Уравнения Фридмана

Уравнения Фридмана , также известные как Фридманн -Слематр ( FL ) уравнения , представляют собой набор уравнений в физической космологии , которые регулируют расширение пространства в однородных и изотропных моделях Вселенной в контексте общей теоритарной активности . Сначала они были получены Александром Фридманом в 1922 году из Эйнштейна полевых уравнений гравитации для метрики Фридмана -Лемаитра -Робертсон -Уокер и идеальной жидкости с данной плотностью $массовой$ и давлением $p$ . ^{[ 1 ]} Уравнения для отрицательной пространственной кривизны были даны Фридманом в 1924 году. ^{[ 2 ]}

Предположения

Уравнения Фридмана начинаются с упрощения предположения о том, что вселенная является пространственно однородной и изотропной , то есть космологическим принципом ; Эмпирически, это оправдано на масштабах, превышающих порядок 100 MPC . Космологический принцип подразумевает, что метрика вселенной должна иметь форму $-\mathrm {d} s^{2}=a(t)^{2}\,{\mathrm {d} s_{3}}^{2}-c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}$ где $d s 32$ является трехмерной метрикой, которая должна быть одной из (а) плоского пространства, (б) сферы постоянной положительной кривизны или (в) гиперболического пространства с постоянной негативной кривизны. Этот показатель называется метрикой Friedmann -Lemaître -Robertson -Walker (FLRW). Параметр $K$ , обсуждаемый ниже, принимает значение 0, 1, −1 или гауссовой кривизны , в этих трех случаях соответственно. Именно этот факт позволяет нам разумно говорить о « масштабном факторе » $a (t)$ .

Уравнения Эйнштейна в настоящее время связывают эволюцию этого масштабного фактора с давлением и энергией вопроса во вселенной. Из метрики FLRW мы вычисляем символы Кристоффеля , затем тензор Риччи . При тензоре стресса -энергии для идеальной жидкости мы заменим их в полевые уравнения Эйнштейна, и полученные уравнения описаны ниже.

Уравнения

Есть два независимых уравнения Фридмана для моделирования однородной изотропной вселенной. Первое: ${\frac {{\dot {a}}^{2}+kc^{2}}{a^{2}}}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}},$ который получен из 00 -компонента уравнений полевого поля Эйнштейна . Второе: ${\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}$ который происходит от первого вместе с следами полевых уравнений Эйнштейна (измерение двух уравнений - время ⁻²).

$a$ - масштабная коэффициент , $G$ , $λ$ и $C$ - универсальные константы ( $G$ - ньютоновская константа гравитации , $λ$ - космологическая постоянная с длиной размерности ⁻²и $C$ - скорость света в вакууме ). $ρ$ и $P$ являются плотностью объемной массы (а не объемной плотности энергии) и давление, соответственно. $K$ постоянна на протяжении конкретного решения, но может варьироваться от одного решения к другому.

В предыдущих уравнениях $A$ , $ρ$ и $P$ являются функциями времени. $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ K / A 2 ⁠$ -это пространственная кривизна в любом временном положении вселенной; равен одной шестой из пространственной кривизны рикчи $скалаляр$ он $R={\frac {6}{c^{2}a^{2}}}({\ddot {a}}a+{\dot {a}}^{2}+kc^{2})$ в модели Фридманн. $H \equiv ⁠ ȧ / A ⁠$ - параметр Хаббла .

Мы видим, что в уравнениях Фридмана $A (T)$ не зависит от того, какую систему координат мы выбрали для пространственных срезов. Есть два общепринятых варианта для $A$ и $K$ , которые описывают ту же физику:

$k = +1, 0$ или $-1$ в зависимости от того, является ли форма вселенной закрытым 3-х сфером , плоским ( евклидовым пространством ) или открытым 3- гиперболоидом , соответственно. ^{[ 3 ]} Если $k = +1$ , то $A$ - радиус кривизны вселенной. Если $k = 0$ , то $A$ может быть исправлен на любое произвольное положительное число в одно конкретное время. Если $k = -1$ , то (свободно говорить) можно сказать, что $i \cdot A$ - радиус кривизны вселенной.
$A$ - фактор масштаба , который принимается в 1 в настоящее время. $K$ - текущая пространственная кривизна (когда $a = 1$ ). Если форма вселенной является гиперсферической , а $R T$ - радиус кривизны ( $R 0$ в настоящее время), то $a = ⁠ r t / r 0 ⁠$ . Если $K$ положительный, то вселенная гиперсферическая. Если $k = 0$ , то вселенная плоская . Если $k$ отрицательный, то вселенная гиперболическая .

Используя первое уравнение, второе уравнение может быть повторно экспрессировано как ${\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right),$ который устраняет $λ$ и выражает сохранение массовой энергии : $T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }=0.$

Эти уравнения иногда упрощаются путем замены ${\begin{aligned}\rho &\to \rho -{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}&p&\to p+{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}\end{aligned}}$ дать: ${\begin{aligned}H^{2}=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}&={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\\{\dot {H}}+H^{2}={\frac {\ddot {a}}{a}}&=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Упрощенная форма второго уравнения является инвариантной при этом преобразовании.

Параметр Хаббла может измениться с течением времени, если другие части уравнения зависят от времени (в частности, массовая плотность, вакуумная энергия или пространственная кривизна). Оценка параметра Хаббла в настоящее время дает константу Хаббла, которая является постоянной пропорциональностью закона Хаббла . Применяемые к жидкости с данным уравнением состояния , уравнения Фридмана дают эволюцию времени и геометрию вселенной в зависимости от плотности жидкости.

Некоторые космологи называют второе из этих двух уравнений уравнением ускорения Фридмана и оставляют уравнение термина только для первого уравнения.

Параметр плотности

Параметр плотности $ω$ определяется как отношение фактической (или наблюдаемой) плотности $ρ$ к критической плотности $ρ C$ вселенной Фридманн. Соотношение между фактической плотностью и критической плотностью определяет общую геометрию вселенной; Когда они равны, геометрия вселенной плоская (евклидова). В более ранних моделях, которые не включали космологический постоянный термин, критическая плотность первоначально определялась как точка водосбора между расширяющейся и досадной вселенной.

На сегодняшний день критическая плотность, по оценкам, составляет приблизительно пять атомов ( монатомного водорода ) на кубический метр, тогда как средняя плотность обычных веществ во вселенной, как полагают, составляет 0,2–0,25 атомов на кубический метр. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Расчетное относительное распределение для компонентов плотности энергии вселенной. Темная энергия доминирует в общей энергии (74%), в то время как темная материя (22%) составляет большую часть массы. Из оставшегося барионического вещества (4%) только одна десятая - компактная. В феврале 2015 года исследовательская группа, возглавляемая европейской, за космологическим зондом Planck, выпустила новые данные, переработанные эти значения до 4,9% обычного вещества, 25,9% темной материи и 69,1% темной энергии.

Гораздо большая плотность исходит от неопознанной темной материи , хотя как обычная, так и мрачная материя способствуют сокращению вселенной. Тем не менее, самая большая часть состоит из так называемой темной энергии , которая учитывает космологический постоянный термин. Хотя общая плотность равна критической плотности (точно, вплоть до ошибки измерения), темная энергия не приводит к сокращению вселенной, а может ускорить его расширение.

Выражение для критической плотности обнаруживается, если предположить, что $λ$ равна нулю (как и для всех основных вселенных Фридманн) и установления нормализованной пространственной кривизны, $k$ , равной нулю. Когда замены применяются к первым из уравнений Фридманн, которые мы находим: $\rho _{\mathrm {c} }={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}=1.8788\times 10^{-26}h^{2}{\rm {kg}}\,{\rm {m}}^{-3}=2.7754\times 10^{11}h^{2}M_{\odot }\,{\rm {Mpc}}^{-3},$

(где

H = H 0 /(100 км/с/MPC)

. Для

H O = 67,4 км/с/MPC

, то есть

H = 0,674

,

ρ C = 8,5 \times 10 -27 кг/м 3

).

Параметр плотности (полезный для сравнения различных космологических моделей) затем определяется как: $\Omega \equiv {\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G\rho }{3H^{2}}}.$

Этот термин первоначально использовался в качестве средства для определения пространственной геометрии вселенной, где $ρ c$ является критической плотностью, для которой пространственная геометрия является плоской (или евклидова). Предполагая, что нулевая плотность энергии вакуума, если $ω$ больше, чем единство, пространственные секции вселенной закрыты; Вселенная в конечном итоге перестанет расширяться, а затем рухнет. Если $ω$ меньше единства, они открыты; И вселенная расширяется навсегда. Тем не менее, можно также включить пространственную кривизну и термины вакуумной энергии в более общее выражение для $ω,$ в этом случае этот параметр плотности равна точно единичности. Тогда это вопрос измерения различных компонентов, обычно обозначаемых подписками. Согласно модели λCDM , существуют важные компоненты $ω$ из -за барионов , холодной темной материи и темной энергии . Пространственная геометрия вселенной была измерена космическим кораблем WMAP , чтобы быть почти плоским. Это означает, что вселенная может быть хорошо аппроксимирована моделью, где параметр пространственной кривизны $k$ равна нулю; Тем не менее, это не обязательно подразумевает, что вселенная бесконечна: может быть просто то, что вселенная намного больше, чем часть, которую мы видим.

Первое уравнение Фридмана часто наблюдается в терминах нынешних значений параметров плотности, то есть ^{[ 6 ]} ${\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }.$ Здесь $ω 0, r$ - это плотность излучения сегодня (когда $A = 1$ ), $ω 0, m$ - это вещество ( темная плюс барионическая ) плотность сегодня, $ω 0, k = 1 - ω 0$ - это «пространственная плотность кривизну сегодня», а $ω 0, λ$ - космологическая контента или вакуумная плотность сегодня.

Полезные решения

Уравнения Фридмана могут быть решены точно в присутствии идеальной жидкости с уравнением состояния $p=w\rho c^{2},$ Где $P$ - давление , $ρ$ - это массовая плотность жидкости в проводной раме, а $W$ - некоторая постоянная.

В пространственно плоском случае ( $k = 0$ ) решение для масштабного коэффициента является $a(t)=a_{0}\,t^{\frac {2}{3(w+1)}}$ где $0 - какая -то константа интеграции ,$ которая будет фиксироваться путем выбора начальных условий. Это семейство решений, помеченных $W$ , чрезвычайно важно для космологии. Например, $W = 0$ описывает вселенную, в которой преобладает материя , где давление незначительное относительно плотности массы. Из общего раствора можно легко увидеть, что во вселенной, в которой доминирует, масштабной коэффициент идет как $a(t)\propto t^{2/3}$ с доминированием Другим важным примером является случай вселенной , преобладающей радиацию , а именно, когда $w = ⁠ 1/3 ⁠$ . Это приводит к $a(t)\propto t^{1/2}$ Радиация доминирует

Обратите внимание, что это решение недопустимо для доминирования космологической постоянной, которая соответствует $w = -1$ . В этом случае плотность энергии постоянна, а фактор масштаба растет в геометрической прогрессии.

Решения для других значений $K$ можно найти на Терсик, бальза. «Лекционные заметки об астрофизике» . Получено 24 февраля 2022 года .

Смеси

Если вопрос представляет собой смесь из двух или более не вмешательных жидкостей, каждая из которых с таким уравнением состояния, тогда ${\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+{\frac {p_{f}}{c^{2}}}\right)\,$ удерживается отдельно для каждой такой жидкости $f$ . В каждом случае, ${\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+w_{f}\rho _{f}\right)\,$ от которого мы получаем ${\rho }_{f}\propto a^{-3\left(1+w_{f}\right)}\,.$

Например, можно сформировать линейную комбинацию таких терминов $\rho =Aa^{-3}+Ba^{-4}+Ca^{0}\,$ где $a$ - плотность «пыли» (обычное вещество, $w = 0$ ), когда $a = 1$ ; $B$ - плотность излучения ( $w = ⁠ 1/3; ⁠)$ Когда $a =$ 1 и $C$ - плотность «темной энергии» ( $W = -1$ ). Один тогда заменяет это в $\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\,$ и решает для $функции$ времени.

Подробный вывод

Чтобы сделать решения более явными, мы можем получить полные отношения из первого уравнения Фридманна: ${\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }$ с ${\begin{aligned}H&={\frac {\dot {a}}{a}}\\[6px]H^{2}&=H_{0}^{2}\left(\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }\right)\\[6pt]H&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\dot {a}}{a}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} t}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\mathrm {d} a&=\mathrm {d} tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\end{aligned}}$

Перестройка и изменение для использования переменных $a'$ и $t'$ для интеграции $tH_{0}=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a'^{2}}}}$

Можно найти решения для зависимости масштабного коэффициента в отношении времени для вселенных, в которых преобладает каждый компонент. В каждом мы также предполагали, что $ω 0, k \approx 0$ , что такое же, что и предполагает, что доминирующий источник плотности энергии составляет приблизительно 1.

Для вселенных, в которых доминируют материи, где $ω 0, m ≫ ω 0, r$ и $ω 0, λ$ , а также $ω 0, m \approx 1$ : ${\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}&=\left.\left({\tfrac {2}{3}}{a'}^{3/2}\right)\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left({\tfrac {3}{2}}tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}\right)^{2/3}&=a(t)\end{aligned}}$ который $вышеупомянутое восстанавливает 2/3$

Для вселенных излучений, где $ω 0, r ≫ ω 0, m$ и $ω 0, λ$ , а также $ω 0, r \approx 1$ : ${\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}&=\left.{\frac {a'^{2}}{2}}\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left(2tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}\right)^{1/2}&=a(t)\end{aligned}}$

Для $λ$ -доминируемых вселенных, где $ω 0, λ ≫ ω 0, r$ и $ω 0, m$ , а также $ω 0, λ \approx 1$ , и где мы теперь изменим наши границы интеграции с $T i$ на $T$ , а также $A I$ на $A$ : A: A: A: A: A: A: A: A: A: A: ${\begin{aligned}\left(t-t_{i}\right)H_{0}&=\int _{a_{i}}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {(\Omega _{0,\Lambda }a'^{2})}}}\\[6px]\left(t-t_{i}\right)H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}&={\bigl .}\ln |a'|\,{\bigr |}_{a_{i}}^{a}\\[6px]a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)&=a(t)\end{aligned}}$

Раствор $вселенной λ$ -домятения представляет особый интерес, потому что вторая производная по времени положительно, ненулевая; Другими словами, подразумевая ускоряющее расширение вселенной, что делает $ρ λ$ кандидатом на темную энергию : ${\begin{aligned}a(t)&=a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}\textstyle {\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\\[6px]{\frac {\mathrm {d} ^{2}a(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}&=a_{i}{H_{0}}^{2}\,\Omega _{0,\Lambda }\exp \left((t-t_{i})H_{0}\textstyle {\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\end{aligned}}$

Где по конструкции $A i > 0$ наши предположения были $ω 0, λ \approx 1$ , а $H 0$ измерялись как положительные, заставляя ускорение превышать нулю.

Повреждено уравнение Фридмана

Набор ${\tilde {a}}={\frac {a}{a_{0}}},\quad \rho _{c}={\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}},\quad \Omega ={\frac {\rho }{\rho _{\mathrm {c} }}},\quad t={\frac {\tilde {t}}{H_{0}}},\quad \Omega _{\mathrm {k} }=-{\frac {kc^{2}}{H_{0}^{2}a_{0}^{2}}},$ где $00$ и $H являются$ отдельно масштабным коэффициентом и параметром Хаббла сегодня. Тогда мы можем иметь ${\frac {1}{2}}\left({\frac {d{\tilde {a}}}{d{\tilde {t}}}}\right)^{2}+U_{\text{eff}}({\tilde {a}})={\frac {1}{2}}\Omega _{\mathrm {k} }$ где $U_{\text{eff}}({\tilde {a}})={\frac {-\Omega {\tilde {a}}^{2}}{2}}.$

Для любой формы эффективного потенциала $u eff (ã)$ существует уравнение состояния $p = p (ρ)$ , которое будет создавать его.

В популярной культуре

Несколько студентов Университета Цинхуа ( КПК лидер XI Цзиньпин Алма -Матер ), участвующих в протестах COVID-19 2022 года в Китае, несли плакаты с уравнениями Фридманна, наполненных им, интерпретированными как пьеса на словах «Свободный человек». Другие интерпретировали использование уравнений как призыв «открыть» Китай и остановить свою нулевую политику Covid, поскольку уравнения Фридмана связаны с расширением или «открытием» вселенной. ^{[ 7 ]}

Смотрите также

Примечания

^ Фридман, А (1922). «О кривизе комнаты». Z. Phys. (на немецком языке). 10 (1): 377–386. Bibcode : 1922zphy ... 10..377f . Doi : 10.1007/bf01332580 . S2CID 125190902 . (Английский перевод: Фридман, А (1999). «На кривизны космоса». Общая относительность и гравитация . 31 (12): 1991–2000. Bibcode : 1999gregr..31.1991f . doi : 10.1023/A: 1026751225741 . S2CID 122950995 . ) Первоначальная русская рукопись этой статьи сохранилась в архиве Ehrenfest .
^ Фридманн, А (1924). «О возможности мира с постоянной негативной кривистью комнаты». Z. Phys. (на немецком языке). 21 (1): 326–332. Bibcode : 1924zphy ... 21..326f . Doi : 10.1007/bf01328280 . S2CID 120551579 . (Английский перевод: Фридманн, А (1999). «О возможности мира с постоянной негативной кривизны космоса». Общая относительность и гравитация . 31 (12): 2001–2008. Bibcode : 1999gregr..31.2001f . doi : 10.1023/a: 1026755309811 . S2CID 123512351 . )
^ D'Inverno, Ray (2008). Введение относительности Эйнштейна (репр.). Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-859686-8 .
^ Рис, Мартин (2001). Всего шесть чисел: глубокие силы, которые формируют вселенную . Астрономия/наука (реп. Изд.). Нью -Йорк, Нью -Йорк: Основные книги. ISBN 978-0-465-03673-8 . ^{[ нужно разъяснения ]}
^ «Вселенная 101» . НАСА . Получено 9 сентября 2015 года . Фактическая плотность атомов эквивалентна примерно 1 протону на 4 кубических метра.
^ Немирофф, Роберт Дж .; Патла, Биджунатх (2008). «Приключения в космологии Фридмана: подробное расширение космологических уравнений Фридманн». Американский журнал физики . 76 (3): 265–276. Arxiv : Astro-ph/0703739 . BIBCODE : 2008AMJPH..76..265N . doi : 10.1119/1.2830536 . S2CID 51782808 .
^ Мерфи, Мэтт (28 ноября 2022 г.). «Протесты Китая: пустая бумага становится символом редких демонстраций» . BBC News .

Дальнейшее чтение

Слушание, дверь-эекхард (2005). "Расширение" . Космология . Берлин: Springr. стр. 53-77. ISBN 3-540-23261-3 .

[af1922-1] Фридман, А (1922). «О кривизе комнаты». Z. Phys. (на немецком языке). 10 (1): 377–386. Bibcode : 1922zphy ... 10..377f . Doi : 10.1007/bf01332580 . S2CID 125190902 . (Английский перевод: Фридман, А (1999). «На кривизны космоса». Общая относительность и гравитация . 31 (12): 1991–2000. Bibcode : 1999gregr..31.1991f . doi : 10.1023/A: 1026751225741 . S2CID 122950995 . ) Первоначальная русская рукопись этой статьи сохранилась в архиве Ehrenfest .

[af1924-2] Фридманн, А (1924). «О возможности мира с постоянной негативной кривистью комнаты». Z. Phys. (на немецком языке). 21 (1): 326–332. Bibcode : 1924zphy ... 21..326f . Doi : 10.1007/bf01328280 . S2CID 120551579 . (Английский перевод: Фридманн, А (1999). «О возможности мира с постоянной негативной кривизны космоса». Общая относительность и гравитация . 31 (12): 2001–2008. Bibcode : 1999gregr..31.2001f . doi : 10.1023/a: 1026755309811 . S2CID 123512351 . )

[3] D'Inverno, Ray (2008). Введение относительности Эйнштейна (репр.). Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-859686-8 .

[4] Рис, Мартин (2001). Всего шесть чисел: глубокие силы, которые формируют вселенную . Астрономия/наука (реп. Изд.). Нью -Йорк, Нью -Йорк: Основные книги. ISBN 978-0-465-03673-8 . ^{[ нужно разъяснения ]}

[5] «Вселенная 101» . НАСА . Получено 9 сентября 2015 года . Фактическая плотность атомов эквивалентна примерно 1 протону на 4 кубических метра.

[6] Немирофф, Роберт Дж .; Патла, Биджунатх (2008). «Приключения в космологии Фридмана: подробное расширение космологических уравнений Фридманн». Американский журнал физики . 76 (3): 265–276. Arxiv : Astro-ph/0703739 . BIBCODE : 2008AMJPH..76..265N . doi : 10.1119/1.2830536 . S2CID 51782808 .

[7] Мерфи, Мэтт (28 ноября 2022 г.). «Протесты Китая: пустая бумага становится символом редких демонстраций» . BBC News .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]