Функция нескольких действительных переменных

В математическом анализе и его приложениях функция нескольких действительных переменных или действительная многомерная функция — это функция с более чем одним аргументом , причем все аргументы являются действительными переменными. Эта концепция расширяет идею функции действительной переменной на несколько переменных. «Входные» переменные принимают действительные значения, а «выходные», также называемые «значением функции», могут быть вещественными или комплексными . Однако изучение комплекснозначных функций можно легко свести к изучению вещественнозначных функций , рассматривая действительную и мнимую части комплексной функции; поэтому, если явно не указано иное, в этой статье будут рассматриваться только функции с действительным знаком.

Область определения функции $n$ переменных - подмножество это ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$ ⁠, для которого определена функция. Как обычно, предполагается, что область определения функции нескольких действительных переменных содержит непустое открытое подмножество ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$ ⁠ .

Общее определение

п = 1

п = 2

п = 3

Функции

f (x 1, x 2, \dots, x n)

от

n

переменных, построенные в виде графиков в пространстве

R п + 1

. Домены представляют собой красные

n

-мерные области, изображения — фиолетовые

n

-мерные кривые.

Функция с действительным знаком $n$ действительных переменных — это функция , которая принимает на вход $n$ действительных чисел , обычно представленных переменными x $1, x 2, \dots, x n$ , для получения другого действительного числа, значения функции, обычно обозначаемого $ж (Икс 1, Икс 2, \dots, Икс п)$ . Для простоты в этой статье вещественная функция нескольких вещественных переменных будет называться просто функцией . Чтобы избежать какой-либо двусмысленности, другие типы функций, которые могут возникнуть, будут явно указаны.

Некоторые функции определены для всех действительных значений переменных (говорят, что они определены всюду), но некоторые другие функции определены только в том случае, если значение переменной взято из подмножества $X$ из $R. н$ , область определения функции, которая всегда должна содержать открытое подмножество $R н$ . Другими словами, действительная функция от $n$ действительных переменных — это функция

f:X\to \mathbb {R}

такой, что его область определения $X$ является подмножеством $R н$ содержащее непустое открытое множество.

Элемент $X$ представляет собой $n$ - кортеж $(x 1, x 2, \dots, x n)$ (обычно ограничивается круглыми скобками), общее обозначение для обозначения функций будет $f ((x 1, x 2, \dots, x n) )$ . Обычное использование, намного старше общего определения функций между множествами, заключается в том, чтобы не использовать двойные круглые скобки и просто писать $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ .

Также принято сокращать $n$ -кортеж $(x 1, x 2, \dots, x n),$ используя обозначения, аналогичные обозначениям для векторов , например жирный шрифт $x$ , подчеркивание $x$ или перечеркивание $x \to$ . В этой статье будет использован жирный шрифт.

Простым примером функции с двумя переменными может быть:

{\begin{aligned}&V:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(A,h)\in \mathbb {R} ^{2}\mid A>0,h>0\right\}\\&V(A,h)={\frac {1}{3}}Ah\end{aligned}}

который представляет собой объем $V$ конуса измеренной с площадью основания $A$ и высотой $h,$ перпендикулярно основанию. Область определения ограничивает все переменные положительными значениями, поскольку длины и площади должны быть положительными.

Для примера функции с двумя переменными:

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \\&z(x,y)=ax+by\end{aligned}}

где $a$ и $b$ — действительные ненулевые константы. Используя трехмерную декартову систему координат , где плоскость xy является областью $R 2$ а ось z представляет собой кодомен $R$ изображение как двумерную плоскость с наклоном a $b$ в положительном направлении x и наклоном $, можно визуализировать$ в положительном направлении y. Функция четко определена во всех точках $(x, y)$ в $R 2$ . Предыдущий пример можно легко расширить до более высоких измерений:

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} \\&z(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{p}x_{p}\end{aligned}}

для $p$ ненулевых действительных констант $a 1, a 2, \dots, a p$ , описывающих $p$ -мерную гиперплоскость .

норма Евклидова :

f({\boldsymbol {x}})=\|{\boldsymbol {x}}\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}

также является функцией n переменных, которая определена всюду, а

g({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{f({\boldsymbol {x}})}}

определяется только для $x \neq (0, 0, \dots, 0)$ .

Для примера нелинейной функции с двумя переменными:

{\begin{aligned}&z:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,x^{2}+y^{2}\leq 8\,,\,x\neq 0\,,\,y\neq 0\right\}\\&z(x,y)={\frac {1}{2xy}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\end{aligned}}

который принимает все точки из $X$ , диск радиуса $\sqrt 8,$ «проколотый» в начале координат $(x, y) = (0, 0)$ в плоскости $R 2$ точку в $R.$ и возвращает Функция не включает начало координат $(x, y) = (0, 0)$ . Если бы это было так, то $f$ в этой точке было бы неправильно определено. Использование трехмерной декартовой системы координат с плоскостью xy в качестве области $R. 2$ , а ось z — кодомен $R$ , изображение можно визуализировать как изогнутую поверхность.

Функция может быть вычислена в точке $(x, y) = (2, \sqrt 3)$ в $X$ :

z\left(2,{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}}}{\sqrt {\left(2\right)^{2}+\left({\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\frac {1}{4{\sqrt {3}}}}{\sqrt {7}}\,,

Однако функцию нельзя было вычислить, скажем,

(x,y)=(65,{\sqrt {10}})\,\Rightarrow \,x^{2}+y^{2}=(65)^{2}+({\sqrt {10}})^{2}>8

поскольку эти значения $x$ и $y$ не удовлетворяют правилу предметной области.

Изображение

Образ x функции $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ — это набор всех значений $f$ когда $n$ -кортеж $(x 1,, 2, \dots, x n)$ выполняется во всей области определения $f.$ . Для непрерывной (см. определение ниже) действительной функции, имеющей связную область, изображение представляет собой либо интервал , либо одно значение. В последнем случае функция является постоянной функцией .

Прообраз данного действительного числа $c$ называется множеством уровня . Это набор решений уравнения f $(x 1, x 2, \dots, x n) = c$ .

Домен

Область определения функции нескольких действительных переменных является подмножеством $R н$ иногда, но не всегда, это определяется явно. Фактически, если ограничить область определения $X$ функции $f$ подмножества $Y \subset X$ , формально получится другая функция — ограничение f $до$ на $Y$ , которая обозначается $f|_{Y}$ . На практике часто (но не всегда) не вредно идентифицировать $f$ и $f|_{Y}$ и опустить ограничитель $| Ю.$

И наоборот, иногда можно естественным образом расширить область определения данной функции, например, путем непрерывности или аналитического продолжения .

Более того, многие функции определены таким образом, что трудно явно указать их область определения. Например, для функции $f$ может быть сложно указать область определения функции. $g({\boldsymbol {x}})=1/f({\boldsymbol {x}}).$ Если $f$ — многомерный полином (который имеет $\mathbb {R} ^{n}$ как область определения), трудно даже проверить, является ли область определения $g$ также $\mathbb {R} ^{n}$ . Это эквивалентно проверке того, всегда ли полином положителен и является ли объектом активной области исследований (см. Положительный полином ).

Алгебраическая структура

Обычные арифметические операции с действительными числами могут быть распространены на вещественные функции нескольких действительных переменных следующим образом:

Для каждого действительного числа $r$ постоянная функция $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto r$ везде определено.
Для каждого действительного числа $r$ и каждой функции $f$ функция: $rf:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto rf(x_{1},\ldots ,x_{n})$ имеет ту же область определения, что и $f$ (или определена всюду, если $r = 0$ ).
Если $f$ и $g$ — две функции соответствующих областей $X$ и $Y$ такие, что $X \cap Y$ содержит непустое открытое подмножество $R н$ , затем $f\,g:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,g(x_{1},\ldots ,x_{n})$ и $g\,f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto g(x_{1},\ldots ,x_{n})\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ — это функции, область определения которых содержит $X \cap Y$ .

Отсюда следует, что функции от $п$ переменных, определенные всюду, и функции от $п$ переменных, определенные в некоторой окрестности данной точки, образуют коммутативные алгебры над вещественными числами ( $R$ -алгебры). Это прототип функционального пространства .

Аналогичным образом можно определить

1/f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto 1/f(x_{1},\ldots ,x_{n}),

которая является функцией, только если набор точек $(x 1, \dots, x n)$ в области определения $f$ таких, что $f (x 1, \dots, x n) \neq 0$ содержит открытое подмножество $R н$ . Это ограничение означает, что две вышеупомянутые алгебры не являются полями .

Функции с одной переменной, связанные с функцией с несколькими переменными

Можно легко получить функцию от одной вещественной переменной, придав постоянное значение всем переменным, кроме одной. Например, если $(a 1, an, \dots)$ является точкой внутренней области определения функции $f$ , мы можем зафиксировать значения $x 2, \dots, x n$ равными $a 2, \dots, соответственно an$ , чтобы получить функцию с одной переменной

x\mapsto f(x,a_{2},\ldots ,a_{n}),

интервал с центром в $1 чья область определения содержит$ . Эту функцию также можно рассматривать как ограничение функции $f$ на линию, определяемую уравнениями $x i = a i$ для $i = 2, \dots, n$ .

Другие функции с одной переменной могут быть определены путем ограничения $f$ любой линией, проходящей через $a 1, \dots, an ()$ . Это функции

x\mapsto f(a_{1}+c_{1}x,a_{2}+c_{2}x,\ldots ,a_{n}+c_{n}x),

где $c i$ — действительные числа, которые не все равны нулю.

В следующем разделе мы покажем, что если функция многих переменных непрерывна, то непрерывны и все эти функции одной переменной, но обратное не обязательно верно.

Непрерывность и предел

До второй половины XIX века только непрерывные функции математики рассматривали . Тогда понятие непрерывности было разработано для функций одной или нескольких действительных переменных задолго до формального определения топологического пространства и непрерывного отображения между топологическими пространствами. Поскольку непрерывные функции нескольких действительных переменных широко распространены в математике, стоит определить это понятие без ссылки на общее понятие непрерывных отображений между топологическими пространствами.

Для определения непрерывности полезно рассмотреть расстояния функцию $R н$ , которая является всюду определенной функцией $2 n$ действительных переменных:

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=d(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}

Функция $f$ непрерывна , в точке $a = (a 1, \dots, an) ε$ которая находится внутри ее области определения, если для каждого положительного действительного числа $существует$ положительное действительное число $φ$ такое, что $| ж (Икс) - ж (а)| < ε$ для всех $x$ таких, что $d (x a) < φ$ . Другими словами, $φ$ может быть выбрано достаточно малым, чтобы изображение $f$ шара радиуса $φ$ с центром в $a$ содержалось в интервале длины $2 ε$ с центром в $f (a)$ . Функция непрерывна, если она непрерывна в каждой точке своей области определения.

Если функция непрерывна в точке $f (a)$ , то все одномерные функции, полученные фиксированием всех переменных $xi,$ кроме одной, со значением $ai,$ непрерывны в точке $f (a)$ . Обратное неверно; это означает, что все эти одномерные функции могут быть непрерывными для функции, которая не является непрерывной в точке $f (a)$ . В качестве примера рассмотрим функцию $f$ такую, что $f (0, 0) = 0$ и в противном случае определяется формулой

f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.

Функции $x \mapsto f (x, 0)$ и $y \mapsto f (0, y)$ постоянны и равны нулю, поэтому непрерывны. Функция $f$ не является непрерывной в точке $(0, 0)$ , поскольку, если $ε < 1/2$ и $y = x 2 \neq 0$ , у нас есть $f (x, y) = 1/2$ , даже если $| х |$ очень мал. Хотя эта функция и не является непрерывной, она обладает еще одним свойством: все одномерные функции, полученные путем ее ограничения линией, проходящей через $(0, 0),$ также являются непрерывными. На самом деле, у нас есть

f(x,\lambda x)={\frac {\lambda x}{x^{2}+\lambda ^{2}}}

для $λ \neq 0$ .

Предел . в точке действительной функции нескольких действительных переменных определяется следующим образом ^[1] Пусть $a = (a 1, a 2, \dots,) an —$ точка топологического замыкания области $X$ функции $f$ . Функция $f$ имеет предел $L,$ когда $x$ стремится к $a$ , обозначаемый

L=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}),

если выполнено следующее условие:Для каждого положительного действительного числа $ε > 0$ существует положительное действительное число $δ > 0$ такое, что

|f({\boldsymbol {x}})-L|<\varepsilon

для всех $x$ в области определения таких, что

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {a}})<\delta .

Если предел существует, он уникален. Если $a$ находится внутри области, предел существует тогда и только тогда, когда функция непрерывна в точке $a$ . В этом случае мы имеем

f({\boldsymbol {a}})=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}).

Когда $a$ находится на границе области определения $f$ и если $f$ имеет предел в точке $a$ , последняя формула позволяет «расширить непрерывностью» область определения $f$ до $a$ .

Симметрия

Симметричная функция — это функция $f$ , которая не изменяется при $двух переменных x i$ и $x j$ замене :

f(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=f(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )

где $i$ и $j$ — каждый из $1, 2,\dots, n$ . Например:

f(x,y,z,t)=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}

симметричен по $x, y, z,$ поскольку замена любой пары $x, y, z$ оставляет $f$ неизменной, но не симметричен по всем $x, y, z, t$ , поскольку замена $t$ на $x$ , $y$ или $z$ дает другую функцию .

Функциональная композиция

Предположим, что функции

\xi _{1}=\xi _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\quad \xi _{2}=\xi _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\ldots \xi _{m}=\xi _{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),

более компактно $, ξ = ξ (x)$ определены в области $X.$ или , Поскольку $n$ -кортеж $x = (x 1, x 2, \dots, x n)$ меняется в $X$ , подмножество $R н$ , $m$ -кортеж $ξ = (ξ 1, ξ 2, \dots, ξ m)$ меняется в другой области $Ξ$ подмножества $R м$ . Чтобы повторить это:

{\boldsymbol {\xi }}:X\to \Xi .

Тогда функция $ζ$ функций $ξ (x),$ определенных на $Ξ$ ,

{\begin{aligned}&\zeta :\Xi \to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m}),\end{aligned}}

представляет собой композицию функций, определенную на $X$ , ^[2] другими словами, отображение

{\begin{aligned}&\zeta :X\to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}

Обратите внимание, что числа $m$ и $n$ не обязательно должны быть равны.

Например, функция

f(x,y)=e^{xy}[\sin 3(x-y)-\cos 2(x+y)]

определен всюду на $R 2$ можно переписать, введя

(\alpha ,\beta ,\gamma )=(\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=(xy,x-y,x+y)

которое также всюду определено в $R 3$ чтобы получить

f(x,y)=\zeta (\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=\zeta (\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{\alpha }[\sin(3\beta )-\cos(2\gamma )]\,.

Композиция функций может использоваться для упрощения функций, что полезно для выполнения множественных интегралов и решения уравнений в частных производных .

Исчисление

Элементарное исчисление — это исчисление вещественных функций одной действительной переменной, и основные идеи дифференцирования и интегрирования таких функций могут быть распространены на функции более чем одной действительной переменной; это расширение представляет собой исчисление с несколькими переменными .

Частные производные

Частные производные могут быть определены по отношению к каждой переменной:

{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

Частные производные сами по себе являются функциями, каждая из которых представляет скорость изменения $f$ параллельно одной из осей $x 1, x 2, \dots, x n$ во всех точках области (если производные существуют и непрерывны - см. также ниже ). Первая производная положительна, если функция увеличивается в направлении соответствующей оси, отрицательна, если она уменьшается, и равна нулю, если нет увеличения или уменьшения. Оценка частной производной в определенной точке области дает скорость изменения функции в этой точке в направлении, параллельном определенной оси, — действительное число.

Для действительных функций действительной переменной $y = f (x)$ ее обычная производная $dy / dx$ геометрически является градиентом касательной линии к кривой $y = f (x)$ во всех точках области. Частные производные распространяют эту идею на касательные гиперплоскости к кривой.

Частные производные второго порядка можно рассчитать для каждой пары переменных:

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

Геометрически они связаны с локальной кривизной изображения функции во всех точках области. В любой точке, где функция четко определена, функция может увеличиваться по некоторым осям и/или уменьшаться по другим осям, и/или вообще не увеличиваться или не уменьшаться по другим осям.

Это приводит к множеству возможных стационарных точек : глобальных или локальных максимумов , глобальных или локальных минимумов и седловых точек — многомерного аналога точек перегиба для действительных функций одной действительной переменной. Матрица Гессиана представляет собой матрицу всех частных производных второго порядка, которые используются для исследования стационарных точек функции, важных для математической оптимизации .

В общем случае частные производные более высокого порядка $p$ имеют вид:

{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\equiv {\frac {\partial ^{p_{1}}}{\partial x_{1}^{p_{1}}}}{\frac {\partial ^{p_{2}}}{\partial x_{2}^{p_{2}}}}\cdots {\frac {\partial ^{p_{n}}}{\partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

где $p 1, p 2, \dots, p n$ — целые числа от $0$ до $p$ такие, что $p 1 + p 2 + \dots + p n = p$ , используя определения нулевых частных производных в качестве тождественных операторов :

{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{1}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad \ldots ,\,{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{n}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,.

Число возможных частных производных увеличивается с увеличением $p$ , хотя некоторые смешанные частные производные (относительно более чем одной переменной) являются излишними из-за симметрии частных производных второго порядка . Это уменьшает количество частных производных, которые нужно вычислить для некоторого $p$ .

Многомерная дифференцируемость

Функция $f (x)$ дифференцируема a окрестности точки $a,$ существует $n$ -кортеж чисел, зависящих от $a$ вообще, $A (a) = (A1 если (в), A2) , (a \dots, A n (a))$ , так что: ^[3]

f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha ({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

где $\alpha ({\boldsymbol {x}})\to 0$ как $|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|\to 0$ . Это означает, что если $f$ дифференцируема в точке $a$ , то $f$ непрерывна в точке $x = a$ , хотя обратное неверно — непрерывность в области не влечет за собой дифференцируемость в области. Если $f$ дифференцируемо в точке $a$ , то частные производные первого порядка существуют в точке $a$ и:

\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}=A_{i}({\boldsymbol {a}})

для $i = 1, 2, \dots, n$ , которые можно найти из определений отдельных частных производных, поэтому частные производные $f$ существуют.

Предполагая $n$ -мерный аналог прямоугольной декартовой системы координат , эти частные производные можно использовать для формирования векторного линейного дифференциального оператора , называемого градиентом (также известного как « набла » или « дель ») в этой системе координат:

\nabla f({\boldsymbol {x}})=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)f({\boldsymbol {x}})

широко используется в векторном исчислении , поскольку он полезен для построения других дифференциальных операторов и компактной формулировки теорем векторного исчисления.

Тогда замена градиента $\nabla f$ (оцененного при $x = a)$ с небольшой перестановкой дает:

f({\boldsymbol {x}})-f({\boldsymbol {a}})=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение . Это уравнение представляет собой наилучшее линейное приближение функции $f$ во всех точках $x$ в окрестности $a$ . Для изменений при $f$ и $x$ бесконечно малых $x \to a$ :

df=\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{1}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{1}+\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{2}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{2}+\dots +\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{n}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{n}=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot d{\boldsymbol {x}}

который определяется как полный дифференциал или просто f в $.$ точке $a$ дифференциал Это выражение соответствует общему бесконечно малому изменению $f$ путем сложения всех бесконечно малых изменений $f$ во всех $xi направлениях$ . Кроме того, $df$ можно рассматривать как ковектор с базисными векторами как бесконечно малыми $dx i$ в каждом направлении и частными производными $f$ в качестве компонентов.

Геометрически $\nabla f$ перпендикулярен множествам уровня $f$ , заданным формулой $f (x) = c$ , которое для некоторой константы $c$ описывает $(n - 1)$ -мерную гиперповерхность. Дифференциал константы равен нулю:

df=(\nabla f)\cdot d{\boldsymbol {x}}=0

в котором $d x$ — бесконечно малое изменение $x$ на гиперповерхности $f (x) = c$ , и поскольку скалярное произведение $\nabla f$ и $d x$ равно нулю, это означает, что $\nabla f$ перпендикулярно $d x$ .

В произвольных криволинейных системах координат в $n$ измерениях явное выражение градиента не будет таким простым — будут использоваться масштабные коэффициенты в терминах метрического тензора для этой системы координат . В приведенном выше случае, используемом в этой статье, метрикой является просто дельта Кронекера , а все масштабные коэффициенты равны 1.

Классы дифференцируемости

Если все частные производные первого порядка оцениваются в точке $a$ в области:

\left.{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\quad \left.{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\ldots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

существуют и непрерывны для всех $a$ в области, $f$ имеет класс дифференцируемости $C 1$ . В общем, если все частные производные порядка $p$ оцениваются в точке $a$ :

\left.{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

существуют и непрерывны, где $p 1, p 2, \dots, p n$ и $p$ такие же, как указано выше, для всех $a$ в области, тогда $f$ дифференцируемо по порядку $p$ во всей области и имеет класс дифференцируемости $C. п$ .

Если $f$ имеет класс дифференцируемости $C \infty$ , $f$ имеет непрерывные частные производные всех порядков и называется гладким . Если $f$ — аналитическая функция , равная своему ряду Тейлора относительно любой точки области, обозначение $C ой$ обозначает этот класс дифференцируемости.

Множественная интеграция

Определенное интегрирование может быть расширено до множественного интегрирования по нескольким действительным переменным с использованием обозначений;

\int _{R_{n}}\cdots \int _{R_{2}}\int _{R_{1}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}\equiv \int _{R}f({\boldsymbol {x}})\,d^{n}{\boldsymbol {x}}

где каждая область $R 1, R 2, \dots, R n$ представляет собой подмножество или всю реальную линию:

R_{1}\subseteq \mathbb {R} \,,\quad R_{2}\subseteq \mathbb {R} \,,\ldots ,R_{n}\subseteq \mathbb {R} ,

и их декартово произведение дает региону, который можно интегрировать как единое множество:

R=R_{1}\times R_{2}\times \dots \times R_{n}\,,\quad R\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,

n $-$ мерный гиперобъем . При вычислении определенный интеграл является действительным числом, если он сходится в области $интегрирования R$ (результат определенного интеграла может расходиться до бесконечности для данной области, в таких случаях интеграл остается неопределенным). Переменные рассматриваются как «фиктивные» или «связанные» переменные , которые заменяются числами в процессе интегрирования.

Интеграл от действительной функции действительной переменной $y = f (x)$ по $x$ имеет геометрическую интерпретацию как площадь, ограниченная кривой $y = f (x)$ и $осью x$ . Множественные интегралы расширяют размерность этой концепции: если принять $n$ -мерный аналог прямоугольной декартовой системы координат , указанный выше определенный интеграл имеет геометрическую интерпретацию как $-$ ограниченный $f (x)$ и $x1 n, x2 мерный гиперобъем ,, \dots, x n$ осей, которые могут быть положительными, отрицательными или нулевыми, в зависимости от интегрируемой функции (если интеграл сходится).

Хотя ограниченный гиперобъем является полезной идеей, более важная идея определенных интегралов заключается в том, что они представляют полные величины в пространстве. Это имеет значение в прикладной математике и физике: если $f$ — некоторое скалярной плотности поле $, а x$ — координаты вектора положения некоторая скалярная величина на единицу n -мерного гиперобъема, то интегрирование по области $R$ дает общее количество количества в $R.$ , то есть Более формальные понятия гиперобъема являются предметом теории меры . Выше мы использовали меру Лебега , Интегрирование Лебега подробнее по этой теме см. .

Теоремы

С помощью определений множественного интегрирования и частных производных можно сформулировать ключевые теоремы, включая фундаментальную теорему исчисления с несколькими действительными переменными (а именно, теорему Стокса ), интегрирование по частям с несколькими действительными переменными, симметрию высших частных производных и теорему Тейлора. для функций многих переменных . Оценку смеси интегралов и частных производных можно выполнить, используя теорему дифференцирования под знаком интеграла .

Векторное исчисление

Можно собрать ряд функций, каждая из нескольких действительных переменных, скажем

y_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad y_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\ldots ,y_{m}=f_{m}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})

в $m$ -кортеж или иногда в вектор-столбец или вектор-строку соответственно:

(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\cdots &f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}

все они рассматриваются на том же основании, что и $m$ -компонентное векторное поле , и используют любую удобную форму. Все приведенные выше обозначения имеют общее компактное обозначение $y = f (x)$ . Исчисление таких векторных полей является векторным исчислением . Дополнительные сведения об обработке векторов-строок и векторов-столбцов функций многих переменных см. в разделе матричное исчисление .

Неявные функции

Вещественнозначная неявная функция нескольких вещественных переменных не записывается в виде « $y = f (\dots)$ ». Вместо этого отображение происходит из пространства $R п + 1$ к нулевому элементу в $R$ (просто обычный ноль 0):

{\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{n+1}\to \{0\}\\&\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=0\end{aligned}}

представляет собой уравнение со всеми переменными. Неявные функции — это более общий способ представления функций, поскольку если:

y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

тогда мы всегда можем определить:

\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=y-f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0

но обратное не всегда возможно, т. е. не все неявные функции имеют явный вид.

Например, используя интервальное обозначение , пусть

{\begin{aligned}&\phi :X\to \{0\}\\&\phi (x,y,z)=\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}-1=0\\&X=[-a,a]\times [-b,b]\times [-c,c]=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,-a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b,-c\leq z\leq c\right\}.\end{aligned}}

Выбирая трехмерную (3D) декартову систему координат, эта функция описывает поверхность трехмерного эллипсоида с центром в начале координат $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ с постоянными большими полуосями $a, b, c$ вдоль положительных осей x , y и z соответственно. В случае $a = b = c = r$ мы имеем сферу радиуса $r$ с центром в начале координат. Другие примеры конического сечения , которые можно описать аналогичным образом, включают гиперболоид и параболоид , а в более общем плане - любую двумерную поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Приведенный выше пример можно решить для $x$ , $y$ или $z$ ; однако гораздо удобнее записать его в неявной форме.

Более сложный пример:

{\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{4}\to \{0\}\\&\phi (t,x,y,z)=Ctze^{tx-yz}+A\sin(3\omega t)\left(x^{2}z-By^{6}\right)=0\end{aligned}}

для ненулевых действительных констант $A, B, C, ω$ эта функция четко определена для всех $(t, x, y, z)$ , но ее нельзя решить явно для этих переменных и записать как « $t =$ », « $х =$ "и т. д.

Теорема о неявной функции более чем двух действительных переменных касается непрерывности и дифференцируемости функции следующим образом. ^[4] Пусть $φ (x 1, x 2, \dots, x n)$ — непрерывная функция с непрерывными частными производными первого порядка, и пусть φ вычислена в точке $(a, b) = (a 1, a 2, \dots an,, б)$ быть нулевым:

\phi ({\boldsymbol {a}},b)=0;

и пусть первая частная производная $φ$ по $y,$ оцененная в $(a, b),$ не равна нулю:

\left.{\frac {\partial \phi ({\boldsymbol {x}},y)}{\partial y}}\right|_{({\boldsymbol {x}},y)=({\boldsymbol {a}},b)}\neq 0.

существует интервал $[y1 x, y2 содержащий],$ b $,$ и область $R,$ содержащая $(a, b)$ , такие, что для каждого $в$ R $существует$ ровно одно значение $y$ в $[y1,, y2 Тогда]$ удовлетворяющее $φ (x, y) = 0$ , а $y$ — непрерывная функция от $x,$ так что $φ (x, y (x)) = 0$ . Полные дифференциалы функций равны:

dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n};

d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial \phi }{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial \phi }{\partial x_{n}}}dx_{n}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy.

Подстановка $dy$ в последний дифференциал и приравнивание коэффициентов дифференциалов дает частные производные первого порядка от $y$ по $x i$ через производные исходной функции, каждая из которых является решением линейного уравнения

{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=0

для $i = 1, 2, \dots, n$ .

Комплексная функция нескольких действительных переменных

Комплексная функция нескольких действительных переменных может быть определена путем ослабления при определении вещественных функций ограничения кодомена действительными числами и разрешения комплексных значений.

Если $f (x 1, \dots, x n)$ такая комплексная функция, ее можно разложить как

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=g(x_{1},\ldots ,x_{n})+ih(x_{1},\ldots ,x_{n}),

где $g$ и $h$ — вещественные функции. Другими словами, изучение комплекснозначных функций легко сводится к изучению пар вещественнозначных функций.

Это сокращение работает для общих свойств. Однако для явно заданной функции, например:

z(x,y,\alpha ,a,q)={\frac {q}{2\pi }}\left[\ln \left(x+iy-ae^{i\alpha }\right)-\ln \left(x+iy+ae^{-i\alpha }\right)\right]

вычисление действительной и мнимой частей может быть затруднено.

Приложения

Многомерные функции реальных переменных неизбежно возникают в технике и физике , поскольку наблюдаемые физические величины представляют собой действительные числа (с соответствующими единицами измерения и размерностями ), и любая одна физическая величина, как правило, будет зависеть от ряда других величин.

Примеры вещественных функций нескольких действительных переменных

Примеры в механике сплошной среды включают локальную массовую плотность $ρ$ распределения массы, скалярное поле , которое зависит от координат пространственного положения (здесь декартовых для примера), $r = (x, y, z)$ и времени $t$ :

\rho =\rho (\mathbf {r} ,t)=\rho (x,y,z,t)

электрического То же самое касается плотности заряда электрически заряженных объектов и многих других скалярных потенциальных полей.

Другим примером является поле скоростей , векторное поле , которое имеет компоненты скорости $v = (v x, v y, v z)$ , каждая из которых аналогично является функцией многих переменных пространственных координат и времени:

\mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (x,y,z,t)=[v_{x}(x,y,z,t),v_{y}(x,y,z,t),v_{z}(x,y,z,t)]

Аналогично и для других физических векторных полей, таких как электрические поля и магнитные поля , а также векторные потенциальные поля.

Еще одним важным примером является уравнение состояния в термодинамике , уравнение, связывающее давление $P$ , температуру $T$ и объем $V$ жидкости, в общем случае оно имеет неявный вид:

f(P,V,T)=0

Простейшим примером является закон идеального газа :

f(P,V,T)=PV-nRT=0

где $n$ — число молей , постоянное для фиксированного количества вещества , а $R —$ газовая постоянная . Эмпирически были выведены гораздо более сложные уравнения состояния, но все они имеют указанную выше неявную форму.

Вещественнозначные функции нескольких реальных переменных широко распространены в экономической науке . В основе теории потребления полезность выражается как функция количества различных потребляемых товаров, причем каждое количество является аргументом функции полезности. Результатом максимизации полезности является набор функций спроса , каждая из которых выражает величину спроса на конкретный товар как функцию цен на различные товары, а также дохода или богатства. В теории производителей обычно предполагается, что фирма максимизирует прибыль в зависимости от количества различных произведенных товаров и количества различных используемых факторов производства. Результатом оптимизации является набор функций спроса для различных факторов производства и набор функций предложения для различных продуктов; аргументами каждой из этих функций являются цены товаров и факторов производства.

Примеры комплексных функций нескольких действительных переменных

Некоторые «физические величины» на самом деле могут иметь комплексные значения, такие как комплексный импеданс , комплексная диэлектрическая проницаемость , комплексная проницаемость и комплексный показатель преломления . Это также функции реальных переменных, таких как частота или время, а также температуры.

В двумерной механике жидкости , особенно в теории потенциальных потоков, используемых для описания движения жидкости в 2d, комплексный потенциал

F(x,y,\ldots )=\varphi (x,y,\ldots )+i\psi (x,y,\ldots )

представляет собой комплексную функцию двух пространственных координат $x$ и $y$ и других действительных переменных, связанных с системой. Действительная часть — это потенциал скорости , а мнимая часть — функция тока .

Сферические гармоники встречаются в физике и технике как решение уравнения Лапласа , а также как собственные функции оператора z -компонентного углового момента , которые являются комплексными функциями вещественных сферических полярных углов :

Y_{\ell }^{m}=Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )

В квантовой механике обязательно волновая функция является комплексной, но является функцией реальных пространственных координат (или компонентов импульса ), а также времени $t$ :

\Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t)=\Psi (x,y,z,t)\,,\quad \Phi =\Phi (\mathbf {p} ,t)=\Phi (p_{x},p_{y},p_{z},t)

где каждый связан преобразованием Фурье .

См. также

Ссылки

^ Р. Курант. Дифференциальное и интегральное исчисление . Том. 2. Библиотека классической литературы Wiley. стр. 46–47. ISBN 0-471-60840-8 .
^ Р. Курант. Дифференциальное и интегральное исчисление . Том. 2. Библиотека классической литературы Wiley. п. 70. ИСБН 0-471-60840-8 .
^ В. Фулкс (1978). Продвинутое исчисление . Джон Уайли и сыновья. стр. 300–302. ISBN 0-471-02195-4 .
^ Р. Курант. Дифференциальное и интегральное исчисление . Том. 2. Библиотека классической литературы Wiley. стр. 117–118. ISBN 0-471-60840-8 .

Ф. Эйрес, Э. Мендельсон (2009). Исчисление . Серия набросков Шаума (5-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-150861-2 .
Р. Вреде, М. Р. Шпигель (2010). Продвинутое исчисление . Серия набросков Шаума (3-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-162366-7 .
У. Ф. Хьюз, Дж. А. Брайтон (1999). Гидродинамика . Серия набросков Шаума (3-е изд.). МакГроу Хилл. п. 160 . ISBN 978-0-07-031118-3 .
Р. Пенроуз (2005). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-00994-40680 .
С. Дайнин (2001). Многомерное исчисление и геометрия . Серия Springer по математике для студентов (2-е изд.). Спрингер. ISBN 185-233-472-Х .
Н. Бурбаки (2004). Функции действительной переменной: элементарная теория . Спрингер. ISBN 354-065-340-6 .
М. А. Московиц, Ф. Палиогианнис (2011). Функции нескольких действительных переменных . Всемирная научная. ISBN 978-981-429-927-5 .
В. Флеминг (1977). Функции нескольких переменных . Тексты для студентов по математике (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-902-066 .

[1] Р. Курант. Дифференциальное и интегральное исчисление . Том. 2. Библиотека классической литературы Wiley. стр. 46–47. ISBN 0-471-60840-8 .

[2] Р. Курант. Дифференциальное и интегральное исчисление . Том. 2. Библиотека классической литературы Wiley. п. 70. ИСБН 0-471-60840-8 .

[3] В. Фулкс (1978). Продвинутое исчисление . Джон Уайли и сыновья. стр. 300–302. ISBN 0-471-02195-4 .

[4] Р. Курант. Дифференциальное и интегральное исчисление . Том. 2. Библиотека классической литературы Wiley. стр. 117–118. ISBN 0-471-60840-8 .

[1]

[2]

[3]

[4]

v т и Основные темы математического анализа
Исчисление : Интеграция Дифференциация Дифференциальные уравнения обычный частичный стохастический Основная теорема исчисления Вариационное исчисление Векторное исчисление Тензорное исчисление Матричное исчисление Списки интегралов Таблица производных
Реальный анализ Комплексный анализ Гиперкомплексный анализ ( кватернионный анализ ) Функциональный анализ Фурье-анализ Спектральный анализ методом наименьших квадратов Гармонический анализ P-адический анализ ( P-адические числа ) Теория меры Теория представлений Функции Непрерывная функция Специальные функции Лимит Ряд Бесконечность
Математический портал