Реальный анализ

В математике раздел реального анализа изучает поведение действительных чисел , последовательностей и рядов действительных чисел, а также вещественных функций . Некоторые конкретные свойства вещественных последовательностей и функций, которые изучает реальный анализ, включают сходимость , пределы , непрерывность , гладкость , дифференцируемость и интегрируемость .

Реальный анализ отличается от комплексного анализа , который занимается изучением комплексных чисел и их функций.

Объем

Построение действительных чисел

Основная статья: Построение действительных чисел

Теоремы вещественного анализа опираются на свойства действительной системы счисления , которые необходимо установить. Действительная система счисления состоит из несчетного множества ( $\mathbb {R}$), вместе с двумя двоичными операциями, обозначенными + и ⋅ , и общим порядком, обозначенным ≤ . Операции превращают действительные числа в поле , а вместе с порядком — в упорядоченное поле . Система действительных чисел — это уникальное полное упорядоченное поле в том смысле, что любое другое полное упорядоченное поле изоморфно ей . Интуитивно полнота означает, что в действительных числах нет «пробелов» (или «дыр»). Это свойство отличает действительные числа от других упорядоченных полей (например, рациональных чисел $\mathbb {Q}$) и имеет решающее значение для доказательства нескольких ключевых свойств функций действительных чисел. Полноту вещественных чисел часто удобно выражать как свойство наименьшей верхней границы (см. ниже).

Свойства порядка действительных чисел

Действительные числа обладают различными теоретико-решеточными свойствами, которые отсутствуют в комплексных числах. Кроме того, действительные числа образуют упорядоченное поле , в котором суммы и произведения положительных чисел также положительны. Более того, порядок вещественных чисел является полным , и действительные числа имеют свойство наименьшей верхней границы :

Каждое непустое подмножество $\mathbb {R}$ которое имеет верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу , которая также является действительным числом.

Эти свойства теории порядка приводят к ряду фундаментальных результатов в реальном анализе, таких как теорема о монотонной сходимости , теорема о промежуточном значении и теорема о среднем значении .

Однако, хотя результаты реального анализа формулируются для действительных чисел, многие из этих результатов можно обобщить на другие математические объекты. В частности, многие идеи функционального анализа и теории операторов обобщают свойства действительных чисел — такие обобщения включают теории пространств Рисса и положительных операторов . математики рассматривают действительные и мнимые части сложных последовательностей или путем поточечной оценки операторных Кроме того , последовательностей.

Топологические свойства действительных чисел

Многие теоремы вещественного анализа являются следствием топологических свойств прямой действительной числовой линии. Описанные выше свойства порядка действительных чисел тесно связаны с этими топологическими свойствами. Как топологическое пространство , действительные числа имеют стандартную топологию , которая представляет собой топологию порядка, индуцированную порядком. $<$. В качестве альтернативы, определив метрику или функцию расстояния $d:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$ используя функцию абсолютного значения как $d(x,y)=|x-y|$действительные числа становятся прототипом метрического пространства . Топология, индуцированная метрикой $d$ оказывается идентичной стандартной топологии, индуцированной порядком $<$. Теоремы, подобные теореме о промежуточном значении , которые по своей сути являются топологическими, часто могут быть доказаны в более общей ситуации метрических или топологических пространств, а не в $\mathbb {R}$ только. Часто такие доказательства короче или проще по сравнению с классическими доказательствами, использующими прямые методы.

Последовательности

Основная статья: Последовательность

Последовательность функция — это , которой областью определения является счетное , полностью упорядоченное множество. В качестве области определения обычно принимают натуральные числа , хотя иногда удобно также рассматривать двунаправленные последовательности, индексированные набором всех целых чисел, включая отрицательные индексы.

Для реального анализа представляет интерес последовательность с действительными значениями , индексированная здесь натуральными числами. $a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} :n\mapsto a_{n}$. Каждый $a(n)=a_{n}$ называется термином ( или, реже, элементом ) последовательности. Последовательность редко обозначается явно как функция; вместо этого, по соглашению, он почти всегда обозначается так, как если бы это был упорядоченный ∞-кортеж, с отдельными терминами или общим термином, заключенным в круглые скобки: $$(a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ).$$Последовательность, стремящаяся к пределу (т. е. ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ существует) называется сходящимся ; в противном случае оно расходится . ( Подробнее см. в разделе о пределах и сходимости. ) Последовательность с действительным знаком $(a_{n})$ ограничен , если существует $M\in \mathbb {R}$ такой, что $|a_{n}|<M$ для всех $n\in \mathbb {N}$. Действительная последовательность $(a_{n})$ или монотонно возрастает убывает , если $$a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots$$или $$a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots$$держится соответственно. Если выполняется одно из этих условий, последовательность называется монотонной . Монотонность является строгой, если цепные неравенства по-прежнему выполняются при $\leq$ или $\geq$ заменено на < или >.

Учитывая последовательность $(a_{n})$, другая последовательность $(b_{k})$ является подпоследовательностью ​ $(a_{n})$ если $b_{k}=a_{n_{k}}$ для всех положительных целых чисел $k$ и $(n_{k})$ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел.

Пределы и конвергенция

Основная статья: Предел (математика)

Грубо говоря, предел — это значение, к которому «приближается» функция или последовательность , когда входные данные или индекс приближаются к некоторому значению. (Это значение может включать символы $\pm \infty$ при рассмотрении поведения функции или последовательности, когда переменная неограниченно увеличивается или уменьшается.) Идея предела является фундаментальной для исчисления (и математического анализа в целом), и ее формальное определение, в свою очередь, используется для определения таких понятий, как непрерывность , производные. и интегралы . (Фактически, изучение предельного поведения использовалось как характеристика, отличающая исчисление и математический анализ от других разделов математики.)

Понятие предела было неофициально введено для функций Ньютоном и Лейбницем в конце 17 века для построения исчисления бесконечно малых . Для последовательностей концепция была введена Коши и уточнена в конце 19-го века Больцано и Вейерштрассом , которые дали современное определение ε-δ , которое следует ниже.

Определение. Позволять $f$ быть действительной функцией, определенной на $E\subset \mathbb {R}$. Мы говорим, что $f(x)$ имеет тенденцию $L$ как $x$ подходы $x_{0}$, или что предел $f(x)$ как $x$ подходы $x_{0}$ является $L$ если для любого $\varepsilon >0$, существует $\delta >0$ такой, что для всех $x\in E$, $0<|x-x_{0}|<\delta$ подразумевает, что $|f(x)-L|<\varepsilon$. Мы запишем это символически как $$f(x)\to L\ \ {\text{as}}\ \ x\to x_{0},$$ или как $$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=L.$$Интуитивно это определение можно представить следующим образом: мы говорим, что $f(x)\to L$ как $x\to x_{0}$, когда по любому положительному числу $\varepsilon$, каким бы маленьким оно ни было, мы всегда можем найти $\delta$, так что мы можем гарантировать, что $f(x)$ и $L$ меньше, чем $\varepsilon$ отдельно, пока $x$ (в области $f$) — действительное число, меньшее $\delta$ вдали от $x_{0}$ но отличается от $x_{0}$. Цель последнего условия, соответствующего условию $0<|x-x_{0}|$ в определении, заключается в том, чтобы гарантировать, что ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}$ ничего не говорит о ценности $f(x_{0})$ сам. На самом деле, $x_{0}$ даже не обязательно находиться в домене $f$ для того, чтобы ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ существовать.

В несколько ином, но родственном контексте понятие предела применяется к поведению последовательности. $(a_{n})$ когда $n$ становится большим.

Определение. Позволять $(a_{n})$ быть вещественной последовательностью. Мы говорим, что $(a_{n})$ сходится к $a$ если для любого $\varepsilon >0$, существует натуральное число $N$ такой, что $n\geq N$ подразумевает, что $|a-a_{n}|<\varepsilon$. Мы запишем это символически как $$a_{n}\to a\ \ {\text{as}}\ \ n\to \infty ,$$или как $$\lim _{n\to \infty }a_{n}=a;$$если $(a_{n})$ не сходится, мы говорим, что $(a_{n})$ расходится .

Обобщая на вещественную функцию действительной переменной, небольшая модификация этого определения (замена последовательности $(a_{n})$ и срок $a_{n}$ по функции $f$ и ценность $f(x)$ и натуральные числа $N$ и $n$ реальными числами $M$ и $x$соответственно) дает определение предела $f(x)$ как $x$ неограниченно увеличивается , отмечено ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$. Изменение неравенства $x\geq M$ к $x\leq M$ дает соответствующее определение предела $f(x)$ как $x$ уменьшается неограниченно , ${\textstyle \lim _{x\to -\infty }f(x)}$.

Иногда полезно заключить, что последовательность сходится, даже если значение, к которому она сходится, неизвестно или не имеет значения. В этих случаях полезна концепция последовательности Коши.

Определение. Позволять $(a_{n})$ быть вещественной последовательностью. Мы говорим, что $(a_{n})$ является последовательностью Коши , если для любого $\varepsilon >0$, существует натуральное число $N$ такой, что $m,n\geq N$ подразумевает, что $|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon$.

Можно показать, что вещественная последовательность является Коши тогда и только тогда, когда она сходится. Это свойство действительных чисел выражается в том, что действительные числа, наделенные стандартной метрикой, $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$, является полным метрическим пространством . Однако в общем метрическом пространстве последовательность Коши не обязана сходиться.

Кроме того, для монотонных вещественных последовательностей можно показать, что последовательность ограничена тогда и только тогда, когда она сходится.

Равномерная и поточечная сходимость последовательностей функций.

Основная статья: Равномерная конвергенция

Помимо последовательностей чисел можно говорить также о последовательностях функций на $E\subset \mathbb {R}$, то есть бесконечные упорядоченные семейства функций $f_{n}:E\to \mathbb {R}$, обозначенный $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$и их свойства сходимости. Однако в случае последовательностей функций два вида сходимости, известные как поточечная сходимость и равномерная сходимость необходимо различать .

Грубо говоря, поточечная сходимость функций $f_{n}$ к предельной функции $f:E\to \mathbb {R}$, обозначенный $f_{n}\rightarrow f$, просто означает, что при любом $x\in E$, $f_{n}(x)\to f(x)$ как $n\to \infty$. Напротив, равномерная сходимость является более сильным типом сходимости в том смысле, что равномерно сходящаяся последовательность функций также сходится поточечно, но не наоборот. Равномерная сходимость требует членов семейства функций, $f_{n}$, попасть в какую-то ошибку $\varepsilon >0$ из $f$ для каждого значения $x\in E$, в любое время $n\geq N$, для некоторого целого числа $N$. Чтобы семейство функций сходилось равномерно, иногда обозначают $f_{n}\rightrightarrows f$, такое значение $N$ должно существовать для любого $\varepsilon >0$ данное, каким бы маленьким оно ни было. Интуитивно мы можем визуализировать эту ситуацию, представив, что для достаточно большого $N$, функции $f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots$ все заключены в «трубку» шириной $2\varepsilon$ о $f$ (то есть между $f-\varepsilon$ и $f+\varepsilon$) для каждого значения в своей области $E$.

Различие между поточечной и равномерной сходимостью важно, когда требуется поменять порядок двух предельных операций (например, взятие предела, производной или интеграла): для того, чтобы обмен вел себя правильно, многие теоремы реального анализа вызывают для равномерной сходимости. Например, последовательность непрерывных функций (см. ниже ) гарантированно сходится к непрерывной предельной функции, если сходимость равномерна, тогда как предельная функция может не быть непрерывной, если сходимость происходит только поточечно. Карлу Вейерштрассу обычно приписывают четкое определение концепции равномерной конвергенции и полное исследование ее последствий.

Компактность

Основная статья: Компактность

Компактность — это концепция общей топологии , которая играет важную роль во многих теоремах реального анализа. Свойство компактности является обобщением понятия замкнутости и ограниченности множества . (В контексте реального анализа эти понятия эквивалентны: множество в евклидовом пространстве компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.) Короче говоря, замкнутое множество содержит все свои граничные точки , а множество ограничено , если существуют существует такое действительное число, что расстояние между любыми двумя точками множества меньше этого числа. В $\mathbb {R}$множества, которые являются замкнутыми и ограниченными и, следовательно, компактными, включают пустое множество, любое конечное число точек, замкнутые интервалы и их конечные объединения. Однако этот список не является исчерпывающим; например, набор $\{1/n:n\in \mathbb {N} \}\cup \{0}\$ представляет собой компактный набор; Кантора троичное множество ${\mathcal {C}}\subset [0,1]$ является еще одним примером компактного набора. С другой стороны, набор $\{1/n:n\in \mathbb {N} \}$ некомпактно, поскольку оно ограничено, но не замкнуто, поскольку граничная точка 0 не является членом множества. Набор $[0,\infty )$ также некомпактно, поскольку оно замкнуто, но не ограничено.

Для подмножеств действительных чисел существует несколько эквивалентных определений компактности.

Определение. Набор $E\subset \mathbb {R}$ компактно, если оно замкнуто и ограничено.

Это определение справедливо также для евклидова пространства любой конечной размерности: $\mathbb {R} ^{n}$, но оно неверно для метрических пространств вообще. Эквивалентность определения с определением компактности, основанным на подпокрытиях, данным далее в этом разделе, известна как теорема Гейне-Бореля .

Более общее определение, применимое ко всем метрическим пространствам, использует понятие подпоследовательности (см. Выше).

Определение. Набор $E$ в метрическом пространстве компактна, если каждая последовательность из $E$ имеет сходящуюся подпоследовательность.

Это особое свойство известно как последовательная компактность . В $\mathbb {R}$множество последовательно компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено, что делает это определение эквивалентным приведенному выше. Последующая компактность эквивалентна определению компактности, основанному на подпокрытиях, для метрических пространств, но не для топологических пространств вообще.

Наиболее общее определение компактности основано на понятии открытых покрытий и подпокрытий , которое применимо к топологическим пространствам (и, следовательно, к метрическим пространствам и $\mathbb {R}$ как особые случаи). Короче говоря, коллекция открытых наборов $U_{\alpha }$ Говорят, что это открытая обложка набора $X$ если объединение этих множеств является надмножеством $X$. Говорят, что это открытое покрытие имеет конечное подпокрытие, если конечное подмножество $U_{\alpha }$ можно найти, что также охватывает $X$.

Определение. Набор $X$ в топологическом пространстве компактно, если каждое открытое покрытие $X$ имеет конечное подпокрытие.

Компактные множества хорошо себя ведут в отношении таких свойств, как сходимость и непрерывность. Например, любая последовательность Коши в компактном метрическом пространстве сходится. Другой пример: образ компактного метрического пространства при непрерывном отображении также компактен.

Непрерывность

Основная статья: Непрерывная функция

Функция ; от набора действительных чисел к действительным числам может быть представлена в декартовой плоскости ​​графиком такая функция непрерывна, если, грубо говоря, график представляет собой одну сплошную кривую без «дырок» и «скачков».

Есть несколько способов сделать эту интуицию математически строгой. Можно дать несколько определений разной степени общности. В случаях, когда применимы два или более определений, легко показать, что они эквивалентны друг другу, поэтому можно использовать наиболее удобное определение, чтобы определить, является ли данная функция непрерывной или нет. В первом определении, приведенном ниже, $f:I\to \mathbb {R}$ — функция, определенная на невырожденном интервале $I$ множества действительных чисел в качестве его области определения. Некоторые возможности включают в себя $I=\mathbb {R}$, весь набор действительных чисел, открытый интервал $I=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},$ или закрытый интервал $I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.$ Здесь, $a$ и $b$ являются различными действительными числами, и мы исключаем случай $I$ будучи пустым или состоящим только из одной точки, в частности.

Определение. Если $I\subset \mathbb {R}$ является невырожденным интервалом, будем говорить, что $f:I\to \mathbb {R}$ является непрерывным в $p\in I$ если ${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)=f(p)}$. Мы говорим, что $f$ является непрерывным отображением , если $f$ является непрерывным в каждом $p\in I$.

В отличие от требований к $f$ иметь предел в какой-то точке $p$, которые не ограничивают поведение $f$ в $p$ само по себе следующие два условия, помимо существования ${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)}$, также должно выполняться, чтобы $f$ быть непрерывным в $p$: (я) $f$ должно быть определено в $p$, то есть, $p$ находится в области $f$; и (ii) $f(x)\to f(p)$ как $x\to p$. Приведенное выше определение фактически применимо к любому домену. $E$ который не содержит изолированной точки или, что то же самое, $E$ где каждый $p\in E$ является предельной точкой $E$. Более общее определение, применимое к $f:X\to \mathbb {R}$ с общим доменом $X\subset \mathbb {R}$ следующее:

Определение. Если $X$ является произвольным подмножеством $\mathbb {R}$, мы говорим, что $f:X\to \mathbb {R}$ является непрерывным в $p\in X$ если для любого $\varepsilon >0$, существует $\delta >0$ такой, что для всех $x\in X$, $|x-p|<\delta$ подразумевает, что $|f(x)-f(p)|<\varepsilon$. Мы говорим, что $f$ является непрерывным отображением , если $f$ является непрерывным в каждом $p\in X$.

Следствием этого определения является то, что $f$ тривиально непрерывен в любой изолированной точке $p\in X$. Эта несколько неинтуитивная трактовка изолированных точек необходима для того, чтобы наше определение непрерывности функций на вещественной прямой согласовывалось с наиболее общим определением непрерывности отображений между топологическими пространствами (которые включают метрические пространства и $\mathbb {R}$ в частности, в особых случаях). Это определение, выходящее за рамки нашего обсуждения реального анализа, для полноты представлено ниже.

Определение. Если $X$ и $Y$ являются топологическими пространствами, мы говорим, что $f:X\to Y$ является непрерывным в $p\in X$ если $f^{-1}(V)$ это район ​ $p$ в $X$ для каждого района $V$ из $f(p)$ в $Y$. Мы говорим, что $f$ является непрерывным отображением , если $f^{-1}(U)$ открыт в $X$ для каждого $U$ открыть в $Y$.

(Здесь, $f^{-1}(S)$ относится прообразу к $S\subset Y$ под $f$.)

Равномерная непрерывность

Основная статья: Равномерная преемственность

Определение. Если $X$ является подмножеством действительных чисел , мы говорим, что функция $f:X\to \mathbb {R}$ равномерно непрерывен на $X$ если для любого $\varepsilon >0$, существует $\delta >0$ такой, что для всех $x,y\in X$, $|x-y|<\delta$ подразумевает, что $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

Явно, когда функция равномерно непрерывна на $X$, выбор $\delta$ необходимое для выполнения определения, должно работать для всех $X$ для данного $\varepsilon$. Напротив, когда функция непрерывна в каждой точке $p\in X$ (или говорят, что он непрерывен на $X$), выбор $\delta$ может зависеть от обоих $\varepsilon$ и $p$. В отличие от простой непрерывности, равномерная непрерывность — это свойство функции, которое имеет смысл только в указанной области определения; говорить о равномерной непрерывности в одной точке $p$ бессмысленно.

На компакте легко показать, что все непрерывные функции равномерно непрерывны. Если $E$ является ограниченным некомпактным подмножеством $\mathbb {R}$, то существует $f:E\to \mathbb {R}$ то есть непрерывно, но не равномерно непрерывно. В качестве простого примера рассмотрим $f:(0,1)\to \mathbb {R}$ определяется $f(x)=1/x$. Выбирая точки, близкие к 0, мы всегда можем сделать $|f(x)-f(y)|>\varepsilon$ для любого единственного выбора $\delta >0$, для данного $\varepsilon >0$.

Абсолютная непрерывность

Основная статья: Абсолютная преемственность

Определение. Позволять $I\subset \mathbb {R}$ быть интервалом на действительной прямой . Функция $f:I\to \mathbb {R}$ называется абсолютно непрерывным на $I$ если для каждого положительного числа $\varepsilon$, есть положительное число $\delta$ такая, что всякий раз, когда конечная последовательность попарно непересекающихся подинтервалов $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})$ из $I$ удовлетворяет

$\sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})<\delta$

затем

$\sum _{k=1}^{n}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .$

Абсолютно непрерывные функции непрерывны: рассмотрим случай n = 1 в этом определении. Совокупность всех абсолютно непрерывных функций на I обозначается AC( I ). Абсолютная непрерывность - фундаментальное понятие теории интегрирования Лебега, позволяющее сформулировать обобщенную версию фундаментальной теоремы исчисления, применимую к интегралу Лебега.

Дифференциация

Основные статьи: Производное и дифференциальное исчисление

Понятие производной функции или дифференцируемости происходит от концепции приближения функции вблизи заданной точки с использованием «наилучшего» линейного приближения. Это приближение, если оно существует, единственное и задается линией, касательной к функции в данной точке. $a$, а наклон линии является производной функции при $a$.

Функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ дифференцируема в $a$ если предел

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

существует. Этот предел известен как производная $f$ в $a$, и функция $f'$, возможно, определенное только на подмножестве $\mathbb {R}$, является производной (или производной функцией ) от $f$. Если производная существует всюду, функция называется дифференцируемой .

Как простое следствие определения, $f$ является непрерывным в $a$ если оно там дифференцируемо. Таким образом, дифференцируемость является более сильным условием регулярности (условием, описывающим «гладкость» функции), чем непрерывность, и функция может быть непрерывной на всей действительной прямой, но не дифференцируемой нигде (см. Нигде не дифференцируемая непрерывная функция Вейерштрасса ). Можно также обсуждать существование производных более высокого порядка, находя производную производной функции и так далее.

Классифицировать функции можно по их классу дифференцируемости . Класс $C^{0}$ (иногда $C^{0}([a,b])$ для указания интервала применимости) состоит из всех непрерывных функций. Класс $C^{1}$ состоит из всех дифференцируемых функций , производная которых непрерывна; такие функции называются непрерывно дифференцируемыми . Таким образом, $C^{1}$ функция — это в точности функция, производная которой существует и принадлежит классу $C^{0}$. В общем, классы $C^{k}$ можно определить рекурсивно, объявив $C^{0}$ быть множеством всех непрерывных функций и объявлять $C^{k}$ для любого положительного целого числа $k$ быть множеством всех дифференцируемых функций, производная которых находится в $C^{k-1}$. В частности, $C^{k}$ содержится в $C^{k-1}$ для каждого $k$, и есть примеры, показывающие, что это сдерживание является строгим. Сорт $C^{\infty }$ является пересечением множеств $C^{k}$ как $k$ варьируется в пределах неотрицательных целых чисел, а члены этого класса известны как гладкие функции . Сорт $C^{\omega }$ состоит из всех аналитических функций и строго содержится в $C^{\infty }$ (см. функцию рельефа для гладкой функции, которая не является аналитической).

Ряд

Основная статья: Серия (математика)

Ряд формализует неточное представление о сумме бесконечной последовательности чисел. Идея о том, что суммирование «бесконечного» числа членов может привести к конечному результату, была противоречащей интуиции древних греков и привела к формулировке Зеноном и другими философами ряда парадоксов. Современное представление о присвоении значения ряду позволяет избежать нечеткого понятия добавления «бесконечного» числа членов. Вместо этого конечная сумма первых $n$ рассматриваются члены последовательности, известные как частичная сумма, и понятие предела применяется к последовательности частичных сумм как $n$ растет без ограничений. Серии присваивается значение этого лимита, если он существует.

Учитывая (бесконечную) последовательность $(a_{n})$, мы можем определить связанный ряд как формальный математический объект ${\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$, иногда просто записывается как ${\textstyle \sum a_{n}}$. Частичные суммы ряда ${\textstyle \sum a_{n}}$ это цифры ${\textstyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}}$. Серия ${\textstyle \sum a_{n}}$ называется сходящейся, если последовательность, состоящая из ее частичных сумм, $(s_{n})$, сходится; в противном случае оно расходится . Сумма сходящегося ряда определяется как число ${\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}$.

Слово «сумма» используется здесь в метафорическом смысле как сокращение для определения предела последовательности частичных сумм, и его не следует интерпретировать как простое «добавление» бесконечного числа членов. Например, в отличие от поведения конечных сумм, перестановка членов бесконечного ряда может привести к сходимости к другому числу (см. статью о теореме о перестановке Римана для дальнейшего обсуждения).

Примером сходящегося ряда является геометрический ряд Зенона , лежащий в основе одного из знаменитых парадоксов :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1.$

Напротив, гармонический ряд со времен Средневековья было известно, что является расходящимся рядом:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty .$

(Здесь, " $=\infty$« — это всего лишь условное обозначение, указывающее на то, что частичные суммы ряда растут без ограничений.)

Серия ${\textstyle \sum a_{n}}$ говорят, что он сходится абсолютно, если ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ является конвергентным. Сходящийся ряд ${\textstyle \sum a_{n}}$ для чего ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ Говорят, что расходится сходится неабсолютно . Легко показать, что абсолютная сходимость ряда влечет за собой его сходимость. С другой стороны, примером ряда, сходящегося неабсолютно, является

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2.$

Серия Тейлора

Основная статья: серия Тейлора

Ряд Тейлора действительной или комплекснозначной функции ƒ ( x ), которая бесконечно дифференцируема по действительному или комплексному числу a, является степенным рядом

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .$

которое можно записать в более компактной сигма-нотации как

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

где н ! обозначает факториал n ​ и ƒ ^{( н )} ( a ) обозначает n- ю производную , ƒ оцененную в точке a . Производная нулевого порядка ƒ определяется как сама ƒ и ( x − a ) ⁰ и 0! оба определены как 1. В случае, когда a = 0 , ряд также называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора f относительно точки a может расходиться, сходиться только в точке a , сходиться для всех x таких, что $|x-a|<R$ (наибольшая такая R , для которой гарантирована сходимость, называется радиусом сходимости ), либо сходятся на всей вещественной прямой. Даже сходящийся ряд Тейлора может сходиться к значению, отличному от значения функции в этой точке. Если ряд Тейлора в точке имеет ненулевой радиус сходимости и суммируется с функцией в круге сходимости , то функция является аналитической . Аналитические функции обладают многими фундаментальными свойствами. В частности, аналитическая функция действительной переменной естественным образом расширяется до функции комплексной переменной. Именно таким образом показательная функция , логарифм , тригонометрические функции и их обратные расширяются до функций комплексной переменной.

ряд Фурье

Основная статья: ряд Фурье

Первые четыре частичные суммы ряда Фурье для прямоугольной волны . Ряды Фурье — важный инструмент реального анализа.

Ряд Фурье разлагает периодические функции или периодические сигналы в сумму (возможно, бесконечного) набора простых осциллирующих функций, а именно синусов и косинусов (или комплексных экспонент ). Изучение рядов Фурье обычно происходит и осуществляется в рамках раздела математика > математический анализ > анализ Фурье .

Интеграция

Интегрирование — это формализация задачи нахождения площади, ограниченной кривой, и связанных с ней задач определения длины кривой или объема, охватываемого поверхностью. Основная стратегия решения проблем такого типа была известна древним грекам и китайцам и называлась методом истощения . Вообще говоря, желаемая область ограничена сверху и снизу, соответственно, путем все более точного описания и вписания полигональных аппроксимаций, точные площади которых можно вычислить. Рассматривая аппроксимации, состоящие из все большего и большего («бесконечного») числа меньших и меньших («бесконечно малых») частей, можно определить площадь, ограниченную кривой, поскольку верхняя и нижняя границы, определенные аппроксимациями, сходятся вокруг общей точки. ценить.

Дух этой базовой стратегии можно легко увидеть в определении интеграла Римана, в котором говорят, что интеграл существует, если верхняя и нижняя суммы Римана (или Дарбу) сходятся к общему значению как все более тонкие и тонкие прямоугольные срезы («уточнения» ") считаются. Хотя механизм, используемый для его определения, гораздо более сложен по сравнению с интегралом Римана, интеграл Лебега был определен с учетом аналогичных основных идей. По сравнению с интегралом Римана, более сложный интеграл Лебега позволяет определять и вычислять площадь (или длину, объем и т. д., вообще называемую «мерой») для гораздо более сложных и нерегулярных подмножеств евклидова пространства, хотя они все еще существуют. «неизмеримые» подмножества, для которых невозможно выделить площадь.

Интегрирование Римана

Основная статья: интеграл Римана

Интеграл Римана определяется через суммы Римана функций по размеченным разбиениям интервала. Позволять $[a,b]$ быть замкнутым интервалом действительной линии; затем раздел с тегами ${\cal {P}}$ из $[a,b]$ является конечной последовательностью

$a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!$

Это разбивает интервал $[a,b]$ в $n$ подинтервалы $[x_{i-1},x_{i}]$ индексируется $i=1,\ldots ,n$, каждый из которых «помечен» выделенной точкой $t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$. Для функции $f$ ограниченный $[a,b]$, мы определяем Римана сумму $f$ относительно отмеченного раздела ${\cal {P}}$ как

$\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i},$

где $\Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}$ ширина подинтервала $i$. Таким образом, каждый член суммы представляет собой площадь прямоугольника с высотой, равной значению функции в выделенной точке данного подинтервала, и шириной, равной ширине подинтервала. Сетка , такого размеченного раздела представляет собой ширину наибольшего подинтервала, образованного разделом ${\textstyle \|\Delta _{i}\|=\max _{i=1,\ldots ,n}\Delta _{i}}$. Мы говорим, что интеграл Римана $f$ на $[a,b]$ является $S$ если для любого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$ так что для любого отмеченного раздела ${\cal {P}}$ с сеткой $\|\Delta _{i}\|<\delta$, у нас есть

$\left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon .$

Иногда это обозначается ${\textstyle {\mathcal {R}}\int _{a}^{b}f=S}$. Когда выбранные теги дают максимальное (соответственно минимальное) значение каждого интервала, сумма Римана называется верхней (соответственно нижней) суммой Дарбу . Функция является интегрируемой по Дарбу, если верхнюю и нижнюю суммы Дарбу можно сделать сколь угодно близкими друг к другу на достаточно мелкой сетке. Хотя это определение придает интегралу Дарбу вид частного случая интеграла Римана, на самом деле они эквивалентны в том смысле, что функция интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда она интегрируема по Риману, а значения интегралы равны. Фактически, учебники по математическому анализу и реальному анализу часто объединяют эти два понятия, вводя определение интеграла Дарбу как определение интеграла Римана из-за того, что первое определение несколько проще в применении.

Основная теорема исчисления утверждает, что интегрирование и дифференцирование являются в определенном смысле обратными операциями.

Интегрирование и мера Лебега

Основная статья: интеграл Лебега

Интегрирование Лебега — это математическая конструкция, расширяющая интеграл на более широкий класс функций; он также расширяет области , в которых могут быть определены эти функции. Понятие меры , абстракция длины, площади или объема, занимает центральное место в интегральной теории вероятностей Лебега .

Распределения

Основная статья: Распределение (математика)

Распределения (или обобщенные функции ) — это объекты, обобщающие функции . Распределения позволяют дифференцировать функции, производные которых не существуют в классическом смысле. В частности, любая локально интегрируемая функция имеет распределительную производную.

Отношение к комплексному анализу

Реальный анализ — это область анализа , изучающая такие понятия, как последовательности и их пределы, непрерывность, дифференциация , интеграция и последовательность функций. По определению, реальный анализ фокусируется на действительных числах , часто включая положительную и отрицательную бесконечность, чтобы сформировать расширенную действительную линию . Реальный анализ тесно связан с комплексным анализом , который в общих чертах изучает те же свойства комплексных чисел . В комплексном анализе естественно определять дифференцирование через голоморфные функции , которые обладают рядом полезных свойств, таких как повторная дифференцируемость, выразимость в виде степенного ряда и удовлетворение интегральной формулы Коши .

В реальном анализе обычно более естественно рассматривать дифференцируемые , гладкие или гармонические функции , которые более широко применимы, но могут не иметь некоторых более мощных свойств голоморфных функций. Однако такие результаты, как основная теорема алгебры, проще, если их выразить в терминах комплексных чисел.

В реальном анализе часто используются методы теории аналитических функций комплексной переменной, например, вычисление действительных интегралов с помощью исчисления вычетов .

Важные результаты

Важные результаты включают теоремы Больцано-Вейерштрасса и Гейне-Бореля , теорему о промежуточном значении и теорему о среднем значении , теорему Тейлора , фундаментальную теорему исчисления , теорему Арзела-Асколи , теорему Стоуна-Вейерштрасса , лемму Фату и монотонную сходимость . и теоремы о доминируемой сходимости .

Обобщения и смежные области математики

Различные идеи реального анализа могут быть обобщены с реальной линии на более широкие или более абстрактные контексты. Эти обобщения связывают реальный анализ с другими дисциплинами и субдисциплинами. Например, обобщение таких идей, как непрерывные функции и компактность, от реального анализа до метрических и топологических пространств связывает реальный анализ с областью общей топологии , а обобщение конечномерных евклидовых пространств до бесконечномерных аналогов привело к концепциям банаховых пространств. и гильбертовых пространств и, в более общем плане, к функциональному анализу . Исследование Георгом Кантором множеств и последовательностей действительных чисел, отображений между ними, а также фундаментальных проблем реального анализа породило наивную теорию множеств . Изучение вопросов сходимости последовательностей функций в конечном итоге привело к возникновению анализа Фурье как раздела математического анализа. Исследование последствий обобщения дифференцируемости функций действительной переменной к функциям комплексной переменной привело к появлению понятия голоморфные функции и возникновение комплексного анализа как еще одной отдельной субдисциплины анализа. С другой стороны, обобщение интегрирования от смысла Римана до смысла Лебега привело к формулировке концепции абстрактных пространств с мерой , фундаментальной концепции теории меры . Наконец, обобщение интегрирования от действительной линии до кривых и поверхностей в пространстве более высокой размерности привело к изучению векторного исчисления , дальнейшее обобщение и формализация которого сыграло важную роль в эволюции понятий дифференциальных форм и гладких (дифференцируемых) многообразий. в дифференциальной геометрии и других тесно связанных областях геометрии и топологии .

См. также

• Список реальных тем анализа
• Исчисление шкалы времени - объединение реального анализа с исчислением конечных разностей.
• Реальная функция многих переменных
• Реальное координатное пространство
• Комплексный анализ

Источники

• Атрея, Кришна Б.; Лахири, Сумендра Н. (2006), Теория меры и теория вероятностей , Springer, ISBN  0-387-32903-Х
• Нильсен, Оле А. (1997), Введение в интеграцию и теорию меры , Wiley-Interscience, ISBN  0-471-59518-7
• Ройден, HL (1988), Real Analysis (третье изд.), Collier Macmillan, ISBN  0-02-404151-3

Библиография

• Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа . Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-95060-5 .
• Алипрантис, Хараламбос Д .; Буркиншоу, Оуэн (1998). Принципы реального анализа (3-е изд.). Академический. ISBN  0-12-050257-7 .
• Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (2011). Введение в реальный анализ (4-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-43331-6 .
• Брессуд, Дэвид (2007). Радикальный подход к реальному анализу . МАА. ISBN  978-0-88385-747-2 .
• Браудер, Эндрю (1996). Математический анализ: Введение . Тексты для бакалавриата по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94614-4 .
• Каротерс, Нил Л. (2000). Реальный анализ . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521497565 .
• Данжелло, Фрэнк; Сейфрид, Майкл (1999). Вводный реальный анализ . Брукс Коул. ISBN  978-0-395-95933-6 .
• Колмогоров А.Н. ; Фомин, С.В. (1975). Вводный реальный анализ . Перевод Ричарда А. Сильвермана. Дуврские публикации. ISBN  0486612260 . Проверено 2 апреля 2013 г.
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Студенческая серия Уолтера Рудина по высшей математике (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-054235-8 .
• Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-054234-1 .
• Спивак, Михаил (1994). Исчисление (3-е изд.). Хьюстон , Техас: Publish or Perish, Inc. ISBN  091409890X .

Внешние ссылки

• Как мы добрались оттуда сюда: история настоящего анализа Роберта Роджерса и Юджина Бомана
• Первый курс анализа Дональд Яу
• Веб-заметки по анализу Джона Линдсея Орра
• Интерактивный реальный анализ Берта Г. Ваксмута
• Курс первого анализа Джона О'Коннора
• Математический анализ I Элиаса Закона
• Математический анализ II Элиаса Закона
• Тренч, Уильям Ф. (2003). Введение в реальный анализ (PDF) . Прентис Холл . ISBN  978-0-13-045786-8 .
• Самые ранние известные варианты использования некоторых слов математики: исчисление и анализ
• Базовый анализ: введение в реальный анализ , Иржи Лебль
• Темы реального и функционального анализа , Джеральд Тешль , Венский университет.