Матрица знакопеременных знаков

Не путать с Альтернативной матрицей .

${\begin{matrix}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-1&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\end{matrix}}$

Семь матриц чередующихся знаков размера 3.

В математике матрица чередующихся знаков — это квадратная матрица из 0, 1 и -1, такая, что сумма каждой строки и столбца равна 1, а ненулевые элементы в каждой строке и столбце чередуются по знаку. Эти матрицы обобщают матрицы перестановок и возникают естественным образом при использовании конденсации Доджсона для вычисления определителя. Они также тесно связаны с шестивершинной моделью с граничными условиями доменной стенки из статистической механики . Впервые они были определены Уильямом Миллсом, Дэвидом Роббинсом и Говардом Рамси в первом контексте.

Примеры

Матрица перестановок является матрицей чередующихся знаков, а матрица чередующихся знаков является матрицей перестановок тогда и только тогда, когда ни один элемент не равен −1 .

Примером матрицы чередующихся знаков, которая не является матрицей перестановок, является

Картинка-пазл

${\begin{bmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&-1&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.$

Теорема о матрице чередующихся знаков

Теорема о матрице чередующихся знаков утверждает, что число $n\times n$ матрицы чередующихся знаков

$\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {(3k+1)!}{(n+k)!}}={\frac {1!\,4!\,7!\cdots (3n-2)!}{n!\,(n+1)!\cdots (2n-1)!}}.$

Первые несколько членов этой последовательности для n = 0, 1, 2, 3,…:

1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, … (последовательность A005130 в OEIS ).

Эта теорема была впервые доказана Дороном Зейлбергером в 1992 году. В 1995 году Грег Куперберг дал краткое доказательство. на основе уравнения Янга-Бакстера для шестивершинной модели с граничными условиями доменной стенки, в котором используется детерминантный расчет Анатолия Изергина. дала третье доказательство В 2005 году Ильза Фишер с использованием так называемого операторного метода .

Razumov–Stroganov problem

В 2001 году А. Разумов и Ю. Строганов выдвинули гипотезу о связи между моделью петли O (1), моделью полностью упакованной петли (FPL) и ASM. Эту гипотезу доказали в 2010 году Кантини и Спортиелло.

Дальнейшее чтение

• Брессуд, Дэвид М. , Доказательства и подтверждения: история гипотезы о матрице чередующихся знаков , Спектр MAA, Математические ассоциации Америки, Вашингтон, округ Колумбия, 1999. ISBN   978-0521666466
• Брессуд, Дэвид М. и Пропп, Джеймс, Как была решена гипотеза о матрице чередующихся знаков , Уведомления Американского математического общества , 46 (1999), 637–646.
• Миллс, Уильям Х., Роббинс, Дэвид П. и Рамси, Ховард младший, Доказательство гипотезы Макдональда, Inventiones Mathematicae , 66 (1982), 73–87.
• Миллс, Уильям Х., Роббинс, Дэвид П. и Рамси, Ховард младший, Матрицы с чередующимися знаками и разбиения на нисходящей плоскости, Журнал комбинаторной теории, серия A , 34 (1983), 340–359.
• Пропп, Джеймс, Многоликость матриц чередующихся знаков , Дискретная математика и теоретическая информатика , Специальный выпуск « Дискретные модели: комбинаторика, вычисления и геометрия» (июль 2001 г.).
• Разумов А.В., Строганов Ю. Г., Комбинаторная природа вектора основного состояния петлевой модели O(1) , Теор. Математика. Физ. , 138 (2004), 333–337.
• Разумов А.В., Строганов Ю. Г., Петлевая модель O(1) с различными граничными условиями и классами симметрии матриц чередующихся знаков. Теор. Математика. Физ. , 142 (2005), 237–243, arXiv : cond-mat/0108103
• Роббинс, Дэвид П. , История $1,2,7,42,429,7436,\dots$, The Mathematical Intelligencer , 13 (2), 12–19 (1991), два : 10.1007/BF03024081 .
• Зейлбергер, Дорон , Доказательство уточненной гипотезы о матрице чередующихся знаков , New York Journal of Mathematics 2 (1996), 59–68.

Внешние ссылки

• Запись матрицы чередующихся знаков в MathWorld
• Запись матриц знакопеременного знака в FindStat базе данных