Кривая заполнения пространства

Три итерации конструкции кривой Пеано , пределом которой является кривая, заполняющая пространство.

В математическом анализе кривая , заполняющая пространство, — это кривая которой , диапазон достигает каждой точки в области более высокой размерности, обычно единичного квадрата (или, в более общем смысле, n -мерного единичного гиперкуба ). Поскольку Джузеппе Пеано (1858–1932) был первым, кто открыл эту кривую, кривые, заполняющие пространство в 2-мерной плоскости, иногда называют кривыми Пеано , но эта фраза также относится к кривой Пеано , конкретному примеру кривой, заполняющей пространство. нашел Пеано.

Тесно связанные кривые FASS (приблизительно заполняющие пространство, самоизбегающие, простые и самоподобные кривые)можно рассматривать как конечные аппроксимации определенного типа кривых, заполняющих пространство.

Определение

Интуитивно кривую в двух или трех (или более) измерениях можно рассматривать как путь непрерывно движущейся точки. Чтобы устранить присущую этому понятию неопределенность, Джордан в 1887 году ввел следующее строгое определение, которое с тех пор было принято в качестве точного описания понятия кривой :

Кривая (с конечными точками) — это непрерывная функция , областью определения которой является единичный интервал [0, 1] .

В наиболее общей форме диапазон такой функции может лежать в произвольном топологическом пространстве , но в наиболее часто изучаемых случаях диапазон будет лежать в евклидовом пространстве , таком как двумерная плоскость ( плоская кривая ) или Трехмерное пространство ( кривая пространства ).

Иногда кривую отождествляют с изображением функции (множеством всех возможных значений функции), а не с самой функцией. Также возможно определить кривые без конечных точек как непрерывную функцию на действительной линии (или на открытом единичном интервале (0, 1) ).

История

В 1890 году Джузеппе Пеано открыл непрерывную кривую, ныне называемую кривой Пеано , которая проходит через каждую точку единичного квадрата. Его целью было построить непрерывное отображение единичного интервала на единичный квадрат . Пеано был мотивирован более ранним противоречивым результатом Георга Кантора о том, что бесконечное число точек в единичном интервале имеет ту же мощность , что и бесконечное число точек в любом конечномерном многообразии , таком как единичный квадрат. Проблема, которую решил Пеано, заключалась в том, может ли такое отображение быть непрерывным; т. е. кривая, заполняющая пространство. Решение Пеано не устанавливает непрерывного взаимно однозначного соответствия между единичным интервалом и единичным квадратом, и действительно такого соответствия не существует (см. § Свойства ниже).

С кривыми было принято связывать смутные представления о тонкости и одномерности; все обычно встречающиеся кривые были кусочно- дифференцируемыми (т. е. имели кусочно-непрерывные производные), и такие кривые не могут заполнить весь единичный квадрат. Таким образом, кривая заполнения пространства Пеано оказалась весьма противоречивой.

На примере Пеано было легко вывести непрерывные кривые, диапазоны которых содержат n -мерный гиперкуб (для любого положительного целого числа n ). Также было легко распространить пример Пеано на непрерывные кривые без концов, которые заполняли все n -мерное евклидово пространство (где n равно 2, 3 или любому другому положительному целому числу).

Большинство известных кривых заполнения пространства строятся итеративно как предел последовательности кусочно-линейных непрерывных кривых, каждая из которых более точно приближается к пределу заполнения пространства.

Инновационная статья Пеано не содержала иллюстраций его конструкции, которая определяется в терминах троичных разложений и оператора зеркального отображения . Но графическая конструкция была ему совершенно ясна — он сделал орнаментальную плитку с изображением изгиба в своем доме в Турине. Статья Пеано также заканчивается замечанием о том, что эту технику можно, очевидно, распространить на другие нечетные основания, помимо основания 3. Его решение избегать любого обращения к графической визуализации было мотивировано желанием получить совершенно строгое доказательство, не зависящее ни от чего от изображений. В то время (начало становления общей топологии) графические аргументы еще включались в доказательства, но становились помехой для понимания часто противоречащих интуиции результатов.

Год спустя Дэвид Гильберт опубликовал в том же журнале вариант конструкции Пеано. Статья Гильберта была первой, в которую было включено изображение, помогающее визуализировать технику строительства, по сути такое же, как показано здесь. Однако аналитическая форма кривой Гильберта более сложна, чем форма Пеано.

Шесть итераций конструкции кривой Гильберта, предельная кривая заполнения пространства которой была разработана математиком Дэвидом Гильбертом .

Схема построения кривой, заполняющей пространство.

Позволять ${\mathcal {C}}$ обозначим канторово пространство $\mathbf {2} ^{\mathbb {N} }$.

Начнем с непрерывной функции $h$ из пространства Кантора ${\mathcal {C}}$ на весь единичный интервал $[0,\,1]$. ограничение функции Кантора на канторово множество .) Из нее получаем непрерывную функцию ( Примером такой функции является $H$ из топологического произведения ${\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}$ на всю единичную площадь $[0,\,1]\;\times \;[0,\,1]$ установив

$$H(x,y)=(h(x),h(y)).\,$$

Поскольку множество Кантора гомеоморфно произведению ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}$, существует непрерывная биекция $g$ от набора Кантора на ${\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}$. Состав $f$ из $H$ и $g$ — непрерывная функция, отображающая множество Кантора на весь единичный квадрат. (В качестве альтернативы мы могли бы использовать теорему о том, что каждое компактное метрическое пространство является непрерывным образом канторового множества, чтобы получить функцию $f$.)

Наконец, можно расширить $f$ к непрерывной функции $F$ областью определения которой является весь единичный интервал $[0,\,1]$. Это можно сделать либо с помощью теоремы о расширении Титце для каждой из компонент $f$или просто расширив $f$ «линейно» (то есть на каждом удаленном открытом интервале $(a,\,b)$ при построении множества Кантора мы определяем часть расширения $F$ на $(a,\,b)$ быть отрезком линии внутри единичного квадрата, соединяющим значения $f(a)$ и $f(b)$).

Характеристики

Кривые Мортона и Гильберта уровня 6 (4 ⁵ = 1024 ячейки в рекурсивном квадратном разделе ), отображая каждый адрес в виде разного цвета в стандарте RGB и используя метки Geohash . Окрестности имеют похожие цвета, но каждая кривая предлагает различную схему группировки похожих объектов в меньших масштабах.

Если кривая не инъективна, то можно найти две пересекающиеся подкривые кривой, каждая из которых получается путем рассмотрения изображений двух непересекающихся отрезков из области определения кривой (отрезка единичной прямой). Две подкривые пересекаются, если пересечение двух изображений не пусто . Можно было бы подумать, что смысл пересекающихся кривых состоит в том, что они обязательно пересекают друг друга, как точка пересечения двух непараллельных линий, с одной стороны на другую. Однако две кривые (или две подкривые одной кривой) могут соприкасаться друг с другом, не пересекаясь, как это делает, например, линия, касательная к окружности.

Несамопересекающаяся непрерывная кривая не может заполнить единичный квадрат, потому что это сделает кривую гомеоморфизмом единичного интервала на единичный квадрат (любая непрерывная биекция из компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом). Но единичный квадрат не имеет точки разреза и поэтому не может быть гомеоморфен единичному интервалу, в котором все точки, кроме конечных точек, являются точками разреза. Существуют несамопересекающиеся кривые ненулевой площади, кривые Осгуда , но по теореме Нетто они не заполняют пространство.

Для классических кривых Пеано и Гильберта, заполняющих пространство, где две подкривые пересекаются (в техническом смысле), существует самоконтакт без самопересечения. Кривая, заполняющая пространство, может быть (везде) самопересекающейся, если ее аппроксимационные кривые являются самопересекающимися. Аппроксимации кривой, заполняющей пространство, могут быть самоизбегающими, как показано на рисунках выше. В трех измерениях кривые самоизбегающей аппроксимации могут даже содержать узлы . Кривые аппроксимации остаются в пределах ограниченной части n -мерного пространства, но их длина неограниченно увеличивается.

Кривые, заполняющие пространство, являются частным случаем фрактальных кривых . Никакой дифференцируемой кривой заполнения пространства не может существовать. Грубо говоря, дифференцируемость ограничивает скорость поворота кривой. Михал Морейн доказал, что гипотеза континуума эквивалентна существованию кривой Пеано такой, что в каждой точке реальной линии хотя бы одна из ее компонент дифференцируема.

Теорема Хана–Мазуркевича.

Теорема Хана – Мазуркевича представляет собой следующую характеристику пространств, которые являются непрерывным образом кривых:

Непустое топологическое пространство Хаусдорфа является непрерывным образом единичного интервала тогда и только тогда, когда оно является компактным, связным , локально связным , счетным пространством .

Пространства, являющиеся непрерывным образом единичного интервала, иногда называют пространствами Пеано .

Во многих формулировках теоремы Хана-Мазуркевича счетная по секундам заменяется на метризуемую . Эти две формулировки эквивалентны. В одном направлении компакт Хаусдорфа является нормальным пространством , и, согласно теореме Урысона о метризации , счетность по секундам означает метризуемость. И наоборот, компактное метрическое пространство счетно по секундам.

Клейнианские группы

В теории двукратно вырожденных клейновых групп имеется множество естественных примеров кривых, заполняющих пространство или, скорее, сферу . Например, Кэннон и Терстон (2007) показали, что бесконечная окружность универсального покрытия слоя тора отображения псевдоаносовского отображения представляет собой кривую, заполняющую сферу. (Здесь сфера — это сфера на бесконечности гиперболического трехмерного пространства .)

Интеграция

Винер отметил в книге «Интеграл Фурье и некоторые из его приложений» , что кривые заполнения пространства можно использовать для сведения интегрирования Лебега в более высоких измерениях к интегрированию Лебега в одном измерении.

См. также

• Кривая дракона
• Кривая Госпера
• Кривая Гильберта
• кривая Коха
• Кривая Мура
• Полигон Мюррея
• Кривая Серпинского
• Дерево, заполняющее пространство
• Пространственный индекс
• Гильбертово R-дерево
• Б ^х -дерево
• Z-порядок (кривая) (порядок Мортона)
• Карта Кэннона-Терстона
• Список фракталов по размерности Хаусдорфа

Ссылки

• Кэннон, Джеймс В.; Терстон, Уильям П. (2007) [1982], «Групповые инвариантные кривые Пеано», Geometry & Topology , 11 (3): 1315–1355, doi : 10.2140/gt.2007.11.1315 , ISSN   1465-3060 , MR   2326947
• Гильберт, Д. (1891), «О непрерывном отображении линии на участок поверхности» , Mathematical Annals (на немецком языке), 38 (3): 459–460, doi : 10.1007/BF01199431 , S2CID   123643081
• Мандельброт, BB (1982), «Глава 7: Использование кривых монстра Пеано», Фрактальная геометрия природы , WH Freeman .
• Маккенна, Дуглас М. (1994), «SquaRecurves, E-Tours, Eddies и Frenzies: основные семейства кривых Пеано на квадратной сетке», Гай , Ричард К .; Вудро, Роберт Э. (ред.), Светлая сторона математики: материалы конференции памяти Юджина Стренса по развлекательной математике и ее истории , Математическая ассоциация Америки , стр. 49–73 , ISBN  978-0-88385-516-4 .
• Пеано, Г. (1890), «О кривой, заполняющей всю плоскую область» , Mathematische Annalen (на французском языке), 36 (1): 157–160, doi : 10.1007/BF01199438 , S2CID   179177780 .
• Саган, Ганс (1994), Кривые заполнения пространства , Universitext, Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-0871-6 , ISBN  0-387-94265-3 , МР   1299533 .

Внешние ссылки

• Многомерные кривые заполнения пространства
• Доказательство существования биекции при разрезании узла

Java-апплеты:

• Кривые заполнения плоскости Пеано в кратчайшие сроки
• Кривые заполнения плоскости Гильберта и Мура на грани разрубания узла
• Все кривые заполнения плоскости Пеано в кратчайшие сроки