Персимметричная матрица

В математике персимметричная матрица может означать:

1. квадратная , симметричная относительно диагонали с матрица северо-востока на юго-запад (антидиагональ); или
2. квадратная матрица такая, что значения в каждой строке, перпендикулярной главной диагонали, одинаковы для данной линии.

Первое определение является наиболее распространенным в современной литературе. Обозначение « матрица Ханкеля » часто используется для матриц, удовлетворяющих свойству второго определения.

Определение 1

Схема симметрии персимметричной матрицы 5 × 5

Пусть A = ( a _ij ) — матрица размера n × n . Первое определение персимметричности требует, чтобы $$a_{ij}=a_{n-j+1,\,n-i+1}$$ для всех я , j . Например, персимметричные матрицы 5 × 5 имеют вид $$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{23}&a_{13}\\a_{41}&a_{42}&a_{32}&a_{22}&a_{12}\\a_{51}&a_{41}&a_{31}&a_{21}&a_{11}\end{bmatrix}}.$$

Это можно эквивалентно выразить как AJ = JA. ^Т где J – матрица обмена .

Третий способ выразить это можно увидеть после умножения AJ = JA. ^Т с J с обеих сторон, показывая, что A ^Т повернутый на 180 градусов, идентичен A : $$A=JA^{\mathsf {T}}J.$$

Симметричная матрица — это матрица, значения которой симметричны по диагонали с северо-запада на юго-восток. Если симметричную матрицу повернуть на 90°, она станет персимметричной матрицей. Симметричные персимметричные матрицы иногда называют бисимметричными матрицами .

Определение 2

Дополнительная информация: матрица Ханкеля.

Второе определение принадлежит Томасу Мьюиру . Он говорит, что квадратная матрица A = ( a _ij ) является персимметричной, если a _ij зависит только от i + j . Персимметричные матрицы в этом смысле или матрицы Ганкеля, как их часто называют, имеют вид $$A={\begin{bmatrix}r_{1}&r_{2}&r_{3}&\cdots &r_{n}\\r_{2}&r_{3}&r_{4}&\cdots &r_{n+1}\\r_{3}&r_{4}&r_{5}&\cdots &r_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n}&r_{n+1}&r_{n+2}&\cdots &r_{2n-1}\end{bmatrix}}.$$Персимметричный определитель — это определитель персимметричной матрицы.

Матрица, для которой значения на каждой прямой, параллельной главной диагонали, постоянны, называется матрицей Теплица .

См. также

• Центросимметричная матрица