Крамера V

В статистике ( V Крамера иногда называемый фи Крамера и обозначаемый как φ _c ) является мерой связи между двумя номинальными переменными , дающими значение от 0 до +1 (включительно). Он основан на статистике хи-квадрат Пирсона и был опубликован Харальдом Крамером в 1946 году.

Использование и интерпретация

φ _c — взаимная корреляция двух дискретных переменных и может использоваться с переменными, имеющими два или более уровней. φ _c — симметричная мера: не имеет значения, какую переменную мы поместим в столбцы, а какую в строки. Кроме того, порядок строк/столбцов не имеет значения, поэтому φ _c можно использовать с номинальными типами данных или выше (в частности, упорядоченными или числовыми).

V Крамера варьируется от 0 (что соответствует отсутствию связи между переменными) до 1 (полная связь) и может достигать 1 только тогда, когда каждая переменная полностью определяется другой. Его можно рассматривать как связь между двумя переменными в процентах от их максимально возможного изменения.

φ _с ² – среднеквадратическая каноническая корреляция между переменными.

В случае таблицы сопряженности 2 × 2 V Крамера равен абсолютному значению коэффициента Фи .

Расчет

Пусть выборка размера n одновременно распределенных переменных $A$ и $B$ для $i=1,\ldots ,r;j=1,\ldots ,k$ быть задано частотами

$n_{ij}=$ во сколько раз значения $(A_{i},B_{j})$ наблюдались.

Тогда статистика хи-квадрат будет:

$\chi ^{2}=\sum _{i,j}{\frac {(n_{ij}-{\frac {n_{i.}n_{.j}}{n}})^{2}}{\frac {n_{i.}n_{.j}}{n}}}\;,$

где $n_{i.}=\sum _{j}n_{ij}$ во сколько раз превышает значение $A_{i}$ наблюдается и $n_{.j}=\sum _{i}n_{ij}$ во сколько раз превышает значение $B_{j}$ наблюдается.

V Крамера рассчитывается путем извлечения квадратного корня из статистики хи-квадрат, деленного на размер выборки и минимальную размерность минус 1:

$V={\sqrt {\frac {\varphi ^{2}}{\min(k-1,r-1)}}}={\sqrt {\frac {\chi ^{2}/n}{\min(k-1,r-1)}}}\;,$

где:

• $\varphi$ это коэффициент фи.
• $\chi ^{2}$ получен на основе критерия хи-квадрат Пирсона
• $n$ представляет собой общую сумму наблюдений и
• $k$ количество столбцов.
• $r$ количество строк.

Значение p для значимости V такое же, как и значение , рассчитанное с использованием критерия хи-квадрат Пирсона .

Формула дисперсии V =φ _c известна.

В R функция cramerV() из упаковки rcompanion вычисляет V с помощью функции chisq.test из пакета статистики. В отличие от функции cramersV() из lsr упаковка, cramerV() также предлагает возможность исправить предвзятость. Применяется исправление, описанное в следующем разделе.

Коррекция смещения

V Крамера может давать сильно предвзятую оценку своего аналога для населения и иметь тенденцию переоценивать силу связи. Поправка смещения с использованием приведенных выше обозначений определяется выражением

${\tilde {V}}={\sqrt {\frac {{\tilde {\varphi }}^{2}}{\min({\tilde {k}}-1,{\tilde {r}}-1)}}}$ 

где

${\tilde {\varphi }}^{2}=\max \left(0,\varphi ^{2}-{\frac {(k-1)(r-1)}{n-1}}\right)$ 

и

${\tilde {k}}=k-{\frac {(k-1)^{2}}{n-1}}$ 

${\tilde {r}}=r-{\frac {(r-1)^{2}}{n-1}}$ 

Затем ${\tilde {V}}$ оценивает ту же численность населения, что и V Крамера, но обычно с гораздо меньшей среднеквадратической ошибкой . Основанием для исправления является то, что в условиях независимости $E[\varphi ^{2}]={\frac {(k-1)(r-1)}{n-1}}$.

См. также

Другие меры корреляции номинальных данных:

• Максимальная разница в процентах
• Коэффициент Фи
• Т Шупрова
• Коэффициент неопределенности
• Коэффициент лямбда
• Индекс Рэнда
• Индекс Дэвиса-Булдина
• Индекс Данна
• Индекс Жаккара
• Индекс Фаулкса-Мэллоуза

Другие статьи по теме:

• Таблица непредвиденных обстоятельств
• Размер эффекта
• Кластерный анализ § Внешняя оценка

Внешние ссылки

• Мера связи для непараметрической статистики (Алан К. Акок и Гордон Р. Ставиг, стр. 1381 из 1381–1386)
• Номинальная ассоциация: Фи и Вл Крамера с домашней страницы Пэта Даттало.