Теорема Уолда

В статистике ) разложение Уолда или теорема о представлении Уолда (не путать с теоремой Уолда, которая является аналогом теоремы Винера – Хинчина в дискретном времени , названная в честь Германа Уолда , говорит, что каждый ковариационно-стационарный временной ряд $Y_{t}$ может быть записана как сумма двух временных рядов: детерминистического и стохастического .

Формально

Y_{t}=\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\varepsilon _{t-j}+\eta _{t},

где:

$Y_{t}$ временной ряд , рассматриваемый

$\varepsilon _{t}$ представляет собой некоррелированную последовательность, которая представляет собой инновационный процесс для процесса $Y_{t}$ – то есть процесс белого шума, который вводится в линейный фильтр $\{b_{j}\}$ .

$b$ - возможно, бесконечный вектор весов скользящих средних (коэффициентов или параметров)

$\eta _{t}$ является «детерминированным» временным рядом в том смысле, что он полностью определен как линейная комбинация его прошлых значений (см., например, Андерсон (1971), глава 7, раздел 7.6.3, стр. 420-421). Он может включать в себя «детерминированные термины», такие как синусоидальные/косинусоидальные волны. $t$ , но это случайный процесс и он также ковариационно-стационарен, он не может быть произвольным детерминированным процессом, нарушающим стационарность.

Коэффициенты скользящего среднего обладают следующими свойствами:

Стабильный, то есть суммируемый с квадратом $\sum _{j=1}^{\infty }|b_{j}|^{2}$ < $\infty$
Причинный (т. е. нет членов с j < 0)
Минимальная задержка ^{[ нужны разъяснения ]}
Постоянный ( $b_{j}$ не зависит от t )
Принято определять $b_{0}=1$

Эту теорему можно рассматривать как теорему существования: любой стационарный процесс имеет это, казалось бы, особое представление. Примечательно не только существование такого простого линейного и точного представления, но еще более примечательна особая природа модели скользящего среднего. Представьте себе, что вы создаете процесс, который представляет собой скользящее среднее, но не удовлетворяет этим свойствам 1–4. Например, коэффициенты $b_{j}$ может определить акаузальную и неминимальную задержку ^{[ нужны разъяснения ]} модель. Тем не менее, теорема гарантирует существование причинно-следственной скользящей средней с минимальной задержкой. ^{[ нужны разъяснения ]} это точно представляет этот процесс. Как все это работает в случае причинности и свойства минимальной задержки, обсуждается в Скаргле (1981), где обсуждается расширение разложения Уолда.

Полезность теоремы Уолда состоит в том, что она допускает динамическую эволюцию переменной. $Y_{t}$ аппроксимироваться линейной моделью . Если инновации $\varepsilon _{t}$ независимы , то линейная модель является единственным возможным представлением , связывающим наблюдаемое значение $Y_{t}$ к своей прошлой эволюции. Однако, когда $\varepsilon _{t}$ является просто некоррелированной , но не независимой последовательностью, то линейная модель существует, но она не является единственным представлением динамической зависимости ряда. В этом последнем случае возможно, что линейная модель окажется не очень полезной и будет существовать нелинейная модель, связывающая наблюдаемое значение $Y_{t}$ к своей прошлой эволюции. Однако в практическом анализе временных рядов часто рассматриваются только линейные предикторы, отчасти из соображений простоты, и в этом случае разложение Уолда имеет непосредственное значение.

Представление Уолда зависит от бесконечного числа параметров, хотя на практике они обычно быстро затухают. Модель авторегрессии — это альтернатива, которая может иметь лишь несколько коэффициентов, если у соответствующего скользящего среднего их много. Эти две модели можно объединить в модель авторегрессионного скользящего среднего (ARMA) или модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA), если задействована нестационарность. См. Scargle (1981) и ссылки там; кроме того, в этой статье дается расширение теоремы Уолда, которое обеспечивает большую общность скользящего среднего (не обязательно стабильного, причинного или минимального с задержкой), сопровождаемое более четкой характеристикой инновации (идентично и независимо распределенной, а не просто некоррелированной). Это расширение позволяет создавать модели, которые более точно отражают физические или астрофизические процессы и, в частности, могут чувствовать « стрелу времени ».

Ссылки

Андерсон, Т.В. (1971). Статистический анализ временных рядов . Уайли.
Нерлов, М .; Гретер, Дэвид М.; Карвалью, Хосе Л. (1995). Анализ экономических временных рядов (пересмотренная ред.). Сан-Диего: Академическая пресса. стр. 30–36 . ISBN 0-12-515751-7 .
Скаргл, Джей Ди (1981). Исследования в области анализа астрономических временных рядов. I – Моделирование случайных процессов во временной области . Серия приложений к астрофизическому журналу. Том. 45. стр. 1–71.
Уолд, Х. (1954) Исследование анализа стационарных временных рядов , второе исправленное издание, с приложением Питера Уиттла «Последние достижения в анализе временных рядов» . Альмквист и Wiksell Book Co., Уппсала.