Недоступный кардинал

В теории множеств кардинал несчетный , недостижим арифметики если его нельзя получить из меньших кардиналов обычными операциями кардинальной . Точнее, кардинал κ является строго недоступным , если он удовлетворяет следующим трем условиям: он несчетен, он не является суммой менее чем κ кардиналов, меньших κ , и $\alpha <\kappa$ подразумевает $2^{\alpha }<\kappa$.

Термин «недоступный кардинал» неоднозначен. Примерно до 1950 года оно означало «слабо недоступный кардинал», но с тех пор оно обычно означает «совершенно недоступный кардинал». Несчетный кардинал слабо недостижим , если он является регулярным слабым предельным кардиналом . Он сильно недостижим или просто недоступен, если является регулярным сильным предельным кардиналом (это эквивалентно определению, данному выше). Некоторые авторы не требуют, чтобы слабо и сильно недоступные кардиналы были несчетными (в этом случае $\aleph _{0}$ категорически недоступен). Слабо недоступные кардиналы были введены Хаусдорфом (1908) , а сильно недоступные — Серпинским и Тарским (1930) и Цермело (1930) , в последнем они упоминались наряду с $\aleph _{0}$ как предельные числа.

Каждый сильно недоступный кардинал также является слабо недоступным, поскольку каждый сильный предельный кардинал является также слабым предельным кардиналом. Если гипотеза обобщенного континуума верна, то кардинал сильно недостижим тогда и только тогда, когда он слабо недоступен.

$\aleph _{0}$ ( aleph-null ) — регулярный сильный предельный кардинал. Предполагая аксиому выбора , любое другое бесконечное кардинальное число является регулярным или (слабым) пределом. Однако только довольно большое кардинальное число может быть и тем, и другим и, следовательно, слабо недоступным.

Порядковый номер является слабо недоступным кардиналом тогда и только тогда, когда он является правильным ординалом и является пределом регулярных ординалов. (Ноль, единица и ω — регулярные ординалы, но не пределы регулярных ординалов.) Кардинал, который является слабо недостижимым, а также сильный предельный кардинал, сильно недоступен.

Предположение о существовании строго недоступного кардинала иногда применяется в форме предположения о том, что можно работать внутри вселенной Гротендика , причем эти две идеи тесно связаны.

и

Теория множеств Цермело–Френкеля с выбором (ZFC) подразумевает, что $\kappa$й уровень вселенной фон Неймана $V_{\kappa }$ является моделью ZFC всякий раз, когда $\kappa$ категорически недоступен. А ZF подразумевает, что вселенная Гёделя $L_{\kappa }$ является моделью ZFC всякий раз, когда $\kappa$ слабо недоступен. Таким образом, ZF вместе с «существует слабо недостижимый кардинал» подразумевает, что ZFC непротиворечив. Следовательно, недоступные кардиналы — это разновидность больших кардиналов .

Если $V$ является стандартной моделью ZFC и $\kappa$ является недоступным в $V$, затем: $V_{\kappa }$ является одной из предполагаемых моделей теории множеств Цермело – Френкеля ; и $Def(V_{\kappa })$ это одна из предполагаемых моделей мендельсоновской версии теории множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя, которая исключает глобальный выбор, заменяя ограничение размера заменой и обычным выбором; и $V_{\kappa +1}$ является одной из предполагаемых моделей теории множеств Морса – Келли . Здесь $Def(X)$ - это набор _{Δ 0} определимых подмножеств X (см. Конструируемая вселенная ). Однако, $\kappa$ не обязательно должно быть недоступным или даже кардинальным числом, чтобы $V$_$\kappa$ быть стандартной моделью ZF (см. ниже ).

Предполагать $V$ это модель ZFC. Либо V не содержит сильных недоступных, либо, приняв $\kappa$ быть самым маленьким сильным недоступным в $V$, $V_{\kappa }$ — это стандартная модель ZFC, не содержащая сильных недоступных элементов. Таким образом, непротиворечивость ZFC подразумевает непротиворечивость ZFC+: «нет сильных недоступных». Аналогично, либо V не содержит слабых недоступных, либо, приняв $\kappa$ быть наименьшим порядковым номером, который слабо недоступен относительно любой стандартной подмодели $V$, затем $L_{\kappa }$ — это стандартная модель ZFC, не содержащая слабых недоступных элементов. Таким образом, согласованность ZFC подразумевает согласованность ZFC + «нет слабых и недоступных». Это показывает, что ZFC не может доказать существование недоступного кардинала, поэтому ZFC согласуется с отсутствием каких-либо недоступных кардиналов.

Вопрос о том, согласуется ли ZFC с существованием недоступного кардинала, является более тонким. Доказательство, изложенное в предыдущем абзаце, о том, что непротиворечивость ZFC подразумевает непротиворечивость ZFC + «нет недоступного кардинала», может быть формализовано в ZFC. Однако, предполагая, что ZFC непротиворечив, никакое доказательство того, что непротиворечивость ZFC влечет за собой непротиворечивость ZFC + «есть недоступный кардинал», не может быть формализовано в ZFC. Это следует из второй теоремы Гёделя о неполноте , которая показывает, что если ZFC + «есть недоступный кардинал» непротиворечив, то он не может доказать собственную непротиворечивость. Поскольку ZFC + «есть недоступный кардинал» действительно доказывает непротиворечивость ZFC, если бы ZFC доказала, что ее собственная непротиворечивость влечет за собой непротиворечивость ZFC + «существует недоступный кардинал», тогда эта последняя теория была бы в состоянии доказать свою собственную непротиворечивость, что невозможно, если оно непротиворечиво.

Существуют аргументы в пользу существования недоступных кардиналов, которые невозможно формализовать в ZFC. Один из таких аргументов, представленный Хрбачеком и Йехом (1999 , стр. 279), заключается в том, что класс всех ординалов конкретной модели M теории множеств сам по себе был бы недоступным кардиналом, если бы существовала более крупная модель теории множеств, расширяющая M и сохраняя powerset элементов M .

Существование надлежащего класса недоступных

В теории множеств есть много важных аксиом, которые утверждают существование собственного класса кардиналов, удовлетворяющих предикату интереса. В случае недоступности соответствующей аксиомой является утверждение, что для каждого кардинала µ существует недоступный кардинал κ, который строго больше, µ < κ . Таким образом, эта аксиома гарантирует существование бесконечной башни недоступных кардиналов (и иногда ее можно назвать аксиомой недоступных кардиналов). Как и в случае с существованием любого недоступного кардинала, аксиома недоступного кардинала недоказуема с помощью аксиом ZFC. Предполагая ZFC, недоступная кардинальная аксиома эквивалентна аксиоме вселенной Гротендика и Вердье : каждое множество содержится во вселенной Гротендика . Аксиомы ZFC вместе с аксиомой вселенной (или, что эквивалентно, недоступной кардинальной аксиомой) обозначаются ZFCU (не путать с ZFC с urelements ). Эта аксиоматическая система полезна, например, для доказательства того, что каждая категория имеет подходящее вложение Yoneda .

Это относительно слабая большая кардинальная аксиома, поскольку она означает, что ∞ 1-недоступен на языке следующего раздела, где ∞ обозначает наименьший ординал не из V, т.е. класс всех ординалов в вашей модели.

α- недоступные кардиналы и сверхнедоступные кардиналы

Термин « α -недоступный кардинал» неоднозначен и разные авторы используют неодинаковые определения. Одно из определений состоит в том, чтоКардинал κ называется α -недоступным для любого ординала α , если κ недоступен и для каждого ординала β < α , множество β -недоступных объектов, меньших κ, неограничено в κ (и, следовательно, имеет мощность κ , поскольку κ регулярно ). В этом случае 0-недоступные кардиналы совпадают с сильно недоступными кардиналами. Другое возможное определение состоит в том, что кардинал κ называется α -слабо недостижимым, если κ регулярен и для любого ординала β < α множество β -слабо недостижимых меньших, чем κ, неограничено в κ. В этом случае 0-слабо недоступные кардиналы являются регулярными кардиналами, а 1-слабо недоступные кардиналы являются слабо недоступными кардиналами.

-недоступные кардиналы α также можно описать как неподвижные точки функций, которые подсчитывают недоступные снизу. Например, обозначим ψ ₀ ( λ ) λ ^й недоступный кардинал, то неподвижные точки ψ ₀ являются 1-недоступными кардиналами. Тогда пусть ψ _β ( λ ) будет λ ^й β -недоступный кардинал, неподвижными точками ψ _β являются ( β +1)-недоступные кардиналы (значения ψ _{β +1} ( λ )). Если α — предельный ординал, α -недоступная точка — это неподвижная точка каждой ψ _β при β < α (значение ψ _α ( λ ) — это λ ^й такой кардинал). Этот процесс взятия фиксированных точек функций, порождающих последовательно большие кардиналы, обычно встречается при изучении больших кардинальных чисел .

Термин «гипернедоступный» неоднозначен и имеет как минимум три несовместимых значения. Многие авторы используют его для обозначения регулярного предела сильно недоступных кардиналов (1-недоступных). Другие авторы используют это слово в значении, что κ κ -недоступно . (Оно никогда не может быть κ +1 -недоступным.) Иногда оно используется для обозначения кардинала Мало .

Термин α -гипернедоступный также неоднозначен. Некоторые авторы используют его для обозначения α -недоступности. Другие авторы используют определение, согласно которомудля любого ординала α кардинал κ является α -гипернедоступным тогда и только тогда, когда κ гипернедоступен и для каждого ординала β < α множество β -гипернедоступных объектов меньше κ неограничено в κ .

Гипер-гипер-недоступные кардиналы и так далее могут быть определены аналогичным образом, и, как обычно, этот термин неоднозначен.

Используя «слабо недоступный» вместо «недоступный», аналогичные определения можно дать для «слабо α -недоступного», «слабо гипердоступного» и «слабо α -гипердоступного».

Кардиналы Мало доступны, гипер-недоступны, гипер-гипер-недоступны и так далее.

недоступности

Во-первых, кардинал κ недоступен тогда и только тогда, когда κ обладает следующим свойством отражения : для всех подмножеств $U\subset V_{\kappa }$, существует $\alpha <\kappa$ такой, что $(V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })$ представляет собой подструктуру элементарную $(V_{\kappa },\in ,U)$. (На самом деле множество таких α замкнуто и неограничено в κ .) Следовательно, $\kappa$ является $\Pi _{n}^{0}$- неописуемо для всех n ≥ 0. С другой стороны, не обязательно существует порядковый номер $\alpha >\kappa$ такой, что $V_{\kappa }$, и если это так, то $\kappa$ должно быть $\kappa$недоступный кардинал.

В ZF доказывается, что $V$ имеет несколько более слабое свойство отражения, где подструктура $(V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })$ требуется только быть «элементарным» по отношению к конечному набору формул. В конечном счете, причина этого ослабления заключается в том, что, хотя теоретико-модельное отношение удовлетворения ⊧ может быть определено, сама семантическая истина (т. е. $\vDash _{V}$) не может, в силу теоремы Тарского .

Во-вторых, с помощью теоремы о категоричности ZFC Цермело можно доказать, что $\kappa$ недоступен тогда и только тогда, когда $(V_{\kappa },\in )$ является моделью ZFC второго порядка .

В этом случае по свойству отражения, указанному выше, существует $\alpha <\kappa$ такой, что $(V_{\alpha },\in )$ является стандартной моделью ( первого порядка ) ZFC. Следовательно, существование недоступного кардинала является более сильной гипотезой, чем существование транзитивной модели ZFC.

Недоступность $\kappa$ это $\Pi _{1}^{1}$ собственность более $V_{\kappa }$, будучи кардиналом $\pi$ быть недоступным (в некоторой данной модели $\mathrm {ZF}$ содержащий $\pi$) является $\Pi _{1}$.

См. также

• Мирской кардинал , более слабое понятие
• Мало-кардинал , более сильное понятие
• Клубный набор
• Внутренняя модель
• Вселенная фон Неймана
• Сборная вселенная

Цитируемые работы

• Дрейк, Франция (1974), Теория множеств: введение в большие кардиналы , исследования по логике и основам математики, том. 76, Elsevier Science, ISBN  0-444-10535-2
• Хаусдорф, Феликс (1908), «Основные особенности теории упорядоченных множеств» , Mathematical Annals , 65 (4): 435–505, doi : 10.1007/BF01451165 , hdl : 10338.dmlcz/100813 , ISSN   0025-5831 , S2CID   119648544
• Хрбачек, Карел ; Джех, Томас (1999), Введение в теорию множеств (3-е изд.), Нью-Йорк: Деккер, ISBN  978-0-8247-7915-3
• Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Springer, ISBN  3-540-00384-3
• Серпинский, Вацлав ; Тарский, Альфред (1930), «О характеристическом свойстве недоступных чисел» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 15 : 292–300, doi : 10.4064/fm-15-1-292-300 , ISSN   0016-2736
• Цермело, Эрнст (1930), «О предельных числах и диапазонах множеств: новые исследования основ теории множеств» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 16 : 29–47, doi : 10.4064/fm-16-1-29- 47 , ISSN   0016-2736 . Английский перевод: Эвальд, Уильям Б. (1996), «О граничных числах и областях множеств: новые исследования в основах теории множеств», От Иммануила Канта до Дэвида Гильберта: Справочник по основам математики , Oxford University Press, стр. 1208–1233, ISBN  978-0-19-853271-2 .