Пифагорова настройка

Генерируемая серия квинт может дать семь нот: диатоническую мажорную гамму ноты C в пифагорейской настройке . .

Диатоническая гамма на C Play 12-тональный равномерный темперированный и игровой просто интонация.

Пифагорова настройка — это система музыкальной настройки , в которой соотношение частот всех интервалов основано на соотношении 3:2 . ^{[ 2 ]} Это соотношение, также известное как « чистая » совершенная квинта, выбрано потому, что оно является одним из наиболее согласных и его легче всего настроить на слух, а также из-за важности, приписываемой целому числу 3. Как Новалис выразился : «Музыкальные пропорции кажутся Мне нужны особенно правильные естественные пропорции». ^{[ 3 ]} Альтернативно это можно охарактеризовать как настройку синтонного темперамента. ^{[ 1 ]} в котором генератор имеет соотношение 3:2 (т. е. нетемперированную идеальную квинту ), ширина которой составляет ≈ 702 цента .

Эта система восходит к Древней Месопотамии; ^{[ 4 ]} см. Музыка Месопотамии § Теория музыки . Система названа и широко ошибочно приписывалась древним грекам , особенно Пифагору (шестой век до н.э.) современными авторами теории музыки, в то время как Птолемей , а позже Боэций , приписывали деление тетрахорда только на два интервала, называемые «семитонием». ", "tonus", "tonus" на латыни (256:243×9:8×9:8), Эратосфену . Так называемая «пифагорейская настройка» использовалась музыкантами вплоть до начала 16 века. «Система Пифагора могла бы показаться идеальной из-за чистоты квинт, но некоторые считают, что другие интервалы, особенно мажорная треть, настолько расстроены, что мажорные аккорды [можно считать] диссонансом». ^{[ 2 ]}

— Пифагорова гамма это любая гамма , которая может быть построена только из чистых чистых квинт (3:2) и октав (2:1). ^{[ 5 ]} В греческой музыке он использовался для настройки тетрахордов , состоящих из гамм, охватывающих октаву. ^{[ 6 ]} Можно провести различие между расширенной пифагорейской настройкой и 12-тональной пифагорейской темперацией. Расширенная пифагорейская настройка соответствует западной нотной записи 1 на 1, и количество квинт не ограничено. Однако в 12-тоновой пифагорейской темпераменте человек ограничен 12 тонами на октаву, и невозможно играть большую часть музыки в соответствии с пифагорейской системой, соответствующей энгармонической нотации; вместо этого обнаруживается, что, например, уменьшенная шестая часть становится «волчьей пятой».

Метод

12-тоновый пифагорейский темперамент основан на наборе интервалов, называемых идеальными квинтами, каждый из которых настроен в соотношении 3:2, следующем по простому соотношению после 2:1. Например, начиная с D ( настройка на основе D ), шесть других нот создаются путем шестикратного перемещения вверх в соотношении 3:2, а остальные - путем перемещения того же соотношения вниз:

E♭–B♭–F–C–G– D –A–E–B–F♯–C♯–G♯

Эта последовательность из одиннадцати интервалов 3:2 охватывает широкий диапазон частот (на клавиатуре фортепиано она включает 77 клавиш). Поскольку ноты, различающиеся по частоте в 2 раза, воспринимаются как одинаковые и получают одно и то же название ( октавная эквивалентность ), принято делить или умножать частоты некоторых из этих нот на 2 или на степень 2. Цель эта настройка заключается в перемещении 12 нот в пределах меньшего диапазона частот, а именно в интервале между базовой нотой D и нотой D над ней (нотой с удвоенной частотой). Этот интервал обычно называют основной октавой (на клавиатуре фортепиано октава имеет всего 12 клавиш). Это восходит к древности: в Древней Месопотамии настройка была основана не на сложении квинт, а на чередовании восходящих квинт и нисходящих кварт (равных восходящей квинте, за которой следовала нисходящая октава), в результате чего ноты пентатонической или гептатонической гаммы попадали в пределах одного тона. октава.

Примечание	Интервал от D	Формула	=	=	Частота соотношение	Размер (центов)	12-ТЕТ-диф (центов)
Д	унисон	${\frac {1}{1}}$	$3^{0}\times 2^{0}$	${\frac {3^{0}}{2^{0}}}$	${\frac {1}{1}}$	0.00	0.00
E ♭	второстепенная секунда	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{5}\times 2^{3}$	$3^{-5}\times 2^{8}$	${\frac {2^{8}}{3^{5}}}$	${\frac {256}{243}}$	90.22	−9.78
И	главная секунда	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}\times {\frac {1}{2}}$	$3^{2}\times 2^{-3}$	${\frac {3^{2}}{2^{3}}}$	${\frac {9}{8}}$	203.91	3.91
Ф	малая треть	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}\times 2^{2}$	$3^{-3}\times 2^{5}$	${\frac {2^{5}}{3^{3}}}$	${\frac {32}{27}}$	294.13	−5.87
F ♯	главная треть	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{4}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}$	$3^{4}\times 2^{-6}$	${\frac {3^{4}}{2^{6}}}$	${\frac {81}{64}}$	407.82	7.82
Г	идеальная четвертая	${\frac {2}{3}}\times 2$	$3^{-1}\times 2^{2}$	${\frac {2^{2}}{3^{1}}}$	${\frac {4}{3}}$	498.04	−1.96
A ♭	уменьшенная пятая часть	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{6}\times 2^{4}$	$3^{-6}\times 2^{10}$	${\frac {2^{10}}{3^{6}}}$	${\frac {1024}{729}}$	588.27	−11.73
G ♯	дополненная четвертая	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{6}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{3}$	$3^{6}\times 2^{-9}$	${\frac {3^{6}}{2^{9}}}$	${\frac {729}{512}}$	611.73	11.73
А	идеальная пятая часть	${\frac {3}{2}}$	$3^{1}\times 2^{-1}$	${\frac {3^{1}}{2^{1}}}$	${\frac {3}{2}}$	701.96	1.96
B ♭	малая шестая	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{4}\times 2^{3}$	$3^{-4}\times 2^{7}$	${\frac {2^{7}}{3^{4}}}$	${\frac {128}{81}}$	792.18	−7.82
Б	мажорная шестая	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{3}\times {\frac {1}{2}}$	$3^{3}\times 2^{-4}$	${\frac {3^{3}}{2^{4}}}$	${\frac {27}{16}}$	905.87	5.87
С	малая седьмая	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}\times 2^{2}$	$3^{-2}\times 2^{4}$	${\frac {2^{4}}{3^{2}}}$	${\frac {16}{9}}$	996.09	−3.91
C ♯	мажорная седьмая	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{5}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}$	$3^{5}\times 2^{-7}$	${\frac {3^{5}}{2^{7}}}$	${\frac {243}{128}}$	1109.78	9.78

В формулах соотношения 3:2 или 2:3 представляют собой восходящую или нисходящую чистую квинту (т.е. увеличение или уменьшение частоты на чистую квинту, а 2:1 или 1:2 представляют собой восходящую или понижающую октаву). Формулы также можно выразить через степени третьей и второй гармоник .

основанная Мажорная гамма, на C, полученная в результате этой настройки: ^{[ 7 ]}

Примечание	С		Д		И		Ф		Г		А		Б		С
Соотношение	1 ⁄ 1		9 ⁄ 8		81 ⁄ 64		4 ⁄ 3		3 ⁄ 2		27 ⁄ 16		243 ⁄ 128		2 ⁄ 1
Шаг	—	9 ⁄ 8		9 ⁄ 8		256 ⁄ 243		9 ⁄ 8		9 ⁄ 8		9 ⁄ 8		256 ⁄ 243		—

При одинаковой темперации пары энгармонических нот, такие как A ♭ и G ♯, считаются одной и той же нотой, однако, как показывает приведенная выше таблица, в пифагорейской настройке они имеют разные соотношения по отношению к D, что означает, что они находятся на одной и той же ноте. другая частота. Это несоответствие, составляющее около 23,46 цента, или почти четверть полутона, известно как пифагорейская запятая .

Чтобы обойти эту проблему, пифагорейская настройка строит только двенадцать нот, как указано выше, с одиннадцатью квинтами между ними. Например, можно использовать только 12 нот от E ♭ до G ♯ . Это, как было показано выше, подразумевает, что для построения всей хроматической гаммы используются всего лишь одиннадцать квинт. Оставшийся интервал (уменьшенная шестая часть от G ♯ до E ♭ ) сильно расстроен, а это означает, что любая музыка, сочетающая в себе эти две ноты, в этой настройке неиграбельна. Очень расстроенный интервал, такой как этот, известен как волчий интервал . В случае пифагорейской настройки все квинты имеют ширину 701,96 цента, в точном соотношении 3:2, за исключением волчьей квинты, ширина которой всего 678,49 цента, что почти на четверть полутона плоше .

Если ноты G ♯ и E ♭ необходимо произнести вместе, положение волчьей квинты можно изменить. Например, пифагорова настройка на основе C создаст стопку квинт от D ♭ до F ♯ , что сделает F ♯ -D ♭ волчьим интервалом. Однако в пифагорейской настройке всегда будет одна волчья квинта, что делает невозможным играть на всех тональностях .

Размеры интервалов

В таблицах выше показаны только соотношения частот каждой ноты по отношению к базовой ноте. можно определить двенадцать интервалов Однако интервалы могут начинаться с любой ноты, поэтому для каждого типа интервала — двенадцать унисонов, двенадцать полутонов , двенадцать двухполутоновых интервалов и т. д.

Как объяснялось выше, одна из двенадцати пятых (волчья пятая) имеет другой размер по сравнению с остальными одиннадцатью. По той же причине каждый тип интервала, за исключением унисонов и октав, имеет два разных размера. В таблице справа показаны их соотношения частот с отклонениями в виде запятой Пифагора . ^{[ 8 ]} Отклонения возникают потому, что ноты определяют два разных полутона :

Малая секунда ( m2 ), также называемая диатоническим полутоном, размером $S_{1}={256 \over 243}\approx 90.225{\text{ cents}}$ (например, между D и E ♭ )
Расширенный унисон ( А1 ), также называемый хроматическим полутоном, размером $S_{2}={3^{7} \over 2^{11}}={2187 \over 2048}\approx 113.685{\text{ cents}}$ (например, между E ♭ и E)

Напротив, в одинаково темперированной хроматической гамме все полутона измеряются

S_{E}={\sqrt[{12}]{2}}=100.000{\text{ cents}}

и интервалы любого типа имеют одинаковый размер, но ни один из них не настроен правильно, за исключением унисонов и октав.

По определению, в пифагорейской настройке 11 чистых квинт ( P5 в таблице) имеют размер примерно 701,955 центов (700+ε центов, где ε ≈ 1,955 центов). Так как средний размер 12 квинт должен равняться ровно 700 центам (как при равном темпераменте), то другой должен иметь размер 700 - 11 ε центов, что составляет около 678,495 центов (волчья квинта). Как показано в таблице, последний интервал, хотя и энгармонически эквивалентен квинте, правильнее называть уменьшенной шестой ( d6 ). Сходным образом,

9 малых терций ( m3 ) составляют ≈ 294,135 центов (300 − 3 ε ), 3 увеличенные секунды ( A2 ) составляют ≈ 317,595 центов (300 + 9 ε ), а их среднее значение составляет 300 центов;
8 больших терций ( M3 ) составляют ≈ 407,820 центов (400 + 4 ε ), 4 уменьшенные четверти ( d4 ) составляют ≈ 384,360 центов (400 − 8 ε ), а их среднее значение составляет 400 центов;
7 диатонических полутонов ( м2 ) составляют ≈ 90,225 центов (100 − 5 ε ), 5 хроматических полутонов ( А1 ) составляют ≈ 113,685 центов (100 + 7 ε ), а их среднее значение составляет 100 центов.

Короче говоря, аналогичные различия в ширине наблюдаются для всех типов интервалов, за исключением унисонов и октав, и все они кратны ε , разнице между пифагорейской квинтой и средней квинтой.

Как очевидное следствие, каждый увеличенный или уменьшенный интервал ровно на 12 ε (≈ 23,460) центов уже или шире, чем его энгармонический эквивалент. Например, d6 (или волчья пятая часть) на 12 ε центов уже, чем каждый P5, а каждый A2 на 12 ε центов шире, чем каждый m3. Этот интервал размером 12 ε известен как запятая Пифагора , в точности равная противоположности уменьшенной секунды (≈ -23,460 цента). Это означает, что ε также можно определить как одну двенадцатую пифагорейской запятой.

Пифагоровы интервалы

Четыре из вышеупомянутых интервалов получили в пифагорейской настройке особое название. В следующей таблице представлены эти конкретные названия вместе с альтернативными названиями, которые обычно используются для некоторых других интервалов. Пифагорова запятая не совпадает с уменьшенной секундой, так как ее размер (524288:531441) является обратным уменьшенной пифагорейской секунде (531441:524288). Кроме того, дитон и полудитон характерны для пифагорейской настройки, тогда как тон и тритон используются в целом для всех систем настройки. Несмотря на свое название, полудитон (3 полутона, или около 300 центов) вряд ли можно рассматривать как половину дитона (4 полутона, или около 400 центов). Все интервалы с приставкой полуторный- настроены правильно , а их отношение частот , представленное в таблице, представляет собой сверхчастичное число (или эпиморное отношение). То же самое справедливо и для октавы.

Количество полутона	Общие имена				Конкретные имена
	Качество и количество		Другие соглашения об именах		Пифагорова настройка (названия соотношений шага)	5-предельная настройка	1/4-запятая имелся в виду
	Полный	Короткий	Другие соглашения об именах		Пифагорова настройка (названия соотношений шага)	5-предельная настройка	1/4-запятая имелся в виду
0			запятая		Пифагорова запятая (524288:531441)		острый (128:125)
0	уменьшенная секунда	d2			(531441:524288)		острый (128:125)
1	второстепенная секунда	м2	полутон, полутона, полшага	диатонический полутон, минорный полутон	лимма (остаток) (256:243)
1	расширенный унисон	А1	полутон, полутона, полшага	хроматический полутон, мажорный полутон	апотом (рассечение) (2187:2048)
2	главная секунда	М2	тон, целый тон, целый шаг		эпогдуон (восемнадцатый), полутораоктав (9:8)
3	малая треть	m3			полудитон (32:27)	полуторный (6:5)
4	главная треть	M3			дитон (81:64)	полуторный (5:4)
5	идеальная четвертая	П4	диатессарон		эпитрит, сесквитерций (4:3)
6	уменьшенная пятая часть	d5
6	дополненная четвертая	A4			тритон (729:512)
7	идеальная пятая часть	П5	диапенте		гемиолион (ημιόλιον), полуторный (3:2)
12	(идеальная) октава	Р8	диапазон		дуплекс (2:1)

История и использование

Эта система восходит к Древней Месопотамии. ^{[ 4 ]} и состоял из чередующихся восходящих и нисходящих квинт; см. Музыка Месопотамии § Теория музыки . в основном приписывали эту систему Пифагору В древнегреческой музыке современные авторы теории музыки (который жил около 500 г. до н.э.); Древние греки заимствовали большую часть своей теории музыки из Месопотамии, включая диатоническую гамму, пифагорейский строй и лады. Китайская шкала Ши-эр-лу использует те же интервалы, что и шкала Пифагора, и была изобретена между 600 г. до н.э. и 240 г. н.э. ^{[ 2 ]}^{[ 9 ]}

Из-за волчьего интервала при использовании 12-тональной пифагорейской темперации этот строй сегодня используется редко, хотя считается, что он получил широкое распространение. меняется не В музыке, в которой тональность очень часто или которая не очень гармонически авантюрна, волчий интервал вряд ли станет проблемой, поскольку в таких произведениях будут слышны не все возможные квинты. В расширенной пифагорейской настройке нет волчьего интервала, все идеальные квинты составляют ровно 3:2.

Поскольку большинство квинт 12-тонового пифагорейского темперамента имеют простое соотношение 3:2, они звучат очень «гладко» и согласно. Трети, напротив, большинство из которых имеют относительно сложные соотношения 81:64 (для мажорных третей) и 32:27 (для второстепенных третей), звучат менее плавно в зависимости от инструмента. ^{[ 10 ]}

Примерно с 1510 года, когда терции стали рассматриваться как созвучия, означающая темперамент и, в частности, четверть запятой, означающая тон , которая настраивает терции на относительно простое соотношение 5:4 , стала самой популярной системой настройки клавиатуры. В то же время синтоно-диатоническая справедливая интонация была положена сначала Рамосом , а затем Зарлино как нормальный строй певцов.

Однако у Meante были свои собственные проблемы с гармонией. Его волчьи интервалы оказались даже хуже, чем у пифагорейской настройки (настолько, что часто требовалось 19 тональностей на октаву вместо 12 в пифагорейской настройке). Как следствие, Meanone подходил не для всей музыки. Примерно с 18 века, когда росло желание инструментов менять тональность и, следовательно, избегать волчьего интервала, это привело к широкому использованию хороших темпераментов и, в конечном итоге, равного темперамента .

Пифагорейский темперамент все еще можно услышать в некоторых частях современной классической музыки у певцов и инструментов без фиксированной настройки, таких как скрипки . Если у исполнителя есть неаккомпанементный пассаж, основанный на гаммах, он будет склонен использовать пифагорейскую интонацию, поскольку это позволит гамме звучать лучше всего, а затем возвращается к другим темперациям для других пассажей (просто интонация для аккордовых или арпеджио фигур и равная темперация, когда в сопровождении фортепиано или оркестра). Такие изменения никогда не отмечаются явно и почти не заметны публике, а просто звучат «в тон».

Дискография

Брагод - это дуэт, исполняющий исторически обоснованную средневековую валлийскую музыку с использованием скрипки и шестиструнной лиры с пифагорейской настройкой.
Готические голоса - Музыка для короля львиного сердца (Hyperion, CDA66336, 1989), режиссер Кристофер Пейдж (Пиявка-Уилкинсон)
Лу Харрисон в исполнении Джона Шнайдера и ансамбля ударных инструментов Cal Arts под управлением Джона Бергамо - Гитара и перкуссия (Etceter Records, KTC1071, 1990): Сюита № 1 для гитары и ударных и Plaint & Variations на "Song of Palestine"

См. также

53 равных темперамента , строй, близкий к пифагорейскому.
Энгармоническая шкала
Список средних интервалов
Список музыкальных интервалов
Список интервалов шага
Обычный темперамент
Ши-эр-лу
Музыкальный темперамент
Тимей (диалог) , в котором Платон обсуждает пифагорейскую настройку
Полнотоновая шкала

Ссылки

Цитаты

^ Перейти обратно: ^а ^б Милн, Эндрю; Сетарес, Вашингтон ; Пламондон, Дж. (декабрь 2007 г.). «Инвариантные аппликатуры в континууме настройки» . Компьютерный музыкальный журнал . 31 (4): 15–32. дои : 10.1162/comj.2007.31.4.15 . S2CID 27906745 . Проверено 11 июля 2013 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Брюс Бенвард и Мэрилин Надин Сейкер (2003). Музыка: В теории и практике , издание седьмое, в 2 т. (Бостон: МакГроу-Хилл). Том. Я: с. 56. ISBN 978-0-07-294262-0 .
^ Кеннет Сильван Гатри, Дэвид Р. Фиделер (1987). Справочник и библиотека по Пифагору: Антология древних сочинений, относящихся к Пифагору и пифагорейской философии , стр. 24. Красное Колесо/Вайзер. ISBN 9780933999510 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Дамбрил 1998 , с. 18.
^ Сетарес, Уильям А. (2005). Настройка, Тембр, Спектр, Строение , стр. 163. ISBN 1-85233-797-4 .
^ Фрейзер, Питер А. (апрель 2001 г.). «Развитие систем музыкальной настройки» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 6 мая 2006 г. Проверено 2 февраля 2014 г.
^ Азиатское общество Японии (1879). Труды Азиатского общества Японии , том 7 , с. 82. Азиатское общество Японии.
^ Интервалы Вольфа в настоящем документе определяются как интервалы, состоящие из 3, 4, 5, 7, 8 или 9 полутонов (т. е. мажорных и второстепенных третей или шестых, чистых четвертых или квинт и их энгармонических эквивалентов ), размер которых отклоняется более чем на чем одна синтонная запятая (около 21,5 цента) из соответствующего справедливо интонируемого интервала. Интервалы, состоящие из 1, 2, 6, 10 или 11 полутонов (например, мажорные и минорные секунды или септимы, тритоны и их энгармонические эквиваленты), считаются диссонансными , даже если они правильно настроены, поэтому они не помечаются как волчьи. интервалы, даже если они отклоняются от интонации более чем на одну синтоническую запятую.
^ Нидхэм, Джозеф (1962/2004). Наука и цивилизация в Китае, Том. IV: Физика и физическая технология , стр. 170–171. ISBN 978-0-521-05802-5 .
^ Однако 3/2 ⁸ описывается как «почти ровно большая треть». Сетарес (2005), с. 60.

Источники

Дамбрил, Ричард Дж. (1998). Археомузыкология Древнего Ближнего Востока . Tadema Press, Лондон. Название книги — второе издание. Первое издание называлось «Музыковедение и органология Древнего Ближнего Востока». {{cite book}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
Дэниел Лич-Уилкинсон (1997), «Хороший, плохой и скучный», Companion to Medieval & Renaissance Music . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-816540-4 .

Внешние ссылки

«Пифагорейская настройка диатонической гаммы» с аудиосэмплами.
«Пифагорейский строй и средневековая полифония» Марго Шультер.
Создание настройки Пифагора в электронной таблице , видео с образцами звука.

[Milne2007-1] Перейти обратно: ^а ^б Милн, Эндрю; Сетарес, Вашингтон ; Пламондон, Дж. (декабрь 2007 г.). «Инвариантные аппликатуры в континууме настройки» . Компьютерный музыкальный журнал . 31 (4): 15–32. дои : 10.1162/comj.2007.31.4.15 . S2CID 27906745 . Проверено 11 июля 2013 г.

[B&S-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Брюс Бенвард и Мэрилин Надин Сейкер (2003). Музыка: В теории и практике , издание седьмое, в 2 т. (Бостон: МакГроу-Хилл). Том. Я: с. 56. ISBN 978-0-07-294262-0 .

[3] Кеннет Сильван Гатри, Дэвид Р. Фиделер (1987). Справочник и библиотека по Пифагору: Антология древних сочинений, относящихся к Пифагору и пифагорейской философии , стр. 24. Красное Колесо/Вайзер. ISBN 9780933999510 .

[FOOTNOTEDumbrill199818-4] Перейти обратно: ^а ^б Дамбрил 1998 , с. 18.

[5] Сетарес, Уильям А. (2005). Настройка, Тембр, Спектр, Строение , стр. 163. ISBN 1-85233-797-4 .

[6] Фрейзер, Питер А. (апрель 2001 г.). «Развитие систем музыкальной настройки» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 6 мая 2006 г. Проверено 2 февраля 2014 г.

[7] Азиатское общество Японии (1879). Труды Азиатского общества Японии , том 7 , с. 82. Азиатское общество Японии.

[Wolf-8] Интервалы Вольфа в настоящем документе определяются как интервалы, состоящие из 3, 4, 5, 7, 8 или 9 полутонов (т. е. мажорных и второстепенных третей или шестых, чистых четвертых или квинт и их энгармонических эквивалентов ), размер которых отклоняется более чем на чем одна синтонная запятая (около 21,5 цента) из соответствующего справедливо интонируемого интервала. Интервалы, состоящие из 1, 2, 6, 10 или 11 полутонов (например, мажорные и минорные секунды или септимы, тритоны и их энгармонические эквиваленты), считаются диссонансными , даже если они правильно настроены, поэтому они не помечаются как волчьи. интервалы, даже если они отклоняются от интонации более чем на одну синтоническую запятую.

[Needham-9] Нидхэм, Джозеф (1962/2004). Наука и цивилизация в Китае, Том. IV: Физика и физическая технология , стр. 170–171. ISBN 978-0-521-05802-5 .

[10] Однако 3/2 ⁸ описывается как «почти ровно большая треть». Сетарес (2005), с. 60.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]