Окружность

В геометрии окружность это (от латинскогоcircerens , что означает «перенос») периметр круга — или эллипса . ^{[ 1 ]} Окружность — это длина дуги круга, как если бы она была раскрыта и выпрямлена до отрезка прямой . ^{[ 2 ]} В более общем смысле периметр — это длина кривой вокруг любой замкнутой фигуры. Окружность может также относиться к самому кругу, то есть к , соответствующему краю диска месту . Окружность сферы — это окружность или длина любого из ее больших кругов .

Круг

Окружность круга — это расстояние вокруг него, но если, как во многих элементарных трактовках, расстояние определяется с помощью прямых линий, это нельзя использовать в качестве определения. В этих обстоятельствах длину окружности можно определить как предел периметров вписанных правильных многоугольников , поскольку число сторон неограниченно увеличивается. ^{[ 3 ]} Термин окружность используется при измерении физических объектов, а также при рассмотрении абстрактных геометрических форм.

круга Когда радиус равен 1 (это называется единичным кругом) , его длина равна $2\pi .$

Связь с $π$

Длина окружности связана с одной из важнейших математических констант . Эта константа Пи . обозначается греческой буквой $\pi .$ Первые несколько десятичных цифр числового значения $\pi$ 3.141592653589793... ^{[ 4 ]} Пи определяется как отношение длины окружности $C$ на его диаметр $d:$ $\pi ={\frac {C}{d}}.$

Или, что то же самое, как отношение длины окружности к удвоенному радиусу . Приведенную выше формулу можно переделать для вычисления длины окружности: ${C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!$

Отношение длины окружности к ее радиусу называется постоянной окружности и эквивалентно $2\pi$ . Значение $2\pi$ также количество радианов за один оборот . Математическая константа $π$ повсеместно используется в математике, технике и науке.

В книге «Измерение круга», написанной около 250 г. до н. э., Архимед показал, что это соотношение ( $C/d,$ поскольку он не использовал имя $π$ ) было больше 3 ⁠ 10 / 71 ⁠ но менее 3 ⁠ 1/7 сторонами ⁠ . путём вычисления периметров вписанного и описанного правильного многоугольника с 96 ^{[ 5 ]} Этот метод аппроксимации $числа π$ использовался на протяжении веков, получая большую точность за счет использования многоугольников с все большим и большим числом сторон. Последний такой расчет был выполнен в 1630 году Кристофом Гринбергером, который использовал многоугольники с 10 ⁴⁰ стороны.

Эллипс

Некоторые авторы используют окружность для обозначения периметра эллипса. Не существует общей формулы длины окружности эллипса через большую и малую полуоси эллипса, в которой используются только элементарные функции. Однако существуют приблизительные формулы для этих параметров. Одно из таких приближений Эйлера (1773) для канонического эллипса: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$ является $C_{\rm {ellipse}}\sim \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.$ Некоторые нижние и верхние оценки длины окружности канонического эллипса с $a\geq b$ являются: ^{[ 6 ]} $2\pi b\leq C\leq 2\pi a,$ $\pi (a+b)\leq C\leq 4(a+b),$ $4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq C\leq \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.$

Здесь верхняя граница $2\pi a$ - это длина описанной концентрической окружности, проходящей через конечные точки большой оси эллипса, а нижняя граница $4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ — периметр вписанного вершинами ромба с . на концах большой и малой осей

Длина окружности эллипса может быть точно выражена через полный эллиптический интеграл второго рода . ^{[ 7 ]} Точнее, $C_{\rm {ellipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta ,$ где $a$ длина большой полуоси и $e$ это эксцентриситет ${\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.$

См. также

Длина дуги – расстояние вдоль кривой
Площадь – размер двумерной поверхности.
Циркумгон – геометрическая фигура, описывающая круг.
Изопериметрическое неравенство - геометрическое неравенство, которое устанавливает нижнюю границу площади поверхности множества с учетом его объема.
Радиус, эквивалентный периметру — радиус круга или сферы, эквивалентный некруглому или несферическому объекту.
Изопериметрическое неравенство - геометрическое неравенство, которое устанавливает нижнюю границу площади поверхности множества с учетом его объема.

Ссылки

^ Государственный университет Сан-Диего (2004 г.). «Периметр, площадь и окружность» (PDF) . Аддисон-Уэсли . Архивировано из оригинала (PDF) 6 октября 2014 года.
^ Беннетт, Джеффри; Бриггс, Уильям (2005), Использование и понимание математики / Подход к количественному рассуждению (3-е изд.), Аддисон-Уэсли, стр. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
^ Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman and Co., с. 565, ISBN 0-7167-0456-0
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000796» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Кац, Виктор Дж. (1998), История математики / Введение (2-е изд.), Аддисон-Уэсли Лонгман, стр. 109 , ISBN 978-0-321-01618-8
^ Джеймсон, GJO (2014). «Неравенства для периметра эллипса». Математический вестник . 98 (499): 227–234. дои : 10.2307/3621497 . JSTOR 3621497 . S2CID 126427943 .
^ Альмквист, Герт; Берндт, Брюс (1988), «Гаусс, Ланден, Рамануджан, среднее арифметико-геометрическое, эллипсы, $π$ и женский дневник», American Mathematical Monthly , 95 (7): 585–608, doi : 10.2307/2323302 , JSTOR 2323302 , МР 0966232 , S2CID 119810884

Внешние ссылки

Нумерикана – длина окружности эллипса.

[1] Государственный университет Сан-Диего (2004 г.). «Периметр, площадь и окружность» (PDF) . Аддисон-Уэсли . Архивировано из оригинала (PDF) 6 октября 2014 года.

[2] Беннетт, Джеффри; Бриггс, Уильям (2005), Использование и понимание математики / Подход к количественному рассуждению (3-е изд.), Аддисон-Уэсли, стр. 580, ISBN 978-0-321-22773-7

[3] Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman and Co., с. 565, ISBN 0-7167-0456-0

[4] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000796» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[5] Кац, Виктор Дж. (1998), История математики / Введение (2-е изд.), Аддисон-Уэсли Лонгман, стр. 109 , ISBN 978-0-321-01618-8

[6] Джеймсон, GJO (2014). «Неравенства для периметра эллипса». Математический вестник . 98 (499): 227–234. дои : 10.2307/3621497 . JSTOR 3621497 . S2CID 126427943 .

[7] Альмквист, Герт; Берндт, Брюс (1988), «Гаусс, Ланден, Рамануджан, среднее арифметико-геометрическое, эллипсы, $π$ и женский дневник», American Mathematical Monthly , 95 (7): 585–608, doi : 10.2307/2323302 , JSTOR 2323302 , МР 0966232 , S2CID 119810884

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]