Частичная автокорреляционная функция

Частичная автокорреляционная функция глубины озера Гурон с доверительным интервалом (синим цветом, около 0)

При анализе временных рядов функция частичной автокорреляции ( PACF ) дает частичную корреляцию стационарного временного ряда с его собственными запаздывающими значениями, регрессируя значения временного ряда со всеми более короткими задержками. Это контрастирует с функцией автокорреляции , которая не учитывает другие лаги.

Эта функция играет важную роль в анализе данных, направленном на определение степени лага в авторегрессионной (AR) модели . Использование этой функции было введено как часть подхода Бокса-Дженкинса к моделированию временных рядов, благодаря чему, построив график частичных автокорреляционных функций, можно было определить соответствующие лаги p AR ( p ) в модели или в расширенной модели ARIMA ( p , d , с ) модель.

Определение

Учитывая временной ряд $z_{t}$, частичная автокорреляция задержки $k$, обозначенный $\phi _{k,k}$, – автокорреляция между $z_{t}$ и $z_{t+k}$ с линейной зависимостью $z_{t}$ на $z_{t+1}$ через $z_{t+k-1}$ удаленный. Эквивалентно, это автокорреляция между $z_{t}$ и $z_{t+k}$ это не связано с лагами $1$ через $k-1$, включительно. $$\phi _{1,1}=\operatorname {corr} (z_{t+1},z_{t}),{\text{ for }}k=1,$$$$\phi _{k,k}=\operatorname {corr} (z_{t+k}-{\hat {z}}_{t+k},\,z_{t}-{\hat {z}}_{t}),{\text{ for }}k\geq 2,$$где ${\hat {z}}_{t+k}$ и ${\hat {z}}_{t}$ представляют собой комбинации линейные $\{z_{t+1},z_{t+2},...,z_{t+k-1}\}$ которые минимизируют среднеквадратическую ошибку $z_{t+k}$ и $z_{t}$ соответственно. Для стационарных процессов коэффициенты в ${\hat {z}}_{t+k}$ и ${\hat {z}}_{t}$ то же самое, но наоборот: $${\hat {z}}_{t+k}=\beta _{1}z_{t+k-1}+\cdots +\beta _{k-1}z_{t+1}\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {z}}_{t}=\beta _{1}z_{t+1}+\cdots +\beta _{k-1}z_{t+k-1}.$$

Расчет

Теоретическая частичная автокорреляционная функция стационарного временного ряда может быть рассчитана с помощью алгоритма Дурбина – Левинсона: $$\phi _{n,n}={\frac {\rho (n)-\sum _{k=1}^{n-1}\phi _{n-1,k}\rho (n-k)}{1-\sum _{k=1}^{n-1}\phi _{n-1,k}\rho (k)}}$$где $\phi _{n,k}=\phi _{n-1,k}-\phi _{n,n}\phi _{n-1,n-k}$ для $1\leq k\leq n-1$ и $\rho (n)$ является автокорреляционной функцией.

Приведенную выше формулу можно использовать с выборочными автокорреляциями для нахождения выборочной частичной автокорреляционной функции любого заданного временного ряда.

Примеры

В следующей таблице приведены частичные автокорреляционные функции различных моделей:

Модель	ПАКФ
Белый шум	Частичная автокорреляция равна 0 для всех задержек.
Авторегрессионная модель	Частичная автокорреляция для модели AR( p ) отлична от нуля для задержек, меньших или равных p , и 0 для задержек, больших, чем p .
Модель скользящего среднего	Если $\phi _{1,1}>0$, частичная автокорреляция колеблется до 0.
	Если $\phi _{1,1}<0$, частичная автокорреляция геометрически затухает до 0.
Модель авторегрессии – скользящего среднего	Частичная автокорреляция модели ARMA( p , q ) геометрически затухает до 0, но только после задержек, превышающих p .

Поведение частичной автокорреляционной функции отражает поведение автокорреляционной функции для моделей авторегрессии и скользящего среднего. Например, частичная автокорреляционная функция ряда AR( p ) отключается после задержки p, аналогично автокорреляционной функции ряда MA( q ) с задержкой q . Кроме того, автокорреляционная функция процесса AR( p ) затухает так же, как частичная автокорреляционная функция процесса MA( q ).

Идентификация авторегрессионной модели

Пример частичной автокорреляционной функции с доверительным интервалом смоделированного временного ряда AR(3)

Частичная автокорреляция — это широко используемый инструмент для определения порядка модели авторегрессии. Как упоминалось ранее, частичная автокорреляция процесса AR( p ) равна нулю при задержках, превышающих p . Если модель AR признана подходящей, то исследуется выборочный график частичной автокорреляции, чтобы помочь определить порядок.

Частичная автокорреляция лагов, превышающих p для временного ряда AR( p ), примерно независимы и нормальны со средним значением 0. Следовательно, доверительный интервал можно построить путем деления выбранного z-показателя на ${\sqrt {n}}$. Задержки с частичной автокорреляцией за пределами доверительного интервала указывают на то, что порядок модели AR, вероятно, больше или равен задержке. Построение частичной автокорреляционной функции и рисование линий доверительного интервала — распространенный способ анализа порядка модели AR. Чтобы оценить порядок, исследуют график, чтобы найти задержку, после которой все частичные автокорреляции оказываются в пределах доверительного интервала. Предполагается, что это отставание, скорее всего, является порядком модели AR.