Симметричное пространство

Чтобы узнать о других значениях, см. Симметричное пространство (значения) .

В математике симметричное пространство — это риманово многообразие (или, в более общем смысле, псевдориманово многообразие которого , группа изометрий ) содержит инверсионную симметрию относительно каждой точки. Это можно изучить с помощью инструментов римановой геометрии , что приведет к следствиям в теории голономии ; или алгебраически через теорию Ли , что позволило Картану дать полную классификацию. Симметричные пространства обычно встречаются в дифференциальной геометрии , теории представлений и гармоническом анализе .

С геометрической точки зрения полное односвязное риманово многообразие является симметричным пространством тогда и только тогда, когда его тензор кривизны инвариантен относительно параллельного переноса. В более общем смысле риманово многообразие ( M , g ) называется симметричным тогда и только тогда, когда для каждой точки p из M существует изометрия M , фиксирующая p и действующая на касательное пространство. $T_{p}M$ как минус единица (любое симметрическое пространство является полным , поскольку любую геодезическую можно расширять до бесконечности за счет симметрии относительно ее концов). Оба описания естественным образом могут быть распространены и на случай псевдоримановых многообразий .

С точки зрения теории Ли, симметрическое пространство — это фактор G / H связной группы Ли G по подгруппе Ли H , которая является (связным компонентом) инвариантной группой инволюции группы G. Это определение включает в себя более чем риманово определение, и сводится к нему, когда H компактно.

Римановы симметрические пространства возникают в самых разных ситуациях как в математике, так и в физике. Их центральная роль в теории голономии была обнаружена Марселем Бергером . Они являются важными объектами изучения теории представлений и гармонического анализа, а также дифференциальной геометрии.

Геометрическое определение

Пусть M — связное риманово многообразие и p точка M. — Диффеоморфизм f окрестности точки p называется геодезической симметрией , если он фиксирует точку p и обращает геодезические, проходящие через эту точку, т. е. если γ — геодезическая с $\gamma (0)=p$ затем $f(\gamma (t))=\gamma (-t).$ Отсюда следует, что производная отображения f в точке p равна минус тождественному отображению в касательном пространстве к p . На общем римановом многообразии f не обязательно должно быть изометричным и, вообще говоря, не может быть расширено из окрестности p на все M .

M Говорят, что локально риманово симметрично, если его геодезические симметрии на самом деле изометричны. Это эквивалентно обращению в нуль ковариантной производной тензора кривизны. Локально-симметричное пространство называется (глобально) симметричным пространством, если, кроме того, его геодезические симметрии могут быть расширены до изометрий на всем M .

Основные свойства

Теорема Картана -Амброуза-Хикса подразумевает, что M риманово симметрично тогда и только тогда, когда его тензор кривизны ковариантно постоянен , и, кроме того, что каждое односвязное полное локально локально риманово симметрическое пространство на самом деле риманово симметрично.

Каждое риманово симметрическое пространство M полно и риманово однородно (это означает, что группа изометрий M действует транзитивно на M ). Фактически уже единичный компонент группы изометрий действует транзитивно на M (поскольку M связен).

Локально римановы симметрические пространства, которые не являются римановыми симметрическими пространствами, могут быть построены как факторы римановых симметричных пространств по дискретным группам изометрий без неподвижных точек и как открытые подмножества (локально) римановых симметрических пространств.

Примеры

Основными примерами римановых симметричных пространств являются евклидово пространство , сферы , проективные пространства и гиперболические пространства , каждое со своей стандартной римановой метрикой. Дополнительные примеры дают компактные полупростые группы Ли , оснащенные биинвариантной римановой метрикой.

Каждая компактная риманова поверхность рода больше 1 (с ее обычной метрикой постоянной кривизны −1) является локально-симметричным пространством, но не симметричным пространством.

Каждое линзовое пространство локально симметрично, но не симметрично, за исключением $L(2,1)$, что является симметричным. Пространства линз являются факторами трехмерной сферы по дискретной изометрии, не имеющей фиксированных точек.

Примером нериманова симметричного пространства является антидеситтеровское пространство .

Алгебраическое определение

Пусть G — связная группа Ли . Тогда симметрическое пространство для G — это однородное пространство G / H , где стабилизатор H типичной точки является открытой подгруппой множества неподвижных точек инволюции σ в Aut( G ). Таким образом, σ — автоморфизм группы G такой, что σ ² = id _G и H — открытая подгруппа инвариантного множества

$G^{\sigma }=\{g\in G:\sigma (g)=g\}.$

Поскольку H открыта, она представляет собой объединение компонентов G. ^п (включая, конечно, идентичность).

Как автоморфизм G , σ фиксирует единичный элемент и, следовательно, путем дифференцирования в единице индуцирует автоморфизм алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ группы G , также обозначаемой σ , квадрат которой равен единице. Отсюда следует, что собственные значения σ равны ±1. Собственное пространство +1 — это алгебра Ли. ${\mathfrak {h}}$ группы H (поскольку это алгебра Ли группы G ^п ), а собственное пространство −1 будем обозначать ${\mathfrak {m}}$. Поскольку σ является автоморфизмом ${\mathfrak {g}}$, это дает в прямую сумму разложение

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}$

с

$[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}},\;[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}},\;[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}.$

Первое условие является автоматическим для любого однородного пространства: оно просто говорит о бесконечно малом стабилизаторе ${\mathfrak {h}}$ является подалгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$. Второе условие означает, что ${\mathfrak {m}}$ это ${\mathfrak {h}}$-инвариантное дополнение к ${\mathfrak {h}}$ в ${\mathfrak {g}}$. Таким образом, любое симметрическое пространство является редуктивным однородным пространством , но существует множество редуктивных однородных пространств, которые не являются симметричными. Ключевой особенностью симметричных пространств является третье условие, согласно которому ${\mathfrak {m}}$ скобки в ${\mathfrak {h}}$.

Обратно, для любой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ с разложением в прямую сумму, удовлетворяющим этим трем условиям, линейное отображение σ , равное тождеству на ${\mathfrak {h}}$ и минус личность на ${\mathfrak {m}}$, является инволютивным автоморфизмом.

Римановы симметрические пространства удовлетворяют характеризации теории Ли

Если M — риманово симметрическое пространство, то единичный компонент G группы изометрий M является группой Ли, действующей транзитивно на M (т. е. M риманово однородно). Следовательно, если мы зафиксируем некоторую точку p из M , M диффеоморфно фактору G/K , где K обозначает группу изотропии действия G на M в точке p . Дифференцируя действие в точке p, мы получаем изометрическое действие K на T _p M . Это действие является точным (например, по теореме Костанта любая изометрия единичной компоненты определяется ее 1-струей в любой точке), и поэтому K является подгруппой ортогональной группы T _p M , следовательно, компактной. Более того, если мы обозначим через s _p : M → M геодезическую симметрию M в точке p , отображение

$\sigma :G\to G,h\mapsto s_{p}\circ h\circ s_{p}$

является инволютивным группы Ли, автоморфизмом таким что группа изотропии K содержится между группой неподвижных точек $G^{\sigma }$ и его идентификационный компонент (следовательно, открытая подгруппа) $(G^{\sigma })_{o}\,,$ дополнительную информацию см. в определении и следующем предложении на странице 209, глава IV, раздел 3 книги Хельгасона «Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства».

Подводя итог, M — симметрическое пространство G / K с компактной группой K. изотропии И наоборот, симметрические пространства с компактной группой изотропии являются римановыми симметрическими пространствами, хотя и не обязательно единственным образом. Чтобы получить структуру риманова симметричного пространства, нам нужно зафиксировать K -инвариантное скалярное произведение в касательном пространстве к G / K в тождественном классе eK : такое скалярное произведение всегда существует путем усреднения, поскольку K компактно, и действуя с G , мы получаем G -инвариантную риманову метрику g на G / K .

Чтобы показать, что G / K риманово симметричен, рассмотрим любую точку p = hK (смежный класс K , где h ∈ G ) и определим

$s_{p}:M\to M,\quad h'K\mapsto h\sigma (h^{-1}h')K$

где σ — инволюция G фиксирующая K. , Тогда можно проверить, что s _p является изометрией с (очевидно) s _p ( p ) = p и (путем дифференцирования) d s _p равным минус единице на T _p M . Таким образом, s _p — геодезическая симметрия, и, поскольку p было произвольным, M — риманово симметрическое пространство.

Если начать с риманова симметрического пространства M , а затем последовательно выполнить эти две конструкции, то полученное риманово симметрическое пространство будет изометрично исходному. что «алгебраические данные» ( G , K , σ , g ) полностью описывают структуру M. Это показывает ,

Классификация римановых симметрических пространств

Основная статья: Список простых групп Ли

Алгебраическое описание римановых симметричных пространств позволило Эли Картану получить их полную классификацию в 1926 году.

Для данного риманова симметрического пространства M пусть ( G , K , σ , g ) будут ассоциированными с ним алгебраическими данными. Чтобы классифицировать возможные классы изометрии M , сначала отметим, что универсальное покрытие риманова симметричного пространства снова является риманово симметричным, а карта покрытия описывается путем деления связной группы изометрий G покрытия на подгруппу его центра. Поэтому без ограничения общности можно считать, что M односвязно. (Это означает, что K связно длинной точной последовательностью расслоения , поскольку G связна по предположению.)

Схема классификации

Односвязное риманово симметрическое пространство называется неприводимым , если оно не является произведением двух или более римановых симметрических пространств. Тогда можно показать, что любое односвязное риманово симметрическое пространство является римановым произведением неприводимых пространств. Поэтому мы можем далее ограничиться классификацией неприводимых односвязных римановых симметрических пространств.

Следующий шаг — показать, что любое неприводимое односвязное риманово симметрическое пространство M принадлежит к одному из следующих трех типов:

1. Евклидов тип : M имеет исчезающую кривизну и, следовательно, изометрично евклидову пространству .
2. Компактный тип : M имеет неотрицательную (но не нулевую) кривизну сечения .
3. Некомпактный тип : M имеет неположительную (но не нулевую) кривизну сечения.

Более уточненный инвариант — это ранг , который является максимальной размерностью подпространства касательного пространства (к любой точке), на котором кривизна тождественно равна нулю. Ранг всегда равен как минимум одному, с равенством, если кривизна сечения положительная или отрицательная. Если кривизна положительна, пространство относится к компактному типу, а если отрицательна, то к некомпактному типу. Пространства евклидова типа имеют ранг, равный своей размерности, и изометричны евклидову пространству этой размерности. Поэтому осталось классифицировать неприводимые односвязные римановы симметрические пространства компактного и некомпактного типа. В обоих случаях есть два класса.

A.G — (вещественная) простая группа Ли;

B. G является либо произведением компактной простой группы Ли с самой собой (компактный тип), либо комплексификацией такой группы Ли (некомпактный тип).

Примеры класса Б полностью описываются классификацией простых групп Ли . Для компактного типа M — компактная односвязная простая группа Ли, G — это M × M , а K — диагональная подгруппа. Для некомпактного типа G — односвязная комплексная простая группа Ли, а K — ее максимальная компактная подгруппа. В обоих случаях ранг является рангом G .

универсальными накрытиями классических групп Ли SO( n ), SU( ) , Sp( и исключительных групп Ли E6 ₎ , E7 _пяти , E8 _n , F4 _n , G2 _{Компактные односвязные группы Ли являются} .

Примеры класса А полностью описываются классификацией некомпактных односвязных вещественных простых групп Ли. Для некомпактного типа G такой группой является , а K — ее максимальная компактная подгруппа. Каждому такому примеру соответствует пример компактного типа, если рассматривать максимальную компактную подгруппу комплексификации G , содержащую K . Более конкретно, примеры компактного типа классифицируются инволютивными автоморфизмами компактных односвязных простых групп Ли G (с точностью до сопряжения). Такие инволюции распространяются на инволюции комплексификации G , а они, в свою очередь, классифицируют некомпактные действительные формы G .

Таким образом, как в классе A, так и в классе B существует соответствие между симметрическими пространствами компактного и некомпактного типа. Это известно как двойственность римановых симметричных пространств.

Результат классификации

Специализируясь на римановых симметричных пространствах класса A и компактного типа, Картан обнаружил, что существуют следующие семь бесконечных серий и двенадцать исключительных римановых симметрических пространств G / K . Здесь они даны в терминах G и K вместе с геометрической интерпретацией, если она доступна. Обозначение этих пространств дано Картаном.

Этикетка	Г	К	Измерение	Классифицировать	Геометрическая интерпретация
ИИ	$\mathrm {SU} (n)\,$	$\mathrm {SO} (n)\,$	$(n-1)(n+2)/2$	$n-1$	Пространство реальных структур на $\mathbb {C} ^{n}$ которые оставляют комплексный определитель инвариантным
АII	$\mathrm {SU} (2n)\,$	$\mathrm {Sp} (n)\,$	$(n-1)(2n+1)$	$n-1$	Пространство кватернионных структур на $\mathbb {C} ^{2n}$ совместим с эрмитовой метрикой
III	$\mathrm {SU} (p+q)\,$	$\mathrm {S} (\mathrm {U} (p)\times \mathrm {U} (q))\,$	$2pq$	$\min(p,q)$	Грассманиан комплексных p -мерных подпространств $\mathbb {C} ^{p+q}$
БДИ	$\mathrm {SO} (p+q)\,$	$\mathrm {SO} (p)\times \mathrm {SO} (q)\,$	$pq$	$\min(p,q)$	Грассманиан ориентированных вещественных p -мерных подпространств $\mathbb {R} ^{p+q}$
ДIII	$\mathrm {SO} (2n)\,$	$\mathrm {U} (n)\,$	$n(n-1)$	$[n/2]$	Пространство ортогональных комплексных структур на $\mathbb {R} ^{2n}$
ТАМ	$\mathrm {Sp} (n)\,$	$\mathrm {U} (n)\,$	$n(n+1)$	$n$	Пространство сложных структур на $\mathbb {H} ^{n}$ совместим с внутренним продуктом
CII	$\mathrm {Sp} (p+q)\,$	$\mathrm {Sp} (p)\times \mathrm {Sp} (q)\,$	$4pq$	$\min(p,q)$	Грассманиан кватернионных p -мерных подпространств $\mathbb {H} ^{p+q}$
НЕТ	$E_{6}\,$	$\mathrm {Sp} (4)/\{\pm I\}\,$	42	6
ЭИИ	$E_{6}\,$	$\mathrm {SU} (6)\cdot \mathrm {SU} (2)\,$	40	4	Пространство симметричных подпространств $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ изометрический $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {H} )P^{2}$
III	$E_{6}\,$	$\mathrm {SO} (10)\cdot \mathrm {SO} (2)\,$	32	2	Комплексифицированная проективная плоскость Кэли $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
IV	$E_{6}\,$	$F_{4}\,$	26	2	Пространство симметричных подпространств $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ изометрический $\mathbb {OP} ^{2}$
ЭТОТ	$E_{7}\,$	$\mathrm {SU} (8)/\{\pm I\}\,$	70	7
ДОМ	$E_{7}\,$	$\mathrm {SO} (12)\cdot \mathrm {SU} (2)\,$	64	4	Проективная плоскость Розенфельда $(\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ над $\mathbb {H} \otimes \mathbb {O}$
трубка	$E_{7}\,$	$E_{6}\cdot \mathrm {SO} (2)\,$	54	3	Пространство симметричных подпространств $(\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ изоморфен $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
VIII	$E_{8}\,$	$\mathrm {Spin} (16)/\{\pm \mathrm {vol} \}\,$	128	8	Проективная плоскость Розенфельда $(\mathbb {O} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
ОСЬ	$E_{8}\,$	$E_{7}\cdot \mathrm {SU} (2)\,$	112	4	Пространство симметричных подпространств $(\mathbb {O} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ изоморфен $(\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
БЫТЬ	$F_{4}\,$	$\mathrm {Sp} (3)\cdot \mathrm {SU} (2)\,$	28	4	Пространство симметричных подпространств $\mathbb {O} P^{2}$ изоморфен $\mathbb {H} P^{2}$
БЫТЬ	$F_{4}\,$	$\mathrm {Spin} (9)\,$	16	1	Проекционная плоскость Кэли $\mathbb {O} P^{2}$
Г	$G_{2}\,$	$\mathrm {SO} (4)\,$	8	2	Пространство подалгебр алгебры октонионов $\mathbb {O}$ которые изоморфны алгебре кватернионов $\mathbb {H}$

Как грассманианцы

Более современная классификация ( Huang & Leung 2010 ) единообразно классифицирует римановы симметрические пространства, как компактные, так и некомпактные, с помощью конструкции магического квадрата Фрейденталя . Неприводимые компактные римановы симметрические пространства с точностью до конечных накрытий представляют собой либо компактную простую группу Ли, либо грассманиан, либо лагранжев грассманиан , либо двойной лагранжев грассманиан подпространств $(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{n},$ для нормированных тел A и B . Аналогичная конструкция дает неприводимые некомпактные римановы симметрические пространства.

Общие симметрические пространства

Важным классом симметрических пространств, обобщающих римановы симметрические пространства, являются псевдоримановы симметрические пространства , в которых риманова метрика заменена псевдоримановой метрикой (невырожденной, а не положительно определенной на каждом касательном пространстве). В частности, лоренцевы симметрические пространства , т. е. n- мерные псевдоримановы симметричные пространства сигнатуры ( n - 1,1), важны в общей теории относительности , наиболее яркими примерами являются пространство Минковского , пространство Де Ситтера и пространство анти-де Ситтера ( с нулевой, положительной и отрицательной кривизной соответственно). Пространство Де Ситтера размерности n можно отождествить с однополостным гиперболоидом в пространстве Минковского размерности n + 1.

Симметричные и локально-симметричные пространства вообще можно рассматривать как аффинные симметрические пространства. Если M = G / H — симметричное пространство, то Номидзу показал, что существует G без кручения -инвариантная аффинная связность (т. е. аффинная связность, тензор кручения которой равен нулю) на M которой кривизна параллельна , . Обратно, многообразие с такой связностью локально симметрично (т. е. его универсальное накрытие является симметрическим пространством). Такие многообразия также можно описать как аффинные многообразия, геодезические симметрии которых представляют собой глобально определенные аффинные диффеоморфизмы, обобщающие риманов и псевдоримановы случаи.

Результаты классификации

Классификация римановых симметрических пространств не распространяется на общий случай по той простой причине, что не существует общего расщепления симметрического пространства на произведение неприводимых. Здесь симметрическое пространство G / H с алгеброй Ли

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}$

называется неприводимым, если ${\mathfrak {m}}$ является неприводимым представлением ${\mathfrak {h}}$. С ${\mathfrak {h}}$ вообще не является полупростым (или даже редуктивным), он может иметь неразложимые представления, которые не являются неприводимыми.

Однако неприводимые симметрические пространства можно классифицировать. Как показал Кацуми Номидзу , существует дихотомия: неприводимое симметрическое пространство G / H либо плоское (т. е. аффинное пространство), либо ${\mathfrak {g}}$ является полупростым. Это аналог римановой дихотомии между евклидовыми пространствами и пространствами компактного или некомпактного типа, и он побудил М. Бергера классифицировать полупростые симметрические пространства (т. е. пространства с ${\mathfrak {g}}$ полупростые) и определить, какие из них неприводимы. Последний вопрос более тонкий, чем в римановом случае: даже если ${\mathfrak {g}}$ просто, G / H не может быть неприводимой.

Как и в римановом случае, существуют полупростые симметрические пространства с G = H × H . Любое полупростое симметрическое пространство является произведением симметрических пространств этого вида на симметрические пространства такие, что ${\mathfrak {g}}$ это просто. Осталось описать последний случай. Для этого необходимо классифицировать инволюции σ (вещественной) простой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$. Если ${\mathfrak {g}}^{c}$ это не просто, тогда ${\mathfrak {g}}$ — комплексная простая алгебра Ли, а соответствующие симметрические пространства имеют вид G / H , где H — действительная форма G : это аналоги римановых симметрических пространств G / K, где G — комплексная простая группа Ли, а K максимальная компактная подгруппа.

Таким образом, мы можем предположить ${\mathfrak {g}}^{c}$ это просто. Настоящая подалгебра ${\mathfrak {g}}$ точек комплексной антилинейной инволюции τ можно рассматривать как множество неподвижных ${\mathfrak {g}}^{c}$, а σ продолжается до сложной антилинейной инволюции ${\mathfrak {g}}^{c}$ коммутирующий с τ и, следовательно, также комплексную линейную инволюцию σ ∘ τ .

Таким образом, классификация сводится к классификации коммутирующих пар антилинейных инволюций комплексной алгебры Ли. Композиция σ ∘ τ определяет комплексное симметрическое пространство, а τ определяет действительную форму. Отсюда легко построить таблицы симметрических пространств для любого заданного ${\mathfrak {g}}^{c}$, и более того, существует очевидная двойственность, возникающая при замене σ и τ . Это расширяет двойственность компактного/некомпактного риманова случая, когда либо σ, либо τ является инволюцией Картана , т. е. ее множество неподвижных точек является максимальной компактной подалгеброй.

Таблицы

В следующей таблице вещественные симметрические пространства индексируются по комплексным симметрическим пространствам и вещественным формам для каждой классической и исключительной комплексной простой группы Ли.

Г с = SL( п , С )	Г с / ТАК( п , С )	Г с / S(GL( k , C )×GL( ℓ , C )), k + ℓ = n	Г с / Sp( n , C ), n четный
г знак равно SL( п , р )	Г /СО( к , л )	G /S(GL( k , R )×GL( l , R )) или G /GL( n /2, C ), n четное	G / Sp( n , R ), n четный
G = SU( p , q ), p + q = n	Г / ТАК( п , q ) или SU( p , p )/Sk( p , H )	G /S(U( kq , ) × lq ( lp kp , U ) ) или SU( p , p )/GL( p , C )	G /Sp( p /2, q /2), p , q четное или SU( p , p )/Sp( 2p , R )
G = SL( n /2, H ), n четное	Г /Ск( н /2, Н )	G / S(GL( k /2, H )×GL( ℓ /2, H )), k , ℓ четное или G /GL( n /2, C )	G / Sp( k /2, ℓ /2), k , ℓ четный, k + ℓ = n

Г с = ТАК ( п , С )	Г с / ТАК( k , C )×SO( ℓ , C ), k + ℓ знак равно n	Г с / GL( n /2, C ), n четное
G = SO( п , q )	Г / ТАК( k п , k q )×SO( ℓ п , л q ) или ТАК( n , n ) / ТАК( n , C )	G /U( p /2, q /2), p , q четное или SO( n , n ) / GL( n , R )
G = Sk( n /2, H ), n четный	G /Sk( k /2, ℓ /2), k , ℓ четное или G /SO( n /2, C )	G / U( k /2, ℓ /2), k , ℓ четное или G /SL( n /4, H )

Г с = Sp( 2n , C )	Г с / Sp(2 k , C )×Sp(2 ℓ , C ), k + ℓ = n	Г с / GL( п , С )
G = Sp( p , q ), p + q = n	G / Sp( k p , k q )×Sp( ℓ p , ℓ q ) или Sp( n , n ) / Sp( n , C )	Г / У( п , q ) или Sp( p , p )/GL( p , H )
G = Sp( 2n , R )	Г /Сп(2к , Р ) ×Сп( 2л , Р ) или G /Sp( n , C )	G / U( k , ℓ ), k + ℓ знак равно n или G /GL( n , R )

Для исключительных простых групп Ли риманов случай явно включен ниже, позволяя σ быть тождественной инволюцией (обозначено тире). В приведенных выше таблицах это неявно рассматривается в случае kl = 0 .

Г 2 с	–	Г 2 с / СЛ(2, С )× СЛ(2, С )
Г 2	–	Г 2 / СУ(2)×СУ(2)
Г 2(2)	Г 2(2) / СУ(2)×СУ(2)	G 2(2) / SL(2, R )× SL(2, R )

FF4 с	–	FF4 с / Sp(6, C )×Sp(2, C )	FF4 с / ТАК(9, С )
FF4	–	Ф 4 / Сп(3)×Сп(1)	Ф 4 / СО(9)
Ф 4(4)	Ф 4(4) / Сп(3)×Сп(1)	F 4(4) / Sp(6, R )×Sp(2, R ) или F 4(4) / Sp(2,1)×Sp(1)	Ф 4(4) / СО(5,4)
Ф 4(−20)	Ф 4(-20) / ТАК(9)	F 4(−20) /Сп(2,1)×Сп(1)	Ф 4(−20) / СО(8,1)

EЕ6 с	–	EЕ6 с / Сп(8, С )	EЕ6 с / СЛ(6, С )×СЛ(2, С )	EЕ6 с / ТАК(10, С ) × ТАК(2, С )	EЕ6 с / Ф 4 с
EЕ6	–	Е 6 / Сп(4)	Е 6 / СУ(6)×СУ(2)	Е 6 / ТАК(10)×СО(2)	Е 6 / Ф 4
Е 6(6)	Е 6(6) / Сп(4)	Е 6(6) / Сп(2,2) или E 6(6) / Sp(8, R )	E 6(6) / SL(6, R )×SL(2, R ) или E 6(6) / SL(3, H )×SU(2)	Е 6(6) / ТАК(5,5)×СО(1,1)	Э 6(6) / Ф 4(4)
Е 6(2)	Е 6(2) / СУ(6)×СУ(2)	Е 6(2) / Сп(3,1) или E 6(2) / Sp(8, R )	Е 6(2) / СУ(4,2)×СУ(2) или E6 (2) /SU(3,3)×SL(2, R )	Е 6(2) / ТАК(6,4)×СО(2) или E 6(2) /Sk(5, H )×SO(2)	Е 6(2) / Ж 4(4)
Е 6(−14)	Е 6(-14) / ТАК(10)×СО(2)	Е 6(−14) / Sp(2,2)	Е 6(−14) / СУ(4,2)×СУ(2) или E6 (−14) /SU(5,1)×SL(2, R )	Е 6(-14) / ТАК(8,2)×СО(2) или Sk(5, H )×SO(2)	Е 6(−14) / F 4(−20)
Е 6(−26)	Е 6(−26) / Ф 4	Е 6(−26) / Sp(3,1)	E 6(−26) / SL(3, H )×Sp(1)	Е 6(-26) /СО(9,1)×СО(1,1)	Е 6(−26) / F 4(−20)

E 7 с	–	E 7 с / СЛ(8, С )	E 7 с / ТАК(12, С )×Sp(2, С )	E 7 с / Е 6 с ×SO(2, С )
E 7	–	Е 7 / СУ(8)	E 7  / SO(12)× Sp(1)	E 7  / E 6 × SO(2)
E 7(7)	Е 7(7) / СУ(8)	Е 7(7) / СУ(4,4) или E 7(7) / SL(8, R ) или E 7(7) / SL(4, H )	E 7(7)  / SO(6,6)×SL(2, R ) или E 7(7) / Sk(6, H )×Sp(1)	Е 7(7) / Е 6(6) ×SO(1,1) или E 7(7) / E 6(2) ×SO(2)
E 7(−5)	E 7(−5)  / SO(12)× Sp(1)	Е 7(−5) / СУ(4,4) или E 7(−5) / SU(6,2)	E 7(−5)  / SO(8,4)×SU(2) или E7 (−5) /Sk(6, H )×SL(2, R )	Е 7(−5) / Е 6(2) ×SO(2) или E 7(−5) /E 6(−14) ×SO(2)
E 7(−25)	E 7(−25)  / E 6 × SO(2)	Е 7(−25) / SL(4, Ч ) или E 7(−25) / SU(6,2)	E 7(−25)  / SO(10,2)×SL(2, R ) или E 7(−25) /Sk(6, H )×Sp(1)	Е 7(-25) / Е 6(-14) ×SO(2) или E 7(−25) / E 6(−26) ×SO(1,1)

EЕ8 с	–	EЕ8 с / ТАК(16, С )	EЕ8 с  / E 7 с ×Сп(2, С )
EЕ8	–	Е 8 / ТАК(16)	Е 8 / Е 7 ×Сп(1)
Е 8(8)	Е 8(8) /СО(16)	E 8(8) / SO(8,8) или E 8(8) / Sk(8, H )	E 8(8)  / E 7(7) ×SL(2, R ) or E 8(8)  / E 7(−5) ×SU(2)
Е 8(−24)	Е 8(−24) / Е 7 ×Sp(1)	E 8(−24) / SO(12,4) или E 8(−24) / Sk(8, H )	E 8(−24)  / E 7(−5) ×SU(2) or E 8(−24)  / E 7(−25) ×SL(2, R )

Слабо симметричные римановы пространства

Основная статья: Слабо симметричное пространство

В 1950-х годах Атле Сельберг расширил определение симметричного пространства, данное Картаном, до определения слабо симметричного риманова пространства или, в современной терминологии, слабо симметричного пространства . Они определяются как римановы многообразия M с транзитивной связной группой Ли изометрий G и изометрией σ, нормализующей G, такой, что для данных x , y в M существует изометрия s в G такая, что sx = σy и sy = σx . (предположение Сельберга о том, что σ ² должно быть элементом G, как позднее показал Эрнест Винберг что слабо симметричные пространства порождают пары Гельфанда , так что, в частности, унитарное представление G .) Сельберг доказал , на L ² ( M ) свободен от кратности.

Определение Сельберга также можно эквивалентно сформулировать в терминах обобщения геодезической симметрии. Требуется, чтобы для каждой точки x в M и касательного вектора X в x существовала изометрия s точки M , зависящая от x и X , такая, что

• s исправляет x ;
• производная s в точке x отправляет X в − X .

Когда s не зависит от X , M является симметричным пространством.

Изложение слабо симметричных пространств и их классификации Ахиезера и Винберга, основанной на классификации периодических автоморфизмов комплексных полупростых алгебр Ли , дано в Вольфе (2007) .

Характеристики

Можно отметить некоторые свойства и формы симметрических пространств.

Поднятие метрического тензора

Метрический тензор на римановом многообразии M можно поднять до скалярного произведения на G, объединив его с формой Киллинга . Это делается путем определения

$\langle X,Y\rangle _{\mathfrak {g}}={\begin{cases}\langle X,Y\rangle _{p}\quad &X,Y\in T_{p}M\cong {\mathfrak {m}}\\-B(X,Y)\quad &X,Y\in {\mathfrak {h}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

Здесь, $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{p}$ – риманова метрика, определенная на $T_{p}M$, и $B(X,Y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} X\circ \operatorname {ad} Y)$ это форма убийства . Знак минус появляется потому, что форма Киллинга отрицательно определена на ${\mathfrak {h}}~;$ это делает $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathfrak {g}}$ положительно-определенный.

Факторизация

Касательное пространство ${\mathfrak {m}}$ могут быть далее разложены на собственные пространства, классифицированные по форме Киллинга. Это достигается определением сопряженного отображения ${\mathfrak {m}}\to {\mathfrak {m}}$ принимая $Y\mapsto Y^{\#}$ как

$\langle X,Y^{\#}\rangle =B(X,Y)$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ – риманова метрика на ${\mathfrak {m}}$ и $B(\cdot ,\cdot )$ это форма Убийства. Это отображение иногда называют обобщенным транспонированием , поскольку оно соответствует транспонированию для ортогональных групп и эрмитовому сопряжению для унитарных групп. Это линейный функционал, и он самосопряженный, поэтому можно сделать вывод, что существует ортонормированный базис. $Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ из ${\mathfrak {m}}$ с

$Y_{i}^{\#}=\lambda _{i}Y_{i}$

Они ортогональны относительно метрики, поскольку

$\langle Y_{i}^{\#},Y_{j}\rangle =\lambda _{i}\langle Y_{i},Y_{j}\rangle =B(Y_{i},Y_{j})=\langle Y_{j}^{\#},Y_{i}\rangle =\lambda _{j}\langle Y_{j},Y_{i}\rangle$

поскольку форма Киллинга симметрична. Это факторизует ${\mathfrak {m}}$ в собственные пространства

${\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {m}}_{d}$

с

$[{\mathfrak {m}}_{i},{\mathfrak {m}}_{j}]=0$

для $i\neq j$. Для случая ${\mathfrak {g}}$ полупростой, так что форма Киллинга невырождена, метрика также факторизуется:

$\langle \cdot ,\cdot \rangle ={\frac {1}{\lambda _{1}}}\left.B\right|_{{\mathfrak {m}}_{1}}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{d}}}\left.B\right|_{{\mathfrak {m}}_{d}}$

В некоторых практических приложениях эту факторизацию можно интерпретировать как спектр операторов, например спектр атома водорода, с собственными значениями формы Киллинга, соответствующими различным значениям углового момента орбитали ( т. е. форма Киллинга представляет собой форму Казимира оператор , который может классифицировать различные представления, под которыми преобразуются разные орбитали.)

Классификация симметричных пространств осуществляется на основе того, определена ли форма Киллинга.

Приложения и особые случаи

Симметричные пространства и голономия

Основная статья: Группа голономии

Если единичная компонента группы голономии риманова многообразия в точке действует неприводимо на касательном пространстве, то либо многообразие является локально римановым симметрическим пространством, либо оно принадлежит одному из 7 семейств .

Эрмитово симметрическое пространство

Основная статья: Эрмитово симметричное пространство

называется риманово симметрическое пространство, дополнительно снабженное параллельной комплексной структурой, совместимой с римановой метрикой Эрмитовым симметрическим пространством . Некоторыми примерами являются комплексные векторные пространства и комплексные проективные пространства, как с их обычной римановой метрикой, так и комплексные единичные шары с подходящей метрикой, так что они становятся полными и риманово симметричными.

Неприводимое симметрическое пространство G / K эрмитово тогда и только тогда, когда K содержит центральную окружность. Четверть оборота по этому кругу действует как умножение на i в касательном пространстве в тождественном смежном классе. Таким образом, эрмитовые симметрические пространства легко вычитаются из классификации. И в компактном, и в некомпактном случаях оказывается, что существуют четыре бесконечные серии, а именно AIII, BDI с p = 2 , DIII и CI, и два исключительных пространства, а именно EIII и EVII. Некомпактные эрмитовые симметрические пространства могут быть реализованы как ограниченные симметрические области в комплексных векторных пространствах.

Симметричные пространства кватернионов-кэлеровы

Основная статья: симметричное пространство кватерниона-кэлера

Риманово симметрическое пространство, дополнительно снабженное параллельным подрасслоением End(TM ) , изоморфным мнимым кватернионам в каждой точке и совместимым с римановой метрикой, называется кватернионно-келеровым симметричным пространством .

Неприводимое симметрическое пространство G / K является кватернион-кэлеровым тогда и только тогда, когда изотропное представление K содержит слагаемое Sp(1), действующее как единичные кватернионы в кватернионном векторном пространстве . Таким образом, симметрические пространства кватернионов и Кэлера легко вычитаются из классификации. И в компактном, и в некомпактном случаях оказывается, что для каждой комплексной простой группы Ли существует ровно один, а именно AI с p = 2 или q = 2 (они изоморфны), BDI с p = 4 или q = 4. , CII с p = 1 или q = 1, EII, EVI, EIX, FI и G.

Теорема Ботта о периодичности

Основная статья: Теорема о периодичности Ботта

В теореме о периодичности Ботта стабильной пространства петель ортогональной группы можно интерпретировать как редуктивные симметрические пространства.

См. также

• Ортогональная симметричная алгебра Ли
• Относительная корневая система
• Нарисуйте диаграмму
• Картановская инволюция

Ссылки

• Ахиезер, Д.Н.; Винберг, Е.Б. (1999), "Слабо симметричные пространства и сферические многообразия", Трансф. Группы , 4 : 3–24, doi : 10.1007/BF01236659
• ван ден Бан, депутат Европарламента; Фленстед-Йенсен, М.; Шлихткрулл, Х. (1997), Гармонический анализ полупростых симметричных пространств: обзор некоторых общих результатов , в Теория представлений и автоморфные формы: Учебная конференция, Международный центр математических наук, март 1996 г., Эдинбург, Шотландия, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0609-8
• Бергер, Марсель (1957), «Некомпактные симметричные пространства», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 74 (2): 85–177, doi : 10.24033/asens.1054
• Бесс, Артур Ланселот (1987), Многообразия Эйнштейна , Springer-Verlag, ISBN  0-387-15279-2 Содержит компактное введение и множество таблиц.
• Борель, Арманд (2001), Очерки истории групп Ли и алгебраических групп , Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0288-7
• Картан, Эли (1926), «Об одном замечательном классе римановых пространств I», Bulletin de la Société Mathématique de France , 54 : 214–216, doi : 10.24033/bsmf.1105
• Картан, Эли (1927), «Об одном замечательном классе римановых пространств II», Bulletin de la Société Mathématique de France , 55 : 114–134, doi : 10.24033/bsmf.1113
• Фленстед-Йенсен, Могенс (1986), Анализ неримановых симметричных пространств , Региональная конференция CBMS, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0711-8
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN  0-12-338460-5 Стандартная книга по римановым симметрическим пространствам.
• Хельгасон, Сигурдур (1984), Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции , Academic Press, ISBN  0-12-338301-3
• Хуан, Юндун; Люн, Найчунг Конан (2010). «Единое описание компактных симметричных пространств как грассманианов с использованием магического квадрата» (PDF) . Математические Аннален . 350 (1): 79–106. дои : 10.1007/s00208-010-0549-8 .
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Том II , издание Wiley Classics Library, ISBN  0-471-15732-5 Глава XI содержит хорошее введение в римановы симметрические пространства.
• Лоос, Оттмар (1969), Симметрические пространства I: Общая теория , Бенджамин
• Лоос, Оттмар (1969), Симметрические пространства II: Компактные пространства и классификация , Бенджамин
• Номидзу, К. (1954), «Инвариантные аффинные связности на однородных пространствах» , Amer. Дж. Математика. , 76 (1): 33–65, номер документа : 10.2307/2372398 , JSTOR   2372398.
• Сельберг, Атле (1956), «Гармонический анализ и разрывные группы в слабо симметричных римановых пространствах с приложениями к рядам Дирихле», J. Indian Math. Общество , 20 : 47–87.
• Вольф, Джозеф А. (1999), Пространства постоянной кривизны (5-е изд.), МакГроу – Хилл
• Вольф, Джозеф А. (2007), Гармонический анализ коммутативных пространств , Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4289-8