Вычислительная геометрия
Вычислительная геометрия — это раздел информатики, посвященный изучению алгоритмов , которые могут быть сформулированы в терминах геометрии . Некоторые чисто геометрические проблемы возникают в результате изучения вычислительных геометрических алгоритмов, и такие проблемы также считаются частью вычислительной геометрии. Хотя современная вычислительная геометрия возникла недавно, это одна из старейших областей вычислений, история которой уходит корнями в древность.
Сложность вычислений занимает центральное место в вычислительной геометрии и имеет большое практическое значение, если алгоритмы используются с очень большими наборами данных, содержащими десятки или сотни миллионов точек. Для таких наборов разница между O( n 2 ) и O( n log n ) могут быть разницей между днями и секундами вычислений.
Основным толчком к развитию вычислительной геометрии как дисциплины стал прогресс в области компьютерной графики и систем автоматизированного проектирования и производства ( CAD / CAM ), однако многие задачи вычислительной геометрии носят классический характер и могут возникнуть в результате математической визуализации .
Другие важные применения вычислительной геометрии включают робототехнику ( планирования движения проблемы и видимости), географические информационные системы (ГИС) (геометрическое местоположение и поиск, планирование маршрута), проектирование интегральных схем (проектирование и проверка геометрии ИС), автоматизированное проектирование (CAE). (генерация сетки) и компьютерное зрение ( 3D-реконструкция ).
Основными разделами вычислительной геометрии являются:
- Комбинаторная вычислительная геометрия , также называемая алгоритмической геометрией , рассматривает геометрические объекты как дискретные сущности. В основополагающей книге Препараты и Шамоса по этой теме первое использование термина «вычислительная геометрия» в этом смысле датируется 1975 годом. [ 1 ]
- Численная вычислительная геометрия , также называемая машинной геометрией , компьютерным геометрическим проектированием (CAGD) или геометрическим моделированием , которая занимается в первую очередь представлением объектов реального мира в формах, подходящих для компьютерных вычислений в системах CAD/CAM. Эту ветвь можно рассматривать как дальнейшее развитие начертательной геометрии и часто считают ветвью компьютерной графики или САПР. Термин «вычислительная геометрия» в этом значении используется с 1971 года. [ 2 ]
Хотя большинство алгоритмов вычислительной геометрии были разработаны (и разрабатываются) для электронных компьютеров, некоторые алгоритмы были разработаны для нетрадиционных компьютеров (например, оптических компьютеров). [ 3 ] )
Комбинаторная вычислительная геометрия
[ редактировать ]Основной целью исследований в области комбинаторной вычислительной геометрии является разработка эффективных алгоритмов и структур данных для решения задач, сформулированных в терминах основных геометрических объектов: точек, отрезков прямых, многоугольников , многогранников и т. д.
Некоторые из этих проблем кажутся настолько простыми, что их вообще не считали проблемами до появления компьютеров . Рассмотрим, например, задачу о ближайшей паре :
- По заданным n точкам на плоскости найти две точки, находящиеся на наименьшем расстоянии друг от друга.
Можно вычислить расстояния между всеми парами точек, которых имеется n(n-1)/2 , а затем выбрать пару с наименьшим расстоянием. Этот алгоритм грубой силы требует O ( n 2 ) время; т.е. время его выполнения пропорционально квадрату количества точек. Классическим результатом в вычислительной геометрии была формулировка алгоритма, который принимает O( n log n ). Рандомизированные алгоритмы , требующие ожидаемого времени O( n ), [ 4 ] а также детерминированный алгоритм, который занимает время O( n log log n ), [ 5 ] также были обнаружены.
Проблемные классы
[ редактировать ]Основные проблемы вычислительной геометрии можно классифицировать по-разному в соответствии с различными критериями. Можно выделить следующие общие классы.
Статическая проблема
[ редактировать ]В задачах этой категории задаются некие входные данные, и необходимо построить или найти соответствующие выходные данные. Некоторые фундаментальные проблемы этого типа:
- Выпуклая оболочка : по заданному набору точек найдите наименьший выпуклый многогранник/многоугольник, содержащий все точки.
- Пересечение сегментов линий : найдите пересечения между заданным набором сегментов линий.
- Триангуляция Делоне
- Диаграмма Вороного : Учитывая набор точек, разделите пространство в соответствии с тем, какие точки находятся ближе всего к заданным точкам.
- Линейное программирование
- Ближайшая пара точек : Учитывая набор точек, найдите две точки, находящиеся на наименьшем расстоянии друг от друга.
- Самая дальняя пара точек
- Самый большой пустой круг : по набору точек найдите самый большой круг, центр которого находится внутри выпуклой оболочки и не заключает ни одну из них.
- Евклидов кратчайший путь : соедините две точки в евклидовом пространстве (с многогранными препятствиями) кратчайшим путем.
- Триангуляция многоугольника : учитывая многоугольник, разделите его внутреннюю часть на треугольники.
- Генерация сетки
- Булевы операции над многоугольниками
Вычислительная сложность для этого класса задач оценивается временем и пространством (памятью компьютера), необходимыми для решения данного экземпляра задачи.
Проблемы с геометрическими запросами
[ редактировать ]В задачах геометрического запроса , широко известных как задачи геометрического поиска , входные данные состоят из двух частей: части пространства поиска и части запроса , которая варьируется в зависимости от экземпляра задачи. Пространство поиска обычно необходимо предварительно обработать , чтобы можно было эффективно ответить на несколько запросов.
Некоторые фундаментальные проблемы геометрических запросов:
- Поиск по диапазону . Предварительная обработка набора точек для эффективного подсчета количества точек внутри области запроса.
- Проблема с расположением точки . Учитывая разделение пространства на ячейки, создайте структуру данных, которая эффективно сообщает, в какой ячейке находится точка запроса.
- Ближайший сосед : Предварительная обработка набора точек, чтобы эффективно найти точку, ближайшую к точке запроса.
- Трассировка лучей . Учитывая набор объектов в пространстве, создайте структуру данных, которая эффективно сообщает, какой объект первым пересекает луч запроса.
Если пространство поиска фиксировано, вычислительная сложность для этого класса задач обычно оценивается как:
- время и пространство, необходимые для создания структуры данных, в которой будет осуществляться поиск.
- время (а иногда и дополнительное место) для ответов на вопросы.
О случае, когда пространство поиска может меняться, см. « Динамические задачи ».
Динамические проблемы
[ редактировать ]Еще одним крупным классом являются динамические задачи , цель которых — найти эффективный алгоритм многократного поиска решения после каждого постепенного изменения входных данных (добавления или удаления входных геометрических элементов). Алгоритмы решения задач этого типа обычно включают динамические структуры данных . Любую вычислительную геометрическую задачу можно преобразовать в динамическую за счет увеличения времени обработки. Например, задача поиска диапазона может быть преобразована в задачу поиска динамического диапазона путем обеспечения добавления и/или удаления точек. Проблема динамической выпуклой оболочки состоит в том, чтобы отслеживать выпуклую оболочку, например, для динамически изменяющегося набора точек, т. е. во время вставки или удаления входных точек.
Вычислительная сложность для этого класса задач оценивается по формуле:
- время и пространство, необходимые для создания структуры данных, в которой будет осуществляться поиск.
- время и пространство для изменения искомой структуры данных после постепенного изменения в пространстве поиска
- время (а иногда и дополнительное пространство) для ответа на запрос.
Вариации
[ редактировать ]Некоторые проблемы можно отнести к любой из категорий, в зависимости от контекста. Например, рассмотрим следующую проблему.
- Точка в многоугольнике : решите, находится ли точка внутри или снаружи данного многоугольника.
Во многих приложениях эта задача рассматривается как однократная, т.е. относящаяся к первому классу. Например, во многих приложениях компьютерной графики распространенной проблемой является определение того, на какую область экрана нажимает указатель . Однако в некоторых приложениях рассматриваемый многоугольник является инвариантным, а точка представляет собой запрос. Например, входной многоугольник может представлять собой границу страны, а точка — это положение самолета, и задача состоит в том, чтобы определить, нарушил ли самолет границу. Наконец, в ранее упомянутом примере компьютерной графики в приложениях САПР изменяющиеся входные данные часто сохраняются в динамических структурах данных, которые можно использовать для ускорения запросов «точка в полигоне».
В некоторых контекстах задач запросов существуют разумные ожидания относительно последовательности запросов, которые можно использовать либо для эффективных структур данных, либо для более точных оценок сложности вычислений. Например, в некоторых случаях важно знать наихудший случай общего времени для всей последовательности из N запросов, а не для одного запроса. См. также « амортизированный анализ ».
Численная вычислительная геометрия
[ редактировать ]Эта отрасль также известна как геометрическое моделирование и компьютерное геометрическое проектирование (CAGD).
Основными проблемами являются моделирование и представление кривых и поверхностей.
Наиболее важными инструментами здесь являются параметрические кривые и параметрические поверхности , такие как кривые Безье , сплайновые кривые и поверхности. Важным непараметрическим подходом является метод набора уровней .
Области применения вычислительной геометрии включают судостроение, авиационную и автомобильную промышленность.
Список алгоритмов
[ редактировать ]- Задача о ближайшей паре : найти пару точек (из набора точек) с наименьшим расстоянием между ними.
- Алгоритмы обнаружения столкновений : проверка столкновения или пересечения двух заданных твердых тел.
- Алгоритм конуса : определение точек поверхности
- Алгоритмы выпуклой оболочки определение выпуклой оболочки набора точек :
- Преобразование евклидова расстояния : вычисляет расстояние между каждой точкой сетки и дискретным набором точек.
- Геометрическое хеширование : метод эффективного поиска двумерных объектов, представленных дискретными точками, подвергшимися аффинному преобразованию.
- Алгоритм расстояния Гилберта – Джонсона – Кирти : определение наименьшего расстояния между двумя выпуклыми формами.
- Алгоритм Jump-and-Walk : алгоритм определения местоположения точек в триангуляциях.
- Сглаживание по Лапласу : алгоритм сглаживания полигональной сетки.
- Пересечение сегментов линий : определение того, пересекаются ли линии, обычно с помощью алгоритма развертки линии.
- Алгоритмы минимальной ограничивающей рамки : найдите ориентированную минимальную ограничивающую рамку, включающую набор точек.
- Поиск ближайшего соседа : найдите ближайшую точку или точки к точке запроса.
- Алгоритм вложения : максимально эффективно используйте материал или пространство.
- Алгоритмы «Точка в полигоне» : проверяет, находится ли данная точка внутри данного многоугольника.
- Алгоритмы регистрации набора точек : находит преобразование между двумя наборами точек для их оптимального выравнивания.
- Вращающийся штангенциркуль : определите все противоположные пары точек и вершин на выпуклом многоугольнике или выпуклой оболочке .
- Алгоритм шнурков : определение площади многоугольника, вершины которого описаны упорядоченными парами на плоскости.
- Триангуляция
- Триангуляция Делоне
- Алгоритм Руперта (также известный как уточнение Делоне): создание качественных триангуляций Делоне.
- Второй алгоритм Чу : создание триангуляций Делоне с ограниченным качеством.
- Марширующие треугольники : восстановление двумерной геометрии поверхности из неструктурированного облака точек.
- Алгоритмы триангуляции полигона : разложение многоугольника на набор треугольников.
- Диаграммы Вороного , геометрические двойники . триангуляции Делоне
- Алгоритм Бойера – Ватсона : создание диаграммы Вороного в любом количестве измерений.
- Алгоритм Фортуны : создаем диаграмму Вороного
- Квазитриангуляция
- Триангуляция Делоне
См. также
[ редактировать ]- Список тем комбинаторной вычислительной геометрии
- Список тем по числовой вычислительной геометрии
- CAD / CAM / CAE
- Твердотельное моделирование
- Вычислительная топология
- Компьютерное представление поверхностей
- Цифровая геометрия
- Дискретная геометрия (комбинаторная геометрия)
- Разделение пространства
- Трикомплексный номер
- Надежные геометрические вычисления
- Викиверситет:Тема:Вычислительная геометрия
- Викиверситет:Компьютерный геометрический дизайн
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Франко П. Препарата и Майкл Ян Шамос (1985). Вычислительная геометрия. Введение . Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-96131-3 . 1-е издание; 2-е издание, исправленное и дополненное, 1988 г.
- ^ А. Р. Форрест, «Вычислительная геометрия», Proc. Королевское общество Лондона , 321, серия 4, 187–195 (1971)
- ^ Евгений Борисович Карасик (2019). Оптическая вычислительная геометрия . ISBN 979-8511243344 .
- ^ С. Хуллер и Ю. Матиас. Простой алгоритм рандомизированного сита для решения задачи поиска ближайшей пары . Инф. Comput., 118(1):34—37,1995 ( PDF )
- ^ С. Форчун и Дж. Э. Хопкрофт. «Заметка об алгоритме ближайшего соседа Рабина». Письма об обработке информации, 8 (1), стр. 20–23, 1979 г.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]Журналы
[ редактировать ]Комбинаторная/алгоритмическая вычислительная геометрия
[ редактировать ]Ниже приведен список основных журналов, в которых публикуются исследования в области геометрических алгоритмов. Обратите внимание, что с появлением журналов, специально посвященных вычислительной геометрии, доля геометрических публикаций в журналах общего назначения по информатике и компьютерной графике снизилась.
- Обзоры вычислительной техники ACM
- Транзакции ACM с графикой
- Закон об информатике
- Достижения в геометрии
- Алгоритмика
- Арс Комбинатория
- Вычислительная геометрия: теория и приложения
- Коммуникации ACM
- Компьютерное геометрическое проектирование
- Компьютерная графика и приложения
- Мир компьютерной графики
- Вычисления в геометрии и топологии
- Дискретная и вычислительная геометрия
- Геомбинаторика
- Посвящается геометрии.
- Транзакции IEEE в графике
- Транзакции IEEE на компьютерах
- Транзакции IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту
- Письма об обработке информации
- Международный журнал вычислительной геометрии и приложений
- Журнал комбинаторной теории , серия B
- Журнал вычислительной геометрии
- Журнал дифференциальной геометрии
- Журнал ACM
- Журнал алгоритмов
- Журнал компьютерных и системных наук
- Наука управления
- Распознавание образов
- Буквы распознавания образов
- SIAM Journal по вычислительной технике
- Новости СИГАКТ ; представил «Колонку вычислительной геометрии» Джозефа О'Рурка.
- Теоретическая информатика
- Визуальный компьютер