Суперзадача

В философии сверхзадача — это счетная бесконечная последовательность операций, которые происходят последовательно в течение конечного интервала времени. ^[1] Сверхзадачи называются гиперзадачами , когда количество операций становится несчетно бесконечным . Гиперзадача, включающая по одной задаче для каждого порядкового номера, называется ультразадачой . ^[2] Термин «сверхзадача» был придуман философом Джеймсом Ф. Томсоном , который изобрел лампу Томсона . Термин «гиперзадача» заимствован у Кларка и Рида в их одноименной статье. ^[3]

История

Зенон

Движение

Происхождение интереса к сверхзадачам обычно приписывают Зенону Элейскому . Зенон утверждал, что движение невозможно . Он рассуждал следующим образом: предположим, что наш растущий «движитель», говорит Ахиллес, желает переместиться из А в В. Для этого он должен пройти половину расстояния от А до В. Чтобы попасть из середины АВ в В, Ахилл должен пройти половину этого расстояния и так далее и тому подобное. Сколько бы раз он ни выполнял одну из этих задач «перехода», ему остается выполнить еще одну, прежде чем он достигнет точки B. Отсюда следует, согласно Зенону, что движение (прохождение ненулевого расстояния за конечное время) есть сверхзадача. Зенон далее утверждает, что сверхзадачи невозможны (как можно завершить эту последовательность, если за каждым перемещением следует еще одно?). Отсюда следует, что движение невозможно.

Аргументация Зенона принимает следующую форму:

Движение — это сверхзадача, поскольку завершение движения на любое заданное расстояние включает в себя бесконечное количество шагов.
Сверхзадачи невозможны
Поэтому движение невозможно

Большинство последующих философов отвергают смелый вывод Зенона в пользу здравого смысла. Вместо этого они переворачивают аргумент и принимают его как доказательство от противного, где возможность движения считается само собой разумеющейся. Они признают возможность движения и применяют modus tollens ( контрапозитивный ) к аргументу Зенона, чтобы прийти к выводу, что либо движение не является сверхзадачой, либо не все сверхзадачи невозможны. ^{[ нужна ссылка ]}

Ахиллес и черепаха

Сам Зенон также обсуждает идею того, что он называет « Ахиллесом и черепахой». Предположим, что Ахилл — самый быстрый бегун и движется со скоростью 1 м/с. Ахилл преследует черепаху, животное, известное своей медлительностью и движущееся со скоростью 0,1 м/с. Однако черепаха стартует на 0,9 метра впереди. Здравый смысл, кажется, подсказывает, что Ахиллес догонит черепаху ровно через 1 секунду, но Зенон утверждает, что это не так. Вместо этого он предполагает, что Ахиллес неизбежно должен подойти к точке, из которой стартовала черепаха, но к тому времени, когда он это сделает, черепаха уже перейдет в другую точку. Так продолжается, и каждый раз, когда Ахиллес достигнет отметки, где была черепаха, черепаха достигнет новой точки, которую Ахиллесу придется догонять; хотя он начинается с 0,9 метра, он становится дополнительным 0,09 метра, затем 0,009 метра и так далее до бесконечности. Хотя эти расстояния станут очень маленькими, они останутся конечными, а погоня Ахиллеса за черепахой станет бесконечной сверхзадачой. По поводу этого конкретного парадокса было сделано много комментариев; многие утверждают, что это находит лазейку в здравом смысле. ^[4]

Томсон

Джеймс Ф. Томсон считал, что движение не является сверхзадачой, и категорически отрицал возможность существования сверхзадач. Он рассмотрел лампу, которая может быть либо включена, либо выключена. В момент времени $t = 0$ лампа выключена, а переключатель включается в момент $t = 1/2$ ; после этого переключатель переключается после ожидания в два раза меньше, чем раньше. Томсон спрашивает, каково состояние в момент $t = 1$ , когда переключатель переключался бесконечное количество раз. Он рассуждает, что он не может быть включен, потому что никогда не было времени, чтобы его впоследствии не выключали, и наоборот, и приходит к противоречию. Он приходит к выводу, что сверхзадачи невозможны. ^[5]

Бенасерраф

Пол Бенацерраф считает, что сверхзадачи, по крайней мере, логически возможны, несмотря на кажущееся противоречие Томсона. Бенасерраф согласен с Томсоном в том смысле, что изложенный им эксперимент не определяет состояние лампы при t = 1. Однако он не согласен с Томсоном в том, что из этого можно вывести противоречие, так как состояние лампы при t = 1 не может быть логически определяется предыдущими состояниями. ^{[ нужна ссылка ]}

Современная литература

Большая часть современной литературы исходит от потомков Бенасеррафа, тех, кто молчаливо признает возможность сверхзадач. Философы, отвергающие их возможность, склонны отвергать их не на таких основаниях, как у Томсона, а потому, что у них есть сомнения по поводу самого понятия бесконечности. Конечно, есть исключения. Например, Маклафлин утверждает, что лампа Томсона несовместима, если ее анализировать с помощью внутренней теории множеств , варианта реального анализа .

Философия математики

Если сверхзадачи возможны, то истинность или ложность неизвестных утверждений теории чисел, таких как гипотеза Гольдбаха , или даже неразрешимых утверждений может быть определена за конечное время путем перебора множества всех натуральных чисел. Однако это противоречило бы тезису Чёрча-Тьюринга . Некоторые утверждают, что это создает проблему для интуиционизма , поскольку интуиционист должен различать вещи, которые на самом деле невозможно доказать (поскольку они слишком длинные или сложные; например, . «Любопытный вывод» Булоса) ^[6]), но, тем не менее, считаются «доказуемыми», а также те, которые доказуемы бесконечной грубой силой в указанном выше смысле.

Физическая возможность

Некоторые утверждают, что лампа Томсона физически невозможна, поскольку ее части должны двигаться со скоростью, превышающей скорость света (например, выключатель лампы). Адольф Грюнбаум предполагает, что у лампы могла быть полоска провода, которая при поднятии разрывает цепь и выключает лампу; затем эту полосу можно было бы поднимать на меньшее расстояние каждый раз, когда лампу нужно выключить, сохраняя постоянную скорость.

Однако такая конструкция в конечном итоге потерпит неудачу, поскольку в конечном итоге расстояние между контактами станет настолько малым, что позволит электронам перепрыгнуть через зазор, предотвращая вообще разрыв цепи. Тем не менее, чтобы человек или любое устройство могли воспринимать состояние лампы или воздействовать на нее, необходимо выполнить некоторые измерения, например, свет от лампы должен достичь глаза или датчика.

Любое такое измерение займет фиксированный промежуток времени, каким бы малым он ни был, и, следовательно, в какой-то момент измерение состояния станет невозможным. Поскольку состояние при t=1 невозможно определить даже в принципе, говорить о включении или выключении лампы не имеет смысла.

Были предложены и другие физически возможные сверхзадачи. В одном предложении один человек (или организация) считает вверх от 1, занимая бесконечное количество времени, в то время как другой человек наблюдает за этим из системы отсчета, где это происходит в конечном пространстве времени. Для счетчика это не сверхзадача, а для наблюдателя — да. (Теоретически это могло произойти из-за замедления времени , например, если наблюдатель падал в черную дыру , наблюдая за счетчиком, положение которого фиксировано относительно сингулярности.)

Густаво Э. Ромеро в статье «Коллапс сверхзадач» ^[7] утверждает, что любая попытка выполнить сверхзадачу приведет к образованию черной дыры , что сделает сверхзадачу физически невозможной.

Супермашины Тьюринга

Влияние сверхзадач на теоретическую информатику послужило толчком к появлению некоторых новых и интересных работ, например, Хэмкинса и Льюиса – «Бесконечная машина Тьюринга». ^[8]

Выдающиеся сверхзадачи

Парадокс Росса – Литтлвуда

Предположим, есть банка, в которой можно хранить бесконечное количество шариков и бесконечную коллекцию шариков с номерами 1, 2, 3 и т. д. В момент времени t = 0 шарики с 1 по 10 помещаются в банку и шарик 1 вынимается. В момент t = 0,5 шарики с 11 по 20 помещаются в банку и шарик 2 вынимается; при t = 0,75 в банку кладут шарики с 21 по 30 и вынимают шарик 3; и вообще в момент времени t = 1 − 0,5 ^н, шарики от 10 n + 1 до 10 n + 10 помещаются в банку и шарик n вынимаются + 1. Сколько шариков находится в банке в момент времени t = 1?

Один аргумент утверждает, что в банке должно быть бесконечно много шариков, потому что на каждом шаге до t = 1 количество шариков увеличивается по сравнению с предыдущим шагом, и происходит это неограниченно. Однако второй аргумент показывает, что банка пуста. Рассмотрим следующий аргумент: если банка непустая, то в ней должен быть шарик. Допустим, этот шарик помечен номером n . Но в момент времени t = 1 − 0,5 ^{н - 1}, n -й шарик вынут, поэтому шарик n не может находиться в банке. Это противоречие, поэтому банка должна быть пустой. Парадокс Росса–Литтлвуда заключается в том, что здесь мы имеем два, казалось бы, совершенно хороших аргумента с совершенно противоположными выводами.

Парадокс Бенардете

Большой интерес вызвал Дж. А. Бенардете : «Парадокс богов» ^[9]

Человек проходит милю от точки α. Но существует бесчисленное множество богов, каждый из которых, втайне от других, намерен помешать ему. Один из них поднимет барьер, чтобы остановить его дальнейшее продвижение, если он достигнет отметки в полмили, второй, если он достигнет отметки в четверть мили, третий, если он пройдет одну восьмую мили, и так до бесконечности. Поэтому он даже не может начать, потому что, какое бы короткое расстояние он ни проехал, его уже остановит барьер. Но в этом случае не возникнет никакого барьера, и ничто не помешает ему отправиться в путь. Он был вынужден оставаться там, где находится, из-за неисполненных намерений богов. ^[10]
- М. Кларк, Парадоксы от А до Я.

Парадокс Мрачного Жнеца

Вдохновленный парадоксом Дж. А. Бенардете о бесконечной серии убийц, ^[11] Дэвид Чалмерс описывает парадокс следующим образом:

Существует счетное количество мрачных жнецов, по одному на каждое положительное целое число. Мрачный Жнец 1 намерен убить вас косой в 13:00, если и только если вы еще живы (в противном случае его коса остается неподвижной все время), потратив на это 30 минут. Grim Reaper 2 намерен убить вас косой в 12:30, если и только если вы еще живы, и на это уйдет 15 минут. Мрачный жнец 3 намерен убить вас косой в 12:15 и так далее. Вы все еще живы около 12 часов дня, вы можете умереть только от движения косы мрачного жнеца, и, будучи мертвым, вы остаетесь мертвым. На первый взгляд, эта ситуация кажется мыслимой — каждый жнец кажется мыслимым индивидуально и внутренне, и кажется разумным объединить отдельных людей с различными внутренними свойствами в одну ситуацию. Но небольшое размышление показывает, что описанная ситуация противоречива. Я не могу дожить до 12 часов дня (мрачный жнец схватит меня первым), но меня нельзя убить (мрачный жнец n чтобы убить меня, я должен был пережить мрачного жнеца n +1, что невозможно). ^[12]

Он приобрел значение в философии благодаря его использованию в аргументах в пользу конечного прошлого, тем самым имея отношение к космологическому аргументу Калама . ^[13]^[14]^[15]^[16]

Супермашина Дэвиса

Предложено Э. Брайаном Дэвисом , ^[17] это машина, которая может за полчаса создать точную копию самой себя, которая в два раза меньше ее размера и способна удвоить скорость репликации. Эта копия, в свою очередь, создаст еще более быструю версию себя с теми же характеристиками, в результате чего суперзадача завершится через час. Если, кроме того, машины создают канал связи между родительской и дочерней машинами, который последовательно обеспечивает более высокую пропускную способность, и машины способны выполнять простую арифметику, машины можно использовать для грубого доказательства неизвестных гипотез. Однако Дэвис также отмечает, что из-за фундаментальных свойств реальной Вселенной, таких как квантовая механика , тепловой шум и теория информации , его машину на самом деле невозможно построить.

См. также

Актуальная бесконечность - Понятие в философии математики.
NP (сложность) - класс сложности, используемый для классификации проблем принятия решений.
Парадоксы теории множеств
Трансвычислительная задача - Класс вычислительных задач.
Трансфинитное число - число, большее всех конечных чисел.
Машина Зенона - Гипотетическая вычислительная модель

Ссылки

^ Это понятие относится к кардинальным числам .
^ Аль-Дхалими, Хайдар; Гейер, Чарльз (декабрь 2016 г.). «Сюрреалистическое время и ультразадачи» . Обзор символической логики . 9 (4). Издательство Кембриджского университета: 836–847. дои : 10.1017/S1755020316000289 .
^ Кларк, Питер; Рид, Стивен (декабрь 1984 г.). «Гиперзадачи». Синтезируйте . 61 (3). Спрингер Нидерланды: 387–390. дои : 10.1007/BF00485061 . ISSN 1573-0964 .
^ Чакраборти, Чанда (2006). Логика . Прентис Холл Индии. п. 477. ИСБН 81-203-2855-8 .
^ Томсон 1954 .
^ Джордж Булос . «Любопытный вывод». Журнал философской логики 16: 1–12. ( ДЖСТОР )
^ Ромеро, Густаво Э. (2013). «Крах сверхзадач». arXiv : 1309.0144 [ physical.hist-ph ].
^ Хэмкинс, Джоэл Дэвид (ноябрь 2002 г.). «Бесконечные машины Тьюринга». Разум и машины . 12 (4): 521–539. arXiv : math/0212047 . дои : 10.1023/A:1021180801870 .
^ Оппи, GR (2006). Философские взгляды на бесконечность . Издательство Кембриджского университета. п. 63. ИСБН 978-0-521-86067-3 . LCCN 2005021715 .
^ Кларк, М. (2007). Парадоксы от А до Я. Рутледж. п. 75 . ISBN 978-0-415-42082-2 . LCCN 2007015371 .
^ Бенардете, Хосе (1964). Бесконечность: Очерк метафизики . Кларендон Пресс. п. 259.
^ Чалмерс, Дэвид (2002). Мыслимость и возможность . Кларендон Пресс. п. 154.
^ Кунс, Роберт (июнь 2014 г.). «Новый аргумент Калама: Месть Мрачного Жнеца». Нус . 48 (2): 256–267. дои : 10.1111/j.1468-0068.2012.00858.x .
^ Прусс, Александр; Расмуссен, Джошуа (октябрь 2014 г.). «Время без творения?». Вера и философия . 31 (4): 401–411. дои : 10.5840/faithphil201412819 .
^ Прусс, Александр (2018). Бесконечность, причинность и парадокс (Первое изд.). Издательство Оксфордского университета. стр. 46–56. ISBN 978-0-19-881033-9 .
^ Прусс, Александр. «От парадокса Мрачного Жнеца к аргументу Калаама» .
^ Дэвис, Э. Брайан (2001). «Создание бесконечных машин» (PDF) . Бр. Дж. Филос. наук. 52 (4): 671–682. дои : 10.1093/bjps/52.4.671 . Архивировано из оригинала (PDF) 23 октября 2014 г.

Томсон, Джеймс Ф. (октябрь 1954 г.). «Задачи и сверхзадачи». Анализ . 15 (1): 1–13. дои : 10.2307/3326643 . JSTOR 3326643 .

Внешние ссылки

Статья о сверхзадачах в Стэнфордской энциклопедии философии
Кук, Мартин К. (2003). «Бесконечные последовательности: финитистское следствие» . Бр. Дж. Филос. Наука . 54 (4): 591–599. дои : 10.1093/bjps/54.4.591 .
Суперзадачи – Vsauce (YouTube)
Машина бесконечности

[1] Это понятие относится к кардинальным числам .

[2] Аль-Дхалими, Хайдар; Гейер, Чарльз (декабрь 2016 г.). «Сюрреалистическое время и ультразадачи» . Обзор символической логики . 9 (4). Издательство Кембриджского университета: 836–847. дои : 10.1017/S1755020316000289 .

[3] Кларк, Питер; Рид, Стивен (декабрь 1984 г.). «Гиперзадачи». Синтезируйте . 61 (3). Спрингер Нидерланды: 387–390. дои : 10.1007/BF00485061 . ISSN 1573-0964 .

[4] Чакраборти, Чанда (2006). Логика . Прентис Холл Индии. п. 477. ИСБН 81-203-2855-8 .

[FOOTNOTEThomson1954-5] Томсон 1954 .

[6] Джордж Булос . «Любопытный вывод». Журнал философской логики 16: 1–12. ( ДЖСТОР )

[7] Ромеро, Густаво Э. (2013). «Крах сверхзадач». arXiv : 1309.0144 [ physical.hist-ph ].

[8] Хэмкинс, Джоэл Дэвид (ноябрь 2002 г.). «Бесконечные машины Тьюринга». Разум и машины . 12 (4): 521–539. arXiv : math/0212047 . дои : 10.1023/A:1021180801870 .

[9] Оппи, GR (2006). Философские взгляды на бесконечность . Издательство Кембриджского университета. п. 63. ИСБН 978-0-521-86067-3 . LCCN 2005021715 .

[10] Кларк, М. (2007). Парадоксы от А до Я. Рутледж. п. 75 . ISBN 978-0-415-42082-2 . LCCN 2007015371 .

[11] Бенардете, Хосе (1964). Бесконечность: Очерк метафизики . Кларендон Пресс. п. 259.

[12] Чалмерс, Дэвид (2002). Мыслимость и возможность . Кларендон Пресс. п. 154.

[13] Кунс, Роберт (июнь 2014 г.). «Новый аргумент Калама: Месть Мрачного Жнеца». Нус . 48 (2): 256–267. дои : 10.1111/j.1468-0068.2012.00858.x .

[14] Прусс, Александр; Расмуссен, Джошуа (октябрь 2014 г.). «Время без творения?». Вера и философия . 31 (4): 401–411. дои : 10.5840/faithphil201412819 .

[15] Прусс, Александр (2018). Бесконечность, причинность и парадокс (Первое изд.). Издательство Оксфордского университета. стр. 46–56. ISBN 978-0-19-881033-9 .

[16] Прусс, Александр. «От парадокса Мрачного Жнеца к аргументу Калаама» .

[Davies2000-17] Дэвис, Э. Брайан (2001). «Создание бесконечных машин» (PDF) . Бр. Дж. Филос. наук. 52 (4): 671–682. дои : 10.1093/bjps/52.4.671 . Архивировано из оригинала (PDF) 23 октября 2014 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]