Неотрицательная матрица

Не путать с полностью положительной матрицей и положительно-определенной матрицей .

В математике , неотрицательная матрица записываемая

$\mathbf {X} \geq 0,$

– это матрица , в которой все элементы равны или больше нуля, то есть

$x_{ij}\geq 0\qquad \forall {i,j}.$

— Положительная матрица это матрица, в которой все элементы строго больше нуля. Множество положительных матриц является внутренней частью множества всех неотрицательных матриц. Хотя такие матрицы встречаются часто, термин «положительная матрица» используется лишь изредка из-за возможной путаницы с положительно определенными матрицами , которые отличаются. Матрица, одновременно неотрицательная и положительно полуопределенная, называется дважды неотрицательной матрицей .

Прямоугольную неотрицательную матрицу можно аппроксимировать путем разложения на две другие неотрицательные матрицы посредством факторизации неотрицательной матрицы .

Собственные значения и собственные векторы квадратных положительных матриц описываются теоремой Перрона–Фробениуса .

Характеристики

• След и каждая сумма/произведение строки и столбца неотрицательной матрицы неотрицательны.

Инверсия

Обратная любая неособая M-матрица является неотрицательной матрицей. Если неособая М-матрица также симметрична, то она называется матрицей Стилтьеса .

Обратная неотрицательная матрица обычно не является неотрицательной. Исключением являются неотрицательные мономиальные матрицы : неотрицательная матрица имеет неотрицательную обратную тогда и только тогда, когда она является (неотрицательной) мономиальной матрицей. Обратите внимание, что, таким образом, обратная положительная матрица не является положительной или даже неотрицательной, поскольку положительные матрицы не являются мономиальными для размерности n > 1 .

Специализации

Существует ряд групп матриц, которые образуют специализации неотрицательных матриц, например стохастическая матрица ; дважды стохастическая матрица ; симметричная неотрицательная матрица.

См. также

• Матрица Метцлера

Библиография

1. Авраам Берман, Роберт Дж. Племмонс , Неотрицательные матрицы в математических науках , 1994, SIAM. ISBN   0-89871-321-8 .
2. А. Берман и Р. Дж. Племмонс, Неотрицательные матрицы в математических науках , Academic Press, 1979 (глава 2), ISBN   0-12-092250-9
3. Р. А. Хорн и Ч. Р. Джонсон, Матричный анализ , издательство Кембриджского университета, 1990 (глава 8).
4. Красносельский, М.А. (1964). Положительные решения операторных уравнений . Гронинген : P.Noordhoff Ltd., стр. 381 стр.
5. Красносельский, М.А. ; Лифшиц, Дж.А.; Соболев, А.В. (1990). Позитивные линейные системы: метод положительных операторов . Серия Сигма в прикладной математике. Том. 5. Берлин : Хелдерман Верлаг. стр. 354 стр.
6. Хенрик Минк, Неотрицательные матрицы , John Wiley&Sons, Нью-Йорк, 1988. ISBN   0-471-83966-3
7. Сенета, Э. Неотрицательные матрицы и цепи Маркова . 2-я ред. изд., 1981, XVI, 288 стр., Серия Springer в мягкой обложке по статистике. (Первоначально опубликовано Allen & Unwin Ltd., Лондон, 1973 г.) ISBN   978-0-387-29765-1
8. Ричард С. Варга. , 2002 г. Матричный итеративный анализ , Второе изд. (издание Prentice Hall 1962 года), Springer-Verlag.