Теорема Басу

В статистике ограниченно теорема Басу утверждает, что любая полная минимальная достаточная статистика не зависит от любой вспомогательной статистики . Это результат Дебабраты Басу 1955 года . ^{[ 1 ]}

Он часто используется в статистике как инструмент для доказательства независимости двух статистических данных: сначала доказывается, что одна является достаточно полной, а другая является вспомогательной, а затем обращается к теореме. ^{[ 2 ]} Примером этого является демонстрация того, что выборочное среднее и выборочная дисперсия нормального распределения являются независимыми статистическими данными, что сделано в разделе «Примеры» ниже. Это свойство (независимость выборочного среднего и выборочной дисперсии) характеризует нормальное распределение.

Заявление

Позволять $(P_{\theta };\theta \in \Theta )$ быть семейством распределений на измеримом пространстве $(X,{\mathcal {A}})$ и статистика $T$ карты из $(X,{\mathcal {A}})$ в некоторое измеримое пространство $(Y,{\mathcal {B}})$ . Если $T$ является ограниченно полной достаточной статистикой для $\theta$ , и $A$ является вспомогательным для $\theta$ , то при условии $\theta$ , $T$ не зависит от $A$ . То есть, $T\perp \!\!\!\perp A|\theta$ .

Доказательство

Позволять $P_{\theta }^{T}$ и $P_{\theta }^{A}$ быть маргинальными распределениями $T$ и $A$ соответственно.

Обозначим через $A^{-1}(B)$ прообраз набора $B$ под картой $A$ . Для любого измеримого множества $B\in {\mathcal {B}}$ у нас есть

P_{\theta }^{A}(B)=P_{\theta }(A^{-1}(B))=\int _{Y}P_{\theta }(A^{-1}(B)\mid T=t)\ P_{\theta }^{T}(dt).

Распределение $P_{\theta }^{A}$ не зависит от $\theta$ потому что $A$ является вспомогательным. Так же, $P_{\theta }(\cdot \mid T=t)$ не зависит от $\theta$ потому что $T$ достаточно. Поэтому

\int _{Y}{\big [}P(A^{-1}(B)\mid T=t)-P^{A}(B){\big ]}\ P_{\theta }^{T}(dt)=0.

Обратите внимание, что подынтегральная функция (функция внутри интеграла) является функцией $t$ и не $\theta$ . Следовательно, поскольку $T$ ограниченно полная функция

g(t)=P(A^{-1}(B)\mid T=t)-P^{A}(B)

равен нулю для $P_{\theta }^{T}$ почти все значения $t$ и таким образом

P(A^{-1}(B)\mid T=t)=P^{A}(B)

почти для всех $t$ . Поэтому, $A$ не зависит от $T$ .

Пример

Независимость выборочного среднего и выборочной дисперсии нормального распределения

Пусть X ₁ , X ₂ , ..., X _n — независимые, одинаково распределенные нормальные случайные величины со средним значением µ и дисперсией σ. ².

Тогда относительно параметра µ можно показать, что

{\widehat {\mu }}={\frac {\sum X_{i}}{n}},

выборочное среднее — это полная и достаточная статистика — это вся информация, которую можно получить для оценки μ, и не более того — и

{\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}},

выборочная дисперсия является вспомогательной статистикой – ее распределение не зависит от μ.

Поэтому из теоремы Басу следует, что эти статистики независимы при условии, что $\mu$ , при условии $\sigma ^{2}$ .

Этот результат независимости также может быть доказан с помощью теоремы Кокрена .

Кроме того, это свойство (то, что выборочное среднее и выборочная дисперсия нормального распределения независимы) характеризует нормальное распределение – ни одно другое распределение не обладает этим свойством. ^{[ 3 ]}

Примечания

^ Басу (1955)
^ Гош, малайский; Мукхопадхьяй, Нитис; Сен, Пранаб Кумар (2011), Последовательная оценка , Ряды Уайли по вероятности и статистике, том. 904, Джон Уайли и сыновья, с. 80, ISBN 9781118165911 Следующая теорема Басу ... помогает нам доказать независимость между определенными типами статистики без фактического вывода совместных и маргинальных распределений задействованных статистических данных. Это очень мощный инструмент и его часто используют...
^ Гири, RC (1936). «Распределение коэффициента «Студента» для ненормальных выборок». Приложение к журналу Королевского статистического общества . 3 (2): 178–184. дои : 10.2307/2983669 . ЖФМ 63.1090.03 . JSTOR 2983669 .

Ссылки

Басу, Д. (1955). «О статистике, независимой от полной достаточной статистики». Санкхья . 15 (4): 377–380. JSTOR 25048259 . МР 0074745 . Збл 0068.13401 .
Мухопадьяй, Нитис (2000). Вероятность и статистический вывод . Статистика: Серия учебников и монографий. 162 . Флорида: CRC Press США. ISBN 0-8247-0379-0 .
Боос, Деннис Д.; Оливер, Жаклин М. Хьюз (август 1998 г.). «Применения теоремы Басу» . Американский статистик . 52 (3): 218–221. дои : 10.2307/2685927 . JSTOR 2685927 . МР 1650407 .
Гош, малайский (октябрь 2002 г.). «Теорема Басу с приложениями: персоналистический обзор». Санкхья: Индийский статистический журнал, серия A. 64 (3): 509–531. JSTOR 25051412 . МР 1985397 .

[1] Басу (1955)

[2] Гош, малайский; Мукхопадхьяй, Нитис; Сен, Пранаб Кумар (2011), Последовательная оценка , Ряды Уайли по вероятности и статистике, том. 904, Джон Уайли и сыновья, с. 80, ISBN 9781118165911 Следующая теорема Басу ... помогает нам доказать независимость между определенными типами статистики без фактического вывода совместных и маргинальных распределений задействованных статистических данных. Это очень мощный инструмент и его часто используют...

[3] Гири, RC (1936). «Распределение коэффициента «Студента» для ненормальных выборок». Приложение к журналу Королевского статистического общества . 3 (2): 178–184. дои : 10.2307/2983669 . ЖФМ 63.1090.03 . JSTOR 2983669 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]