Jump to content

0.999...

Послушайте эту статью

Стилистическое впечатление от числа, показывающее, как его десятичные дроби продолжаются бесконечно.

В математике 0,999 ... (также пишется как 0,9 . , 0 ... 9 или 0.(9) ) обозначает наименьшее число, большее, чем каждое в последовательности (0,9, 0,99, 0,999,...) число Можно доказать, что это число равно   1; то есть,

Другими словами, 0,999... это не «почти точно 1» или «очень, очень почти, но не совсем 1»; скорее, 0,999... и "1" - это одно и то же число.

Ниже приводится элементарное доказательство, которое включает в себя только элементарную арифметику и тот факт, что не существует положительного действительного числа меньше всех 1/10. н , где n — натуральное число, свойство, которое непосредственно следует из архимедова свойства действительных чисел .

Есть много других способов доказать это равенство: от интуитивных аргументов до математически строгих доказательств . Интуитивные аргументы обычно основаны на свойствах конечных десятичных дробей , которые без доказательства распространяются на бесконечные десятичные дроби. Доказательства обычно основаны на основных свойствах действительных чисел и методах исчисления , таких как ряды и пределы . Вопрос, изучаемый в рамках математического образования , заключается в том, почему некоторые люди отвергают это равенство.

В других системах счисления 0,999... может иметь то же значение, другое определение или быть неопределенным. Каждая ненулевая конечная десятичная дробь имеет два равных представления (например, 8,32000... и 8,31999...). Наличие значений с несколькими представлениями является особенностью всех позиционных систем счисления , которые представляют действительные числа.

Элементарное доказательство

[ редактировать ]
Свойство Архимеда : любая точка x перед финишной чертой лежит между двумя точками P n (включительно).

можно доказать, Уравнение 0,999... = 1 используя только математические инструменты сравнения и сложения (конечных) десятичных чисел , без каких-либо ссылок на более сложные темы, такие как ряды и пределы . доказательство Приведенное ниже представляет собой прямую формализацию интуитивного факта, что если провести на числовой прямой 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. , то между ними и 1 не останется места для размещения числа. Смысл обозначения 0,999 ... является наименьшей точкой на числовой прямой, лежащей справа от всех чисел 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. Поскольку в конечном итоге между 1 и этими числами нет места, точка 1 должна быть этой наименьшей точкой, и итак 0,999... = 1 .

Интуитивное объяснение

[ редактировать ]

Если разместить на числовой прямой 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. , то сразу видно, что все эти точки находятся левее 1 и что они становятся все ближе и ближе к 1. Для любого числа то есть меньше 1, последовательность 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. в конечном итоге достигнет числа, большего, чем ⁠. . Таким образом, нет смысла отождествлять 0,999... с любым числом меньшим 1. Между тем, каждое число больше 1 будет больше любой десятичной дроби вида 0,999...9 для любого конечного числа девяток. Следовательно, 0,999... также нельзя отождествить с каким-либо числом больше 1. Поскольку 0,999... не может быть больше 1 или меньше 1, оно должно равняться 1, если оно вообще должно быть действительным числом. [1] [2]

Строгое доказательство

[ редактировать ]

Обозначим через 0.(9) n число 0,999...9, причем девятки после запятой. Таким образом, 0.(9) 1 = 0,9 , 0.(9) 2 = 0,99 , 0.(9) 3 = 0,999 и так далее. Один имеет 1 - 0.(9) 1 = 0,1 = , 1 − 0.(9) 2 = 0.01 = и так далее; то есть 1 − 0.(9) n = для каждого натурального числа .

Позволять быть числом не больше 1 и больше 0,9, 0,99, 0,999 и т. д.; то есть 0.(9) n < ≤ 1 , для каждого . Вычитая эти неравенства из 1, получаем 0 ≤ 1 — < .

Для завершения доказательства необходимо, чтобы не существовало положительного числа, меньшего для всех . Это одна из версий свойства Архимеда , справедливая для действительных чисел. [3] [4]

Из этого свойства следует, таким образом, что левое неравенство не может быть строгим ; таким образом = 1 и 1 — это наименьшее число, которое больше всех 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. То есть 1 = 0,999... .

Это доказательство опирается на архимедово свойство рациональных и действительных чисел. Действительные числа могут быть расширены до систем счисления , таких как гипердействительные числа , с бесконечно малыми числами ( бесконечно малыми ) и бесконечно большими числами ( бесконечными числами ). [5] [6] , нет наименьшего числа При использовании таких систем обозначение 0,999... обычно не используется, так как среди чисел, больших всех 0.(9) n . [а]

Наименьшие верхние границы и полнота

[ редактировать ]

Частично этот аргумент показывает, что существует наименьшая верхняя граница последовательности 0,9, 0,99, 0,999 и т. д.: наименьшее число, которое больше, чем все члены последовательности. Одной из аксиом системы действительных чисел является аксиома полноты , которая гласит, что каждая ограниченная последовательность имеет наименьшую верхнюю границу. [7] [8] Эта наименьшая верхняя граница является одним из способов определения бесконечных десятичных разложений: действительное число, представленное бесконечной десятичной дробью, является наименьшей верхней границей его конечных усечений. [9] Аргумент здесь не обязательно предполагает полноту, поскольку он показывает, что эта конкретная последовательность рациональных чисел имеет наименьшую верхнюю границу и что эта наименьшая верхняя граница равна единице.

Алгебраические аргументы

[ редактировать ]

Было приведено множество алгебраических аргументов, которые предполагают, что 1 = 0,999... ‍ . Они не являются строгими математическими доказательствами , поскольку обычно основаны на предположении, что правила сложения и умножения конечных десятичных дробей распространяются на бесконечные десятичные дроби. Распространение этих правил на бесконечные десятичные дроби интуитивно и правильно, но требует обоснования.

Простые алгебраические иллюстрации равенства являются предметом педагогических дискуссий и критики. Байерс (2007) обсуждает аргумент, согласно которому в начальной школе учат, что = 0,333... , поэтому, игнорируя все существенные тонкости, "умножая" это тождество на 3, получаем 1 = 0,999... . Далее он говорит, что этот аргумент неубедителен из-за неразрешенной двусмысленности значения знака равенства ; студент может подумать: «Это, конечно, не означает, что число 1 идентично тому, которое подразумевается под обозначением 0,999... ‍ » . Большинство студентов-математиков, с которыми столкнулся Байерс, считают, что, хотя 0,999... «очень близко» к 1 на основании этого аргумента, а некоторые даже говорят, что оно «бесконечно близко», они не готовы сказать, что оно равно до 1. [10] Ричман (1999) обсуждает, как «этот аргумент получает свою силу от того факта, что большинству людей внушили принять первое уравнение, не задумываясь», но также предполагает, что этот аргумент может заставить скептиков усомниться в этом предположении. [11]

Байерс также приводит следующий аргумент.

Студенты, не принявшие первый аргумент, иногда принимают второй аргумент, но, по мнению Байерса, до сих пор не разрешили двусмысленность и, следовательно, не понимают представления бесконечных десятичных дробей. Перессини и Перессини (2007) , представляя тот же аргумент, также заявляют, что он не объясняет равенство, указывая на то, что такое объяснение, вероятно, будет включать в себя концепции бесконечности и полноты . [12] Болдуин и Нортон (2012) , цитируя Каца и Каца (2010a) , также приходят к выводу, что трактовка идентичности, основанная на подобных аргументах, без формальной концепции предела, является преждевременной. [13] Ченг (2023) соглашается, утверждая, что знание того, что можно умножить 0,999... на 10, сдвинув десятичную запятую, предполагает ответ на более глубокий вопрос о том, как придать смысл выражению 0,999... вообще. [14]

Тот же аргумент приводится Ричманом (1999) , который отмечает, что скептики могут сомневаться в том, что упразднима – то есть имеет ли смысл вычитать с обеих сторон. [11]

Аналитические доказательства

[ редактировать ]

Реальный анализ — это изучение логических основ исчисления , включая поведение последовательностей и рядов действительных чисел. [15] Доказательства в этом разделе устанавливают 0,999... = 1, используя методы, знакомые из реального анализа.

Бесконечные серии и последовательности

[ редактировать ]

Обычное развитие десятичных разложений состоит в том, чтобы определить их как суммы бесконечных рядов . В общем:

Для 0,999... можно применить теорему сходимости относительно геометрических рядов , утверждающую, что если < 1 , тогда: [16]

Поскольку 0,999... – это такая сумма с и общее соотношение , теорема быстро решает вопрос: Это доказательство появляется уже в 1770 году в » Леонарда Эйлера «Элементах алгебры . [17]

Ограничения: единичный интервал, включая с основанием 4 последовательность дробей (.3, .33, .333,...), сближающуюся к 1.

Сумма геометрической прогрессии сама по себе является результатом даже старше Эйлера. В типичном выводе 18-го века использовалась почленная манипуляция, аналогичная алгебраическому доказательству, приведенному выше, и еще в 1811 году в учебнике Бонникасла «Введение в алгебру» такой аргумент для геометрических рядов используется для обоснования того же маневра на 0,999. . [18] Реакция XIX века против таких либеральных методов суммирования привела к определению, которое до сих пор доминирует: сумма ряда определяется как предел последовательности его частичных сумм. Соответствующее доказательство теоремы явно вычисляет эту последовательность; его можно найти в любом основанном на доказательствах введении в исчисление или анализ. [19]

Последовательность ( , , , ...) имеет значение как его предел, если расстояние становится сколь угодно малым, так как увеличивается. Утверждение о том, что 0,999... = 1 само по себе можно интерпретировать и доказать как предел: [б] Первые два равенства можно интерпретировать как сокращенные определения символов. Остальные равенства можно доказать. Последний шаг, который 10 н приближается к 0, поскольку приближается к бесконечности ( ), часто оправдывается архимедовым свойством действительных чисел. Такое ограниченное отношение к 0,999... часто выражается в более запоминающихся, но менее точных терминах. Например, в учебнике « Университетская арифметика» 1846 года объясняется: «0,999 +, продолжается до бесконечности = 1, потому что каждое присоединение 9 приближает значение к 1»; 1895 года В «Арифметике для школ» говорится: «Когда берется большое количество девяток, разница между 1 и 0,99999... становится непостижимо малой». [20] Студенты часто неправильно интерпретируют такую ​​эвристику , предполагая, что 0,999... само по себе меньше 1. [21]

Вложенные интервалы и наименьшие верхние границы

[ редактировать ]
Вложенные интервалы: по основанию 3 1 = 1,000... = 0,222... .

Приведенное выше определение ряда определяет действительное число, названное десятичным представлением. Дополнительный подход адаптирован к противоположному процессу: для данного действительного числа определите десятичное расширение(я), чтобы дать ему имя.

Если действительное число известно, что он лежит в замкнутом интервале [0, 10] (то есть он больше или равен 0 и меньше или равен 10), можно представить себе разделение этого интервала на десять частей, которые перекрываются только в своих конечных точках: [0, 1] , [1, 2] , [2, 3] и так далее до [9, 10] . Число должен принадлежать к одному из них; если он принадлежит [2, 3] , то записывают цифру «2» и делят этот интервал на [2, 2.1] , [2.1, 2.2] , ..., [2.8, 2.9] , [2.9, 3] . Продолжение этого процесса дает бесконечную последовательность вложенных интервалов , помеченных бесконечной последовательностью цифр , , , ..., и один пишет

В этом формализме тождества 1 = 0,999... и 1 = 1,000... отражают соответственно тот факт, что 1 лежит в обоих [0, 1] . и [1, 2] , поэтому при нахождении его цифр можно выбрать любой подинтервал. Чтобы гарантировать, что эта запись не злоупотребляет знаком «=", нужен способ восстановить уникальное действительное число для каждого десятичного числа. Это можно сделать с ограничениями, но другие конструкции продолжают тему упорядочивания. [22]

Одним из простых вариантов является теорема о вложенных интервалах , которая гарантирует, что при наличии последовательности вложенных замкнутых интервалов, длина которых становится сколь угодно малой, интервалы содержат ровно одно действительное число в своем пересечении . Итак , , , ... определяется как уникальное число, содержащееся во всех интервалах [ , + 1] , [ , + 0,1] и так далее. 0,999... тогда является уникальным действительным числом, которое лежит во всех интервалах [0, 1] , [0,9, 1] , [0,99, 1] и [0,99...9, 1] для каждой конечной строки 9 с. Поскольку 1 является элементом каждого из этих интервалов, 0,999... = 1 . [23]

Теорема о вложенных интервалах обычно основана на более фундаментальной характеристике действительных чисел: существовании наименьших верхних границ или супремумов . Чтобы напрямую использовать эти объекты, можно определить ... быть наименьшей верхней границей множества аппроксимаций , , , ... . [24] Затем можно показать, что это определение (или определение вложенных интервалов) согласуется с процедурой подразделения, что снова подразумевает 0,999... = 1 . Том Апостол заключает: «Тот факт, что действительное число может иметь два разных десятичных представления, является просто отражением того факта, что два разных набора действительных чисел могут иметь одинаковую верхнюю границу». [25]

Доказательства из построения действительных чисел

[ редактировать ]

Некоторые подходы явно определяют действительные числа как определенные структуры, построенные на рациональных числах , используя аксиоматическую теорию множеств . Натуральные числа {0, 1, 2, 3, ...} начинаются с 0 и продолжаются вверх, так что у каждого числа есть преемник. Можно расширить натуральные числа их отрицательными числами, чтобы получить все целые числа , а затем расширить их до отношений, получив рациональные числа . Эти системы счисления сопровождаются арифметикой сложения, вычитания, умножения и деления. [26] [27] Более тонко они включают в себя упорядочивание , так что одно число можно сравнить с другим и определить, что оно меньше, больше или равно другому числу. [28]

Шаг от рационального к реальному является важным расширением. Существует по крайней мере два популярных способа достижения этого шага, оба опубликованы в 1872 году: разрезы Дедекинда и последовательности Коши . Доказательства того, что 0,999... = 1 , напрямую использующие эти конструкции, не встречаются в учебниках по реальному анализу, где современной тенденцией последних нескольких десятилетий было использование аксиоматического анализа. Даже когда предлагается конструкция, она обычно применяется для доказательства аксиом действительных чисел, которые затем подтверждают приведенные выше доказательства. Однако некоторые авторы высказывают мнение, что начинать с конструкции логичнее, а полученные доказательства более самостоятельны. [с]

Дедекинд сокращает

[ редактировать ]

В подходе Дедекинда каждое действительное число определяется как бесконечное множество всех рациональных чисел меньше . [д] В частности, действительное число 1 — это совокупность всех рациональных чисел, меньших 1. [и] Каждое положительное десятичное разложение легко определяет дедекиндовое сечение: набор рациональных чисел, меньших некоторой стадии разложения. Итак, действительное число 0,999... представляет собой набор рациональных чисел. такой, что < 0 или < 0,9 или < 0,99 или меньше некоторого другого числа вида [29]

Каждый элемент 0,999... меньше 1, поэтому он является элементом действительного числа 1. И наоборот, все элементы 1 являются рациональными числами, которые можно записать как с и . Это подразумевает и таким образом

С по приведенному выше определению каждый элемент 1 также является элементом 0,999..., и в сочетании с приведенным выше доказательством того, что каждый элемент 0,999... также является элементом 1, множества 0,999... и 1 содержат одни и те же рациональные числа и, следовательно, представляют собой один и тот же набор, то есть 0,999... = 1 .

Определение действительных чисел как делений Дедекинда было впервые опубликовано Ричардом Дедекиндом в 1872 году. [30] Вышеупомянутый подход к присвоению действительного числа каждому десятичному разложению основан на пояснительной статье под названием «Является ли 0,999 ... = 1 ?» Фреда Ричмана в журнале Mathematics Magazine . [11] Ричман отмечает, что дедекиндовские разрезы любого плотного подмножества рациональных чисел дают те же результаты; в частности, он использует десятичные дроби , для которых доказательство более непосредственное. Он также отмечает, что обычно определения допускают { | < 1} будет разрезом, но не { | ≤ 1} (или наоборот). [31] Дальнейшая модификация процедуры приводит к другой структуре, в которой они не равны. Несмотря на последовательность, многие общие правила десятичной арифметики больше не соблюдаются, например, дробь не имеет представительства; см. § Альтернативные системы счисления ниже.

Последовательности Коши

[ редактировать ]

Другой подход состоит в том, чтобы определить действительное число как предел последовательности Коши рациональных чисел. Эта конструкция действительных чисел менее напрямую использует порядок рациональных чисел. Во-первых, расстояние между и определяется как абсолютное значение , где абсолютное значение определяется как максимум и , поэтому никогда не бывает отрицательным. Затем действительные числа определяются как последовательности рациональных чисел, которые обладают свойством последовательности Коши с использованием этого расстояния. То есть в последовательности , , , ..., отображение натуральных чисел в рациональные числа для любого положительного рационального числа есть такой, что для всех ; расстояние между членами становится меньше любого положительного рационального. [32]

Если и являются двумя последовательностями Коши, то они определяются как равные действительным числам, если последовательность имеет предел 0. Усечение десятичного числа ... сгенерировать последовательность рациональных чисел, которая является Коши; это необходимо для определения реального значения числа. [33] Таким образом, в этом формализме задача состоит в том, чтобы показать, что последовательность рациональных чисел имеет предел 0. Учитывая ⁠- й член последовательности, для , поэтому необходимо показать, что Это можно доказать определением предела . Итак, еще раз: 0,999... = 1 . [34]

Определение действительных чисел как последовательностей Коши было впервые опубликовано отдельно Эдуардом Гейне и Георгом Кантором также в 1872 году. [30] Вышеупомянутый подход к десятичным разложениям, включая доказательство того, что 0,999... = 1 , во многом соответствует работе Гриффитса и Хилтона 1970 года «Полный учебник классической математики: современная интерпретация» . [35]

Бесконечное десятичное представление

[ редактировать ]

Обычно в рамках математического образования в средних школах действительные числа строятся путем определения числа с использованием целого числа, за которым следует точка системы счисления , и бесконечная последовательность, записанная в виде строки, представляющая дробную часть любого данного действительного числа. В этой конструкции набор любой комбинации целого числа и цифр после десятичной точки (или точки счисления в системах счисления, отличных от 10) представляет собой набор действительных чисел. Можно строго показать, что эта конструкция удовлетворяет всем реальным аксиомам после определения отношения эквивалентности на множестве, которое определяет 1 = eq 0,999... а также для любых других ненулевых десятичных дробей с конечным числом ненулевых членов в десятичной строке с ее завершающая версия 9s. [36] При таком построении действительных чисел все доказательства утверждения « 1 = 0,999... » можно рассматривать как неявное предположение о равенстве при выполнении каких-либо операций с действительными числами.

Плотный порядок

[ редактировать ]

Одним из понятий, которое может решить эту проблему, является требование плотного упорядочения действительных чисел. Плотный порядок подразумевает, что если между двумя элементами набора нет нового элемента, эти два элемента должны считаться равными. Следовательно, если бы 0,99999... отличалось от 1, между ними должно было бы быть еще одно действительное число, но его нет: ни в одном из двух чисел нельзя изменить одну цифру, чтобы получить такое число. [37]

Обобщения

[ редактировать ]

Результат 0,999... = 1 легко обобщается двумя способами. Во-первых, каждое ненулевое число с конечной десятичной записью (эквивалентно бесконечным конечным нулям) имеет аналог с конечными девятками. Например, 0,24999... равно 0,25, точно так же, как и в рассмотренном частном случае. Эти числа представляют собой в точности десятичные дроби и являются плотными . [38] [9]

Во-вторых, аналогичная теорема применима к каждому основанию или основанию . Например, в базе 2 ( двоичная система счисления ) 0,111... равно 1, а в базе 3 ( тройная система счисления ) 0,222... равно 1. В общем, любая конечная система счисления выражение имеет аналог с повторяющимися конечными цифрами, равными − 1 . Учебники реального анализа, скорее всего, пропустят пример 0,999... и представят одно или оба этих обобщения с самого начала. [39]

Альтернативные представления 1 также встречаются в нецелочисленных основаниях. Например, в базе золотого сечения два стандартных представления — это 1,000... и 0,101010..., и существует бесконечно много других представлений, включающих соседние единицы. Как правило, почти для всех между 1 и 2 имеется бесчисленное множество оснований . разложения на 1. Напротив, их еще неисчислимо много , включая все натуральные числа больше 1, для которых имеется только одно основание. расширение 1, кроме тривиального 1.000... ‍ . Этот результат был впервые получен Паулем Эрдешем , Миклошем Хорватом и Иштваном Йоо примерно в 1990 году. В 1998 году Вилмос Коморник и Паола Лорети определили наименьшее такое основание - константу Коморника-Лорети. = 1,787231650... ‍ . В этой базе 1 = 0,11010011001011010010110011010011... ; цифры задаются последовательностью Туэ-Морса , которая не повторяется. [40]

Более далеко идущее обобщение касается наиболее общих позиционных систем счисления . У них тоже есть несколько представительств, и в некотором смысле трудности еще хуже. Например: [41]

Петковшек (1990) доказал, что для любой позиционной системы, которая называет все действительные числа, множество действительных чисел с множественными представлениями всегда плотно. Он называет доказательство «поучительным упражнением в элементарной топологии множества точек »; он предполагает рассмотрение наборов позиционных значений как пространств Стоуна и замечание того, что их реальные представления задаются непрерывными функциями . [42]

Приложения

[ редактировать ]

Одно из применений числа 0,999... как представления единицы встречается в элементарной теории чисел . В 1802 году Х. Гудвин опубликовал наблюдение о появлении девяток в повторяющихся десятичных представлениях дробей, знаменателями которых являются определенные простые числа . [43] Примеры включают в себя:

  • = 0,142857 и 142 + 857 = 999 .
  • = 0.01369863 и 0136 + 9863 = 9999 .

Э. Миди доказал общий результат о таких дробях, который теперь называется теоремой Миди , в 1836 году. Публикация была малоизвестной, и неясно, включало ли его доказательство непосредственно 0,999..., но по крайней мере одно современное доказательство Уильяма Г. Ливитта это делает. . Если можно доказать, что если десятичная дробь вида ... является положительным целым числом, то оно должно быть 0,999..., что является источником девяток в теореме. [44] Исследования в этом направлении могут мотивировать такие понятия, как наибольшие общие делители , модульная арифметика , простые числа Ферма , порядок элементов группы и квадратичная взаимность . [45]

Позиции 1 / 4 , 2/3 и 1 в канторовом множестве

Возвращаясь к реальному анализу, аналог по основанию 3 0,222... = 1 играет ключевую роль в характеристике одного из простейших фракталов средней трети , набора Кантора : точка в единичном интервале лежит в множестве Кантора, если и только если его можно представить в троичной форме, используя только цифры 0 и 2.

⁠- я цифра изображения отражает положение точки в -й этап строительства. Например, точка дается обычное представление 0,2 или 0,2000..., поскольку оно находится справа от первого удаления и слева от каждого последующего удаления. Суть представлено не как 0,1, а как 0,0222..., поскольку оно находится слева от первой делеции и справа от каждой последующей делеции. [46]

Повторяющиеся девятки встречаются и еще в одном произведении Георга Кантора. Их необходимо принять во внимание, чтобы построить достоверное доказательство , применяя его диагональный аргумент 1891 года к десятичным разложениям несчетности единичного интервала . Такое доказательство должно иметь возможность объявить определенные пары действительных чисел разными на основе их десятичных представлений, поэтому следует избегать таких пар, как 0,2 и 0,1999... Простой метод представляет все числа с бесконечными расширениями; противоположный метод исключает повторение девяток. [ф] Вариант, который может быть ближе к исходному аргументу Кантора, использует базу 2, и, превратив расширения с основанием 3 в расширения с основанием 2, можно также доказать несчетность множества Кантора. [47]

Скептицизм в образовании

[ редактировать ]

Студенты-математики часто отвергают равенство 0,999... и 1 по самым разным причинам, от их несопоставимого внешнего вида до глубоких опасений по поводу концепции предела и разногласий по поводу природы бесконечно малых величин . Есть много общих факторов, способствующих путанице:

  • Студенты часто «мысленно придерживаются идеи, что число может быть представлено одним и только одним способом десятичной дроби». Видение двух явно разных десятичных знаков, представляющих одно и то же число, кажется парадоксом , который усугубляется появлением, казалось бы, хорошо понятного числа 1. [г]
  • Некоторые студенты интерпретируют «0,999...» (или подобное обозначение) как большую, но конечную строку из девяток, возможно, с переменной, неопределенной длиной. Если они примут бесконечную последовательность девяток, они все равно могут ожидать, что последняя девятка будет «в бесконечности». [48]
  • Интуиция и неоднозначное преподавание заставляют учащихся думать о пределе последовательности как о своего рода бесконечном процессе, а не как о фиксированном значении, поскольку последовательность не обязательно должна достигать своего предела. Если учащиеся принимают разницу между последовательностью чисел и ее пределом, они могут прочитать «0,999...» как означающее последовательность, а не ее предел. [49]

Эти идеи ошибочны в контексте стандартных действительных чисел, хотя некоторые из них могут быть справедливы и в других системах счисления, изобретенных либо ради их общей математической полезности, либо в качестве поучительных контрпримеров для лучшего понимания 0,999...; см. § В альтернативных системах счисления ниже.

Многие из этих объяснений были найдены Дэвидом Таллом , который изучал особенности преподавания и познания, которые приводят к некоторым недопониманиям, с которыми он сталкивался со своими студентами колледжа. Опрашивая своих студентов, чтобы определить, почему подавляющее большинство изначально отвергло равенство, он обнаружил, что «студенты продолжали воспринимать 0,999... как последовательность чисел, приближающуюся все ближе и ближе к 1, а не как фиксированное значение, потому что «вы не указано количество знаков» или «это ближайшая возможная десятичная дробь ниже 1 » . [21]

Элементарный аргумент умножения 0,333... = на 3 может убедить сопротивляющихся студентов, что 0,999... = 1. Тем не менее, столкнувшись с конфликтом между верой в первое уравнение и неверием во второе, некоторые студенты либо начинают не верить первому уравнению, либо просто разочаровываются. [50] Более сложные методы также не являются надежными: учащиеся, которые полностью способны применять строгие определения, все равно могут прибегнуть к интуитивным изображениям, когда их удивляет результат в высшей математике, включая 0,999... ‍ . Например, один настоящий студент-аналитик смог доказать, что 0,333... = используя определение супремума , но затем настояла на том, что 0,999... <1, основываясь на ее более раннем понимании деления в столбики . [51] Другие еще могут это доказать = 0,333... , но, столкнувшись с дробным доказательством , настаивают на том, что «логика» заменяет математические вычисления.

Мазур (2005) рассказывает историю о своем блестящем ученике по математическому анализу, который «бросал вызов почти всему, что я говорил в классе, но никогда не подвергал сомнению его калькулятор» и который пришел к выводу, что девять цифр — это все, что нужно для занятий математикой, включая вычисления. квадратный корень из 23. Студенту не нравился ограничивающий аргумент, что 9,99... = 10 , и он называл это «дико воображаемым бесконечным растущим процессом». [52]

В рамках APOS теории математического обучения Дубинский и др. (2005) предполагают, что студенты, которые представляют 0,999... как конечную, неопределенную строку с бесконечно малым расстоянием от 1, «еще не создали полную концепцию процесса бесконечной десятичной дроби». Другие студенты, у которых есть полное представление о процессе 0,999... возможно, еще не способны "инкапсулировать" этот процесс в "концепцию объекта", как у них есть концепция объекта 1, и поэтому они рассматривают процесс 0,999... и объект 1 как несовместимый. Они также связывают умственную способность инкапсуляции с просмотром как число само по себе и иметь дело с множеством натуральных чисел в целом. [53]

Культурный феномен

[ редактировать ]

С появлением Интернета дебаты о 0,999... стали обычным явлением в группах новостей и на досках объявлений , в том числе во многих из них, номинально имеющих мало общего с математикой. В группе новостей sci.math , спорящий о 0,999... описывается как «популярный вид спорта», и это один из вопросов, на которые есть ответы в FAQ . [54] [55] Часто задаваемые вопросы кратко описывают , умножение на 10 и пределы, а также отсылают к последовательностям Коши.

В выпуске общедоступной газетной колонки The Straight Dope за 2003 год обсуждается 0,999... через и ограничения, говоря о заблуждениях,

Низший примат в нас все еще сопротивляется, говоря: .999~ на самом деле представляет собой не число , а процесс . Чтобы найти число, нам нужно остановить процесс, и в этот момент вещь .999~ = 1 разваливается.Ерунда. [56]

В статье Slate сообщается, что концепция 0,999... «горячо обсуждается на различных веб-сайтах, от досок объявлений World of Warcraft до форумов Айн Рэнд ». [57] Точно так же вопрос о 0,999... оказался настолько популярной темой в первые семь лет существования Blizzard Entertainment от форумов Battle.net 2004 года компания выпустила «пресс-релиз», в котором , что в День дурака говорилось, что это 1. :

Мы очень рады закрыть книгу по этой теме раз и навсегда. Мы стали свидетелями душевной боли и беспокойства по поводу того, равно ли .999~ 1, и мы гордимся тем, что следующее доказательство окончательно и убедительно решает проблему для наших клиентов. [58]

Затем предлагаются два доказательства, основанные на пределах и умножении на 10.

0,999... встречается также в математических шутках , таких как: [59]

Вопрос: Сколько математиков нужно, чтобы вкрутить лампочку ?
А: 0,999999....

В альтернативных системах счисления

[ редактировать ]

Хотя действительные числа образуют чрезвычайно полезную систему счисления , решение интерпретировать обозначение «0,999...» как обозначение действительного числа в конечном итоге является соглашением, и Тимоти Гауэрс утверждает в книге «Математика: очень краткое введение» , что полученное тождество 0,999. .. = 1 также является соглашением:

Однако это ни в коем случае не произвольное соглашение, поскольку непринятие его заставляет либо изобретать странные новые объекты, либо отказываться от некоторых знакомых правил арифметики. [60]

Бесконечно малые

[ редактировать ]

Некоторые доказательства того, что 0,999... = 1, основаны на архимедовом свойстве действительных чисел: не существует ненулевых бесконечно малых чисел . В частности, разница 1 - 0,999... должна быть меньше любого положительного рационального числа, поэтому она должна быть бесконечно малой; но поскольку действительные числа не содержат ненулевых бесконечно малых чисел, разница равна нулю, и, следовательно, эти два значения одинаковы.

Однако существуют математически последовательные упорядоченные алгебраические структуры , включая различные альтернативы действительным числам, которые не являются архимедовыми. Нестандартный анализ предоставляет систему счисления с полным набором бесконечно малых чисел (и обратных им). [час] А. Х. Лайтстоун разработал десятичное расширение для гипердействительных чисел в (0, 1). . Лайтстоун показывает, как связать каждое число с последовательностью цифр. индексируются сверхнатуральными числами. Хотя он и не говорит напрямую о 0,999..., он показывает реальную цифру представлено 0,333...;...333..., что является следствием принципа переноса . Как следствие число 0.999...;...999... = 1 . При таком типе десятичного представления не каждое расширение представляет число. В частности, "0,333...;...000..." и "0,999...;...000..." не соответствуют никакому числу. [61]

Стандартное определение числа 0,999... является пределом последовательности 0,9, 0,99, 0,999, ... ‍ . Другое определение включает ультрапредел , то есть класс эквивалентности [(0,9, 0,99, 0,999, ...)] этой последовательности в конструкции сверхстепени , который представляет собой число, которое не достигает 1 на бесконечно малую величину. [62] В более общем смысле, гипердействительное число = 0,999...;...999000... , с последней цифрой 9 в бесконечном сверхъестественном ранге , удовлетворяет строгому неравенству . Соответственно, альтернативная интерпретация выражения «ноль, за которым следует бесконечное количество девяток» может быть такой: [63] Все подобные интерпретации «0,999...» бесконечно близки к 1. Ян Стюарт характеризует эту интерпретацию как «вполне разумный» способ строго оправдать интуицию о том, что «кое-чего не хватает» от 1 из 0,999.... [я] Наряду с Кацем и Кацем (2010b) , Эли (2010) также ставит под сомнение предположение о том, что представления студентов о 0,999... < 1 являются ошибочными интуициями о действительных числах, интерпретируя их скорее как нестандартные интуиции, которые могут быть полезны при изучении исчисление. [64]

Хакенбуш

[ редактировать ]

Комбинаторная теория игр предлагает обобщенное понятие числа, которое включает в себя действительные числа и многое другое. [65] Например, в 1974 году Элвин Берлекамп описал соответствие между строками красных и синих сегментов в Хакенбуше и двоичным разложением действительных чисел, мотивированное идеей сжатия данных . Например, значение строки Хакенбуша LRRLRLRL... равно 0,010101... 2 = . Однако значение LRLLL... (соответствующее 0,111... 2 бесконечно меньше 1. Разница между ними представляет собой сюрреалистическое число). , где — первый бесконечный порядковый номер ; соответствующая игра — LRRRR... или 0.000... 2 . [Дж]

Это справедливо для двоичных разложений многих рациональных чисел, где значения чисел равны, но соответствующие пути двоичного дерева различны. Например, 0,10111... 2 = 0,11000... 2 , оба значения равны ⁠. , но первое представление соответствует пути двоичного дерева LRLRLLL..., а второе соответствует другому пути LRLLRRR... ‍ .

Возвращаясь к вычитанию

[ редактировать ]

Другой способ, которым доказательства могут быть подорваны, - это если 1 - 0,999... просто не существует, потому что вычитание не всегда возможно. К математическим структурам с операцией сложения, но без операции вычитания относятся коммутативные полугруппы , коммутативные моноиды и полукольца . Ричман (1999) рассматривает две такие системы, спроектированные так, что 0,999... < 1 . [11]

Во-первых, Ричман (1999) определяет неотрицательное десятичное число как буквальное десятичное расширение. Он определяет лексикографический порядок и операцию сложения, отмечая, что 0,999... <1 просто потому, что 0 <1 в одном месте, но для любого незавершающего , у одного 0,999... + = 1 + . Итак, одна из особенностей десятичных чисел состоит в том, что сложение не всегда можно отменить; во-вторых, никакое десятичное число не соответствует . После определения умножения десятичные числа образуют положительное, полностью упорядоченное, коммутативное полукольцо. [66]

В процессе определения умножения Ричман также определяет еще одну систему, которую он называет «сокращение ", который представляет собой набор дедекиндовых разрезов десятичных дробей. Обычно это определение приводит к действительным числам, но для десятичной дроби он допускает оба разреза ( , ) и «основная версия» ( , ] . В результате действительные числа «непросто уживаются» с десятичными дробями. Опять 0,999... <1 . В разрезе нет положительных бесконечно малых , но есть «своего рода отрицательная бесконечно малая», 0 , который не имеет десятичного расширения. Он заключает, что 0,999... = 1 + 0. , а уравнение " 0,999... + = 1 » не имеет решения. [к]

p -адические числа

[ редактировать ]

Когда их спрашивают о 0,999..., новички часто полагают, что должна быть «конечная 9», полагая, что 1 - 0,999... является положительным числом, которое они записывают как «0,000...1». Независимо от того, имеет ли это смысл, интуитивная цель ясна: добавление 1 к последним 9 в 0,999... превратит все 9 в 0 и оставит 1 на месте единиц. Помимо прочего, эта идея терпит неудачу, потому что в 0,999... ‍ нет «последней девятки» . [67] Однако существует система, которая содержит бесконечную строку девяток, включая последнюю девятку.

4-адические целые числа (черные точки), включая последовательность (3, 33, 333,...), сходящую к −1. 10-адический аналог равен ...999 = −1 .

The - Адические числа представляют собой альтернативную систему счисления, представляющую интерес в теории чисел . Как и реальные цифры, - адические числа могут быть построены из рациональных чисел с помощью последовательностей Коши ; в конструкции используется другая метрика, в которой 0 ближе к и гораздо ближе к , чем 1. [68] - адические числа образуют поле для простых чисел и кольцо для остальных , в том числе 10. Таким образом, арифметику можно выполнять в - Адики, а бесконечно малых не бывает.

В 10-адических числах аналоги десятичных разложений идут влево. В 10-адическом расширении ...999 есть последние 9 и нет первых 9. К единицам можно добавить 1, и после переноса останутся только 0: 1 + ...999 = ...000 = 0 , и поэтому ...999 = −1 . [69] Другой вывод использует геометрическую серию. Бесконечный ряд, подразумеваемый «...999», не сходится в действительных числах, но сходится в 10-адических числах, поэтому можно повторно использовать знакомую формулу: [70]

Сравните с серией в разделе выше . Третий вывод был изобретен семиклассницей, которая сомневалась в ограничивающем аргументе своего учителя о том, что 0,999... = 1 доказательство умножения на 10 , но была вдохновлена ​​применить приведенное выше в противоположном направлении: если = ...999 , затем 10 = ...990 , поэтому 10 = − 9 , следовательно = −1 снова. [69]

В качестве окончательного расширения, поскольку 0,999... = 1 (в действительных числах) и ... 999 = -1 (в 10-адических числах), то путем «слепой веры и беззастенчивого жонглирования символами» [71] можно сложить два уравнения и получить ...999,999... = 0 . Это уравнение не имеет смысла ни как 10-адическое разложение, ни как обычное десятичное разложение, но оно оказывается значимым и верным в дважды бесконечном десятичном разложении , 10-адического соленоида с повторяющимися левыми концами для представления действительного числа. числа и, в конечном итоге, повторяющиеся правые концы для обозначения 10-адических чисел. [72]

[ редактировать ]

Парадоксы Зенона , особенно парадокс бегуна, напоминают очевидный парадокс того, что 0,999... и 1 равны. Парадокс бегуна можно смоделировать математически, а затем, как и в случае с 0,999..., разрешить с помощью геометрической прогрессии. Однако неясно, решает ли эта математическая трактовка основные метафизические проблемы, которые исследовал Зенон. [73]

Отрицательный ноль — еще одна избыточная особенность многих способов записи чисел. В системах счисления, таких как действительные числа, где «0» обозначает аддитивную единицу и не является ни положительным, ни отрицательным, обычная интерпретация «-0» заключается в том, что она должна обозначать аддитивную обратную величину 0, что приводит к равенству -0 = 0 . [74] Тем не менее, в некоторых научных приложениях используются отдельные положительные и отрицательные нули, как и в некоторых вычислительных двоичных системах счисления (например, целые числа, хранящиеся в формате знака и величины или в формате дополнения до единиц , или числа с плавающей запятой, как указано в стандарте IEEE с плавающей запятой ). [75]

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Например, это можно показать следующим образом: если x — любое число такое, что 0.(9) n x < 1 , то 0.(9) n −1 ≤ 10 x − 9 < x < 1 . Таким образом, если x обладает этим свойством для всех n , то и меньшее число 10 x − 9 тоже имеет это свойство.
  2. ^ Предел следует, например, из Рудина (1976) , с. 57, теорема 3.20д. Более прямой подход см. также в Finney, Weir & Giordano (2001) , раздел 8.1, пример 2(a), пример 6(b).
  3. ^ Исторический синтез заявлен Гриффитсом и Хилтоном (1970) , с. xiv и снова Пью (2002) , с. 10; оба на самом деле предпочитают сокращения Дедекинда аксиомам. Информацию об использовании сокращений в учебниках см. Pugh (2002) , с. 17 или Рудин (1976) , с. 17. Точки зрения на логику см. Pugh (2002) , с. 10, Рудин (1976) , с.ix, или Мункрес (2000) , с. 30.
  4. ^ Эндертон (1977) , с. 113 уточняет это описание: «Идея, лежащая в основе дедекиндовых сокращений, заключается в том, что действительное число x можно назвать, задав бесконечный набор рациональных чисел, а именно все рациональные числа, меньшие, чем x . Фактически мы определим x как набор рациональных чисел, меньших, чем x. x , чтобы избежать цикличности в определении, мы должны уметь характеризовать множества рациональных чисел, получаемые таким образом...»
  5. ^ Рудин (1976) , стр. 17–20, Ричман (1999) , стр. 17–20. 399, или Эндертон (1977) , с. 119. Точнее, Рудин, Ричман и Эндертон называют этот разрез 1∗, 1 и 1 R соответственно; все трое отождествляют его с традиционным вещественным числом 1. Обратите внимание, что то, что Рудин и Эндертон называют разрезом Дедекинда, Ричман называет «неосновным разрезом Дедекинда».
  6. ^ Маор (1987) , с. 60 и Манкевич (2000) , с. 151 рассмотрите первый метод; Манкевич приписывает это Кантору, но первоисточник неясен. Мункрес (2000) , с. 50 упоминает последний метод.
  7. ^ Банч (1982) , с. 119; Талл и Шварценбергер (1978) , с. 6. Последнее предложение принадлежит Барреллу (1998) , с. 28: «Возможно, самое обнадеживающее из всех чисел — это 1… Поэтому особенно тревожно, когда кто-то пытается выдать 0,9~ за 1».
  8. ^ Полную информацию о нестандартных числах см. в Robinson (1996) .
  9. ^ Стюарт (2009) , с. 175; полное обсуждение 0,999... распространяется на стр. 172–175.
  10. ^ Berlekamp, ​​Conway & Guy (1982) , стр. 79–80, 307–311, обсуждаются 1 и 1 / 3 и нажмите 1 / ω . Игра на 0,111... 2 непосредственно следует из правила Берлекампа.
  11. ^ Ричман (1999) , стр. 398–400. Рудин (1976) , с. 23 назначает эту альтернативную конструкцию (но без рациональных оснований) последним упражнением главы 1.
  1. ^ Ченг (2023) , с. 141.
  2. ^ Даймонд (1955) .
  3. ^ Болдуин и Нортон (2012) .
  4. ^ Мейер и Смит (2017) , §8.2.
  5. ^ Стюарт (2009) , с. 175.
  6. ^ Пропп (2023) .
  7. ^ Стиллвелл (1994) , с. 42.
  8. ^ Эрл и Николсон (2021) , «связанный».
  9. ^ Перейти обратно: а б Розенлихт (1985) , с. 27.
  10. ^ Байерс (2007) , с. 39.
  11. ^ Перейти обратно: а б с д Ричман (1999) .
  12. ^ Перессини и Перессини (2007) , с. 186 .
  13. ^ Болдуин и Нортон (2012) ; Кац и Кац (2010а) .
  14. ^ Ченг (2023) , с. 136.
  15. ^ Люди (2003) .
  16. ^ Рудин (1976) , с. 61, теорема 3.26; Стюарт (1999) , с. 706.
  17. ^ Эйлер (1822) , с. 170.
  18. ^ Граттан-Гиннесс (1970) , с. 69; Бонникасл (1806) , с. 177.
  19. ^ Стюарт (1999) , с. 706; Рудин (1976) , с. 61; Проттер и Морри (1991) , с. 213; Пью (2002) , с. 180; Конвей (1978) , с. 31.
  20. ^ Дэвис (1846) , с. 175; Смит и Харрингтон (1895) , с. 115.
  21. ^ Перейти обратно: а б Высокий (2000) , с. 221.
  22. ^ Билз (2004) , с. 22; Стюарт (2009) , с. 34.
  23. ^ Бартл и Шерберт (1982) , стр. 60–62; Педрик (1994) , с. 29; Сохраб (2003) , с. 46.
  24. ^ Апостол (1974) , стр. 107-1. 9, 11–12; Билз (2004) , с. 22; Розенлихт (1985) , с. 27.
  25. ^ Апостол (1974) , с. 12.
  26. ^ Ченг (2023) , стр. 153–156.
  27. ^ Конвей (2001) , стр. 25–27.
  28. ^ Рудин (1976) , стр. 3, 8.
  29. ^ Ричман (1999) , с. 399.
  30. ^ Перейти обратно: а б О'Коннор и Робертсон (2005) .
  31. ^ Ричман (1999) , с. 398–399. , чтобы исключить существование различных чисел 0,9 и 1. [...] Итак, мы видим, что в традиционном определении действительных чисел уравнение 0,9 «Зачем это делать? Именно для того = 1 встроено в начало."
  32. ^ Гриффитс и Хилтон (1970) , с. 386, §24.2 «Последовательности».
  33. ^ Гриффитс и Хилтон (1970) , стр. 388, 393.
  34. ^ Гриффитс и Хилтон (1970) , с. 395.
  35. ^ Гриффитс и Хилтон (1970) , стр. viii, 395.
  36. ^ Это (2011) .
  37. ^ Артиг (2002) , с. 212, «...упорядочение действительных чисел признается плотным порядком. Однако, в зависимости от контекста, учащиеся могут совместить это свойство с существованием чисел непосредственно перед или после данного числа (0,999... таким образом часто рассматривается как предшественник 1).".
  38. ^ Петковшек (1990) , с. 408.
  39. ^ Проттер и Морри (1991) , с. 503; Бартл и Шерберт (1982) , с. 61.
  40. ^ Коморник и Лорети (1998) , стр. 636.
  41. ^ Кемпнер (1936) , с. 611; Петковшек (1990) , с. 409.
  42. ^ Петковшек (1990) , стр. 410–411.
  43. ^ Гудвин (1802) ; Диксон (1919) , стр. 161.
  44. ^ Ливитт (1984) , с. 301.
  45. ^ Гинзберг (2004) , стр. 26–30; Левиттс (2006) , стр. 1–3; Ливитт (1967) , стр. 669, 673; Шрейдер-Фрешетт (1978) , стр. 96–98.
  46. ^ Пью (2002) , с. 97; Аллигуд, Зауэр и Йорк (1996) , стр. 150–152; Проттер и Морри (1991) , с. 507; Педрик (1994) , с. 29.
  47. ^ Рудин (1976) , с. 50; Пью (2002) , с. 98.
  48. ^ Талл и Шварценбергер (1978) , стр. 6–7; Высокий (2000) , с. 221.
  49. ^ Талл и Шварценбергер (1978) , с. 6; Высокий (2000) , с. 221.
  50. ^ Высокий (1976) , стр. 10–14.
  51. ^ Пинто и Талл (2001) , стр. 5; Эдвардс и Уорд (2004) , стр. 416–417.
  52. ^ Мазур (2005) , стр. 137–141.
  53. ^ Дубинский и др. (2005) , стр. 261–262.
  54. ^ Ричман (1999) , с. 396.
  55. ^ Врейта (1994) .
  56. ^ Адамс (2003) .
  57. ^ Элленберг, Иордания (6 июня 2014 г.). «Разве 0,999... = 1 ? И являются ли расходящиеся ряды изобретением дьявола?» . Сланец . Архивировано из оригинала 8 августа 2023 года.
  58. ^ «Blizzard Entertainment объявляет, что 0,999~ (повторяется) = 1» (пресс-релиз). Близзард Развлечения . 1 апреля 2004 г. Архивировано из оригинала 4 ноября 2009 г. Проверено 16 ноября 2009 г.
  59. ^ Renteln & Dundes (2005) , с. 27.
  60. ^ Гауэрс (2002) , с. 60.
  61. ^ Лайтстоун (1972) , стр. 245–247.
  62. ^ Люди (2012) , стр. 156–180.
  63. ^ Кац и Кац (2010a) .
  64. ^ Кац и Кац (2010b) ; Эли (2010) .
  65. ^ Конвей (2001) , стр. 3–5, 12–13, 24–27.
  66. ^ Ричман (1999) , стр. 397–399.
  67. ^ Гардинер (2003) , с. 98; Гауэрс (2002) , с. 60.
  68. ^ Маскари и Миола (1988) , с. 83–84 .
  69. ^ Перейти обратно: а б Фьелстад (1995) , стр. 11.
  70. ^ Фьелстад (1995) , стр. 14–15.
  71. ^ ДеСуа (1960) , с. 901.
  72. ^ ДеСуа (1960) , с. 902–903.
  73. ^ Уоллес (2003) , с. 51; Маор (1987) , с. 17.
  74. ^ Мункрес (2000) , с. 34, Упражнение 1(в).
  75. ^ Кремер и Киттель (1980) , с. 462. «Типы с плавающей запятой» . Спецификация языка MSDN C# . Архивировано из оригинала 24 августа 2006 года . Проверено 29 августа 2006 г.

Источники

[ редактировать ]

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Послушайте эту статью ( 50 минут )
Продолжительность: 49 минут 40 секунд.
Разговорная иконка Википедии
Этот аудиофайл был создан на основе редакции этой статьи от 19 октября 2006 г. ( 19 октября 2006 г. ) и не отражает последующие изменения.

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 2ce45e4c5df5a35ca23098952d0d93f6__1722429000
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/2c/f6/2ce45e4c5df5a35ca23098952d0d93f6.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
0.999... - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)