторой степени конструктивно: оно показывает, что сингулярность можно обнаружить, следуя за лучами света от поверхности, находящейся прямо за горизонтом. Но в доказательстве не говорится, какой тип сингулярности имеет место: пространственноподобный, времениподобный, нулевой, орбифолдный , скачкообразный разрыв в метрике. Это только гарантирует, что если следовать времяподобным геодезическим в будущее, невозможно, чтобы граница области, которую они образуют, была порождена нулевыми геодезическими с поверхности. Это означает, что граница должна либо возникнуть из ниоткуда, либо все будущее заканчивается на каком-то конечном участке.

Интересную «философскую» особенность общей теории относительности раскрывают теоремы о сингулярности. Поскольку общая теория относительности предсказывает неизбежное появление сингулярностей, теория не будет полной без описания того, что происходит с материей, попадающей в сингулярность. Можно расширить общую теорию относительностик единой теории поля, такой как система Эйнштейна-Максвелла-Дирака, где такие особенности не встречаются.

Элементы теорем

В истории существует глубокая связь между кривизной многообразия и его топологией . Теорема Бонне -Майерса утверждает, что полное риманово многообразие которого , кривизна Риччи всюду больше некоторой положительной константы, должно быть компактным . Условие положительной кривизны Риччи удобнее всего формулировать следующим образом: для каждой геодезической существует близкая изначально параллельная геодезическая, которая при расширении изгибается к ней, и они пересекаются на некоторой конечной длине.

Когда две близлежащие параллельные геодезические пересекаются (см. сопряженную точку ), продолжение любой из них больше не является кратчайшим путем между конечными точками. Причина в том, что два параллельных геодезических пути обязательно сталкиваются после продолжения равной длины, и если до пересечения следует один путь, а затем другой, вы соединяете конечные точки негеодезическим путем равной длины. Это означает, что для того, чтобы геодезическая была кратчайшим путем, она никогда не должна пересекать соседние параллельные геодезические.

Начав с небольшой сферы и отправив параллельные геодезические от границы, предполагая, что многообразие имеет кривизну Риччи, ограниченную снизу положительной константой, через некоторое время ни одна из геодезических не станет кратчайшим путем, поскольку все они сталкиваются с соседом. Это означает, что после определенного расширения все потенциально новые точки будут достигнуты. Если все точки связного многообразия находятся на конечном геодезическом расстоянии от небольшой сферы, многообразие должно быть компактным.

Роджер Пенроуз рассуждал аналогично в теории относительности. Если нулевые геодезические , пути световых лучей , прослеживаются в будущее, генерируются точки в будущем региона. Если точка находится на границе будущего региона, ее можно достичь, только двигаясь со скоростью света, не медленнее, поэтому нулевые геодезические включают всю границу собственного будущего региона. Когда нулевые геодезические пересекаются, они уже не находятся на границе будущего, а находятся внутри будущего. Итак, если все нулевые геодезические столкнутся, границы будущему не будет.

В теории относительности кривизна Риччи, определяющая столкновительные свойства геодезических, определяется тензором энергии , а ее проекция на световые лучи равна нулевой проекции тензора энергии-импульса и всегда неотрицательна. Это означает, что объем конгруэнции параллельных нулевых геодезических, начав уменьшаться, достигнет нуля за конечное время. Когда объем равен нулю, в каком-то направлении происходит коллапс, поэтому каждая геодезическая пересекает какого-то соседа.

Пенроуз пришел к выводу, что всякий раз, когда существует сфера, в которой все исходящие (и входящие) световые лучи изначально сходятся, граница будущего этой области закончится после конечного расширения, потому что все нулевые геодезические сойдутся. Это важно, поскольку все исходящие световые лучи для любой сферы внутри горизонта решения черной дыры сходятся, поэтому граница будущего этой области либо компактна, либо приходит из ниоткуда. Будущее интерьера либо заканчивается после конечного расширения, либо имеет границу, которая в конечном итоге генерируется новыми световыми лучами, которые невозможно проследить до исходной сферы.

Природа особенности

Теоремы о сингулярности используют понятие геодезической неполноты как замену наличия бесконечной кривизны. Геодезическая неполнота — это представление о том, что существуют геодезические , пути наблюдателей в пространстве-времени, которые могут быть продлены только на конечное время, измеренное наблюдателем, путешествующим по ним. Предположительно, в конце геодезической наблюдатель попал в сингулярность или столкнулся с какой-то другой патологией, при которой нарушаются законы общей теории относительности.

Предположения теорем

Обычно теорема о сингулярности состоит из трех компонентов:

1. Энергетическое состояние по данному вопросу,
2. Условие глобальной структуры пространства-времени .
3. Гравитация достаточно сильна (где-то), чтобы захватить регион.

Для каждого ингредиента существуют различные возможности, и каждый из них приводит к разным теоремам о сингулярности.

Используемые инструменты

Ключевым инструментом, используемым при формулировке и доказательстве теорем о сингулярности, является уравнение Райчаудхури , которое описывает дивергенцию $\theta$ сравнения ( семейства ) геодезических. Дивергенция сравнения определяется как производная логарифма определителя объема сравнения. Райчаудхуриуравнение

${\dot {\theta }}=-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}-{\frac {1}{3}}\theta ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}$

где $\sigma _{ab}$ – тензор сдвига сравнения и ${E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}$ также известен как скаляр Райчаудхури ( сравнения подробности см. на странице ). Ключевым моментом является то, что ${E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}$ будет неотрицательным при условии, что выполняются уравнения поля Эйнштейна и

• выполняется условие нулевой энергии и геодезическое сравнение равно нулю, или
• выполняется условие сильной энергии и геодезическая конгруэнтность времениподобна.

Когда они выполняются, дивергенция становится бесконечной при некотором конечном значении аффинного параметра. Таким образом, все геодезические, выходящие из точки, в конечном итоге снова сойдутся через конечное время, при условии, что выполняется соответствующее условие энергии, результат, также известный как теорема о фокусировке .

Это актуально для особенностей благодаря следующему аргументу:

1. Предположим, у нас есть пространство-время, которое является глобально гиперболическим , и две точки $p$ и $q$ которые могут быть связаны времениподобной или нулевой кривой . Тогда существует геодезическая максимальной длины, соединяющая $p$ и $q$. Назовите это геодезическим $\gamma$.
2. Геодезический $\gamma$ можно изменить до более длинной кривой, если другая геодезическая из $p$ пересекает $\gamma$ в другой точке, называемой сопряженной точкой .
3. Из фокусирующей теоремы мы знаем, что все геодезические из $p$ имеют сопряженные точки при конечных значениях аффинного параметра. В частности, это справедливо для геодезической максимальной длины. Но это противоречие: следовательно, можно заключить, что пространство-время геодезически неполно.

В общей теории относительности существует несколько версий теоремы Пенроуза–Хокинга об особенностях . В большинстве версий грубо утверждается, что если существует захваченная нулевая поверхность и плотность энергии неотрицательна, то существуют геодезические конечной длины, которые невозможно расширить.

Эти теоремы, строго говоря, доказывают, что существует по крайней мере одна непространственноподобная геодезическая, которую можно лишь конечно продолжить в прошлое, но существуют случаи, когда условия этих теорем выполняются таким образом, что все направленные в прошлое пространственно-временные пути заканчиваются в точке особенность.

Версии

Есть много версий; ниже приведена нулевая версия:

Предполагать

1. Условие нулевой энергии выполняется.
2. Имеем некомпактную связную поверхность Коши .
3. У нас есть замкнутая захваченная нулевая поверхность. ${\mathcal {T}}$.

Тогда мы имеем либо нулевую геодезическую неполноту, либо замкнутые времениподобные кривые .

Схема доказательства : Доказательство от противного. Граница будущего ${\mathcal {T}}$, ${\dot {J}}({\mathcal {T}})$ генерируется нулевыми геодезическими сегментами, происходящими из ${\mathcal {T}}$ с касательными векторами, ортогональными ему. Будучи захваченной нулевой поверхностью, по нулевому уравнению Райчаудхури оба семейства нулевых лучей, исходящих из ${\mathcal {T}}$ столкнется с каустиками. (Каустика сама по себе не является проблемной. Например, граница будущего двух пространственноподобных разделенных точек представляет собой объединение двух будущих световых конусов с удаленными внутренними частями пересечения. Каустика возникает там, где световые конусы пересекаются, но сингулярности не существует. там.) Нулевые геодезические, порождающие ${\dot {J}}({\mathcal {T}})$ однако должны завершиться, т.е. достичь своих будущих конечных точек на уровне каустики или до нее. В противном случае мы можем взять два нулевых геодезических сегмента, меняющихся на каустике, а затем слегка деформировать их, чтобы получить времяподобную кривую, соединяющую точку на границе с точкой на границе. ${\mathcal {T}}$, противоречие. Но как ${\mathcal {T}}$ компактен, учитывая непрерывную аффинную параметризацию геодезических генераторов, существует нижняя граница абсолютного значения параметра разложения. Итак, мы знаем, что каустика будет развиваться для каждого генератора до того, как пройдет равномерная граница аффинного параметра. Как результат, ${\dot {J}}({\mathcal {T}})$ должен быть компактным. Либо мы имеем замкнутые времениподобные кривые, либо мы можем построить конгруэнцию по времениподобным кривым, и каждая из них должна ровно один раз пересечь некомпактную поверхность Коши. Рассмотрим все такие времениподобные кривые, проходящие через ${\dot {J}}({\mathcal {T}})$ и посмотрим на их изображение на поверхности Коши. Будучи непрерывной картой, изображение также должно быть компактным. Будучи времениподобным сравнением , времяподобные кривые не могут пересекаться, и поэтому отображение инъективно . Если бы поверхность Коши была некомпактной, то изображение имело бы границу. Мы предполагаем, что пространство-время состоит из одной связанной части. Но ${\dot {J}}({\mathcal {T}})$ компактен и без границ, поскольку граница границы пуста. Непрерывное инъективное отображение не может создать границу, что приводит к нашему противоречию.

Лазейки : если существуют замкнутые времениподобные кривые, то времяподобные кривые не обязательно должны пересекать частичную поверхность Коши. Если бы поверхность Коши была компактной, т. е. пространство компактно, нулевые геодезические образующие границы могли бы пересекаться повсюду, поскольку они могут пересекаться на другой стороне пространства.

Существуют также другие версии теоремы, включающие условие слабой или сильной энергии.

Модифицированная гравитация

В модифицированной гравитации уравнения поля Эйнштейна не выполняются, поэтому эти особенности не обязательно возникают. Например, в «Бесконечной производной гравитации » возможно ${E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}$ быть отрицательным, даже если выполняется условие нулевой энергии.

Ссылки

• Хокинг, Стивен и Эллис, СКФ (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09906-4 . Классическая ссылка.
• Натарио, Дж. (2006). «Относительность и особенности - краткое введение для математиков». Ресенхас . 6 : 309–335. arXiv : math.DG/0603190 . Бибкод : 2006math......3190N .
• Пенроуз, Роджер (1965), «Гравитационный коллапс и особенности пространства-времени», Phys. Преподобный Летт. , 14 (3): 57, Бибкод : 1965PhRvL..14...57P , doi : 10.1103/PhysRevLett.14.57
• Гарфинкл, Д.; Сеновилла, JMM (2015), «Теорема Пенроуза об особенностях 1965 года», Класс. Квантовая гравитация. , 32 (12): 124008, arXiv : 1410.5226 , Bibcode : 2015CQGra..32l4008S , doi : 10.1088/0264-9381/32/12/124008 , S2CID   54622511 . Также доступен как arXiv : 1410.5226.
• Калвакота, Вайбхав Р. (2021), « Дискуссия по геометрии и общей теории относительности »
• См. также arXiv : hep-th/9409195 для соответствующей главы из «Крупномасштабной структуры пространства-времени» .
• Виттен, Эдвард (2020), «Световые лучи, особенности и все такое», Rev. Mod. Физ. 92 , 45004 (2020), https://doi.org/10.1103/RevModPhys.92.045004 . Также доступно по адресу https://arxiv.org/abs/1901.03928 . Отличный педагогический обзор причинных свойств общей теории относительности .